Đề thi chọn học sinh giỏi Môn : Toán lớp Thời gian làm : 120 phút Câu : (2 ®iĨm) Cho P= a 4a a a a 14a a) Rót gän P b) T×m giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 a) Giải phương trình : b) Cho a, b, c cạnh cđa mét tam gi¸c Chøng minh r»ng : A= a b c 3 bca acb abc C©u : (3 điểm) Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC D vµ E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com đáp án đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp Câu : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) a -7a + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) Nêu ĐKXĐ : a 1; a 2; a a 1 a2 a23 b) (0,5®) P= 1 ; ta thấy P nguyên a-2 ước 3, a2 a2 mà Ư(3)= 1;1;3;3 Từ tìm a 1;3;5 Rót gän P= C©u : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta cã a+b chia hÕt cho Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2ab b ) 3ab= =(a+b) (a b) 3ab Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hết cho ; Do vËy (a+b) (a b) 3ab chia hÕt cho b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thấy (x2+5x)2 nên P=(x2+5x)2-36 -36 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm x=0 x=-5 Min P=-36 Câu : (2đ) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; §KX§ : x 4; x 5; x 6; x Phương trình trở thành : 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz x y ;b ;c ; 2 yz xz x y 1 y x x z y z ( ) ( ) ( ) Thay vµo ta A= 2x 2y 2z x y z x z y Tõ ®ã suy A (2 2) hay A Tõ ®ã suy a= http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 C©u : (3 đ) a) (1đ) Trong tam giác BDM ta có : Dˆ 120 Mˆ V× Mˆ =600 nªn ta cã : Mˆ 120 Mˆ Suy Dˆ Mˆ Chøng minh BMD ∾ CEM (1) A y 0,5 x E BD CM , tõ ®ã BD.CE=BM.CM BM CE D BC BC Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= B M BD MD b) (1®) Tõ (1) suy mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD BM EM Chøng minh BMD ∾ MED Tõ ®ã suy Dˆ Dˆ , ®ã DM tia phân giác góc BDE Suy Chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác góc CED c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn C 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy, thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2, suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm giá trị x, y, z : (x=5,y=12,z=13); (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10); (x=8,y=6,z=10) 0,25 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com ...đáp án đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4)... 2 x y z x z y Tõ ®ã suy A (2 2) hay A Tõ ®ã suy a= http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25... (x=5,y=12,z=13); (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10); (x=8,y=6,z=10) 0,25 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com