Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 746288

January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP CHUN ĐỀ Số hữu tỉ, phép toán tập hợp số hữu tỉ I Tóm tắt lý thuyết: a với a,b  Z, b  b Biểu diễn số hữu tỉ trục số: BÊt kú sè h÷u tỉ biểu diễn trục số Trên trục số điểm biểu diễn số hữu tỉ x gọi điểm x So sỏnh hai s hữu tỉ : Víi hai sè h÷u tØ x, y ta có: x>y, x=y, x 0, d > 0) b d a c < vµ chØ ad < bc b d b) ¸p dơng, h·y so sánh số hữu tỉ sau: 11 22 9 vµ ; vµ 13 27 11 23 a ad c bc b> 0, d > nên bd > 0, ®ã  ;  b bd d bd a c ad bc - NÕu < th×   ad  bc b d bd bd ad bc a c - NÕu ad  bc     bd bd b d a c VËy <  ad < bc b d b) Ta cã 11.27=297; 13.22=286 => 11.27 < 13.22 HD: a) Ta cã vËy theo câu a) 11 22 > ; tương tự ta cã < 13 27 11 23 Bµi Thùc phép tính sau hợp lý 3 0,375  0,3   11 12  1,5   0,75 A 5 2,5   1,25 0,625  0,5   11 12 HD: 3 3 3 1 1    3(    ) 0,375  0,3   11 12  10 11 12  10 11 12  Ta cã: 5 5 5 5 5 1 1 0,625  0,5      5(    ) 5 11 12 10 11 12 10 11 12 3 3        3 1,5   0,75 4  Vµ    VËy A=  = 5 5 5 1 1   2,5   1,25 5    3 2 4 Bµi T×m x biÕt 3 3  b) (5x-1)(2x- ) = c)  : x    x  a) 7 14 35   3 3 5 3  HD: a)   x   x=    x=   x   35 35 7 35   ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 1 1 b) (5x-1)(2x- )=  5x-1= hc 2x- =  x  hc x= 3 3  3 2 c)  : x   : x    x  :     x= 7 14 14 7  14 Bài Tìm giá trị x để biểu thức sau nhận giá trị âm: a) x2+5x; b) 3(2x+3)(3x-5) HD: Ta cã x2+5x = x(x+5) x - -5 + x+5 + + x(x+5) + + VËy x +5x < -5 < x < Bµi Cho x, y thuéc Q chøng tá r»ng: a) |x+y|  |x| + |y| b) |x-y|  |x| - |y| HD: a) víi mäi x, y ta có: x |x| - x |x|; y  |y| vµ - y  |y| Suy vµ -(x+y)  |x| + |y| hay (x+y)  -(|x| + |y|) ®ã: -(|x| + |y|)  x+y  |x| + |y| hay |x+y|  |x| + |y| |x+y| = |x| + |y| x.y  (b häc sinh tù chøng minh) 1 2  Bµi T×m x biÕt a) |x-3|=3 b) 1.25 -|0.5-x| = c)  x  1 x    2 3  d) x 2,7  9 f (x)  a HD: Ta cã f (x)  a   (®iỊu kiƯn a  0) f   a (x)  a) |x-3|=3  x   hc x-3=-3  x=0 hc x=6 b) 1,25 - |0.5- x|=0  |0.5-x|=1,25 (gi¶i nh­ a) ) c) A(x).B(x) =  A(x)= hc B(x) = 1 1 2  2  3 hc  x  1 x      x  1  hc  x     x  2 2 3  4 3  x 1 d) x 2,7  9  x  (Gi¶i nh­ a) ) 3 2,7 ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài Tìm giá trị lớn A biết r»ng: A=|x-3|-|5-x| HD: Ta cã: |x-y|  |x| - |y| |x-3|-|5-x| |x-3-x+5| = Vậy giá trị lớn nhÊt cđa A lµ (x-3)(x-5)   x x Bài Tính nhanh 1 1 1 1         90 72 56 42 30 20 12 1 1 1 1 1           90  12 20 30 42 56 72  1)   1 1 1 1           90  1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9   1 1 1 1            9 90  2 3    79  1      90   90 90 1 1 2) (2).(1 ).(1 ).(1 ) .( 1 ) n n 1  (2).( ).( ).( ) ( ) n (2).( 3).(4) ( (n  1))  1.2.3.4 n    1 (n  1) n Bµi TÝnh a) 3 1  3  3 1 1  3  15  3  1 3  3  1 15 4 15  2 19 19 b) ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 2 2 1 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP  2  3 1  2  2 1 11  2  2 1  3 17  2   1 11 23 23 2 Bài 10 Tìm giá trị chữ biểu thức hữu tỉ thoả mÃn điều kiện cho trước Ta cã : a  a.(a  1)  (a  1)    a 1 a 1 4  a 1 Z  Z a a a-1 ước a -1  {-4 ; -2 ; -1 ; ; ; } a  {-3 ; -1 ; ; ; ; } V× (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2ab = 2.1/18=1/9 a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab 1 1         9 36 1   ab 36 36 2 *) NÕu a - b = 1/6 th× a - b = (a - b)(a + b) (a - b)2 = a2 - 2ab +b2  1 =  12 *) NÕu a - b = -1/6 th× a2 - b2 = (a - b)(a + b) 1  12 Đặt a x \ (x,y)  1; x,y  Z & y  y Ta cã : x y x  y2 a     Z  x  y  xy (1) a y x xy ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Tõ (1)  x2  xy mµ (x,y) = 1 y =   y2  xy  y2  x mµ (x,y) = 1 x =  VËy x = y =   a =  Bµi 11 Chøng minh : 1 1 1/ CMR:       10  11 2 2 Biến đổi vế trái ta có Đặt 1 1      2 100 100 A 1 1 1     2 10002 III Bµi tËp tù giải: Bài Cho a,b Z b chøng tá r»ng: Bµi Cho a (b > 0) chøng tá r»ng b a -a  ; -b b -a a = -b b a   1 Khi vµ chØ a> b b a a + n víi a, b, n  Z vµ b> 0; n > Bµi So sánh hai số hữu tỉ b b+n a) p dụng so sánh 17 14 ; vµ 25 28 1        Bµi a) Cho A =   1       1  1 So s¸nh A víi       10  11     1   b) Cho B =   1  1  1   1  1 So s¸nh B víi 21    16   81  100  Bài Tìm số nguyên x để biểu thức sau nhận giá trị dương (x 1)(x 2) c) a) x2- 4x; b) (4-x)(x-3) x6 Bµi ViÕt tỉng thµnh tÝch a) ax + bx- ay- by + az - bz b) am+ bn+ bm+ an – m - n c) 3a(2b + c) + 8b + 4c Bài Tìm giá trị nhỏ B biÕt B = |1993- x| +|1994 - x| Bµi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C=x2+ |y-2| -5 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài Tìm giá trị lớn biểu thøc: D =  x  x3 a) A= 0; b) A< 3x  Bµi 11 Tìm số nguyên n để phân số sau có giá trị số nguyên tính giá trị đó: 3n  6n  a) A= ; b) B = n4 2n Bài 12 Tìm x biÕt x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  x  x  x 1        a) |3x-5|= b) c) 10 11 12 13 14 2005 2006 2007 2008 99 1 Bµi 13 Chøng minh r»ng     2! 3! 4! 100! Bµi 14 a) Ng­êi ta viÕt sè hữu tỉ vòng tròn Tìm số ®ã, biÕt r»ng tÝch cđa hai sè bÊt kú c¹nh 16 b) Cũng câu hỏi với n sè 1 1 1 1          Bµi 15 Chøng minh r»ng: A= 1.2 3.4 5.6 49.50 26 27 28 50 1 1 chøng minh r»ng: Bµi 16 Cho A=     A 1.2 3.4 5.6 99.100 12 Bài 10 Tìm giá trị x A  ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP CHUYÊN ĐỀ luü thõa cña mét sè hữu tỉ Các toán luỹ thừa S tit: tiết  I Tãm t¾t lý thuyÕt: - Luü thõa bËc n cđa mét sè h÷u tØ x ký hiƯu lµ xn, lµ tÝch cđa n thõa sè x (n số tự nhiên lớn 1) Quy ước: x0=1; x1=x + Ta có quy tắc: x m x n  x m + n ; x m :x n =x m - n (x¹0;m  n) x   x.y  m n   x ; m.n m m x xm  x y ;    m (y  0) y y m m +Bỉ sung: *L thõa víi số mũ nguyên âm: x -n n (n nguyên dương, x 0) x -n (x l nghịch đảo xn ) *Hai luỹ thừa có sè Cho m> n > th×: NÕu a >1  am > an a=1  am = an a 2160 = (24)40 = 1640 > 1340 Nªn 2161 > 1340 4/ So sánh 329 1813 Ta có : 329 = (25)9 = 245 ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 1813 > 1613 = (24)13 = 252 VËy 1813 > 252 > 245 = 329 nªn 1813 > 329 *D¹ng Thø tù thùc hiƯn phÐp tÝnh biĨu thức có chứa luỹ thừa Phương pháp : + Biến ®ỉi ®­a vỊ cïng sè mị ®Ĩ gép c¬ sè + Biến đổi đưa số , đặt số chung để tính hợp lý Bài Tính a) (-2)3 +22 + (-1)10 = -8 + + = -3 b)    32    23    5  81   8   25 2 2  81  64  525  515 1 c)           :  2 2  = + + + (4 : 1/2) = + + + 8.8 =74 2 1 d) 9.3    32.333432  27 81   Bµi TÝnh 3 b)   2 10 a) (-2) +2 +(-1)   2     52    2 c)     22.4   2  :  2 2  Gi¶i a) (-2)3+22+(-1)10 = -8+4+1=-3 2 b)  32    2     52  =34- 26-54=81-64-375=-358 1 1 c) 23     22.4   2  :  = 8+3.1    22 :  = 8+3-   :   74 2 2   2 2  *D¹ng TÝnh luü thõa có qui luật : Phương pháp : Sử dụng công thøc : a2 - b2 = (a - b).(a + b) VÝ dô TÝnh 1/ 1002 - 992 +982 - 972 + +22- = (1002 - 992) + (982 - 972) + +(22 - 1) = (100 - 99)(100 + 99) +(98 - 97)(98 + 97) + +(2 - 1)(2 + 1) = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + + + = = 100  1.100  5050 2 2/ (20 + 182+162+ +22) -(192+172+152+ +12) Đáp số = 210 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP *D¹ng Tìm giá trị biến luỹ thừa: Bài T×m n biÕt a) n n 27  3n  32. 33   3n  33n-2  3n  3n   n  3n - n   2n   n  -1 n n-1 b) + =5.2 n-1 n-1 +2 =5.2 2n - ( + 22 ) = 25 n - = 25 n-1 = 25 n-1=5 n=6 (n - 2)(n + 3) c) x =1 (n - 2)(n + 3) x = 1= x  (n - 2)(n + 3) = VËy n = hc n = -3 d) 2x + - 2x = 96 2x(22 - 1) = 96 2x = 96 2x = 96 : = 32 = 25  x = Bài 2.Tìm x biết: a) (2x+1)2 =1 b) (3x-2)2 = c) (x+3)3 = - 27 Gi¶i a) Ta cã 1=12 = (-1)2  2x+1 = hc 2x+1 = -1  x=0 hc x=-1 (3x-2)2 =0  3x-2=0  x  b) c) (x+3)3 =-27 =(-3)3 x+3=-3 x=-6 Bài Tìm x biÕt: a) 2x+2-2x=96 b) 7x+2+2.7x-1=345 Gi¶i a) 2x+2-2x=96  22.2x-2x=96  2x(4-1)=96  2x=32=25  x=5 b) 7x+2+2.7x-1=345  73 7x-1+2.7x-1=345  7x-1 (73+2)=345  7x-1 345=345  7x-1 =1 x-1= x=1 *Dạng Chứng minh đẳng thøc: Bµi Chøng minh r»ng: 5 12 16 a) 12 =18 ; Chøng minh a) 128.912 =1816 10 30 20 b) 45 =75 ; c)  53  125  64 253 10 ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP VT=128.912=  22.3  32    2  38.324  216.332  216.916  1816  VP b) 4510.530=(9.5)10.510.520=320.510.510.520=320.520.520=(3.5.5)20=7520; 5 c)  53  12 64 (học sinh tự giải) 125 253 Bài Chøng minh r»ng : 109 + 108 + 10  222  109 + 108 + 10 = 107.(102 + 10 + 1) = 107 111 = 106 111 = 106 222 222 *Dạng Bất đẳng thức: So sánh hai sè sau 10 50 1 a)   vµ    16  2 10 b) 0,110 vµ 0,320; 10 1 40 c) 2300 vµ 3200 d) 230+320+430 vµ 3.2410 50 HD: a)   =      >    16  2  2 2 20 20 b) 0,3 > 0,1 * Dạng Bài toán phÐp chia hÕt: Chøng minh r»ng a) 55  54  53 chia hÕt cho b) 76  75  chia hÕt cho 11 c) 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263 HD gi¶i a) 55  54  53  53  52   1  53.21 (v× 21 chia hÕt cho 7) b) 76  75   (7   1)  4.5511 (v× 55 chia hÕt cho 11) c) 2454.5424.210   3.23   33.2  210  354.372.854.88.8.27 III Bµi tËp tù giải: Bài Rút gọn biểu thức A   52  53   549  550 54 24 98 99 1 1 1 1 1 Bµi Cho B=                 Chøng minh r»ng B < 2 2 2 2 2 Bµi Sắp xếp số hữu tỉ a; b; c theo thø tù tõ nhá ®Õn lín a  2100 ; b 375 ; c 550 Bài Tìm số tự nhiên x biết: a) a)5x 5x   650 b)3x 1  5.3x 1 11 ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP CHUN ĐỀ tØ lÖ thøc - tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng I Tãm t¾t lý thuyÕt: *Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Trong tỉ lệ thức hạng a,d gọi ngoại tỉ; b, c gọi số hạng trung tỉ *Tính chÊt 1: NÕu a c  c¸c sè b d a c  th× ad=bc b d *TÝnh chÊt 2: Nếu a.d = b.c a,b,c,d khác ta cã c¸c tØ lƯ thøc: a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a Nh­ vËy, từ năm đẳng thức sau ta suy đẳng thức lại ad = bc (a, b, c, d  0) a c  b d a b  c d d c  b a d b  c a * Tính chất dãy tỉ số nhau: a c a c ac ac 1) Từ dãy tỉ số      ta suy ra:      b  d,b  d    b d b d bd bd Tổng quát hơn, ta có:   a c e a c e a ce a ce  (  giả  thiết  2)  Từ  dãy  tỉ  số         ta  suy  ra:     b d f b d f bdf bdf cỏcsucúngha). II Bài tập vận dụng Bài Tìm c¸c sè x,y,z biÕt x 1 y  z  (1) vµ x  2y  3z  14 (2)   12 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 Giải Đặt [MAI TH QUNH - TI LIU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP x 1 y  z     k (k  Z) suy ra: x = 2k+1; y=3k+2; z = 4k+3 Thay vµo (2) ta cã: 2k+1- 6k – + 12k+ = 14  k=1 VËy x= 3; y = 5; z = (Học sinh giải cách khác) a c a b cd Bµi Chøng minh r»ng: tõ tØ lƯ thøc:  cã thĨ suy tØ lƯ thøc:  b d ab cd a c a b Gi¶i Tõ  , suy  , ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: b d c d a b ab ab ab ab ab cd    Tõ  , ta l¹i suy  (®pcm) c d cd cd cd cd ab cd x y y z Bài Tìm sè x, y, z biÕt r»ng  ;  vµ 2x  3y  z  186 x y y z theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta Gi¶i Tõ gi¶ thiÕt ta cã  ;  15 20 20 28 cã: x y z 2x 3y 2x  3y  z 186        suy x= 45; y= 60; z = 84 15 20 28 30 60 30  60  28 62 y  z 1 x  z  y  x Bài Tìm số x,y,z biết r»ng:    x y z xyz Gi¶i Theo tÝnh chÊt d¹y tØ sè b»ng ta cã: y  z 1 x  z  y  x  =    x y z xyz y  z   x  z   y  x  2(x  y  z)  2 xyz xyz (v× x+y+z 0) Do x+y+z = 0,5 Thay kết vào đề ta có: 0,5 x 0,5  y  0,5  z  1,5  x 2,5  y 2,5  z    tøc lµ   2 x y z x y z 5 VËy x  ; y  ; z  6 x y y z  &  ; 2x  3y z 186 Bài Tìm x, y, z BiÕt x y x y (1) Gi¶i Tõ    15 20 y z y z (2) Tõ    20 28 Tõ (1) vµ (2) 13 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP x y z 2x 3y     15 20 28 30 60 2x  3y  z 186   3 30  60  28 62  x = 15 = 45 y = 20 = 60 z = 28 = 84 Bµi Tìm x, y biết : x y xy = 90 x y xy Chó ý : 2.5 Giải * Cách Đặt tỉ số k x y k  x = 2k , y = 5k  xy = 2k 5k = 10k2 = 90  k2 =  k = hc k = -  x = hc x = -6 y = 15 hc y = - 15 * C¸ch x y x.x xy x 90       18  x  36 5  x  6 y  15 a  b a  2b a c Bài Cho tỉ lệ thức   , b,d  0.CMR:   c  d c  2d b d Giải a  b a  2b a c Từ     a  b  c  2d    c  d  a  2b   3ab  3bc   c  d c  2d b d a 5 b6 a  ,a  5,a  6.CMR:   Bài Cho  a 5 b6 b Giải a 5 b6 a    a   b     a   b    6a  5b   a 5 b6 b 2 a b ab a c  Bài 9. CMR nếu :    thì  2 b d c d cd 14 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Giải   Bài 11.  Cho  các  số  A,B,C  tỉ  lệ  với  a,  b,c  CMR  giá  trị  của  biểu  thức    :   Ax  By  C không phụ thuộc vào x,y.  Q ax  by  c Giải A B C Ta có     k  A  ka;B  kb;C  kc  Q  k   a b c x  2y  3z Bài 12. Cho biểu thức  P  , biết rằng các số x,y,z tỉ lệ với các số 5;4;3  x  2y  3z CMR  giá trị của P không phụ thuộc vào x,y,z   Giải x y z Ta có      k  x  5k; y  4k;z  3k  P    3 a c Bài 13. Cho tỉ lệ thức    , với  a, b , c, d    b d ab cd CMR   a c Giải a c a b ab ab a ab cd           b d c d cd cd c a c Bài 14. Cho a + d = b + c và  a  d  b  c  b , d   CMR: số a,b,c,d có thể  lập thành một tỉ lệ thức.  Giải.     2 a+d = b + c   a  d        b  c   a  d  2ad  b  c  2bc  ad  bc a c   b d a x b y a2 x Bài 15. Cho   ;    .CMR :   k a k b x y Giải a x b y a kx x 2   a  kx;   b  ky      k a k b b ky y bd a c Bài 16. Cho a = b + c  và  c   b  0,d   CMR:      bd b d Giải   a    b  c  ad   b  c  d  bd  cd   1   15 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 c [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP bd  bd  c  b  d   cb  cd  bc  bd  cd   2   bd Từ (1) và (2) suy ra đpcm.  a c Bài 17. Cho    1,c  CMR:   b d  a  b  ab a)      c  d  cd 3 ab a b  b)     3 cd c d a c a b Giải Vì     b d c d a b ab a b ab ab a.b  a  b  a)        c d cd c d cd cd c.d  c  d  3 a b ab a b3  a  b  a  b3  a  b  b)      3 3   c d cd c d  c  d  c3  d  c  d  Bài 18. Cho  a c 5a  3b 5a  3b  ,c   d CMR:      b d 5c  3d 5c  3d Giải a c a b 5a 3b 5a  3b 5a  3b          b d c d 5c 3d 5c  3d 5c  3d   Bài 19. Cho  b     ac;c2   bd  Với b,c,d  0; b  c  d;b3  c3  d CMR: a  b3  c  a  b  c    b  c3  d  b  c  d    Giải a b b c a b c a bc  ;c   bd       b c c d b c d bcd a b c3  a  b  c   3  3 b c d b  c  d b     ac    Bài 20. CMR nếu:  2(x+y) = 5(y+z) = 3(z+x)  thì   Giải xy yz    16 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP  x  y   y  z  3 z  x    30 30 30 x  y y  z z  x y  z z  x z  x    y  z x  y         1   10 10  15 10 x  y z  x x  y   y  z x  z      2   15 10 15  10 Từ (1) và (2) suy ra đpcm.  a  b2 a  Bài 21. Cho  b   ac CMR: b  c2 c Giải a b a b2 a b a a  b2 a b   ac        2    b c b c b c c b c c 1 Bài 22. Ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi chuyển  số thóc ở kho I,  số thóc  ở kho II và số  thóc ở kho III thì số thóc cịn lại ở ba kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu  11 mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc.  Giải Gọi số thóc ban đầu ở các kho I,II và III lần lượt là x , y, z ( tấn ). Sau khi chuyển  10 bớt đi thì số thóc cịn lại ở ba kho đó lần lượt là:  x; y; z Theo đề bài, ta có  11 10 4x 5y 10z x y z xyz 710 x  y z         10 11 20.5 20.6 20.11 25 24 22 25  24  22 71 Suy ra x =250 ; y = 240; z =220.  Ba kho thóc lúc đầu có 250 tấn, 240 tấn, 220 tấn.  Bài 23. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích là 300m2. Hai cạnh tỉ lệ với 4 và  3. Tính chiều dài, chiều rộng của khu vườn.  Giải Gọi chiều dài, chiều rộng của khu vườn lần lượt là x(m), y(m). Theo đề bài ta có:  xy =300 và   x y   k  x  4k;y  4k  Tính tốn ta được: x =20 ; y = 15.  4 Chiểu dài của khu vườn là 20 m, chiều rộng là 15m  Bài 24. Cho dãy tỉ số bằng nhau:  2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    Tìm giá trị của biểu  a b c d ab bc cd da thức M, biết M       cd da ab bc   17  x  y      5  y  z      3  z  x    ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Giải Mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được:  2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d 1  1  1  1 a b c d   abcd a bcd abcd a bcd     a b c d * Nếu  a  b  c  d  thì a = b = c = d  M = 1+1+1+1 = 4  * Nếu  a  b  c  d  thì a + b = -(c + d);  b + c = -(d+a) ;                                              c + d = -(a + b); d + a = - (b + c)  Lúc đó: M = -1-1-1-1= - 4  Bài 25. Cho bốn số a, b,c,d sao cho a + b + c + d  0. Biết:   bcd cda dab abc     k Tính giá trị của k.  a b c d Giải Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số đã cho ta được:    bcd cda dab abc 1 1  1  1 a b c d bcda cdab da bc a bcd     a b c d Vì a + b + c + d 0 nên a = b = c = d  k = 3  *Nhận xét: Trong dãy tỉ số nhau, tử ( khác khơng ) mẫu ngược lại mẫu tử ab ca CMR: Nếu ba số a,b, c đều khác khơng thì từ ba số a, b,  Bài 26. Cho   a b ca c ( có một số được dùng hai lần) có thể lập thành một tỉ lệ thức.  Giải ab ca a  b a  b  a  b    a  b  2a a       1   ab ca c  a c  a  c  a    c  a  2c c ab ca a  b a  b  a  b    a  b  2b b        2   ab ca c  a c  a  c  a    c  a  2a a a b Từ (1) và (2) suy ra     c a ax  by Bài 27.  Cho  biểu  thức  M   c,d   CMR:  nếu  giá  trị  của  biểu  thức  M  cx  dy khơng phụ thuộc vào x,y thì 4 số a,b,c,d lập thành một tỉ lệ thức.  Giải Mặt khác  18 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP   b ax  by  k ( không đổi ) Chọn x = 0, y =1 được   k  Chọn x = 1, y = 0,  d cx  dy a b a được   k  suy ra     c d c 2 a b ab a c a d   hoặc  với a,b,c,d  0; c  ± d. CMR  hoặc  Bài 28. Cho      c  d cd b d b c Giải a  b ab 2ab a  b  2ab  a  b  Ta có      1 c  d cd 2cd c  d  2cd  c  d 2 Ta đặt    a  b ab 2ab a  b  2ab  a  b       2 c  d cd 2cd c  d  2cd  c  d 2 a  b  a  b Từ (1) và (2) suy ra  2 c  d c  d 2 * Trường hợp 1:    a  b a  b  a  b    a  b  2a a      3 c  d c  d  c  d    c  d  2c c   a  b a  b  a  b    a  b  2b b      4 c  d c  d  c  d    c  d  2d d a b a c Từ   3 ,       c d b d * Trường hợp 2:  ab a  b b  a  a  b    b  a  2b b       5 cd c  d c  d  c  d    c  d  2c c a  b a  b b  a  a  b    b  a  2a a       6 c  d c  d c  d  c  d    c  d  2d d b a a d Từ    ,       c d b c a c  2 a b ab  b d   Tóm lại, nếu    a d c  d cd    b c   19 ThuVienDeThi.com January 1, 2011 [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TON LP III Bài tập tự giải: Tìm số x, y, z biết rằng: x y z a)   vµ 5x + y - 2z=28 b) 3x=2y; 7y=5z, x- y + z=32 10 21 x y y z 2x 3y 4z   ;x  y  z  49 d) c)  ;  ;2x  3y  z  5 x 1 y  z  x y z g)     ; xyz  810 e)   ;2x  3y  z  50  2y  4y  6y T×m x biÕt r»ng   18 24 6x a T×m phân số biết cộng thêm số khác vào tử mẫu b giá trị phân số không đổi a b c abc a Cho   chøng minh r»ng    b c d bcd d a b c Cho   chøng minh r»ng a = b = c b c a a  a  a3 a 6.Tìm số a1 ;a ; ;a biÕt r»ng     9 a1  a    a  90 7.Ba đội công nhân tham gia trồng Biết số đội trồng 2 số đội số đội Số đội trồng tổng số hai đội 55 Tính số đội đà trồng Tỉng c¸c l thõa bËc cđa mét sè hữu tỉ -1009 Biết tỉ số số thứ , số thứ số thứ Tìm số 9 T×m hai sè biÕt tØ sè cđa chúng tổng bình phương chúng số thứ hai 4736 10 Tìm số x,y,z biÕt: x : y : z vµ 2x  2y2  3z = -100 20 ThuVienDeThi.com ... Tìm giá trị x A ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP CHUN luỹ thừa số hữu tỉ Các toán luỹ thừa S tit: tit I Tãm t¾t lý thut: - L thõa... QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP x 1 y  z     k (k  Z) suy ra: x = 2k+1; y=3k+2; z = 4k+3 Thay vµo (2) ta cã: 2k+1- 6k – + 12k+ = 14  k=1 VËy x= 3; y = 5; z = (Häc sinh. .. 3  1 15 4 15  2 19 19 b) ThuVienDeThi.com [MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC January 1, 2011 2 2 1 SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP  2  3 1  2  2 1 11  2  2 1  3 17  2  