sở giáo dục đào tạo quảng ninh kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp năm học 2006-2007 đề thi thức môn : Toán (bảng A) Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 27/3/2007 Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Bài Rót gän biĨu thøc A = 13 30 Bµi Chøng minh r»ng víi x > 0, x 1, biĨu thøc sau không phụ thuộc vào biến: x x 1 x x 1 x x x x x x x x x x 1 Bài Giải phương trình: (2x + 1)2(x + 1)x = 105 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng (d1) : y = 3x – m – vµ (d2) : y = 2x + m - Chøng minh r»ng m thay đổi, giao điểm (d1) (d2) nằm đường thẳng cố định Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D khác A B Trên tia đối tia CA lấy điểm E khác C Cạnh BC cắt DE I Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI điểm thứ hai K Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ADE qua điểm K Bài Cho tam giác ABC có góc nhọn, H trực tâm tam giác Dựng đường tròn tâm O đường kính BC, qua A kẻ tiếp tuyến AP, AQ với đường tròn (P, Q tiếp điểm) Chứng minh: P, H, Q thẳng hàng Bài Cho a, b ≥ tho¶ m·n : a b Chøng minh r»ng: ab(a + b)2 ≤ DÊu b»ng xảy ? HÕt ThuVienDeThi.com 64 híng dÉn chÊm thi Häc Sinh Giỏi cấp tỉnh môn toán lớp - bảng a năm học 2006-2007 Sơ lược lời giải Bài Cho điểm 1,5 đ Bài Rút gọn được: =2 +1 ; = +1 ®iĨm => 13 30 = 43 30 = + Bµi x x 1 x x 1 = Với x > 0, x 1, rút gọn được: ®iĨm x x x x vµ x2 x x x x x 1 1,5 ® 2 x ( x 1) = x ( x 1) 1,5 ® 1,0 ® x x 1 x x 1 x x x x x Suy : = - (®pcm !) x x x x x 1 0,5 ® BiÕn ®æi ph/tr (1): (2x + 1)2(x + 1)x = 105 thành (4x2+4x+1)(x2+x) = 105 Bài 3 điểm §Ỉt x2+x = t, tõ (1) => (4t+1)t = 105 4t2 + t – 105 = (2) Gi¶i (2) t = t = -21/4 Với t = 5, tìm x1,2 = (-1 21 )/2; Với t = -21/4, vô nghiệm Vậy phương trình (1) cã hai nghiƯm lµ x1,2 = (-1 21 )/2 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1,0 ® 0,5 đ Tìm (d1) cắt (d2) M(2m ; 5m-1) với m 1,0 đ Bài 1,0 đ ®iĨm Suy quan hƯ : ym = 5xm/2 – víi mäi m Do ®ã m thay ®ỉi, giao điểm M (d1) (d2) nằm đường thẳng cố định (d) : y = (5/2)x - 1,0 đ Trớc hết ch/m BKI + BDI = BKC + BAC => BKID nội tiếp Bài điểm Chứng minh được: DKE = DKI + IKE = DBC + BCA => DKE+ DAC = DBC+ BCA+ DAC = 1800=> ADKE néi tiÕp Suy đường tròn (ADE) qua K (đpcm !) 1,0 ® 0,5 ® 1,25 ® 0,25 ® Gäi I = AOxPQ; D = ACx(O) Do AP, AQ tiếp tuyến nên PQ AO Bài điểm Chứng minh AI.AO = AQ2 = AD.AC = AH.AK => tø gi¸c HIOK néi tiÕp Suy IH AO Từ suy P, H, Q thẳng hàng (®pcm !) 0,5 ® 1,0 ® 1,0 ® 0,5 ® Bài Do giả thiết a, b 0; a b nªn: ab(a + b)2 ≤ 64.ab(a + b)2 ≤ 64 ®iĨm 2 64ab(a + b) ≤ ( a b ) 64ab(a + b) ≤ (a+b+2 ab )4 1,0 đ áp dụng BĐT Côsi, được: (a+b+2 ab ) (a b).2 ab => (a+b+2 ab )4 (2 (a b).2 ab )4 = 64.ab(a+b)2 (®pcm !) DÊu = cã a+b = ab a = b = 1/4 ThuVienDeThi.com 0,75 ® 0,25 ® Các ý chấm: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho câu phần Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần đà chấm, không làm tròn Sở Giáo dục Đào tạo Qu¶ng Ninh ThuVienDeThi.com ...híng dÉn chÊm thi Häc Sinh Giái cÊp tØnh m«n toán lớp - bảng a năm học 2006- 2007 Sơ lược lời giải Bài Cho điểm 1,5 đ Bài Rút gọn được: =2 +1... (®pcm !) DÊu = cã a+b = ab a = b = 1/4 ThuVienDeThi.com 0,75 đ 0,25 đ Các ý chấm: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác điểm tối... HIOK néi tiÕp Suy IH AO Tõ ®ã suy P, H, Q thẳng hàng (đpcm !) 0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ Bài Do giả thi? ?t a, b ≥ 0; a b nªn: ab(a + b)2 ≤ 64.ab(a + b)2 ≤ 64 ®iĨm 2 64ab(a + b) ≤ ( a b )