SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a b 29 12 Tính giá trị biểu thức: A a (a 1) b (b 1) 11ab 2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy (1 x )(1 y ) Chứng minh x y y x Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x x x x x 2 x y xy x y y x x 2) Giải hệ phương trình x y x y x y Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x x y y 20 2) Tìm số nguyên k để k 8k 23k 26k 10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh 1 AK AB AC 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Câu V (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a b)3 4ab 12 Chứng minh bất đẳng thức 1 2015ab 2016 1 a 1 b Hết -Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) Nội dung Câu Ý I Điểm Cho a b 29 12 Tính giá trị biểu thức: A a (a 1) b (b 1) 11ab 2015 1,00 a b 29 12 3 2 3 A a b3 a b 11ab 2015 (a b)(a b ab) a b 11ab 2015 0,25 0,25 0,25 3(a b ab) a b 11ab 2015 4(a 2ab b ) 2015 4(a b) 2015 2051 0,25 Cho x, y hai số dương thỏa mãn xy (1 x )(1 y ) I 1,00 Chứng minh x y y x 2 xy (1 x )(1 y ) (1 x )(1 y ) xy 0,25 (1 x )(1 y ) (1 xy ) x y x y xy x y x y xy ( x y ) y x 0,25 0,25 x y y x2 x x2 x x2 II 0,25 Giải phương trình x x x x x 1,00 0,25 t2 0,25 TH1 t giải vô nghiệm kết hợp với ĐK t bị loại 0,25 Pt x ( x 2)(4 x 1) x x ĐK: x Đặt t x x 1, t (hoặc t ) t x ( x 2)(4 x 1) x ( x 2)(4 x 1) PTTT t 4t t t TH t x x Giải pt tìm x (TM) Vậy pt có nghiệm x II 2 x y xy x y y x x Giải hệ pt x y x y x y ThuVienDeThi.com 0,25 1,00 ĐK: y x 0, x y 0, x y 0, x y 2x x 0 TH (Không TM hệ) 3 x y 1 10 TH x 1, y Đưa pt thứ dạng tích ta x y2 ( x y 2)(2 x y 1) y x 3x 0,25 ( x y 2) y x 1 Do y x y x x nên y 2x x y y x 3x 0,25 Thay y x vào pt thứ ta x x x x III x x 3x x 3x 2 x ( x 2)( x 1) 3x x ( x 2) x 3x x Do x nên 1 x 3x x Vậy x x 2 y (TMĐK) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x x y y 20 (1) Ta có (1) x x 20 y y Ta thấy x x x x 20 x x 20 8x x x 1 y y 1 x x 0,25 0,25 1,00 0,25 Vì x, y nên ta xét trường hợp sau + TH1 y y 1 x 1x x x 20 x 3x 2x 18 x x 3 Với x , ta có y y 92 20 y y 110 y 10 ; y 11 (t.m) 0,25 + TH2 y y 1 x x 3 x x 20 x 5x 4x 14 x (loại) + TH3 y y 1 x 3x 6x x + TH4 y y 1 x x 0,25 (loại) 8x x x Với x , ta có y y 20 y y 20 y 5 ; y Vậy PT cho có nghiệm nguyên x ; y : 3 ; 10 , 3 ; 11, 3 ; 10 , 3 ; 11, 0 ; 5, 0 ; ThuVienDeThi.com 0,25 III Tìm số nguyên k để k 8k 23k 26k 10 số phương Đặt M k 8k 23k 26k 10 Ta có M k 2k 1 8k k 2k 1 9k 18k 0,25 k 1 8k k 1 k 1 k 1 k 3 1 2 2 1,00 M số phương k 1 k 3 số phương TH k 1 k 2 0,25 TH k 3 số phương, đặt k 3 m m 2 0,25 m k 3 (m k 3)(m k 3) Vì m, k m k , m k nên m k m k 1 m 1, k k 3 m k m k 1 m 1, k Vậy k k k 8k 23k 26k 10 số phương IV 0,25 Chứng minh IA tia phân giác góc MIN 1,00 M E P H O I B A C K N 900 điểm A, O, M, N, I thuộc ANO AIO Theo giả thiết AMO 0,25 đường trịn đường kính AO IV AIN AMN , AIM ANM (Góc nội tiếp chắn cung) 0,25 AM AN AMN cân A AMN ANM 0,25 AIN AIM đpcm 0,25 Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh 1 AK AB AC 1 AB AC AK ( AB AC ) AB AC AK AI AK AB AC ThuVienDeThi.com 1,00 0,25 (Do AB AC AI ) ABN đồng dạng với ANC AB AC AN 0,25 AHK đồng dạng với AIO AK AI AH AO Tam giác AMO vng M có đường cao MH AH AO AM 0,25 AK AI AM Do AN AM AB AC AK AI 0,25 Đường thẳng qua M, vng góc với ON cắt (O) điểm thứ hai P IV Xác định vị trí điểm A để AMPN hình bình hành Ta có AN NO, MP NO, M AN AN / / MP Do AMPN hình bình hành AN MP x AN NO 2x2 Tam giác ANO đồng dạng với NEM NE NE EM R 2x TH NE NO OE R R2 x2 x2 R2 R R2 x2 R Đặt 1,00 0,25 R2 x2 t, t x2 R2 t 2t R PTTT 2( R t ) R Rt 2t Rt R t R 2 2 0,25 Do t t R R x R x A B (Loại) 2x2 TH NE NO OE R R2 x2 x2 R2 R R2 x2 R Đặt R2 x2 t, t x2 R2 t 0,25 2t R PTTT 2( R t ) R Rt 2t Rt R t R Do t 2t R R x R x R AO R 0,25 Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hbh V Chứng minh bất đẳng thức Ta có 12 (a b)3 4ab ab 1 2015ab 2016 1 a 1 b 4ab Đặt t ab , t 12 8t 4t 2t t (t 1)(2t 3t 3) Do 2t 3t 0, t nên t t Vậy ab 1 Chứng minh , a, b thỏa mãn ab 1 a b ab 1 1 0 Thật vậy, BĐT a ab b ab ThuVienDeThi.com 1,00 0,25 0,25 b a a ab a ab b b 0 0 a b (1 a )(1 ab ) (1 b)(1 ab ) ab b a ( ab 1) (1 ab )(1 a )(1 b) Tiếp theo ta CM Do ab nên BĐT ab 2015ab 2016, a, b thỏa mãn ab Đặt t ab ,0 t ta 2015t 2016 1 t 0,25 2015t 2015t 2016t 2014 (t 1)(2015t 4030t 2014) BĐT t : t Vậy 1 2015ab 2016 Đẳng thức xảy a b 1 a 1 b ThuVienDeThi.com 0,25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) Nội dung Câu Ý I Điểm Cho a b ... ab 2015ab 2016, a, b thỏa mãn ab Đặt t ab ,0 t ta 2015t 2016 1 t 0,25 2015t 2015t 2016t 2014 (t 1)(2015t 4030t 2014) BĐT t : t Vậy 1 2015ab 2016. .. y : 3 ; 10 , 3 ; 11, 3 ; 10 , 3 ; 11, 0 ; 5, 0 ; ThuVienDeThi.com 0,25 III Tìm số nguyên k để k 8k 23k 26k 10 số phương Đặt M k 8k 23k 26k 10 Ta có M