2.2: Phương pháp cộng đại số: Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp nếu cần sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.. B[r]
(1)Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 Buæi Chñ §Ò 1: rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Ngµy so¹n: 12.05.10 Ngµy d¹y: 15.05.10 I Phương pháp Phương pháp rút gọn cách phân tích thành nhân tử - Sö dông H§T - Sử dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử Phương pháp nhân với biểu thức liên hợp Các biểu thức liên hợp thường gặp: a b và a b ; a + b và a2 - ab + b2; a - b và a2 + ab + b2 ii bµi tËp x3 1 x x(1 x ) Víi x ;1 x x : x2 x 1 x Bµi Cho biÓu thøc: A= a Rót gän biÓu thøc A Gi¶i a Rót gän A = b TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc cho x = c Tìm giá trị x để A = x 2 x 2 vµo A ta ®îc A = b Thay x= 62 2 42 62 c A = x2 - 3x - = x = 17 x x 1 x x 1 x x 1 : Bµi 2: Cho biÓu thøc: P = x x a Rót gän P x 1 x x b Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên xx 1 x z a §K: x 0; x Rót gän: P = : xx 1 x 1 Gi¶i b P = x 1 1 x 1 §Ó P nguyªn th× x 1 x 1 = x 1 ( x 1) nguyªn suy x 1 x 1 x lµ íc cña suy víi x = 0;4;9 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn P Bµi 3: Cho biÓu thøc: x ( x y )(1 y ) y x xy x 11 y y) x 1 a Tìm điều kiện x và y để P xác định Rút gọn P b Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = Giải a Điều kiện để P xác định là : x ; y ; y ; x y P x(1 x ) y (1 x y x y ( x y) x x y y xy x y x 1 y x y 1 x 1 y y ) xy 1 x y x y x xy y xy x x 1 y x 1 y 1 x 1 x x y 1 x 1 y 1 x 1 y x 1 y 1 y y 1 y x y y y x x xy y y y b P = x xy y = x1 y 1 x 11 y THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch y 1 (2) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 Ta cã: + y x x x = 0; 1; 2; ; Thay vµo ta cã c¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n x x 1 x 1 Bµi 4: Cho biÓu thøcA = : x x x 1 a Rót gän A x víi x > vµ x x b Tìm giá trị x để A = x x 1 x 1 x : x = Gi¶i a Ta cã: A = x 1 x x 1 ( x 1)( x x 1) x x ( x 1) ( x 1)( x 1) x : x 1 x x 1 x 1 x 1 = x 2 x 1 x : x 1 x 2 = x 1 x x x 1 x 1 x x x = : = x 1 x 1 x 1 x x : x 1 2 x x 1 = x x 2 x = 3x + x - = x = 4/9 x x 1 x2 x 1 Bµi 5: Cho P = + a Rót gän P x 1 x x 1 x x 1 b A = Gi¶i §iÒu kiÖn: x vµ x P = = b Chøng minh: P < víi x vµ x x2 x2 x 1 x 1 x 1 + = + x x x x ( x 1)( x 1) ( x ) x x 1 x 1 x ( x 1)( x 1) ( x x 1) x x x = = ( x 1)( x x 1) ( x 1)( x x 1) x x 1 1 x < x x 1 x < x + x + ; ( v× x + x + > ) x - x + > ( x - 1)2 > (x vµ x 1) Bài 6: a Xác định x R để biểu thức: A = x x lµ mét sè tù nhiªn x 1 x b Víi x vµ x Ta cã: P < b Cho biÓu thøc: P x xy x y yz y z zx z BiÕt x.y.z = , tÝnh P Gi¶i a P x2 1 x x2 1 x ( x x).( x x) 2 x x ( x x) 2 x P lµ sè tù nhiªn -2x lµ sè tù nhiªn x = k (trong đó k Z và k ) b Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hợp với x.y.z = ta x, y, z > và Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña h¹ng tö thø víi P= x xy x xy xy x xyz x ; thay ë mÉu cña h¹ng tö thø bëi z z ( x xy x xy xy x THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch xyz ta ®îc: P 1( P 0) (3) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 a b Bµi 7: Cho biÓu thøc: D = ab a b a b 2ab : 1 ab ab a Tìm điều kiện xác định D và rút gọn D Giải: a Điều kiện xác định D là b TÝnh gi¸ trÞ cña D víi a = a b ab 2 c T×m GTLN cña D a 2b a a b ab a : = ab ab a D= 22 32 2(2 ( 1) a VËy D = 2 1 3 c áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có a a D Vậy giá trị D là b a = Bµi 8: Cho biÓu thøc A= x 4( x 1) x 4( x 1) 1 x 1 x 4( x 1) x x 4( x 1) x 4( x 1) x 4( x 1) Gi¶i: §iÒu kiÖn x tháa m·n: + Víi < x < ta cã A = 1 x Cho biÓu thøc M = 1 x x5 x 6 x 1 a Tìm ĐK x để M có nghĩa và rút gọn M x 9 x5 x 6 x 1 x 3 b M c M = x 1 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 x 1 x3 2 x b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z x 3 2 x x 3 x 3 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 M x x x 2 M= = x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 a §K x 0; x 4; x M = Biến đổi ta có kết quả: x 1 1 x 1 1 x x 2 x 1 Víi x > th× A = x 9 b Rót gän A x > vµ x + Víi x > ta cã A = KÕt luËn: Víi < x < th× A = Gi¶i: M = x x x x ( x 1)2 ( x 1)2 x = x 1 ( x 2)2 b Rót gän A = Bµi 9: a Tìm điều kiện x để A xác định x 9 x 1 x x 3 x 3 1 x 3 x x 15 16 x x Do M Z nªn x lµ íc cña THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 16 x 16 x nhËn c¸c gi¸ trÞ: (4) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 - 4; - 2; - 1; 1; 2; x 1;4;16;25;49 x x 1;16;25;49 ( x 3) 12 x + x2 Bµi 10: Cho biÓu thøc: A = a Rót gän biÓu thøc A Gi¶i: a §iÒu kiÖn: x A b T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x cho biÓu thøc A còng cã gi¸ trÞ nguyªn x4 6x2 x2 x2 4x 2x2 2x A x + Víi x < 0: ( x 2) x x2 x2 x 2x + Víi < x 2: A x + Víi x > : x x = 1;3;1;3 b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyên x2 + x x 1 x x 1 : 1 x 1 x x 1 x x Bµi 11: Cho biÓu thøc: P = a Rót gän P 2x2 2x A x b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Gi¶i: §iÒu kiÖn: x 0; x a Thùc hiÖn ®îc biÓu thøc ngoÆc b»ng: 5( x 1) KQ: P = ( x 1)( x 4) x 1 x 4 lËp luËn t×m ®îc GTNN cña P = -1/4 x = x 4 x y x y x y xy : Bµi 12: Cho biÓu thøc: Q = x y yx x y b ViÕt P = b Chøng minh Q c So s¸nh Q víi Q a T×m §KX§ cña Q vµ rót gän Gi¶i a §KX§: x 0, y 0, x y x y x y x y x xy y Q x y y x y x y x x xy y x y y x y x b : x y xy x y x y = x xy y xy x y x x y xy y xy x xy y xy x ; y x + y xy (C«si), mµ x y x + y > xy x- xy + y > xy x - c Theo c©u b, ta cã x - xy + y > xy + y > VËy Q = xy x xy y xy (1) Chia vÕ cña (1) cho x - 0 x, y vµ x y xy + y > xy x xy y VËy Q < + NÕu Q = Q = Q + NÕu < Q < Q ( Q - 1) < Q - Q < 0 Q < THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch Q x, y vµ x y (5) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 Buæi Chñ §Ò 2: rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Ngµy so¹n: 12.05.10 Ngµy d¹y: 16.05.10 I Phương pháp §Þnh lÝ Talet: a Định lí Các đường thẳng // định trên hai đường thẳng không // với chúng đoạn thẳng tỉ lệ b HÖ qu¶: NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ // víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đã cho TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c tam gi¸c Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai ®o¹n Êy Các trường hợp đồng dạng tam giác a Trường hợp c.c.c: Nếu ba cạnh tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tam giác thì hai tam giác đó ĐD b Trường hợp c.g.c: Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh tam giác và hai góc tạo các cặp cạnh đó thì hai tam giác đó đồng dạng c.Trường hợp g.g:Nếu hai góc tam giác này hai góc tam giác thì hai tam giác đó §D d NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vuông tam giác vuông thì hai tam giác vuông đó đồng dạng e Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai diện tích bình phương tỉ số đồng dạng ii bµi tËp Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC cã trùc t©m H Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, AC Gäi O lµ giao ®iÓm c¸c ®êng trung trùc cña tam gi¸c Chứng minh OMN đồng dạng với HAB Tìm tỉ số đồng dạng So sánh độ dài AH và OM Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh HAG đồng dạng với OMG Chøng minh ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng vµ GH = 2GO HD gi¶i a Ta cã MN // AB (MN lµ ®êng trung b×nh) MÆt kh¸c ta cã AH // OM (cïng vu«ng gãc víi BC) dã gãc BAH = góc OMN (cặp góc có cạnh tương ứng //) Tương tự ta có góc ABH = góc ONM Suy AHB đồng d¹ng MON, tØ sè k = AH hay AH = 2OM OM c Gọi G’ là giao điểm AM và HO, ta có AG’H đồng HG ' AH Từ đó ta có G trùng G’ d¹ng MG’O hay MG ' OM hay HAG đồng dạng OMG GH GA nªn GH = 2.GO d Tõ c©u c, suy H, G, O th¼ng hµng Ta cã GO GM b Theo c©u a, ta cã Bµi 2: Cho h×nh thang vu«ng ABCD (gãc A = gãc D = 900), E lµ trung ®iÓm cña AD vµ gãc BEC = 900 Cho biÕt AD = 2a Chøng minh r»ng: a AB.CD = a2 b EAB và CEB đồng dạng c BE lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ABC HD gi¶i a EAB đồng dạng CDE (g.g) suy ĐPCM THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch (6) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 AB BE AB EB b Theo c©u a ta cã suy ABE đồng dạng EBC (c.g.c) ED EC AE EC c Tõ c©u b, suy BE lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ABC Bµi 3: Tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã BC = 2a, M lµ trung ®iÓm cña BC LÊy D thuéc AB, E thuéc AC cho gãc DME gãc B a Chứng minh BD.CE không đổi b Chøng minh r»ng DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE HD gi¶i: a DBM đồng dạng MCE (g.g) suy ĐPCM b Theo c©u a, suy DM BD DM BD đó DME đồng dạng DBM (c.g.c) suy ĐPCM ME CM ME BM Bµi 4: Cho ABC cã hai gãc nhän B vµ C, BC = a, ®êng cao AH = h Mét h×nh vu«ng MNPQ néi tiÕp tam gi¸c cho: M thuéc AB, N thuéc AC, P vµ Q thuéc BC H·y tÝnh MP theo a vµ h MN AK (tỉ số đường cao hai đồng dạng tỉ số đồng dạng) BC AH x hx ah x Gäi MN = x, ta cã: a h ah 2ah Ta cã MP = MN (theo Pitago), suy MP = ah HD gi¶i: Ta cã Bµi 5: Cho tam gi¸c nhän ABC, trùc t©m H Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC §êng th¼ng qua H vµ vu«ng gãc víi MH c¾t AB vµ AC theo thø tù ë I vµ K a Qua C kÎ ®êng th¼ng // víi IK, c¾t AH vµ AB theo thø tù ë N vµ D CMR: NC = ND b CMR: HI = HK HD gi¶i a Ta cã NM vu«ng gãc víi CH (®êng cao thø cña tam gi¸c CNH) suy NM // AD (cïng CH) Tam gi¸c CBD cã CM = MB (GT), MN // BD suy ND = NC b Sử dụng Ta let vào hai cặp tam giác đồng dạng: AIH và AND, AKH và CAN, suy IH = KH Bµi 6: Cho c©n ABC (AB = BC) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M cho cho AM Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm N BM CN §êng th¼ng MN c¾t ®êng cao BH t¹i O Tõ N h¹ NK vu«ng gãc BH Tõ M h¹ MP vu«ng BN gãc víi BH Cho BH = 35cm a CM BKN đồng dạng BHC, tính BK b TÝnh BP, OB, HO c Gi¶ sö AM CN HO m; n TÝnh theo m vµ n BM BN BO HD gi¶i BK BN BK BK = (cm) BH BC 35 KN KN KO KO OH 30 105 35 OH b Theo c©u a, ta cã , OB = HC AH OH OH OH 4 1 BH , MBP đồng dạng ABH ta có: BP = BH c Từ BKN đồng dạng BHC ta có: BK = n 1 m 1 HO m n suy = BO a Hai tam giác đồng dạng với theo TH (g.g) suy Bài Cho hai tam giác ABC và DEF mà A thuộc DF, E thuộc BC Gọi I là giao điểm AC và EF, K lµ giao ®iÓm cña AB vµ DE a CMR IFC đồng dạng AIE, KDB đồng dạng KAE b CM BD // CF THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch (7) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 HD gi¶i a Ta có AIF đồng dạng EIC (g.g), suy IFC đồng dạng AIE(c.g.c) Tương tự KDB đồng dạng KAE (c.g.c) Bµi 8: H×nh thang vu«ng ABCD (gãc A = gãc D = 900) cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i O, AB = 4cm, CD = 9cm a CMR các tam giác AOB và DAB đồng dạng b Tính độ dài AD c CMR các tam giác OAB và OCD đồng dạng d TÝnh tØ sè diÖn tÝch cña tam gi¸c OAB vµ OCD HD gi¶i a AOB và DAB đồng dạng (g.g) b AD = 6cm c OAB và OCD đồng dạng (g.g) S 16 4 d OAB S OCD 81 Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH, BC = 100cm, AH = 40cm Gäi D lµ h×nh chiÕu cña H trªn AC, E lµ h×nh chiÕu cña H trªn AB a CMR ADE đồng dạng ABC b TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ADE HD gi¶i: a Ta cã gãc C = gãc BAH = gãc AED, suy ADE đồng dạng ABC (g.g) b S ADE DE AH Tính diện tích tam giác ABC từ đó suy SADE = 320 (cm2) S ABC BC 25 BC Bµi 10: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, AB = 1, AC = Trªn c¹nh AC lÊy c¸c ®iÓm D, E cho AD = DE = EC a Tính độ dài BD b CMR các tam giác BDE và CDB đồng dạng c TÝnh tæng gãc DEB vµ DCB §¸p sè: a BD = b CD BD BD CD , nªn 2; , tam giác BDE và CDB đồng dạng (c.g.c) DB DE DE DB c Gãc DEB + gãc DCB = gãc DBC + gãc DCB = gãc ADB = 450 Bµi 11: Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, AC = b, AB = c, ®êng ph©n gi¸c AD a Tính độ dài BD, DC b Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AD ë I TÝnh tØ sè AI : ID c Cho BC b»ng trung b×nh céng cña AB vµ AC, gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC CMR: IG // BC BD AB c BD AB ac ab BD ; DC DC AC b BD DC AB AC bc bc AI AG c CM: , từ đó suy IG // DM (Talét đảo), tức là IG // BC ID GM HD gi¶i: a b AI : ID = bc a Bµi 12: Tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã BC = 2a, M lµ trung ®iÓm cña BC LÊy c¸c ®iÓm D, E theo thø tù thuéc c¸c c¹nh AB, AC cho gãc DME = gãc B a CMR: BD.CE không đổi b CMR: DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE c Tính chu vi tam giác ADE tam giác ABC là tam giác HD giải: a CM tam giác BDM đồng dạng tam giác CME (g.g) suy ĐPCM b Theo c©u a, ta cã DM BD , tam giác DME đồng dạng tam giác DBM (c.g.c) suy góc MDE = góc ME BM BDM THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch (8) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 c DM lµ ph©n gi¸c BDE, EM lµ ph©n gi¸c CDE KÎ MH vu«ng gãc DE, MI vu«ng gãc AB, MK vu«ng gãc AC Ta có DH = DI, EH = EK, đó chu vi tam giác ADE = AI + AK = 2AK L¹i cã CK = a , AC = 2a nªn AK = 1,5a VËy chu vi tam gi¸c ADE = 3a Buæi Chủ Đề 3: bất đẳng thức Ngµy so¹n: 15.05.10 Ngµy d¹y: 20.05.10 I Phương pháp HS n¾m v÷ng: C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña B§T 1.1: a > b a + c > b + c ac bc, c ac bc, c 1.3: a > b, b> c a > c 1.4: a > b, c > d a + c > b + d 1.5: a > b > 0, c > d > ac > bd 1.6: a > b > an > bn 1.7: a > b > a > b 1.2: a > b Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm, bất đẳng thức Bunhiacopxki và số bất đẳng thức khác ab ab DÊu “=” x¶y a = b 2.2: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu “=” xảy tồn số k cho x = x y ka, y = kb (*), nÕu a, b th× (*) ®îc viÕt lµ: a b 2.1: Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm: Với a 0, b đó: ii bµi tËp Bài 1: Cho hai số dương a, b CMR: a + b 4ab ab a b ab (B§T Cosi) (a + b)(1 + ab) 4ab suy §PCM DÊu “=” x¶y vµ chØ 1 ab ab HD gi¶i: Ta cã: a b hay a = b = 1 ab Bài 2: Cho số a, b, c, d CMR: (a2 + b2)(c2 + d2) (ac + bd)2 (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) HD giải: Khai triển hai vế và đưa về: (bc - ad)2 (luôn đúng) suy BĐT cần chứng minh luôn đúng a c b d 2a 3b Bµi 3: T×m hai sè a, b biÕt r»ng: 2 2a 3b HD gi¶i: Ta cã: 25 = (2a + 3b)2 = ( 2a 3a )2 [( )2 + ( )2].[( 2a )2 + ( 3a )2] = 5.(2a2 + 3a2) DÊu “=” x¶y vµ chØ bc = ad Suy 2a2 + 3a2 DÊu “=” x¶y vµ chØ hay a = b VËy a = b = 2a 3b a ak Bài 4: Cho a, b, k là các số dương, a < b CMR: (1) b bk HD giải: Xét hiệu VT - VP ta được: k(a - b) < a < b BĐT này đúng, (1) đúng THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch (9) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 Bµi 5: CMR: a2 + b2 + ab + 2(a + b) (1) HD giải: Xét hiệu VT - VP ta được: (a - b)2 + (a - 2)2 + (b - 2)2 đúng Dấu “=” xảy a = b = am bm an bn (1) am bm an bn am bm 2b m an bn 2b n 2b n 2b m HD gi¶i: (1) m Chia VT cho bn, chia VP cho bm a bm am bm an bn an bn an bn am bm m n an am a a Ta ®îc n m b b b b Bµi 6: CMR a > b > 0, m > n, ta cã: Bµi 7: (TH 04 - 05) Cho < x < 1 CMR: x(1 - x) (1) T×m GTNN cña A = 4x x (1 x) 1 HD gi¶i (1) x luôn đúng 2 1 4x Tõ x(1 - x) x2(1 - x) x suy A 4 x 4 4 A 16x + x = , mµ 16 x = 2.8 = 16 (B§T Cosi) DÊu “=” x¶y vµ chØ 16x = x x x Cho < x < suy x = 3x Bµi (TH 09 - 10) Cho x, y, z tho¶ m·n y2 + yz + z2 = T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc: A = x + y + z 3x HD gi¶i + yz + = 2y2 + 2yz + 2z2 = - 3x2 (x + y + z)2 + (x - y)2 + (x - z)2 = 2 (x + y + z)2 = -[(x - y)2 + (x - z)2] + DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y = z - x + y + z VËy GTLN lµ , GTNN lµ - x = y = z y2 z2 Bµi 9: (TH 05 - 06) Cho x - y CMR x2 + y2 xy + x y 2 xy xy xy 1 = x2 - 2xy + y2 + 2(xy - 1) + = (x - y + HD gi¶i + + ) + x y x y x y b 3(b 1) Bµi 10: (TH 06 - 07) Cho b > CMR: 2b b 1 2 b 3(b 1) b b 5(b 1) HD gi¶i Ta cã: = 2b 4b 4b b 1 b 1 x2 y2 b b2 1 b b2 1 + 2b 5(b 1) 5.2b DÊu “=” (B§T Cosi) L¹i cã b 4b 4b b2 1 b 4b b 3(b 1) x¶y vµ chØ b = VËy = 1+ 2b 2 b 1 16ab Bµi 11: CMR: a = 4b với a, b dương (Sử dụng các tính chất BĐT) 4ab Bµi 12: CMR: (a2 + 1)(b2 + 4) (2a + b)2 (ChuyÓn vÕ vµ chøng minh vÕ tr¸i kh«ng ©m) a a 2010 Bµi 13: CMR nÕu < x < b th× (Tương tự bài 4) b b 2010 Ta cã THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch (10) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 a 2010 b 2010 a 2009 b 2009 Bµi 14: CMR nÕu a, b > th×: 2010 (Tương tự bài 6) a b 2010 a 2009 b 2009 Buæi Chñ §Ò 4: Tø gi¸c - §a gi¸c Ngµy so¹n: 18.05.10 Ngµy d¹y: 22.05.10 I kiÕn thøc cÇn ghi nhí Tæng c¸c gãc cña mét tø gi¸c b»ng 3600 Hình thang HThang là tứ giác có hai cạnh đối song song - Hai gãc kÒ c¹nh bªn cña mét h×nh thang bï (tæng b»ng 1800) - H×nh thang vu«ng lµ h×nh thang cã mét gãc vu«ng - Hình thang cân là hình thang có hai góc kề đáy + Trong h×nh thang c©n, hai c¹nh bªn b»ng + Trong h×nh thang c©n, hai ®êng chÐo b»ng - C¸ch CM mét tø gi¸c lµ thang c©n: + Hình thang có hai góc kề đáy + H×nh thang cã hai ®êng chÐo b»ng - Đường trung bình hình thang: Đoạn nối trung điểm hai cạnh bên Đường trung bình có độ dài nửa tổng hai đáy - DTHT nửa tổng hai đáy và đường cao Hình bình hành: HBH là tứ giác có các cạnh đối // - C¸ch CM mét tø gi¸c lµ lµ HBH 3.1 Các cạnh đối // 3.2 Các cạnh đối 3.3 Một cặp cạnh đối // và 3.4 Các góc đối các góc kề bù 3.5 Hai ®êng chÐo c¾t t¹i trung ®iÓm mçi ®êng - DT HBH đáy nhân chiều cao H×nh ch÷ nhËt: HCN lµ tø gi¸c cã gãc vu«ng Trong HCN hai ®êng chÐo b»ng vµ c¾t t¹i trung ®iÓm mçi ®êng - C¸ch CM mét tø gi¸c lµ lµ HCN 4.1 Cã gãc vu«ng 4.2 HBH cã mét gãc vu«ng 4.3 HBH cã hai ®êng chÐo b»ng 4.3 Hthang c©n cã mét gãc vu«ng - DT HCN tích hai kích thước (dài nhân rộng) H×nh thoi: Hthoi lµ tø gi¸c cã c¹nh b»ng Trong h×nh thoi hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi vµ hai ®êng chÐo lµ c¸c ®êng ph©n gi¸c cña c¸c gãc cña h×nh thoi - C¸ch CM mét tø gi¸c lµ lµ Hthoi 5.1 c¹nh b»ng 5.2 HBH cã hai c¹nh kÒ b»ng 5.3 HBH cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc 5.4 HBH cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cña mét gãc - DT hình thoi bằng: Tích hai đường chéo đáy nhân chiều cao H×nh vu«ng: HV lµ tø gi¸c cã gãc vu«ng vµ cã c¹nh b»ng - C¸ch CM mét tø gi¸c lµ lµ HV 6.1 HCN cã hai c¹nh kÒ b»ng THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 10 (11) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 6.2 HCN cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc 6.3 HCN cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cña mét gãc 6.4 Hthoi cã mét gãc vu«ng 6.3 Hthoi cã hai ®êng chÐo b»ng - DT h×nh vu«ng b»ng c¹nh nh©n c¹nh §a gi¸c 7.1 Tæng c¸c gãc cña ®a gi¸c n c¹nh b»ng (n – 2).1800 7.2 Trong mét ®a gi¸c n c¹nh, sè ®êng chÐo b»ng n(n 3) 7.3 Đa giác là đa giác có tất các cạnh và tất các góc Số đo góc đa (n 2).180 giác n cạnh n Ii bµi tËp Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q, E, F là trung điểm BD, AC, AB, DC, AD và BC a CMR: PM = NQ b CMR: MN, PQ,EF đồng quy (cùng qua điểm) HDÉn gi¶i a PM, NQ lµ c¸c ®êng trung b×nh øng víi c¹nh AD cña c¸c tam gi¸c ABD vµ ACD b MN vµ PQ lµ c¸c ®êng chÐo cña HBH MPNQ, PQ vµ EF lµ các đường chéo HBH EQFP, từ đó suy ĐPCM Bµi 2: H×nh thang ABCD (AB // CD) cã AB = a, CD = b, BC = c, AD = d C¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc A vµ D c¾t ë E, c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t ë F Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD vµ AD vµ BC a CM AED vµ BFC lµ c¸c tam gi¸c vu«ng b CM ®iÓm M, E, F, N th¼ng hµng c TÝnh MN, MF, FN theo a, b, c, d d CMR nÕu a + b = c + d th× E trïng F HDÉn gi¶i a CM ADK là tam giác cân đỉnh D, từ đó suy phân giác DE đồng thời là đường cao, đó DE vuông góc AK hay AED vuông Tương tự với trường hợp BFC b CM cho ME, NF, MN cïng // AB hoÆc CD 1 (a + b); FN = c; MF = (a + b - c) 2 1 d Ta còng cã ME = d Gi¶ sö E trïng F ta cã ME + FN = MN hay (c + d) = (a + b) 2 c MN = Bài 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a có góc A = 600 Gọi E, F là trung điểm các cạnh AD và CD a TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c BEF b Tính độ dài đoạn thẳng CE và Cos góc ACE HDÉn gi¶i a Ta có ABD đều, BE là đường cao đó, BE = BDsinD = a , a 3 3a , từ đó tính SBEF = 2 3a a a b Ta cã MC = , EM = (dựa vào tam giác đồng dạng), từ đó ta có EC = (theo Pitago), suy 4 3 BK = BEcosEBK = cosECM = THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 11 (12) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC Gäi I lµ giao ®iÓm c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C Tõ I h¹ IM vu«ng gãc AB, IN vu«ng gãc BC Tõ A kÎ ®êng th¼ng // víi MN, nã c¾t BC t¹i P CMR: a IMB = INB b Tø gi¸c MNPA lµ thang c©n HDÉn gi¶i a IMB = INB (c¹nh huyÒn - gãc nhän) b ChØ tø gi¸c MNPA cã gãc AMN vµ PNM b»ng Bµi 5: Cho h×nh thang vu«ng ABCD (AB // CD), gãc A = gãc D = 900 vµ AD = CD = AB KÎ CH vu«ng gãc víi AB Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ DH, O’ lµ giao ®iÓm BD vµ CH CMR: a ACB lµ vu«ng c©n t¹i C b OO’ = 1 CD = AB c OO’ thuéc ®êng trung b×nh cña h×nh thang HDÉn gi¶i a Tứ giác ADCH là hình vuông, suy AC vuông góc DH và AC = DH Tứ giác BCDH là HBH đó BC = DH, vËy BC = AC V× AC vu«ng gãc DH, DH // BC suy AC vu«ng gãc BC b Theo tÝnh chÊt ®êng trung b×nh cña tam gi¸c c Gọi M, N là giao điểm OO’ với AD và BC Chứng minh OM là đường trung bình tam gi¸c ADC Bài 6: Cho HCN ABCD, tâm O Lấy điểm P tuỳ ý trên đoạn thẳng OB Gọi M là điểm đối xứng C qua P a CMR AM // BD b Gọi E, F là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, DA CMR EF // AC c CM ®iÓm F, E, P th¼ng hµng HDÉn gi¶i a OP lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c ACM b Chøng minh gãc EFA = gãc CAD c Chøng minh IP vµ IE cïng // víi AC (I lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo cña HCN AEMF) Bài 7: Cho HBH MNPQ với MQ vuông góc MP Gọi E, F là trung điểm MN và PQ a CM MEPF lµ h×nh thoi b Gọi Mx là tia đối tia MN CMR MQ là phân giác góc FMx HDÉn gi¶i a MEPF là hình bình hành (1 cặp cạnh đối // và nhau) có hai đường chéo vuông góc b Tam giác MQF là tam giác cân F, đó góc FMQ = góc FQM, mà góc FQM = góc QMx (so le trong), từ đó suy ĐPCM THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 12 (13) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 Buæi Chủ Đề 5: phương trình - bất phương trình bậc Ngµy so¹n: 20.05.10 Ngµy d¹y: 25.05.10 I kiÕn thøc cÇn ghi nhí Phương trình bậc ẩn PT bậc ẩn có dạng: ax + b = (x là ẩn, a và b là các số đã cho) b a + NÕu a 0, PT cã nghiÖm nhÊt x = - + NÕu a = 0, b 0, PT v« nghiÖm + NÕu a = 0, b = 0, PT cã v« sè nghiÖm Bất phương trình bậc ẩn BPT bậc ẩn là BPT có dạng ax + b > (hoặc ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0), đó x là ẩn, a và b là các số đã cho, a Ta xÐt BPT d¹ng ax + b > b a b + NÕu a < 0, BPT cã nghiÖm x < - a + NÕu a > 0, BPT cã nghiÖm x > - Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên C1 Phương pháp tách các giá trị nguyên C2 Phương pháp tìm nghiệm nguyên riêng Định lí: Phương trình ax + by = c với a, b, c nguyên, (a; b) = x x0 at y y bt Nếu (x0; y0) là nghiệm nguyên thì phương trình có các nghiệm nguyên dạng: C3 Phương pháp bất đẳng thức C4: Phương pháp đưa các ước số ii bµi tËp Bài 1: Giải các phương trình sau a x x 2 x 1 x (1) b 2x3 2 x3 x (2) HDÉn gi¶i a Điều kiện: x - 0, x + Quy đồng mẫu, khử mẫu và giải ta x = b Điều kiện: x3 + x + Quy đồng mẫu, khử mẫu và giải ta x = - Kiểm tra lại với ĐK Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau theo m: (m - 2)x + m2 - = (1) HDÉn gi¶i XÐt c¸c kh¶ n¨ng x¶y víi hÖ sè a = m - + NÕu a Ta cã x = -(m + 2) + NÕu a = 0, PTVSN Bài 3: Tìm m nguyên để phương trình sau đây có nghiệm nguyên: (2m - 3)x + 2m2 + m - = HDÉn gi¶i Với m nguyên thì 2m - 0, PT đã cho có nghiệm x = -(m + 2) 2m Để phương trình có nghiệm nguyên thì 2m - phải là ước 4, hay 2m - {-1; -2; -4; 1; 2; 4) Ta cã 2m - m Giải trường hợp ta m = và m = thoả mãn Bài 4: Giải các bất phương trình sau: THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 13 (14) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 x2 3x 1 a x 1 x 1 b x x x HDÉn gi¶i a ĐK x Quy đồng mẫu và khử mẫu ta được: 8x , gi¶i ta ®îc x < -1 hoÆc x ( x 1)( x 1) b Xét trường hợp 5 < x < -1 2 Víi -1 x < Gi¶i BPT ®îc > VËy -1 x < 1 Víi x Gi¶i BPT ®îc x > - KLC: x > - Víi x < -1 Gi¶i BPT ®îc x > - VËy - Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 7x + 4y = 23 HDÉn gi¶i 23 x x 1 3x 2x (hoÆc y = – x + ) 4 4t x 4t x x Suy (t Z) (hoÆc ) Vì x, y dương nên t = 0, đó y 7t y y 7t BiÓu thÞ y qua x ta ®îc: y = Bài 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 (1) x y HDẫn giải Phương pháp đưa các ước số nguyên (1) x y (x - 2)(y - 2) = = 2.2 = (-2).(-2) = 1.4 = (-1).(-4) xy XÐt c¸c kh¶ n¨ng x¶y víi (x - 2) vµ (y - 2), ta ®îc c¸c cÆp gi¸ trÞ (x; y) tho¶ m·n lµ: (4; 4), (6; 3), (3; 6) Bài 7: Giải các phương trình sau a x 1 x x 1 x §¸p sè a x = -4 b x x b x = Bài 8: Giải và biện luận bất phương trình: m( x 1) x 2m x 16 (1) 18 HDÉn gi¶i (1) 2m(x - 1) - 3(x + 2m) < x – 16 2(m - 2)x < 8(m - 2) NÕu m > th× x < NÕu m < th× x > Nếu m = thì 0x < 0, bất phương trình vô nghiệm Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dương bất phương trình: x 2x (1) ( x 1)( x 3) HDÉn gi¶i §KX§: x -1 vµ x x 1 > (x + 1)(x - 3) < (x + 1) vµ (x - 3) tr¸i dÊu -1 < x < (TM) ( x 1)( x 3) x Vì x nguyên dương nên x {1; 2} (1) THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 14 (15) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 Buæi Chủ Đề 6: Đường tròn và số vấn đề liên quan Ngµy so¹n: 22.05.10 Ngµy d¹y: 27.05.10 I kiÕn thøc cÇn ghi nhí ii bµi tËp THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 15 (16) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 16 (17) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 Buæi Chủ Đề 7: hệ phương trình bậc hai ẩn Ngµy so¹n: 25.05.10 Ngµy d¹y: 29.05.10 I kiÕn thøc cÇn ghi nhí (1) ax by Hệ phương trình bậc ẩn: ' ' a x b y (2) C¸ch gi¶i 2.1: Phương pháp thế: Bước 1: Từ hai phương trình hệ, biểu thị ẩn theo ẩn vào phương trình còn lại ta phương trình bậc ẩn Bước 2: Giải phương trình ẩn vừa tìm được, từ đó suy nghiệm hệ 2.2: Phương pháp cộng đại số: Bước 1: Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho các hệ số ẩn nào đó hai phương trình đối Bước 2: áp dụng quy tắc cộng đại số ta phương trình bậc ẩn Bước 3: Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ 2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ - Đặt điều kiện để hệ có nghĩa - §Æt Èn phô vµ ®iÒu kiÖn cña Èn phô (nÕu cã) - Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt - Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm hệ Một số dạng toán liên quan đến hệ phương trình bậc hai ẩn D¹ng 1: Gi¶i vµ biÖn luËn HPT - Từ HPT đã cho, biến đổi để phương trình dạng ax = b b - BiÖn luËn: + Nếu a thì x = , từ đó tìm y và suy nghiệm hệ a + NÕu a = 0, ta cã 0x = b NÕu b = th× hÖ VSN, nÕu b th× hÖ v« nghiÖm Dạng 2: Xác định tham số m nguyên để hệ có nghiệm (x; y) nguyên k - T×m nghiÖm (x; y) cña hÖ theo tham sè m - Viết x, y hệ dạng: n + víi n, k nguyªn f (m) - Tìm m nguyên để f(m) là ước k Dạng 3: Hệ gồm ba phương trình hai ẩn - Chọn phương trình hệ, giải tìm nghiệm hệ phương trình này - Nếu nghiệm (x; y) vừa tìm thoả mãn phương trình thứ thì (x; y) là nghiệm hệ đã cho, nghiệm (x; y) vừa tìm không thoả mãn phương trình thứ thì (x; y) không là nghiệm hệ đã cho Dạng 4: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm a, B - Lần lượt thay toạ độ A và B vào y = ax + b ta hệ phương trình hai ẩn a và b - Gi¶i HPT nµy ta t×m ®îc a vµ b ii Bµi tËp 3 x y (1) 2 x y (1) x y (1) (1 ) x (1 ) y (1) Bµi 1: Gi¶i c¸c HPT sau: ; ; ; 2 x y (2) 5 x y (2) 2 x y 2 (2) (1 ) x (1 ) y (2) 13 ( ; ); 9 1 x Bµi 2: Gi¶i c¸c HPT sau: 3 x §¸p sè: (1; 1); 2 67 2 ; ; ); ( ) 4 2 (1) (1) 3 x y (1) x y 1 ; ; x y (2) (2) (2) x y ( y y THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 17 (18) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 7 19 HDÉn gi¶i a §K x; y 0, hÖ cã nghiÖm ( ; ) b §K x 2; y 1, hÖ cã nghiÖm ( ; ) c Đặt X = x2, Y = y2 (X 0, Y 0), giải HPT ẩn phụ X = ; Y = , từ đó suy nghiệm HPT đã cho 5 2 x y (1) (1) mx y 2m (2) Bµi 3: Gi¶i vµ biÖn luËn HPT: a ; b x y 4 x my m (2) x y m (3) HDÉn gi¶i a Tõ (1) biÓu thÞ y qua x vµ thay vµo (2) ®îc (m2 - 4)x = (2m + 3)(m - 2) (3) 2m m ; + NÕu m2 - hÖ cã nghiÖm + NÕu m = 2, (3) TM mäi x, hÖ VSN (x; 2x - 4) m m 2 + NÕu m = -2, (3) trë thµnh 0x = 4, hÖ VN 11 b Gi¶i HPT lËp bëi (1) vµ (2) ®îc x = ; y = Thay vµo (3) ®îc m = VËy víi m = HPT cã … 5 (m 2) x y m (1) Bµi 4: Cho HPT: (2) x (m 3) y a Gi¶i hÖ m = -1 b Giải và biện luận HPT đã cho theo m HDÉn gi¶i a (2; 1) b Tõ (2) biÓu thÞ x qua y vµ thay vµo (1): (m - 1)(m + 2) = m - (3) m3 ; + NÕu m = hÖ VSN + NÕu m = -2hÖ VN + NÕu m vµ m -2 hÖ cã nghiÖm ( ) m2 m2 mx y m (1) Bài 5: Xác định m nguyên để hệ sau có nghiệm (x; y) với x, y nguyên: 2 x my 2m (2) HDÉn gi¶i Tõ (1) biÓu thÞ y qua x vµ thay vµo (2) ta ®îc (m2 - 4)x = (m - 1)(m - 2) HÖ cã nghiÖm nhÊt vµ m 1 x m m chØ m 2, x, y nguyªn th× m + ph¶i lµ íc cña 3, m {-1; -3; 1; -5} m y 2 m2 m2 Bài 6: Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A và B trường hợp sau a A (2; -2) vµ B (-1; 3) b A (-4; - 2) vµ B (2; 1) HDẫn giải Thay toạ độ A, B vào y = ax + b và giải HPT lập được, từ đó ta có a, b (a 1) x y Bµi 7: Cho HPT: ax y a a Giải hệ với a = - b Xác định a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x + y > 3 2 2 b Céng hai PT l¹i: (2a + 1)x = a + Víi a HDÉn gi¶i a ; hÖ cã nghiÖm nhÊt x + y 1 2 1 2 a2 a = , v× a2 - a + > nªn x + y > vµ chØ 2a + > hay a > - 2a Bài 8: Một ô tô và xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường dài 156 km sau thì gặp Nếu cùng chiều và xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe HDẫn giải Vôtô = 40km/h; Vxe đạp = 12km/h Bài 9: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể cạn nước, sau thì đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau giê më vßi thø hai th× sau giê n÷a míi ®Çy bÓ NÕu mét m×nh vßi thø ch¶y bao l©u sÏ ®Çy bÓ §S: giê Bài 10 Nhà Lan có mảnh vườn trồng rau cải bắp Vườn đánh thành nhiều luống, luống trồng cùng số cây cải bắp Lan tính rằng: Nếu tăng thêm luống rau, luống trồng ít cây thì số cây toàn vườn ít THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 18 (19) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 54 cây Nếu giảm luống, luống trồng tăng thêm cây thì số rau toàn vườn tăng thêm 32 cây Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây cải bắp (số cây các luống nhau) ( x 8)( y 3) xy 54 HDÉn gi¶i HPT cÇn lËp: x 50; y 15 ( x 4)( y 2) xy 32 Buæi Chủ Đề 8: phương trình bậc hai Một số phương trình, hệ phương trình đưa phương trình bậc hai Ngµy so¹n: 25.05.10 Ngµy d¹y: 30.05.10 I kiÕn thøc cÇn ghi nhí Phương trình bậc hai ẩn: ax2 + bx + c = (a 0), = b2 - 4ac + NÕu > 0, PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = + NÕu = 0, PT cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = - b b ; x2 = 2a 2a b 2a + NÕu < 0, PTVN Xác định tham số để hai PT có nghiệm chung - Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm chung cña cña hai PT Thay x = x0 vµo hai PT ta ®îc hÖ víi Èn lµ c¸c tham sè - Gi¶i hÖ t×m tham sè - Thö l¹i víi tham sè võa t×m , hai PT cã nghiÖm chung hay kh«ng HÖ thøc Viet b x1 x a 3.1 §Þnh lÝ: NÕu x1; x2 lµ hai nghiÖm cña PT ax2 + bx + c = (a 0) th× x x c a 3.2 Tìm hai số biết tổng và tích chúng Nếu hai số có tổng S và tích bẳng P thì hai số đó là hai nghiệm PT: X2 - SX + P = Điều kiện để có hai số đó là: S2 - 4P Ph©n tÝch ax2 + bx + c thµnh nh©n tö: NÕu PT ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm x1, x2 th× ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) DÊu nghiÖm sè cña PT bËc hai ax2 + bx + c = (a 0) P + Hai nghiÖm tr¸i dÊu P < + Hai nghiÖm cïng dÊu + Hai nghiệm dương phân biệt S P + Hai nghiÖm ©m ph©n biÖt S P Một số phương trình quy phương trình bậc hai 6.1 Phương trình trùng phương: ax4 + bx + c = (a 0) Đặt t = x2 (t 0) ta PT at2 + bt + c = GiảI PT ẩn t, từ đó suy nghiệm PT đã cho 6.2 PT chøa Èn ë mÉu thøc Bước 1: Tìm ĐKXĐ PT Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu Bước 3: Giải PT vừa nhận Bước 4: Trong các giá trị tìm được, giá trị thoả mãn ĐKXĐ là Ng PT 6.3 Phương trình tích - Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, vÕ ph¶i b»ng - Gi¶i PT tÝch 6.4 Phương trình bậc dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1) với a + b = c + d Phương pháp giải: (1) [x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = m Đặt t = x2 + (a + b)x ta PT bậc (t + ab)(t + cd) = m Giải tìm t, từ đó tìm x cách giải PT: x2 + (a + b)x - t = 6.5 Phương trình có chứa thức áp dụng các phương pháp: - §Æt Èn phô, ®iÒu kiÖn cña Èn phô THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 19 (20) Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2010.-2011 - Đặt điều kiện bình phương hai vế khi hai vế dương 6.6 Phương trình chứa dấu GTTĐ áp dụng các phương pháp: - §Æt Èn phô, ®iÒu kiÖn cña Èn phô x neu x x neu x - Bỏ GTTĐ định nghĩa: x Hệ PT đối xứng hai ẩn Hệ gọi là đối xứng hai ẩn x, y hệ không thay đổi thay x y, y x C¸ch gi¶i: - §Æt S = x + y; P = xy - Đưa hệ đã cho hệ với ẩn S, P - Giải tìm S, P, đó x, y lµ nghiÖm cña PT X - SX + P = Chó ý: NÕu (x; y) lµ nghiÖm th× (y; x) còng lµ nghiÖm ii Bµi tËp Bài 1: Không giải PT, hãy cho biết phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm a 15x2 + 4x - 2010 = (a.c < 0, PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt) b - 19 x x + 1890 = (a.c < 0, PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt) Bài 2: Dùng công thức nghiệm, giải các phương trình sau a 2x2 - 7x + = b 6x2 + x + = c y2 - 8y + 16 = Bài 3: Vì a > và phương trình ax2 + bx + c = vô nghiệm thì ax2 + bx + c > với giá trị x HDÉn gi¶i: Ta cã: ax2 + bx + c = a(x2 b2 c b2 b2 b c b b 2 + x + ) = a(x + 2.x + + ) = a(x + 2.x + )+ 4a a 4a 4a a a 2a 2a b2 b 4ac b ) = a(x + ) + PT ax2 + bx + c = v« nghiÖm, ta cã = b2 - 4ac < hay 4ac - b2 > 4a 4a 2a 4ac b b 4ac b Víi a > ta cã > 0, suy ax2 + bx + c = a(x + ) + > víi mäi gi¸ trÞ cña x 4a 4a 2a c a a( Bài 4: Cho phương trình (ẩn x): x2 - 2(m - 1)x + m2 = Với giá trị nào m thì PT có hai nghiệm phân biÖt, cã nghiÖm kÐp, v« nghiÖm HDÉn gi¶i: TÝnh PT cã nghiÖm ph©n biÖt > 0, cã nghiÖm kÐp = 0, VN < Bài 5: Giải và biện luận phương trình: (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m = Víi a 0, PT cã = 4m + 1 + NÕu < PTVN + NÕu = 0, PT cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = m 4m + NÕu > 0, PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, = m2 2 x y (1) Bµi 6: a Gi¶i HPT HDẫn giải: Rút y từ (1) thay vào (2) tìm x từ đó tìm y y x x (2) HDÉn gi¶i: XÐt a = vµ a Víi a = 0, PT cã nghiÖm x = HÖ cã nghiÖm (1; 3) vµ (5; -5) Bµi 7: Cho hai PT x2 + x + a = vµ x2 + ax + 1= a Xác định a để hai PT trên có nghiệm chung b Xác định a để hai PT tương đương x0 x0 a (1) HDÉn gi¶i: a Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm chung cña PT, ta ®îc Gi¶i ta ®îc a = 1, x0 = x0 ax0 (2) Víi a = 1, ta cã PT x2 + x + = VN Víi x0 = 1, ta t×m ®îc a = -2 Víi a = -2, ta t×m ®îc c¸c nghiÖm mçi PT NghiÖm chung x = b Hai PT tương đương chúng có cùng tập nghiệm Nếu chúng có nghiệm chung thì theo câu a, hai PT có tập nghiệm khác Vậy để hai PT tương đương thì cúng phải cùng vô nghiệm, tức là: a2 Bài 8: Tìm giá trị m để PT có nghiệm, tính tổng và tích các nghiệm theo m a x2 - 2x + m = b x2 + 2(m - 1)x + m2 = THCSLop10.com Qu¶ng Th¹ch 20 (21)