SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012 Mơn : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2012 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có trang) Câu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tính giá trị biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a – b +1) Câu 2: (2,0 điểm) Rút gọn : B = 1007 2013 1007 2013 2 Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho ( n Z ) Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m2 -5)x - 2012 So sánh f(1- 2011 ) f(1- 2013 ) Câu 5: (1,5điểm) Cho ABC có trung tuyến AM Chứng minh : AB2 AC2 2AM BC2 Câu : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 a – 76 số phương Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh với x,y ta có : x y xy x3 y Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = x 3 2 x µ nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh rằng: Câu 9: (1,5điểm) Cho ABC có A BC 2R.sin A Câu 10:(1,5điểm) Tìm số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = Cõu 11:(1,5im) Cho ABC, đường thẳng d cắt AB , AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù E ,F,N (E A,B F A,C ).Chøng minh : AB AC 2AM AE AF AN Câu12:(1,5điểm) Cho đường tròn (O;R) đường thẳng a ngồi đường trịn Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến a M điểm chuyển động a Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Gọi D giao điểm AB với OH Chứng minh D điểm cố định HẾT -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : Giám thị 1: Ký tên Số Báo danh Giám thị 2: Ký tên DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012 Mơn : TỐN Ngày thi :18/02/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM Câu 1(2,0 điểm) Biết a – b = Tính giá trị biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1) A = a3+ a2–b3+b2+ab–3a2b +3ab2–3ab 0,5đ = (a3–3a2b +3ab2– b3) + (a2–2ab +b2) 0,5đ = (a–b)3+(a–b)2 0,5đ = 33+32=36 0,5đ 2014 2013 2014 2013 4 0,5đ = ( 2013 1) ( 2013 1) 4 0,5đ = 2013 2013 2 0,5đ Câu 2(2,0 điểm) B = = -1 Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho ( n Z ) 0,5đ A = n3 – 6n2 – 12n + 18 ⇔ A = n3 – n – 6n2 –12 n + 18 ⇔A = n(n – 1)(n+1) – 6n2 – 12n + 18 Do n(n – 1)(n+1) tích số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1) ⋮ Mặt khác – 6n2 – 12n + 18⋮ nên A ⋮ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m2-5)x- 2012 So sánh f(1- 2011 )và f(1- 2013 ) Biến đổi (4m - m2 - 5) = m 1 0,5đ m 1 hàm số y = f(x ) nghịch biến Lập luận 2011 2013 f (1 2011) f (1 2013) 0,5đ 2 0,5đ 0,5đ Câu : (1,5điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Chứng minh : AB2 AC2 2AM A BC2 Vẽ AH BC ,H BC c/m AB2+AC2 = 2AH2+ BH2+ CH2 (1) 0,5đ (2) 0,5đ c/m AH2 = AM2 - HM2 BH2 = BM2 -2BM HM+HM2 B H M C CH2 = HM2 -2HM CM+CM2 DeThiMau.vn ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011- 2012 Mơn : TỐN Ngày thi :18/02 /2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM Câu 1(2,0 điểm) Biết... (4m-m2-5)x- 2012 So sánh f(1- 2011 )và f(1- 2013 ) Biến đổi (4m - m2 - 5) = m 1 0,5đ m 1 hàm số y = f(x ) nghịch biến Lập luận 2011 2013 f (1 2011) ... CH2 (1) 0,5đ (2) 0,5đ c/m AH2 = AM2 - HM2 BH2 = BM2 -2BM HM+HM2 B H M C CH2 = HM2 -2HM CM+CM2 DeThiMau.vn