Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP CHUN ĐỀ Số hữu tỉ, phép toán tập hợp số hữu tỉ I Tóm tắt lý thuyết: a với a,b Z, b b Biểu diễn số hữu tỉ trục số: BÊt kú sè h÷u tỉ biểu diễn trục số Trên trục số điểm biểu diễn số hữu tỉ x gọi điểm x So sỏnh hai s hữu tỉ : Víi hai sè h÷u tØ x, y ta có: x>y, x=y, x 0, d > 0) b d a c < vµ chØ ad < bc b d b) ¸p dơng, h·y so sánh số hữu tỉ sau: 11 22 9 vµ ; vµ 13 27 11 23 a ad c bc b> 0, d > nên bd > 0, ®ã ; b bd d bd a c ad bc - NÕu < th× ad bc b d bd bd ad bc a c - NÕu ad bc bd bd b d a c VËy < ad < bc b d b) Ta cã 11.27=297; 13.22=286 => 11.27 < 13.22 HD: a) Ta cã vËy theo câu a) 11 22 > ; tương tự ta cã < 13 27 11 23 Bµi Thùc phép tính sau hợp lý 3 0,375 0,3 11 12 1,5 0,75 A 5 2,5 1,25 0,625 0,5 11 12 HD: 3 3 3 1 1 3( ) 0,375 0,3 11 12 10 11 12 10 11 12 Ta cã: 5 5 5 5 5 1 1 0,625 0,5 5( ) 5 11 12 10 11 12 10 11 12 3 3 3 1,5 0,75 4 Vµ VËy A= = 5 5 5 1 1 2,5 1,25 5 3 2 4 Bµi T×m x biÕt 3 3 b) (5x-1)(2x- ) = c) : x x a) 7 14 35 3 3 5 3 HD: a) x x= x= x 35 35 7 35 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 1 1 b) (5x-1)(2x- )= 5x-1= hc 2x- = x hc x= 3 3 3 2 c) : x : x x : x= 7 14 14 7 14 Bài Tìm giá trị x để biểu thức sau nhận giá trị âm: a) x2+5x; b) 3(2x+3)(3x-5) HD: Ta cã x2+5x = x(x+5) x - -5 + x+5 + + x(x+5) + + VËy x +5x < -5 < x < Bµi Cho x, y thuéc Q chøng tá r»ng: a) |x+y| |x| + |y| b) |x-y| |x| - |y| HD: a) víi mäi x, y ta có: x |x| - x |x|; y |y| vµ - y |y| Suy vµ -(x+y) |x| + |y| hay (x+y) -(|x| + |y|) ®ã: -(|x| + |y|) x+y |x| + |y| hay |x+y| |x| + |y| |x+y| = |x| + |y| x.y (b häc sinh tù chøng minh) 1 2 Bµi T×m x biÕt a) |x-3|=3 b) 1.25 -|0.5-x| = c) x 1 x 2 3 d) x 2,7 9 f (x) a HD: Ta cã f (x) a (®iỊu kiƯn a 0) f a (x) a) |x-3|=3 x hc x-3=-3 x=0 hc x=6 b) 1,25 - |0.5- x|=0 |0.5-x|=1,25 (gi¶i nh a) ) c) A(x).B(x) = A(x)= hc B(x) = 1 1 2 2 3 hc x 1 x x 1 hc x x 2 2 3 4 3 x 1 d) x 2,7 9 x (Gi¶i nh a) ) 3 2,7 ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài Tìm giá trị lớn A biết r»ng: A=|x-3|-|5-x| HD: Ta cã: |x-y| |x| - |y| |x-3|-|5-x| |x-3-x+5| = Vậy giá trị lớn nhÊt cđa A lµ (x-3)(x-5) x x Bài Tính nhanh 1 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 1 1 1 1 1 90 12 20 30 42 56 72 1) 1 1 1 1 90 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 1 1 1 1 9 90 2 3 79 1 90 90 90 1 1 2) (2).(1 ).(1 ).(1 ) .( 1 ) n n 1 (2).( ).( ).( ) ( ) n (2).( 3).(4) ( (n 1)) 1.2.3.4 n 1 (n 1) n Bµi TÝnh a) 3 1 3 3 1 1 3 15 3 1 3 3 1 15 4 15 2 19 19 b) ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 2 2 1 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 2 3 1 2 2 1 11 2 2 1 3 17 2 1 11 23 23 2 Bài 10 Tìm giá trị chữ biểu thức hữu tỉ thoả mÃn điều kiện cho trước Ta cã : a a.(a 1) (a 1) a 1 a 1 4 a 1 Z Z a a a-1 ước a -1 {-4 ; -2 ; -1 ; ; ; } a {-3 ; -1 ; ; ; ; } V× (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2ab = 2.1/18=1/9 a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab 1 1 9 36 1 ab 36 36 2 *) NÕu a - b = 1/6 th× a - b = (a - b)(a + b) (a - b)2 = a2 - 2ab +b2 1 = 12 *) NÕu a - b = -1/6 th× a2 - b2 = (a - b)(a + b) 1 12 Đặt a x \ (x,y) 1; x,y Z & y y Ta cã : x y x y2 a Z x y xy (1) a y x xy ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Tõ (1) x2 xy mµ (x,y) = 1 y = y2 xy y2 x mµ (x,y) = 1 x = VËy x = y = a = Bµi 11 Chøng minh : 1 1 1/ CMR: 10 11 2 2 Biến đổi vế trái ta có Đặt 1 1 2 100 100 A 1 1 1 2 10002 III Bµi tËp tù giải: Bài Cho a,b Z b chøng tá r»ng: Bµi Cho a (b > 0) chøng tá r»ng b a -a ; -b b -a a = -b b a 1 Khi vµ chØ a> b b a a + n víi a, b, n Z vµ b> 0; n > Bµi So sánh hai số hữu tỉ b b+n a) p dụng so sánh 17 14 ; vµ 25 28 1 Bµi a) Cho A = 1 1 1 So s¸nh A víi 10 11 1 b) Cho B = 1 1 1 1 1 So s¸nh B víi 21 16 81 100 Bài Tìm số nguyên x để biểu thức sau nhận giá trị dương (x 1)(x 2) c) a) x2- 4x; b) (4-x)(x-3) x6 Bµi ViÕt tỉng thµnh tÝch a) ax + bx- ay- by + az - bz b) am+ bn+ bm+ an – m - n c) 3a(2b + c) + 8b + 4c Bài Tìm giá trị nhỏ B biÕt B = |1993- x| +|1994 - x| Bµi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C=x2+ |y-2| -5 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài Tìm giá trị lớn biểu thøc: D = x x3 a) A= 0; b) A< 3x Bµi 11 Tìm số nguyên n để phân số sau có giá trị số nguyên tính giá trị đó: 3n 6n a) A= ; b) B = n4 2n Bài 12 Tìm x biÕt x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 a) |3x-5|= b) c) 10 11 12 13 14 2005 2006 2007 2008 99 1 Bµi 13 Chøng minh r»ng 2! 3! 4! 100! Bµi 14 a) Ngêi ta viÕt sè hữu tỉ vòng tròn Tìm số ®ã, biÕt r»ng tÝch cđa hai sè bÊt kú c¹nh 16 b) Cũng câu hỏi với n sè 1 1 1 1 Bµi 15 Chøng minh r»ng: A= 1.2 3.4 5.6 49.50 26 27 28 50 1 1 chøng minh r»ng: Bµi 16 Cho A= A 1.2 3.4 5.6 99.100 12 Bài 10 Tìm giá trị x A ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP CHUYÊN ĐỀ luü thõa cña mét sè hữu tỉ Các toán luỹ thừa S tit: tiết I Tãm t¾t lý thuyÕt: - Luü thõa bËc n cđa mét sè h÷u tØ x ký hiƯu lµ xn, lµ tÝch cđa n thõa sè x (n số tự nhiên lớn 1) Quy ước: x0=1; x1=x + Ta có quy tắc: x m x n x m + n ; x m :x n =x m - n (x¹0;m n) x x.y m n x ; m.n m m x xm x y ; m (y 0) y y m m +Bỉ sung: *L thõa víi số mũ nguyên âm: x -n n (n nguyên dương, x 0) x -n (x l nghịch đảo xn ) *Hai luỹ thừa có sè Cho m> n > th×: NÕu a >1 am > an a=1 am = an a 2160 = (24)40 = 1640 > 1340 Nªn 2161 > 1340 4/ So sánh 329 1813 Ta có : 329 = (25)9 = 245 ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 1813 > 1613 = (24)13 = 252 VËy 1813 > 252 > 245 = 329 nªn 1813 > 329 *D¹ng Thø tù thùc hiƯn phÐp tÝnh biĨu thức có chứa luỹ thừa Phương pháp : + Biến ®ỉi ®a vỊ cïng sè mị ®Ĩ gép c¬ sè + Biến đổi đưa số , đặt số chung để tính hợp lý Bài Tính a) (-2)3 +22 + (-1)10 = -8 + + = -3 b) 32 23 5 81 8 25 2 2 81 64 525 515 1 c) : 2 2 = + + + (4 : 1/2) = + + + 8.8 =74 2 1 d) 9.3 32.333432 27 81 Bµi TÝnh 3 b) 2 10 a) (-2) +2 +(-1) 2 52 2 c) 22.4 2 : 2 2 Gi¶i a) (-2)3+22+(-1)10 = -8+4+1=-3 2 b) 32 2 52 =34- 26-54=81-64-375=-358 1 1 c) 23 22.4 2 : = 8+3.1 22 : = 8+3- : 74 2 2 2 2 *D¹ng TÝnh luü thõa có qui luật : Phương pháp : Sử dụng công thøc : a2 - b2 = (a - b).(a + b) VÝ dô TÝnh 1/ 1002 - 992 +982 - 972 + +22- = (1002 - 992) + (982 - 972) + +(22 - 1) = (100 - 99)(100 + 99) +(98 - 97)(98 + 97) + +(2 - 1)(2 + 1) = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + + + = = 100 1.100 5050 2 2/ (20 + 182+162+ +22) -(192+172+152+ +12) Đáp số = 210 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP *D¹ng Tìm giá trị biến luỹ thừa: Bài T×m n biÕt a) n n 27 3n 32. 33 3n 33n-2 3n 3n n 3n - n 2n n -1 n n-1 b) + =5.2 n-1 n-1 +2 =5.2 2n - ( + 22 ) = 25 n - = 25 n-1 = 25 n-1=5 n=6 (n - 2)(n + 3) c) x =1 (n - 2)(n + 3) x = 1= x (n - 2)(n + 3) = VËy n = hc n = -3 d) 2x + - 2x = 96 2x(22 - 1) = 96 2x = 96 2x = 96 : = 32 = 25 x = Bài 2.Tìm x biết: a) (2x+1)2 =1 b) (3x-2)2 = c) (x+3)3 = - 27 Gi¶i a) Ta cã 1=12 = (-1)2 2x+1 = hc 2x+1 = -1 x=0 hc x=-1 (3x-2)2 =0 3x-2=0 x b) c) (x+3)3 =-27 =(-3)3 x+3=-3 x=-6 Bài Tìm x biÕt: a) 2x+2-2x=96 b) 7x+2+2.7x-1=345 Gi¶i a) 2x+2-2x=96 22.2x-2x=96 2x(4-1)=96 2x=32=25 x=5 b) 7x+2+2.7x-1=345 73 7x-1+2.7x-1=345 7x-1 (73+2)=345 7x-1 345=345 7x-1 =1 x-1= x=1 *Dạng Chứng minh đẳng thøc: Bµi Chøng minh r»ng: 5 12 16 a) 12 =18 ; Chøng minh a) 128.912 =1816 10 30 20 b) 45 =75 ; c) 53 125 64 253 10 ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP VT=128.912= 22.3 32 2 38.324 216.332 216.916 1816 VP b) 4510.530=(9.5)10.510.520=320.510.510.520=320.520.520=(3.5.5)20=7520; 5 c) 53 12 64 (học sinh tự giải) 125 253 Bài Chøng minh r»ng : 109 + 108 + 10 222 109 + 108 + 10 = 107.(102 + 10 + 1) = 107 111 = 106 111 = 106 222 222 *Dạng Bất đẳng thức: So sánh hai sè sau 10 50 1 a) vµ 16 2 10 b) 0,110 vµ 0,320; 10 1 40 c) 2300 vµ 3200 d) 230+320+430 vµ 3.2410 50 HD: a) = > 16 2 2 2 20 20 b) 0,3 > 0,1 * Dạng Bài toán phÐp chia hÕt: Chøng minh r»ng a) 55 54 53 chia hÕt cho b) 76 75 chia hÕt cho 11 c) 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263 HD gi¶i a) 55 54 53 53 52 1 53.21 (v× 21 chia hÕt cho 7) b) 76 75 (7 1) 4.5511 (v× 55 chia hÕt cho 11) c) 2454.5424.210 3.23 33.2 210 354.372.854.88.8.27 III Bµi tËp tù giải: Bài Rút gọn biểu thức A 52 53 549 550 54 24 98 99 1 1 1 1 1 Bµi Cho B= Chøng minh r»ng B < 2 2 2 2 2 Bµi Sắp xếp số hữu tỉ a; b; c theo thø tù tõ nhá ®Õn lín a 2100 ; b 375 ; c 550 Bài Tìm số tự nhiên x biết: a) a)5x 5x 650 b)3x 1 5.3x 1 11 ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP CHUN ĐỀ tØ lÖ thøc - tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng I Tãm t¾t lý thuyÕt: *Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Trong tỉ lệ thức hạng a,d gọi ngoại tỉ; b, c gọi số hạng trung tỉ *Tính chÊt 1: NÕu a c c¸c sè b d a c th× ad=bc b d *TÝnh chÊt 2: Nếu a.d = b.c a,b,c,d khác ta cã c¸c tØ lƯ thøc: a c a b d c d b ; ; ; b d c d b a c a Nh vËy, từ năm đẳng thức sau ta suy đẳng thức lại ad = bc (a, b, c, d 0) a c b d a b c d d c b a d b c a * Tính chất dãy tỉ số nhau: a c a c ac ac 1) Từ dãy tỉ số ta suy ra: b d,b d b d b d bd bd Tổng quát hơn, ta có: a c e a c e a ce a ce ( giả thiết 2) Từ dãy tỉ số ta suy ra: b d f b d f bdf bdf cỏcsucúngha). II Bài tập vận dụng Bài Tìm c¸c sè x,y,z biÕt x 1 y z (1) vµ x 2y 3z 14 (2) 12 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 Giải Đặt [MAI TH QUNH - TI LIU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP x 1 y z k (k Z) suy ra: x = 2k+1; y=3k+2; z = 4k+3 Thay vµo (2) ta cã: 2k+1- 6k – + 12k+ = 14 k=1 VËy x= 3; y = 5; z = (Học sinh giải cách khác) a c a b cd Bµi Chøng minh r»ng: tõ tØ lƯ thøc: cã thĨ suy tØ lƯ thøc: b d ab cd a c a b Gi¶i Tõ , suy , ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: b d c d a b ab ab ab ab ab cd Tõ , ta l¹i suy (®pcm) c d cd cd cd cd ab cd x y y z Bài Tìm sè x, y, z biÕt r»ng ; vµ 2x 3y z 186 x y y z theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta Gi¶i Tõ gi¶ thiÕt ta cã ; 15 20 20 28 cã: x y z 2x 3y 2x 3y z 186 suy x= 45; y= 60; z = 84 15 20 28 30 60 30 60 28 62 y z 1 x z y x Bài Tìm số x,y,z biết r»ng: x y z xyz Gi¶i Theo tÝnh chÊt d¹y tØ sè b»ng ta cã: y z 1 x z y x = x y z xyz y z x z y x 2(x y z) 2 xyz xyz (v× x+y+z 0) Do x+y+z = 0,5 Thay kết vào đề ta có: 0,5 x 0,5 y 0,5 z 1,5 x 2,5 y 2,5 z tøc lµ 2 x y z x y z 5 VËy x ; y ; z 6 x y y z & ; 2x 3y z 186 Bài Tìm x, y, z BiÕt x y x y (1) Gi¶i Tõ 15 20 y z y z (2) Tõ 20 28 Tõ (1) vµ (2) 13 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP x y z 2x 3y 15 20 28 30 60 2x 3y z 186 3 30 60 28 62 x = 15 = 45 y = 20 = 60 z = 28 = 84 Bµi Tìm x, y biết : x y xy = 90 x y xy Chó ý : 2.5 Giải * Cách Đặt tỉ số k x y k x = 2k , y = 5k xy = 2k 5k = 10k2 = 90 k2 = k = hc k = - x = hc x = -6 y = 15 hc y = - 15 * C¸ch x y x.x xy x 90 18 x 36 5 x 6 y 15 a b a 2b a c Bài Cho tỉ lệ thức , b,d 0.CMR: c d c 2d b d Giải a b a 2b a c Từ a b c 2d c d a 2b 3ab 3bc c d c 2d b d a 5 b6 a ,a 5,a 6.CMR: Bài Cho a 5 b6 b Giải a 5 b6 a a b a b 6a 5b a 5 b6 b 2 a b ab a c Bài 9. CMR nếu : thì 2 b d c d cd 14 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Giải Bài 11. Cho các số A,B,C tỉ lệ với a, b,c CMR giá trị của biểu thức : Ax By C không phụ thuộc vào x,y. Q ax by c Giải A B C Ta có k A ka;B kb;C kc Q k a b c x 2y 3z Bài 12. Cho biểu thức P , biết rằng các số x,y,z tỉ lệ với các số 5;4;3 x 2y 3z CMR giá trị của P không phụ thuộc vào x,y,z Giải x y z Ta có k x 5k; y 4k;z 3k P 3 a c Bài 13. Cho tỉ lệ thức , với a, b , c, d b d ab cd CMR a c Giải a c a b ab ab a ab cd b d c d cd cd c a c Bài 14. Cho a + d = b + c và a d b c b , d CMR: số a,b,c,d có thể lập thành một tỉ lệ thức. Giải. 2 a+d = b + c a d b c a d 2ad b c 2bc ad bc a c b d a x b y a2 x Bài 15. Cho ; .CMR : k a k b x y Giải a x b y a kx x 2 a kx; b ky k a k b b ky y bd a c Bài 16. Cho a = b + c và c b 0,d CMR: bd b d Giải a b c ad b c d bd cd 1 15 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 c [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP bd bd c b d cb cd bc bd cd 2 bd Từ (1) và (2) suy ra đpcm. a c Bài 17. Cho 1,c CMR: b d a b ab a) c d cd 3 ab a b b) 3 cd c d a c a b Giải Vì b d c d a b ab a b ab ab a.b a b a) c d cd c d cd cd c.d c d 3 a b ab a b3 a b a b3 a b b) 3 3 c d cd c d c d c3 d c d Bài 18. Cho a c 5a 3b 5a 3b ,c d CMR: b d 5c 3d 5c 3d Giải a c a b 5a 3b 5a 3b 5a 3b b d c d 5c 3d 5c 3d 5c 3d Bài 19. Cho b ac;c2 bd Với b,c,d 0; b c d;b3 c3 d CMR: a b3 c a b c b c3 d b c d Giải a b b c a b c a bc ;c bd b c c d b c d bcd a b c3 a b c 3 3 b c d b c d b ac Bài 20. CMR nếu: 2(x+y) = 5(y+z) = 3(z+x) thì Giải xy yz 16 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP x y y z 3 z x 30 30 30 x y y z z x y z z x z x y z x y 1 10 10 15 10 x y z x x y y z x z 2 15 10 15 10 Từ (1) và (2) suy ra đpcm. a b2 a Bài 21. Cho b ac CMR: b c2 c Giải a b a b2 a b a a b2 a b ac 2 b c b c b c c b c c 1 Bài 22. Ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi chuyển số thóc ở kho I, số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc cịn lại ở ba kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu 11 mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc. Giải Gọi số thóc ban đầu ở các kho I,II và III lần lượt là x , y, z ( tấn ). Sau khi chuyển 10 bớt đi thì số thóc cịn lại ở ba kho đó lần lượt là: x; y; z Theo đề bài, ta có 11 10 4x 5y 10z x y z xyz 710 x y z 10 11 20.5 20.6 20.11 25 24 22 25 24 22 71 Suy ra x =250 ; y = 240; z =220. Ba kho thóc lúc đầu có 250 tấn, 240 tấn, 220 tấn. Bài 23. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích là 300m2. Hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài, chiều rộng của khu vườn. Giải Gọi chiều dài, chiều rộng của khu vườn lần lượt là x(m), y(m). Theo đề bài ta có: xy =300 và x y k x 4k;y 4k Tính tốn ta được: x =20 ; y = 15. 4 Chiểu dài của khu vườn là 20 m, chiều rộng là 15m Bài 24. Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Tìm giá trị của biểu a b c d ab bc cd da thức M, biết M cd da ab bc 17 x y 5 y z 3 z x ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Giải Mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1 1 1 a b c d abcd a bcd abcd a bcd a b c d * Nếu a b c d thì a = b = c = d M = 1+1+1+1 = 4 * Nếu a b c d thì a + b = -(c + d); b + c = -(d+a) ; c + d = -(a + b); d + a = - (b + c) Lúc đó: M = -1-1-1-1= - 4 Bài 25. Cho bốn số a, b,c,d sao cho a + b + c + d 0. Biết: bcd cda dab abc k Tính giá trị của k. a b c d Giải Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số đã cho ta được: bcd cda dab abc 1 1 1 1 a b c d bcda cdab da bc a bcd a b c d Vì a + b + c + d 0 nên a = b = c = d k = 3 *Nhận xét: Trong dãy tỉ số nhau, tử ( khác khơng ) mẫu ngược lại mẫu tử ab ca CMR: Nếu ba số a,b, c đều khác khơng thì từ ba số a, b, Bài 26. Cho a b ca c ( có một số được dùng hai lần) có thể lập thành một tỉ lệ thức. Giải ab ca a b a b a b a b 2a a 1 ab ca c a c a c a c a 2c c ab ca a b a b a b a b 2b b 2 ab ca c a c a c a c a 2a a a b Từ (1) và (2) suy ra c a ax by Bài 27. Cho biểu thức M c,d CMR: nếu giá trị của biểu thức M cx dy khơng phụ thuộc vào x,y thì 4 số a,b,c,d lập thành một tỉ lệ thức. Giải Mặt khác 18 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP b ax by k ( không đổi ) Chọn x = 0, y =1 được k Chọn x = 1, y = 0, d cx dy a b a được k suy ra c d c 2 a b ab a c a d hoặc với a,b,c,d 0; c ± d. CMR hoặc Bài 28. Cho c d cd b d b c Giải a b ab 2ab a b 2ab a b Ta có 1 c d cd 2cd c d 2cd c d 2 Ta đặt a b ab 2ab a b 2ab a b 2 c d cd 2cd c d 2cd c d 2 a b a b Từ (1) và (2) suy ra 2 c d c d 2 * Trường hợp 1: a b a b a b a b 2a a 3 c d c d c d c d 2c c a b a b a b a b 2b b 4 c d c d c d c d 2d d a b a c Từ 3 , c d b d * Trường hợp 2: ab a b b a a b b a 2b b 5 cd c d c d c d c d 2c c a b a b b a a b b a 2a a 6 c d c d c d c d c d 2d d b a a d Từ , c d b c a c 2 a b ab b d Tóm lại, nếu a d c d cd b c 19 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TON LP III Bài tập tự giải: Tìm số x, y, z biết rằng: x y z a) vµ 5x + y - 2z=28 b) 3x=2y; 7y=5z, x- y + z=32 10 21 x y y z 2x 3y 4z ;x y z 49 d) c) ; ;2x 3y z 5 x 1 y z x y z g) ; xyz 810 e) ;2x 3y z 50 2y 4y 6y T×m x biÕt r»ng 18 24 6x a T×m phân số biết cộng thêm số khác vào tử mẫu b giá trị phân số không đổi a b c abc a Cho chøng minh r»ng b c d bcd d a b c Cho chøng minh r»ng a = b = c b c a a a a3 a 6.Tìm số a1 ;a ; ;a biÕt r»ng 9 a1 a a 90 7.Ba đội công nhân tham gia trồng Biết số đội trồng 2 số đội số đội Số đội trồng tổng số hai đội 55 Tính số đội đà trồng Tỉng c¸c l thõa bËc cđa mét sè hữu tỉ -1009 Biết tỉ số số thứ , số thứ số thứ Tìm số 9 T×m hai sè biÕt tØ sè cđa chúng tổng bình phương chúng số thứ hai 4736 10 Tìm số x,y,z biÕt: x : y : z vµ 2x 2y2 3z = -100 20 ThuVienDeThi.com ... Tìm giá trị x A ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP CHUN luỹ thừa số hữu tỉ Các toán luỹ thừa S tit: tit I Tãm t¾t lý thut: - L thõa... QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP x 1 y z k (k Z) suy ra: x = 2k+1; y=3k+2; z = 4k+3 Thay vµo (2) ta cã: 2k+1- 6k – + 12k+ = 14 k=1 VËy x= 3; y = 5; z = (Häc sinh. .. 3 1 15 4 15 2 19 19 b) ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 2 2 1 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 2 3 1 2 2 1 11 2 2 1 3 17 2