Chủ đề 7: PHÉP CHIẾU SONG SONG HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHƠNG GIAN I.KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CƠ BẢN: A.Kiến thức bản: 1/Phép chiếu song song: Trong không gian, cho mặt phẳng (P) đường thẳng d cắt (P) Với điểm M không gian, đường thẳng qua M song song trùng với d cắt (P) điểm M’ Phép đặt tương ứng điểm M không gian với điểm M’ mặt phẳng (P) gọi phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương d + Mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng chiếu, đường thẳng d gọi phương chiếu, điểm M’ gọi hình chiếu song song (hoặc ảnh) điểm M’ qua phép chiếu song song + Cho hình (H) Tập hợp (H’) gồm hình chiếu song song tất điểm thuộc (H) gọi hình chiếu song song (hoặc ảnh) hình (H) qua phép chiếu nói 2/Tính chất: Chú ý: Trong tính chất phép chiếu song song theo phuơng d, ta xét hình chiếu song song đoạn thẳng đường thẳng không song song không trùng với d a Phép chiếu song song biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm b Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c Phép chiếu song song biến đường thẳng song song thành đường thẳng song song trùng d Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài đoạn thẳng nằm đường thẳng song song nằm đường thẳng 3/Hình biểu diễn hình khơng gian: a Định nghĩa: Hình biểu diến hình (H) khơng gian hình chiếu song song hình (H) mặt phẳng hình đồng dạng với hình chiếu b Qui tắc vẽ hình biểu diễn: Nếu hình (H) có đoạn thẳng nằm đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) chúng biểu diễn đoạn thẳng nằm đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) mà tỉ số đoạn thẳng phải tỉ số đoạn thẳng tương ứng hình (H) c Hình biểu diễn số hình khơng gian: * Một tam giác coi hình biểu diễn tam giác tuỳ ý cho trước ( tam giác đều, tam giác cân, tam giác vng…) DeThiMau.vn * Một hình bình hành coi hình biểu diễn hình bình hành tuỳ ý cho trước( hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng…) * Một hình thang coi hình biểu diễn hình thang tuỳ ý cho trước, miễn tỉ số độ dài đáy hình biểu diễn tỉ số độ dài đáy hình cho * Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình trịn B.Kĩ bản: Tìm phép chiếu song song hình cho trước thoả mãn số điều kiện cho trước Vẽ hình biểu diễn hình (H) cho trước Vận dụng phép chiếu song song để giải tốn II CÁC VÍ DỤ: 1/Loại tốn tự luận: Ví dụ 1: chọn phép chiếu song song đường thẳng chéo đường thẳng song song Giải: P Q + Vì a, b chéo nên có cặp mặt phẳng (P), b d a (Q) cho a (P), b (Q), (P) //(Q) + Gọi (R)là mặt phẳng cắt (P), (Q) theo giao tuyến a’ b’ b’ a’ Vì (P) //(Q) nên a’ // b’ R + Gọi d đường thẳng nằm (P) không song song với a, b cắt ® Khi qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (R) theo phương d, hai đường thẳng chéo a b có hình chiếu a’ b’ song song với Ví dụ 2: Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu mặt phẳng chiếu thích hợp để hình chiếu song song tứ diện cho trước là: A a hình bình hành M b Một tam giác B Giải: D a + Giả sử A’B’C’D’ hình C chiếu song song tứ diện N’ ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD D’ + Muốn cho A’B’C’D’ B’ hình bình hành ta cần chọn phương chiếu cho O hình chiếu M, N A’ trùng Như C’ DeThiMau.vn chọn phương chiếu d phương đường thẳng MN mặt phẳng chiếu (P) cắt d hình chiếu song song tứ diện ABCD hình bình hành A’B’C’D’ Tóm lại ta chọn : - Phương chiếu d phương đường thẳng qua trung điểm cạnh đối diện hình tứ diện - Mặt phẳng chiếu (P) mặt phẳng tuỳ ý cắt đường thẳng d b Muốn có hình chiếu song song tứ diện tam giác ta cần chọn: - Phương chiếu d trùng với phương cạnh tứ diện Như có cách lựa chọn phương chiếu khác ta có đỉnh tứ diện có chung hình chiếu - Mặt phẳng chiếu (P) mặt phẳng tuỳ ý cắt đường thẳng d Ví dụ 3: Hãy vẽ dạng hình biểu diễn có hình tứ diện ABCD Giải: Giả sử A’B’C’D’ hình biểu diễn hình tứ diện ABCD, ta có hình biểu diễn sau: B’ A’ B’ B’ (1) A’ A’ D’ C’ D’ C’ (2) C’ D’ (3) B’ B ’ A’=B’ A’ A’ C’ D’ C’ D’ C’ (4) (5) (6) Có thể giải thích sau: + Hình (1): ta nhìn thấy mặt tứ diện (ABC) (ACD), mặt lại bị che khuất nên cạnh B’D’ vẽ nét đứt + Hình (2) : ta nhìn thấy mặt tứ diện (ABC), (ACD), (ABD) + Hình (3): ta nhìn thấy mặt (BCD), mặt cịn lại bị (BCD) che khuất + Hình (4): tam giác phương chiếu trùng với phương cạnh AB + Hình (5): ta nhìn thấy mặt (BCD) phương chiếu song song với mặt phẳng (ABC) + Hình (6): ta nhìn thấy mặt phẳng (ACD) (ABD), phương chiếu song song với mặt phẳng (ABC) Ví dụ 4: Vẽ hình biểu diễn lục giác DeThiMau.vn D’ Giải A B A’ B’ O’ C + Xét hình lục giác ABCDEF F’ F O tâm O ta có: Tứ giác OABC hình thoi E’ Các điểm D, E, F đối E D xứng với A, B, C qua O + Cách vẽ hình biểu diễn: Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn hình thoi OABC Lấy điểm D’, E’, F’ đối xứng với A’, B’, C’ qua O’ Ta hình biểu diễn hình lục giác ABCDEF A’B’C’D’E’F’ Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD BCEF nằm mặt phẳng phân biệt a Tìm điểm M đoạn DF điểm N đoạn AC cho MN // BE b Tính tỉ số F MD MF E Giải: a Phân tích: + Giả sử tìm B M DF, N AC: MN // BE K C M + Xét phép chiếu song song theo phương chiếu BE lên mặt phẳng (ABCD) Khi N A qua phép chiếu này, hình D chiếu điểm D, M, F D, N, K Vì D, M, F thẳng hàng nên D, N, K thẳng hàng Do đó: N = DK AC Từ ta có cách dựng sau: Cách dựng: + Dựng K hình chiếu F qua phép chiếu theo phương BE lên mặt phẳng (ABCD) suy BEFK hình bình hành + Dựng N = DK AC + Trong mặt phẳng (DFK) kẻ MN // KF cắt DF M Vậy M, N điểm cần tìm b MD ND MF NK ND AD + Ta có NAD NCK NK CK MD + Từ (1) (2) suy MF + Xét tam giác DFK có MN // FK DeThiMau.vn (1) (2) C’ D’ 2/ Loại tốn trắc nghiệm: Ví dụ 6: Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng chéo a b có hình chiếu đường thẳng a’ b’ Mệnh đề sau đúng: (A) a’ b’ cắt (B) a’ b’ trùng (C) a’ b’ khơng thể song song (D) a’ b’ cắt song song với Đáp án (D) HD: + Gọi d phương chiếu, a (P), b (Q) d //(P), d //(Q) + Nếu (P) cắt (Q) a’ b’ cắt + Nếu (P) // (Q) a’// b’ Ví dụ 7: Cho điểm không đồng phẳng A, B, C, D có hình chiếu song song lên mặt phẳng (P) điểm A’, B’, C’, D’.Những khẳng định sau không xảy ra: (A) A’, B’, C’, D’ đỉnh hình bình hành (B) D’ trọng tâm tam giác A’B’C’ (C) D’ trung điểm cạnh A’B’ (D) Hai điểm B’, C’ nằm điểm A’ D’ Đáp án: (D) HD: điểm a’, B’, C’, D’ thẳng hàng A, B, C, D khơng đồng phẳng Ví dụ 8: Mệnh đề sau đúng: (A) Hình chiếu song song đường thẳng cắt đường thẳng song song (B) Hình chiếu song song hình bình hành hình bình hành (C) Phép chiếu song song biến tam giác thành tam giác mặt phẳng chứa tam giác không phương với phương chiếu (D) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài đoạn thẳng Đáp án (C) HD: Dùng cách loại trừ mệnh đề (A), (B), (D) (A) sai a’, b’ hình chiếu song song a, b cắt M điểm M’ hình chiếu M qua phép chiếu song song phải thuộc a’ b’ suy a’, b’ cắt trùng (B) sai phương chiếu song song với mặt phẳng chứa hình bình hành (D) sai đọan thẳng khơng nằm đường thẳng đường thẳng song song Vậy có (C) Ví dụ 9: Hình vẽ sau khơng phải hình biểu diễn hình tứ diện ABCD DeThiMau.vn A A D A D B B A C B C C B D D C (A) (B) (C) (D) Đáp án (D) HD: xem ví dụ Ví dụ 10: Hình vẽ sau khơng phải hình biểu diễn hình hộp? B C A A B’ A’ B’ (A) (B) D C’ A’ C C’ A D A C D’ D’ B B D B C C’ (C) (D) A’ D’ A’ D’ B’ C’ Đáp án (A) HD: + Rõ ràng (B) + (C) phương chiếu song song với BD’ + (D) phương chiếu song song với đáy (ABCD) (A’B’C’D’) Ví dụ 11: Xét phép chiếu theo phương d lên mặt phẳng (P).AB // CF AB = DF Gọi A’, B’, C’, D’, E’, F’ hình chiếu A, B, C, D, E, F qua phép chiếu nói Mệnh đề sau đúng? E F DF D' F ' 1 AB A' B' C ' D' CD B) C ' E ' CE (A) C D d B A (C).D’F’=A’B’ (D) Tất (A), (B), (C) F’ D’ E’ C’ P DeThiMau.vn A’ B Đáp án : (D) HD: Vận dụng tính chất phép chiếu song song III.BÀI TẬP: 1/ Bài tập tự luận: 1.Cho tam giác ABC Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) phương chiếu d để hình chiếu tam giác ABC (P) là: a Một tam giác cân b Một tam giác c Một tam giác vuông 2.Hãy vẽ hình biểu diễn hình thang ABCD vng A B, có cạnh AB = BC = a, AD = 2a Hãy vẽ hình biểu diễn đường phân giác góc ACD 3.Hãy vẽ hình biểu diễn tam giác vuông nội tiếp đường trịn Từ vẽ hình biểu diễn hình vng nội tiếp đường trịn 4.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N trung điểm CD CC’ a Xác định đường thẳng d qua M cắt AN cắt A’B EM EF b Gọi E, F giao điểm d với AN A’b Tính 2/ Bài tập trắc nghiệm: 1.Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng a b có hình chiếu hai đường thẳng song song a’ b’ Khi đó: (A) a b phải song song với (B) a b phải cắt (C) a b chéo song song với (D) a b song song 2.Mệnh đề sau đúng: (A) Hình chiếu song song đường thẳng chéo song song với (B) Hình chiếu song song đường thẳng cắt nhauthì song song (C) Hình chiếu song song hình vng hình vng (D) Hình chiếu song song lục giác đề lục giác 3.Hình chiếu song song hình thang ABCD khơng thể hình đây? (A) Hình bình hành (B) Hình tam giác cân (C) Đoạn thẳng (D) Bốn điểm thẳng hàng 4.Hình vẽ sau khơng phải hình biểu diễn hình chóp tứ giác S.ABCD? (A) (B) S C D A S D B B A C DeThiMau.vn S C (C) (D) D S A A B B D DeThiMau.vn C HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VÀ ĐÁP SỐ Chủ đề 1/Bài tập tự luận 1.a) Qua BC ta dựng mặt phẳng (P) không qua A Trong mặt phẳng A (P) ta dựng tam giác cân DBC (DB=DC) Khi phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo C P phương chiếu AD biến tam giác F E ABC thành tam giác DBC cân D b) Trong mặt phẳng (P) câu a), ta dựng tam giác EBC Khi B phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AE biến tam giác ABC thành tam giác EBC c) Trong mặt phẳng (P) câu a), ta dựng tam giác FBC vng F Khi phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AF biến tam giác ABC thành tam giác vng FBC B 2.* Hình biểu diễn hình thang a C ABCD vng A B phải thoả mãn yêu cầu sau: AD // BC a AD = BC a Lưu ý rằng: Các góc A B vẽ không cần A a E a D hình thực chúng góc vng Các độ dài AB BC vẽ không cần * + Gọi E trung điểm AD suy ABCE hình vuông cạnh a suy AC = a + Xét tam giác vng cân CED có CE = ED = a suy CD = a =AC Do tam giác ACD tam giác cân đỉnh C suy CE đường phân giác góc ACD Vậy hình biểu diễn đường phân giác góc ACD đường trung tuyến tam giác ACD F * Vẽ elip tâm O hình biểu diễn M A dường tròn cho Lấy điểm C B C thuộc elip cho B, O, C M thẳng hàng Lấy điểm A thuộc elip O E cho A khác B C Khi tam giác ABC hình X biểu diễn tam giác vng nội tiếp đường trịn N DeThiMau.vn * Qua A kẻ dây ME NF elip cho ME // AC, NF // AB Khi tứ giác MNEF hình biểu diễn hình vng nội tiếp đường trịn a) Phân tích: Giả sử ta dựng đường thẳng d thoả mãn yêu cầu toán tức d AN = E, d A’B = F d qua M B’ C’ + Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương A’B Khi điểm M, E, F có hình chiếu M, G, B suy M, G, B thẳng hàng N A’ D Gọi H hình chiếu N ’ H suy AH hình chiếu AN F d Vì E AN nên G AH E suy G = AH BM C B Lưu ý A’B // D’C // NH G M suy H DC Cách dựng: + Kẻ NH // D’C, cắt DC H A D + Dựng G = AH BM + Trong mặt phẳng (ANH) kẻ GE //HN, E AN + Vẽ đường thẳng ME, đường thẳng d cần tìm Dễ thấy d cắt A’B b) + Ta có CM = CH MH = CD = AB ABHM hình bình hành G trung điểm BM + Mà GE // BF E trung điểm MF Vậy EM 1 EÌ 2/Bài tập tự luận: 1.Đáp án (C) HD: Nếu a’ // b’ mặt phẳng (a,a’) // mặt phẳng (b,b’) Khi a b song song chéo Đáp án (A) HD: Xem ví dụ Đáp án (B) HD: + Hình bình hành hình vng (A) + Khi phương chiếu song song với mặt phẳng chứa hình thang (C), (D) Đáp án (D) HD: Hình (D) có điểm A, B, C thẳng hàng phương chiếu phải song song với mặt phẳng (ABC), tức song song với mặt phẳng (ABCD) Khi điểmA, B, C, D phải thẳng hàng (D) sai DeThiMau.vn ... (D) a b song song 2.Mệnh đề sau đúng: (A) Hình chiếu song song đường thẳng chéo song song với (B) Hình chiếu song song đường thẳng cắt nhauthì song song (C) Hình chiếu song song hình vng hình vng... phẳng Ví dụ 8: Mệnh đề sau đúng: (A) Hình chiếu song song đường thẳng cắt đường thẳng song song (B) Hình chiếu song song hình bình hành hình bình hành (C) Phép chiếu song song biến tam giác thành...* Một hình bình hành coi hình biểu diễn hình bình hành tuỳ ý cho trước( hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng…) * Một hình thang coi hình biểu diễn hình thang tuỳ ý