(SKKN CHẤT 2020) hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn

I- PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bồi dưỡng học sinh giỏi việc cần thiết, thường xuyên nhà trường Mỗi cấp học, lớp học với yêu cầu cụ thể phải giúp em có khiếu nâng cao kiến thức cách hệ thống theo chương trình tiếp thu lớp học hàng ngày Trong trình giảng dạy, thân tơi nhận thấy mảng kiến thức “phương trình nghiệm nguyên” đề tài lý thú Số học Đại số Nội dung lôi nhiều người, từ học sinh nhỏ đến chuyên gia tốn học lớn Phương trình tốn với nghiệm nguyên mãi đối tượng nghiên cứu Tốn học Ngồi phương trình bậc hai ẩn, tốn tìm nghiệm ngun thường khơng có quy tắc giải tổng quát Mỗi toán với số liệu riêng địi hỏi cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư tốn học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Chính mà tốn tìm nghiệm ngun thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi Tốn tất cấp Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn khối 6; bồi dưỡng giải tốn qua mạng lớp 9, tơi thấy có nhiều tập chủ đề phương trình nghiệm ngun khiến nhiều em học sinh gặp khơng khó khăn khơng nắm rõ dạng phương pháp giải chúng Vì vậy, tơi nghiên cứu đề tài ‘‘Hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn" nhằm hướng dẫn em học sinh giỏi nắm giải tốt tốn phương trình nghiệm nguyên * Điểm đề tài Đề tài có số tác giả nghiên cứu Song, điểm đề tài vận dụng nhiều phương pháp khác nhau, phân loại dạng tốn tìm nghiệm ngun, đề tài sử dụng số toán thi học sinh giỏi cấp huyện số toán trang Violympic.vn Để phù hợp với đối tượng học sinh, đề tài đề cập đến số phương pháp download by : skknchat@gmail.com số dạng toán chủ đề phương trình nghiệm nguyên hai ẩn Phương trình nghiệm ngun có nhiều dạng khác với nhiều cách giải phong phú khác nhau, đề tài này, chủ yếu đưa phương pháp giải thể qua ví dụ lấy từ tài liệu nâng cao môn Toán, từ đề thi học sinh giỏi cấp huyện, tập giải toán qua mạng 2.Phạm vi áp dụng đề tài, sáng kiến, giải pháp: Phạm vi nghiên cứu đề tài chủ đề phương trình nghiệm ngun hai ẩn số chương trình mơn Tốn THCS Trong đề tài tơi nghiên cứu phương trình nghiệm nguyên với hai ẩn số Đối tượng áp dụng đề tài học sinh khá, giỏi mơn Tốn lớp đơn vị ( học sinh tham gia bồi dưỡng giải toán qua mạng ) II- PHẦN NỘI DUNG Thực trạng nội dung cần nghiên cứu: Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy đơn vị, trình bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy học sinh thường ngại giải phương trình nghiệm ngun, đặc biệt phương trình khơng dạng mẫu mực, phương trình nhiều ẩn, phương trình không giải phương pháp giải giáo viên hướng dẫn Học sinh thường lúng túng gặp phương trình có dạng lạ thống nhìn thấy phức tạp, tốn kiểu làm giảm hứng thú tính kiên nhẫn trị q trình học tốn Có nhiều nguyên nhân dẫn đến học sinh gặp khó khăn giải tốn phương trình nghiệm ngun, phải nhắc đến nguyên nhân bản, là: học sinh không hiểu giải phương trình nghiệm ngun, khơng nắm cách biểu diễn nghiệm phương trình nhiều ẩn, khơng nắm nắm khơng đầy đủ phương pháp giải phương trình nghiệm ngun; khơng phân loại phương trình nghiệm ngun, học sinh thường mắc số sai lầm giải phương trình nghiệm nguyên download by : skknchat@gmail.com Khi áp dụng đề tài đơn vị, tiến hành khảo sát đội tuyển bồi dưỡng giải tốn qua mạng lớp chủ đề phương trình nghiệm nguyên hai ẩn, số liệu thu sau: Loại Không biết điểm cách làm SS:06 SL 02 Trước thực tế đó, tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm ngun hai ẩn” với mong muốn giúp học trò cảm thấy hứng thú hơn, tự tin giải tốt gặp tốn phương trình nghiệm ngun phương trình hai ẩn số Các giải pháp: 2.1 Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh nắm vững khái niệm, thuật ngữ phương trình nghiệm nguyên Khi đọc đề tốn phương trình nghiệm ngun, có nhiều học sinh khơng hiểu vấn đề gì, tìm nghiệm ngun nào; số không nắm cách biểu diễn nghiệm phương trình nhiều ẩn số Để giải vấn đề trên, giáo viên cần rõ cho học sinh thông hiểu khái niệm, thuật ngữ bản, biết cách biểu diễn nghiệm phương trình ẩn, phương trình hai ẩn Một số khái niệm, thuật ngữ bản, là: Phương trình hai ẩn phương trình có dạng f(x;y) = Nghiệm phương trình hai ẩn f(x;y) = số (x; y) thỏa mãn phương trình Nghiệm nguyên phương trình hai ẩn f(x;y) = số nguyên (x;y ) thỏa mãn phương trình cho download by : skknchat@gmail.com Giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn f(x;y) = tìm tất số nguyên (x,y) thoả mãn phương trình 2.2 Giải pháp 2: Phân loại dạng phương trình nghiệm nguyên Dạng 1: Phương trình bậc ẩn Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình: 12x – 7y = 45 (1) Giải Ta thấy: 45 3; 12x nên 7y Đặt y = 3k Thay vào (1) ta có: y (k Z) 12x – 3k = 45 4x – 7k = 15 x= Đặt t= (t Z) k = 4t – Do x = 2(4t – 1) + – t = 7t + y = 3k = 3(4t - 1) = 12t – Vậy nghiệm nguyên phương trình biểu thị cơng thức: x = 7t + y = 12t – Dạng 2: Phương trình bậc hai ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy – 2y – = 3x – x2 Giải Cách 1: Biểu thị ẩn qua ẩn kia: y(x - 2) = 3x – x2 +3 Dễ thấy: x = không thoả mãn phương trình Vậy x y= =-x+1+ download by : skknchat@gmail.com Để y Z ta phải có: nguyên phương trình là: (1; - 5); (3; 3); (- 3; 3); (7; - 5) Cách 2: Đưa phương trình ước số: xy – 2y – = 3x – x2 y(x - 2) + x2 – 2x – x + = y(x - 2) + x(x - 2) – (x - 2) = (x – 2) (y + x - 1) = Ta có: Vậy nghiệm nguyên phương trình là: (1; - 5); (3; 3); ( - 3; 3); (7; - 5) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – 2x – 11 = y2 Giải x2 – 2x – 11 = y2 x2 – 2x + – 12 = y2 (x - 1)2 – y2 = 12 (x – + y) (x – - y) = 12 * Vì phương trình (1) chứa y với số mũ chẵn nên giả thiết y download by : skknchat@gmail.com Thế thì: x – + y x – – y * Do (x – + y) – (x – - y) = 2y nên x – + y x – – y tính chẵn lẻ Tích chúng 12 nên chúng chẵn Từ ta có: Suy ra: x–1+y - x–1-y - Vậy nghiệm phương trình là: (5; 2); (5; - 2); (- 3; 2); (- 3; - 2) Dạng 3: Phương trình dạng phân thức Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: (1) Giải Nhân hai vế phương trình với 6xy, ta có: 6y + 6x + = xy Đưa phương trình ước số ta có: x(y - 6) – 6(y – 6) = 37 (x - 6) (y - 6) = 37 Do vai trị bình đẳng x y, giả sử x Thế x – y–6 y 1, -5 Chỉ có trường hợp xảy ra: x – = 37 y–6=1 x = 43 y=7 Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: (43; 7); (7; 43) Dạng 4: Phương trình dạng mũ download by : skknchat@gmail.com Ví dụ: Tìm số tự nhiên x y cho: 2x + = y2 Giải Ta xét giá trị tự nhiên x * Nếu x = y2 = suy y = * Nếu x = y2 = 5: Phương trình khơng có nghiệm ngun * Nếu x ta có: 2x Suy vế trái chia cho dư 3; vế phải chia cho dư ( mâu thuẫn) Vậy, phương trình có nghiệm là: (0; 2); (0; -2) 2.3 Giải pháp 3: Hướng dẫn phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm nguyên Khi giải phương trình với nghiệm nguyên phải lợi dụng tính chất tập hợp Z nên biến đổi tương đương ta dùng đến biến đổi mà giá trị ẩn thoả mãn điều cần chưa phải điều kiện cần đủ nghiệm Trong trường hợp ta cần kiểm tra giá trị cách thử vào phương trình cho Vì vậy, việc giải phương trình với nghiệm nguyên thường gồm bước: Bước 1: Giả sử phương trình có nghiệm nguyên (x0, y0, z0…) ta suy ẩn phải nhận giá trị Bước 2: Thử lại giá trị ẩn để khẳng định tập hợp nghiệm phương trình Tuy nhiên để đơn giản trình bày khơng tách riêng hẳn bước Với toán mà biến đổi tương đương ta khơng cần bước Một phương trình với nghiệm ngun vơ nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có vơ số nghiệm Trong trường hợp phương trình có vơ số nghiệm, nghiệm ngun phương trình thường biểu thị cơng thức có chứa tham số số nguyên download by : skknchat@gmail.com a = 2, b = thay vào (1) loại Vậy số phải tìm là: 1; 3; 1; 4; 2; 2; Phương pháp 2: Xét khoảng giá trị ẩn Ví dụ: Số nghiệm nguyên dương phư Đề thi vòng 15 Violympic Tốn năm 2014 ) Giải Do vai trị bình đẳng x, y Giả sử x y Ta có: Do x y Nên Do x Từ (1) (2) ta có Vì vai trị x y bình đẳng nên nghiệm nguyên phương trình (5; 20); (20; 5); (6; 12); (12; 6); (8; 8) Vậy, số nghiệm nguyên phương trình Phương pháp 3: Chỉ nghiệm nguyên nhận xét Ví dụ: Tìm số tự nhiên x cho 2x + 3x = 35 * Với x = vế trái => x = khơng phải nghiệm ngun phương trình * Với x = vế trái => x = nghiệm nguyên phương trình download by : skknchat@gmail.com * Với x = ta có 23 + 33 = 35 thoả mãn phương trình * Với x > ta có 2x + 3x > 23 + 33 = 35 => 2x + 3x > 35 Vậy, số tự nhiên x thỏa mãn phương trình x = Phương pháp : Sử dụng điều kiện  để phương trình bậc có nghiệm Ví dụ: Số nghiệm ngun phương trình x + y + xy = x2 + y2 (1) … ? ( Đề thi vòng 16 – Violympic Toán năm 2014 ) Giải Viết (1) thành phương trình bậc x x2 – (y + 1)x + (y2 – y) = (2) Điều kiện để cần phương trình bậc có nghiệm   = (x + 1)2 – 4(y2 - y) = y2 + 2y + – 4y2 + 4y =  - 3y2 + 6y + = - (3y2 – 6y - 1) 3x2 – 6y – 3y2 – 6y +3 – 3(y - 1)2 (y – 1)2 Vì y nguyên nên y – nguyên, Vậy ta có bảng sau : * Với y = thay vào (2) ta có: x2 – x = x1 = 0; x2 = * Với y = thay vào (2) ta có: x2 – 2x = x3 = 0; x4 = * Với y = thay vào (2) ta có: x2 – 3x + = x5 = 1; x6 = Thử lại giá trị nghiệm (1) Do đó, nghiệm nguyên phương trình là: (0;0); (1; 0); (0; 1); (2; 1); (1; 2); (2;2) Vậy, phương trình (1) có nghiệm nguyên download by : skknchat@gmail.com 2.3.4 Nhóm phương pháp dùng tính chất chia hết số phương Phương pháp 1: Sử dụng tính chất chia hết số phương * Các tính chất thường dùng - Các số phương khơng có tận 2; 3; 7; - Số phương chia hết cho số ngun tố p chia hết cho p2 - Số phương chia cho có số dư 0; - Số phương chia cho có số dư 0; - Số phương chia cho có số dư 0; 1; Ví dụ: Tìm số ngun x để 9x + tích số nguyên liên tiếp Giải Giả sử 9x + = n(n + 1) với n Z n2 + n – (9x + 5) = Để phương trình bậc n có nghiệm nguyên, điều kiện cần  số phương Nhưng  = + 4(9x + 5) = 36x + 21 không chia hết cho 32 Vậy 36x + 21 số phương Do khơng tồn số nguyên n để 9n + = n(n + 1) tức không tồn số nguyên x để 9x + tích số nguyên liên tiếp Phương pháp 2: Tạo bình phương Ví dụ: Phương trình sau có nghiệm ngun ? 3x2 + 4y2 = 6x + 13 (1) ( Đề thi vịng 17 – Violympic Tốn năm 2013 ) Giải Biến đổi: 3x2 + 4y2 = 6x + 13 3x2 – 6x + = 16 – 4y2 3(x – 1)2 = 4(4 – y2) download by : skknchat@gmail.com Từ (2) ta thấy: – y2 hay y2 – y2 nên y2 = y2 = Với y2 = (2) có dạng 3(x – 1)2 = * 12 (x - 1)2 = x–1= x = x = - Với y2 = (2) có dạng 3(x - 1)2 = x = * Các cặp số: (3;1); (- 1; 1); (3; - 1); (1; - 1); (1; - 2) thoả mãn (2) nên nghiệm phương trình cho Vậy, phương trình (1) có nghiệm ngun Phương pháp : Xét số phương liên tiếp Hiển nhiên số phương liên tiếp khơng có số phương Do với số ngun a, x ta có: - Khơng tồn x để a2 < x2 < (a + 1)2 - Nếu a2 < x2 < (a + 2)2 x2 = (a + 1)2 Ví dụ: Chứng minh với số nguyên k cho trước không tồn số nguyên dương x cho: x(x + 1) = k(k + 2) Giải Giả sử x(x + 1) = k(k + 2) với k Z; x nguyên dương ta có: x2 + x = k2 + 2k x2 + x + = k2 + 2k + = (k + 1)2 Do x > nên x2 < x2 + x + = (k + 1)2 (1) Cũng x > nên (k + 1)2 = x2 + x + < x2 + 2x + = (x + 1)2 (2) Từ (1) (2) suy ra: x2 < (k + 1)2 < (x + 1)2 Vô lý Vậy không tồn số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2) 2.3.5 Nhóm phương pháp đặt ẩn phụ a) Đặt ẩn phụ kết hợp với xét tính chia hết ẩn: download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 1: Tìm tất nghiệm ngun x;y thoả mãn: Phương trình cho tương đương với: 7( x y ) 3( x xy y2 ) Đặt : x+y=p x-y=q Suy : x p q Thế x Dễ thấy : p 3( p 3q ) Suy p=3k Thay vào (2) ta có : 28k 3(3k q2 ) Vậy k suy k=3m (với m 0; m Z ) Thay k=3m vào (3) ta có : 28m 27m q2 Vì m (28 27 m ) q2 +Với m = k = 0, suy p = q = x = y = Giá trị x = y = không thoả mãn phương trình (I) +Với m = k = 3, suy p = 9, q = Vậy x = 5, y = x = 4, y = Do , nghiệm phương trình (I) (4;5) (5;4) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : 19 x 28 y2 729 Giải : Ta có : 19 x 28 y 729 18 x 27 y x y2 3.243 download by : skknchat@gmail.com x y x y Đặt x = 3u, y = 3v ( u, v 19(3u ) 28(3v ) 729 Z ) Khi ta có : 19u 28v 81 Tương tự , ta đặt : u = 3t , v = 3k ( t , k Z ) ta có : 19t 28k , điều vô lý Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm ngun: Ta có 1820=7.13.20 Từ x 13 y2 Đặt x = 13u , y = 7v ( u, v Z ) Phương trình cho trở thành : 13u v 20 (1) Suy u2 13 Thử lại có Vậy (1) có nghiệm (u,v) (1;1) , (1,-1) , (-1;1) (-1;-1) Từ suy , phương trình cho có nghiệm ngun (x, y) (13;7) , (-13; 7) , (13;-7) (-13;-7) b) Đặt ẩn phụ kết hợp với phương pháp đưa phương trình tích: Ví dụ y x ( x 1)( x 7)( x 8) Phương trình cho tương đương với : y Đặt : z x 8x Hay (2 z y 7)(2 z y 7) 49 Chỉ xảy trường hợp sau : Trưòng hợp 1: Trường hợp 2: download by : skknchat@gmail.com Trong hai trường hợp ta có : z x Trưịng hợp 3: Trong hai trường hợp ta có : z 16 x2 8x 16 ( x 4) x Trường hợp 5: z y z y 7 y z Khi ta có x x x x Trường hợp 6: z y z y 7 y z Khi ta có x x ( x 1)( x 7) x x Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên (x, y) sau : (1;12), (-9;12), (1;-12), (-9;-12), (0;0) , (-8;0) , (-1;0) , (-7;0) , (-4;12) , (-4;-12) c) Đặt ẩn phụ kết hợp với tạo bình phương đủ: Ví dụ 5: Tìm nghiệm ngun dương phương trình: y2 x(x 1)( x 2)( x 3) Giải : Phương trình cho biến đổi dạng: = x(x+1)(x+2)(x+3) + = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) + Đặt x 3x m (m nguyên dương), ta có : y m ( m 2) ( m 1)2 Vậy y ( x x 1)2 Vì x, y số ngun dương nên phương trình cho có vô số nghiệm nguyên dương dạng: d) Đặt ẩn phụ kết hợp với xét số phương liên tiếp: Ví dụ 6: Tìm ngiệm ngun phương trình: x y ( y 1)( y 2)( y 3) Giải: Đặt y y a ( a ) x a 2a download by : skknchat@gmail.com Nếu a > a x a 2 a ( a 1)2 , nên x2 không số phương Vậy a hay y y y Từ suy , phương trình có nghiệm ngun (x;y) là: (0;0) , (0;-1) , (0;2) , (0;-3) III- PHẦN KẾT LUẬN : Ý nghĩa đề tài, sáng kiến, giải pháp : Bài tốn phương trình với nghiệm ngun dạng tốn khó học sinh Để giải loại toán cần phải biết vận dụng nhiều phương pháp khác cách linh hoạt Trên số giải pháp mà trình giảng dạy thực tế hay sử dụng để hướng dẫn học sinh Tóm lại, để hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn, tơi thực ba nhóm giải pháp chủ yếu : Nhóm giải pháp : Hướng dẫn học sinh nắm vững khái niệm, thuật ngữ phương trình nghiệm ngun ; Nhóm giải pháp : Phân loại dạng phương trình nghiệm nguyên hai ẩn ; Nhóm giải pháp : Hướng dẫn phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn Qua trình hướng dẫn cách cụ thể đơn vị, nhận thấy học sinh biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp vào giải tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp Đối với học sinh giỏi em biết sử dụng, kết hợp phương pháp để giải toán dạng khó Qua giúp học sinh hứng thú gặp dạng tốn nói riêng học mơn Tốn nói chung Kết : Sau khảo sát đội tuyển giải toán qua mạng lớp năm 2014 với số lượng 06 em chủ đề phương trình nghiệm nguyên hai ẩn, kết thu sau : download by : skknchat@gmail.com Loại Dưới 5,0 điểm SL SS:06 Kiến nghị, đề xuất Trên đây, tơi trình bày số kinh nghiệm “ Hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn ”, kính mong độc giả, thầy giáo hội đồng khoa học góp ý xây dựng cho đề tài hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn ! Quảng Bình, tháng 10 năm 2015 NGƯỜI THỰC HIỆN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc w nl oa d by : sk kn ch at @ g m ail c o m TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP : ‘‘HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN HAI ẨN" Quảng Bình, tháng 10 năm 2015 CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP : download by : skknchat@gmail.com ‘‘HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN HAI ẨN" Họ tên: Dương Văn Dũng Chức vụ : Giáo viên Đơn vị : THCS Thái Thủy - Lệ Thủy - Quảng Bình Quảng Bình, tháng 10 năm 2015 download by : skknchat@gmail.com ... dạng phương trình nghiệm nguyên hai ẩn ; Nhóm giải pháp : Hướng dẫn phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn Qua trình hướng dẫn cách cụ thể đơn vị, nhận thấy học sinh. .. học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn? ?? với mong muốn giúp học trị cảm thấy hứng thú hơn, tự tin giải tốt gặp tốn phương trình nghiệm nguyên phương trình hai ẩn số Các giải pháp:... học sinh giỏi lớp giải phương trình nghiệm ngun hai ẩn, tơi thực ba nhóm giải pháp chủ yếu : Nhóm giải pháp : Hướng dẫn học sinh nắm vững khái niệm, thuật ngữ phương trình nghiệm ngun ; Nhóm giải