Tài liệu ôn thi vào lớp 10 PHẦN I: ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN I Kiến thức KiÕn thøc 6, 7, quan träng cÇn nhí A.M A ( M 0, B 0) B.M B a, TÝnh chất phân số (phân thức): b, Các đẳng thức đáng nhớ: +) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 +) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 +) A2 - B2 = (A - B)(A + B) +) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 +) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 +) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2) +) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2) Các kiến thức bậc hai 1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, A cã nghÜa th× A ≥ 2) §Ĩ 3) 4) 5) 6) a = x x2 = a A2 A AB A B ( víi A vµ B ) A A ( víi A vµ B > ) B B A B A B (víi B ) 7) A B A B ( víi A vµ B ) A B A B ( víi A < vµ B ) 9) A B 10) A 11) 12) AB ( víi AB vµ B ) B A B ( víi B > ) B B C C ( A B) ( Víi A vµ A B2 ) A B AB C C( A B ) ( víi A 0, B vµ A B ) A B A B ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 II Các dạng toán thường gặp Dạng tốn rút gọn biểu thức khơng chứa ẩn *) Phương pháp: Sử dụng công thức biến đổi biểu thức chứa dấu đẳng thức học lớp Dạng toán tổng hợp ( Rút gọn biểu thức chứa biến toán liờn quan ) *) Phng phỏp: Bước 1: Tìm ĐKXĐ ca biu thc (Nếu toán chưa cho)(Phân tích mu thành nhân t, tìm điều kiện để có nghĩa, nhân tử mẫu khác phần chia khác 0) Bước 2:Phân tích t v mu thnh nhân t (ri rút gn nu được) Bước 3:Quy ng, gm bc: + Chn mu chung : tích củc nhân t chung riêng, mi nhân t ly s m ln nht + Tìm nhân t ph: ly mu chung chia cho mẫu để nh©n tử phụ tương ứng + Nh©n nh©n tử phụ với tử – Gi nguyên mu chung Bước 4: B ngoặc: bng cách nh©n đa thức dïng h»ng đẳng thức Bíc 5: Thu gn: cng tr hng t ng dng Bước 6: Phân tích t thành nhân t (mu gi nguyên) Bước 7:Rút gn Lưu ý: Bài toán rút gọn tổng hợp thường có toán phụ: tính giá trị biểu thức cho giá trị ẩn; tìm ®iỊu kiƯn cđa biÕn ®Ĩ biĨu thøc lín h¬n (nhá hơn) số đó; tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhá nhÊt, lín nhÊt cđa biĨu thøc Do vËy ta phải áp dụng phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho loại toán * Cỏc dng toỏn ph: +) Dạng 1: Tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị cho trước *) Phương pháp: Cho biểu thức đạt giá trị cho trước giải phương trình để tìm giá trị ẩn +) Dạng 2: Cho giá trị biến Tìm giá trị biểu thức *) Phương pháp: Thay giá trị biến vào biểu thức +) Dạng 3: Tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 *) Phương pháp: Chia tư cho mÉu, t×m a để mẫu ước phần dư (một số), ý điều kiện xác định +) Dng 4: Tỡm giỏ trị biến để biểu thức nhỏ ( lớn hơn) giá trị cho trước *) Phương pháp: ChuyÓn vÕ thu gọn đưa dạng M M < (hoặc > 0) N N dựa vào điều kiện ban đầu ta đà biết M N dương hay âm, từ dễ dàng tìm điều kiƯn cđa biÕn +) Dạng 5: Tìm GTNN – GTLN ca biu thc *) Phng phỏp: Dựa vào điều kiện ban đầu bất đẳng thức III Bi tổng hợp Bµi 1: Cho biĨu thøc A : x 3 x 3 x a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị x A > c) Tìm x để A đạt giá trị lớn Bµi Cho biĨu thøc P : x x 1 x a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x 12 x 1 P x x 3x x Bµi Cho biĨu thøc: D 1 x x x x a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức b) Tìm x để D < - c) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa D ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 a2 a a a Bµi Cho biĨu thøc: P 1 : 1 a a a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a Z để P nhận giá trị nguyên Bài Cho biểu thức B x 1 x 1 a) T×m x để B có nghĩa rút gọn B b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên x2 x 2x x x 1 Bµi Cho biÓu thøc P x x x x a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P c) Tìm x để biểu thức Q x nhận giá trị nguyên P x Bµi Cho biĨu thøc: P : x x 1 x 1 x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P > a 1 a 2 Bµi Cho biÓu thøc P : a a 2 a 1 a 1 a) T×m ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị a để P > Bài (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012) Cho A x 10 x , với x x 25 x x 25 x 5 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị A x = 3) Tìm x để A < Bµi 10 Cho biĨu thøc: P x x 4 x 1 x 1 x 1 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vo lp 10 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P < x Bµi 11 Cho biĨu thøc A : x 1 x x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tìm tất giá trị x cho A < 1 víi a > vµ a Bµi 12 Cho biĨu thøc: P a a a a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị a P > x 2x x với ( x > x ≠ 1) x 1 x x Bµi 13 Cho biểu thức : A = 1) Rót gän biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức x 2 Bµi 14 Cho biÓu thøc P = x x x : x x x a) Rót gän P b) TÝnh GT cđa P x= c) Tìm GT x để P = 13 (Đề thi H Ni nm 2008-2009) Bài 15 Cho biểu thức : A = x 1 x x x x 1 x 1 1) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A 2) Với giá trị x A < -1 Bài 16 Cho biểu thức : A = (1 x x x x )(1 ) x 1 x 1 (Với x 0; x ) a) Rót gọn A b) Tìm x để A = - ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Bµi 17 Cho biểu thức : B = x 2 x x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B với x = c) Tính giá trị x ®Ĩ A Bµi 18 Cho biểu thức : x 1 P= x 2 x x 25 x x a) Tìm TXĐ rút gọn P b) Tìm x để P = 1 a 1 a 2 ):( ) a 1 a a 2 a 1 Bµi 19 Cho biu thc : Q = ( a) Tìm TXĐ rút gọn Q b) Tìm a để Q dương c) Tính giá trị biểu thức a = - a a a a a Bµi 20 Cho biểu thức : M = 2 a a a 1 a) Tìm TXĐ rút gọn M b) Tìm giá trị a để M = - CHUYấN II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Hệ phương trình bậc hai ẩn a1 x b1 y c1 (1) a2 x b2 y c2 Dạng : Cách giải biết: Phép thế, phép cộng Giải biện luận hệ phương trình : Quy trình giải biện luận Bước 1: Tính định thức : +) D a1 a2 b1 a1b2 a b1 b2 (gọi định thức hệ) +) D x c1 c2 b1 c1b2 c b1 b2 (gọi định thức x) +) D y a1 a2 c1 a1c a c1 c2 (gọi định thức y) Bước 2: Biện luận ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 x +) Nếu D hệ có nghiệm y Dx D Dy D +) Nếu D = D x D y hệ vô nghiệm +) Nếu D = Dx = Dy = hệ có vô số nghiệm vô nghiệm *) Ý nghóa hình học: Giả sử (d1) đường thẳng a1x + b1y = c1 (d2) đường thẳng a2x + b2y = c2 Khi đó: Hệ (I) có nghiệm (d1) (d2) cắt Hệ (I) vô nghiệm (d1) (d2) song song với Hệ (I) có vô số nghiệm (d1) (d2) trùng II Hệ phương trình bậc hai hai ẩn: Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn: Ví dụ : Giải hệ: x 2y x y a) b) 2 x 14y 4xy 2 x y xy Cách giải: Giải phép Hệ phương trình đối xứng : 2.1 Hệ phương trình đối xứng loại I: a.Định nghóa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho hệ phương trình không thay đổi b.Cách giải: Bước 1: Đặt x+y=S xy=P với S P ta đưa hệ hệ chứa hai ẩn S,P Bước 2: Giải hệ tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S P Bước 3: Với S,P tìm x,y nghiệm phương trình : X SX P ( định lý Viét đảo ) Chú ý: Do tính đối xứng, (x0;y0) nghiệm hệ (y0;x0) nghiệm hệ 2.2 Hệ phương trình đối xứng loại II: a.Định nghóa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho phương trình nầy trở thành phương trình hệ b Cách giải: Trừ vế với vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích số Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy nghiệm hệ ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 III XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải: Giải hệ phương trình theo tham số k với n, k nguyên f (m) Viết x, y hệ dạng: n + Tìm m nguyên để f(m) ước k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: mx y m 2 x my 2m HD Giải: 2mx y 2m mx y m 2 2 x my 2m 2mx m y 2m m (m 4) y 2m 3m (m 2)(2m 1) 2 x my 2m để hệ có nghiệm m2 – hay m Vậy với m hệ phương trình có nghiệm (m 2)(2m 1) 2m 2 y m2 m2 m 4 x m m2 m2 Để x, y số nguyên m + Ư(3) = 1;1;3;3 Vậy: m + = 1, => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: (m 1) x y m 2 m x y m m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) 2mx (m 1) y m n (m 2) x 3ny 2m HD: Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 HD: f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + nên Biết f(x) chia hết b a cho ax + b f(- ) = a b f( ) 0 3 8 Giải hệ phương trình ta a = 2; b = 11 f (3) 18a 3b d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = HD: f (2) 4a 2b f (1) a b 4 a 1 b Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương 2 a b a b trình a 1 b Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy DH giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) hai đường thẳng 3x + 2y = x + 2y = 3 x y x 0,5 Vậy M(0,2 ; 1,25) x y y 1,25 nghiệm hệ phương trình: Để ba đường thẳng đồng quy điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85 Vậy m = -0,85 ba đường thẳng đồng quy Định m để đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx y x my Cho hệ phương trình: Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + 38 =3 m 4 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m - Giải hệ phương trình theo m ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 mx y mx y x my mx m y 8m - Thay x = 8m y m (m 4) y 8m x my x 9m 32 m2 9m 32 8m ;y= vào hệ thức cho ta được: m 4 m 4 9m 32 8m 38 2 + + =3 m 4 m 4 m 4 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = m1 = ; m2 = Vậy m = ; m = 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) 23 IV Các hệ phương trình khác: Ta sử dụng phương pháp sau: Đặt ẩn phụ: Ví dụ : Giải hệ phương trình : xy x y 3 1) 2 x y x y xy x y2 x y 3) x y xy y x x y x y 12 2) x( x 1) y ( y 1) 36 x y(y x) 4y 4) (x 1)(y x 2) y Sử dụng phép cộng phép thế: Ví dụ: Giải hệ phương trình : 2 x y 10x 2 x y 4x 2y 20 Biến đổi tích số: Ví dụ : Giải hệ phương trình sau: x x y y 1) 2 x x y y 2) 2 x y 3( x y ) 1 x x y y 3) 2 y x x y x y V Bài tập tổng hợp Bài 1: mx y 10 m (m tham số) x my Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > 10 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 d) Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương Bài 2: (m 1) x my 3m 2 x y m Cho hệ phương trình : a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 3: 3 x y 2 x y m Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c) Với giá trị m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 4: mx y x my Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm Bài 5: x my mx y Cho hệ phương trình: a) b) c) d) Giải hệ phương trình m = Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 -3 m 3 Bài 6: mx y 3x my Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa m2 mãn hệ thức x y m 3 Bài 7: 3 x my 9 mx y 16 Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = 11 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 b) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = CHUYÊN ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I Các kiến thức cần nhớ Giải biện luận pt Phương trình ax2 bx c 0(2) - a : phương trình trở phương trình bậc bx + c = - a : Đặt b2 4ac + : pt(2) vơ nghiệm + : pt(2) có nghiệm kép x b 2a + : pt(2) có nghiệm phân biệt x b b ; x 2a 2a Kết luận: liệt kê trường hợp tham số ứng với nghiệm phương trình Các trường hợp số nghiệm dấu phương trình b a Cho phương trình ax2 bx c 0(2) Đặt S x1 x2 ; P x1.x2 x1; x2 nghiệm phương trình (2) a b a/ Pt(2) vô nghiệm c a c a a b0 b/ Pt(2) có nghiệm a a d/Pt(2) có VSN b c a0 c/ Pt(2) có nghiệm phân biệt b 4ac e/ Pt(2) có nghiệm trái dấu x1.x2 P g/ Pt(2) có nghiệm dương x1 x2 P S h/ Pt(2) có nghiệm âm x1 x2 P S 12 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 a a 0; x>0 a x x c x S i/ Pt(2) có nghiệm dương x1 x2 b P x1 x2 P0 S a a 0; x0 c x l/ Pt(2) có nghiệm dương x1 x2 b S x1 x2 P P S a m/Pt(2) có nghiệm kép x b 2a a a a 0; x>0 c x n/ Pt(2) có nghiệm âm x1 x2 b S x1 x2 P P S Hệ thức vi – ét ứng dụng Hai số x1; x2 hai nghiệm phương trình ax2 bx c 0(2) chúng thỏa hệ thức: x1 x2 b c va` x1.x2 a a Một số ứng dụng hệ thức Vi-ét: - Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai - Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: X2 SX P ( Điều kiện tồn hai số S2 4P ) - Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) ax2 bx c có hai nghiệm x1; x2 phân tích thành nhân tử f(x) a(x x1 )(x x2 ) - Tính giá trị biểu thức đối xứng hai nghiệm phương trình bậc hai: b a c a + S x1 x2 ; P x1.x2 + x12 x22 S2 2P 13 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 + x13 x32 S3 3SP 3.1 NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 3.1.1 Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (*) a.12 + b.1 + c = a + b + c = c a b) Nếu cho x = ta có (*) a.( 1) + b( 1) + c = 0 a b + c = c Như phương trình có nghiệm x1 1 nghiệm lại x2 a Như vây phương trình có nghiệm x1 nghiệm cịn lại x2 Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) x x (1) 2) 3x x 11 (2) Ta thấy : 3 11 Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1 x2 Phương trình (1) có dạng a b + c = nên có nghiệm x1 1 x2 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: 35 x 37 x x 500 x 507 x 49 x 50 4321x 21x 4300 3.1.2 Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình : Vídụ: a) Phương trình x px Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai b) Phương trình x x q có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x x q , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x qx 50 , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1 v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : 44p 5 p T x1 x2 suy x2 5 x1 b) Thay x1 v phương trình ban đ ầu ta đ ợc 25 25 q q 50 T x1 x2 50 suy x2 50 50 10 x1 14 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ơn thi vào lớp 10 c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 x2 11 theo VI x1 x2 11 x1 x1 x2 x2 2 ÉT ta có x1 x2 , ta giải hệ sau: Suy q x1 x2 18 d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 x2 theo VI-ÉT ta có x1 x2 50 Suy x 5 x22 50 x22 52 x2 Với x2 5 th ì x1 10 Với x2 th ì x1 10 3.2 LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 3.2.1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1 ; x2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm S x1 x2 x1 ; x2 nghiệm phương trình có P x1 x2 Theo hệ thức VI-ÉT ta có dạng: x Sx P x x Bài tập áp dụng: x1 = x1 = 3a x1 = 36 vµ vµ vµ x2 = -3 x2 = a x2 = -104 x1 = vµ x2 = 3.2.2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x 3x có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 x2 y2 x1 x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 1 x x 1 x1 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 P y1 y2 ( x2 )( x1 ) x1 x2 11 x1 x2 x1 x2 2 S y1 y2 x2 Vậy phương trình cần lập có dạng: hay Bài tập áp dụng: y Sy P 9 y2 y y2 y 2 15 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 1/ Cho phương trình 3x x có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 x1 y2 x2 x2 1 (Đáp số: y y hay y y ) x1 2/ Cho phương trình : x x có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1 x14 y2 x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho).(Đáp số : y 727 y ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x x m có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 cho : a) y1 x1 y2 x2 b) y1 x1 y2 x2 (Đáp số a) y y m b) y y (4m 3) ) 3.3 TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : x Sx P (điều kiện để có hai số S2 4P ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab = Vì a + b = ab = n ên a, b nghiệm phương trình : x 3x giải phương trình ta x x2 4 Vậy a = b = a = b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 S = P=6 S = P = 20 S = 2x P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích a v b T a b a b 81 a 2ab b 81 ab 2 81 a b 20 x1 x2 Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x x 20 Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = a.c = 36 16 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 x1 4 x2 Suy a,c nghiệm phương trình : x x 36 Do a = c = nên b = a = c = nên b = 2 2 Cách 2: Từ a b a b 4ab a b a b 4ab 169 a b 13 a b 132 a b 13 *) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x 4 x 13 x 36 x2 9 Vậy a = 4 b = 9 *) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x x 13 x 36 x2 Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: a b 11 a b 11 T ừ: a2 + b2 = 61 a b a b 2ab 61 2.30 121 112 *) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x 5 x 11x 30 x2 6 Vậy a = 5 b = 6 ; a = 6 b = 5 *) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x x 11x 30 x2 Vậy a = b = ; a = b = 3.4 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức 3.4.1 Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1 x2 ) x1 x2 Ví dụ a) x12 x22 ( x12 x1 x2 x22 ) x1 x2 ( x1 x2 )2 x1 x2 b) x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 c) x14 x24 ( x12 )2 ( x22 )2 x12 x22 x12 x22 ( x1 x2 )2 x1 x2 x12 x22 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 d) Ví dụ 2 x1 x2 ? Ta biết x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 17 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: x12 x22 ( x1 x2 x1 x2 =…….) x13 x23 x14 x24 x16 x26 ( = x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 =…… ) ( = x12 x22 x12 x22 =…… ) ( = ( x12 )3 ( x22 )3 x12 x22 x14 x12 x22 x24 = …… ) Bài tập áp dụng x16 x26 x15 x25 x17 x27 1 x1 x2 3.4.2 Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x x 15 Khơng giải phương trình, tính x12 x22 x1 x2 x2 x1 8 15 1 x1 x2 (34) 34 15 x1 x2 (46) b) Cho phương trình : x 72 x 64 Khơng giải phương trình, tính: 1 x1 x2 9 8 x12 x22 (65) c) Cho phương trình : x 14 x 29 Khơng giải phương trình, tính: 1 x1 x2 14 29 x12 x22 (138) d) Cho phương trình : x 3x Khơng giải phương trình, tính: 1 x1 x2 (3) x1 x2 x1 x2 (1) x12 x22 (1) x1 x x2 x1 5 6 e) Cho phương trình x x có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q x12 10 x1 x2 x22 x1 x23 x13 x2 x12 10 x1 x2 x22 6( x1 x2 ) x1 x2 6.(4 3) 2.8 17 HD: Q 3 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 5.8 (4 3) 2.8 80 3.5 TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0) 18 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ 1: Cho phương trình : m 1 x 2mx m có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m m m m ' 5m m (m 1)(m 4) m Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m x x x x (1) 2 m 1 m 1 m x x x x (2) m m 1 Rút m từ (1) ta có : 2 x1 x2 m m 1 x1 x2 (3) Rút m từ (2) ta có : 3 x1 x2 m m 1 x1 x2 (4) Đồng vế (3) (4) ta có: 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình : m 1 x 2mx m Chứng minh biểu thức A x1 x2 x1 x2 không phụ thuộc giá trị m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m m m m ' 5m m (m 1)(m 4) m Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m x1 x2 m x x m m 1 thay v A ta c ó: A x1 x2 x1 x2 2m m4 6m 2m 8(m 1) 8 0 m 1 m 1 m 1 m 1 19 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Vậy A = với m m Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: Cho phương trình : x m x 2m 1 có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy m 2m 1 m 4m m 2 phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có m x1 x2 2(1) x1 x2 m x1 x2 x1.x2 2m m (2) Từ (1) (2) ta có: x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 Cho phương trình : x 4m 1 x m Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1)2 4.2(m 4) 16m 33 phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 x2 (4m 1) 4m ( x1 x2 ) 1(1) x1.x2 2(m 4) 4m x1 x2 16(2) Từ (1) (2) ta có: ( x1 x2 ) x1 x2 16 x1 x2 ( x1 x2 ) 17 3.6 TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM Đà CHO Đối với toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm 20 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung .. .Tài liệu ôn thi vào lớp 10 II Các dạng toán thường gặp Dạng toán rút gọn biểu thức không chứa ẩn *) Phương pháp: Sử dụng công thức biến đổi biểu thức chứa dấu đẳng thức học lớp Dạng... 0 m 1 m 1 m 1 m 1 19 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Vậy A = với m m Do biểu thức A không phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho... 25 q q 50 T x1 x2 50 suy x2 50 50 ? ?10 x1 14 ThuVienDeThi.com Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung Tài liệu ôn thi vào lớp 10 c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1