Dạng đề thi HSG môn thi Toán cấp huyện42062

DAẽNG ẹE THI HSG Môn thi TOáN CAP HUYEN Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao ®Ò  Câu ( 2,5 điểm) Cho biểu thức P =  x     x 1 x 1     :  x  x x  x  a) Tìm x để P xác định, rút gọn P b) Tính giá trị P x = 2 c) Tìm giá trị x thỏa mãn đẳng thức P x  x   x  Câu ( 2,0 điểm) a) Cho a + b + c = a, b, c khác Chứng minh rằng: 1 1 1  2    a b c a b c b) Giải phương trình x7  x5  Câu ( 1,5 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x    x    b) Cho x y thỏa mãn x  x2  2011 y  y2  2011  2011 Tính x + y Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH CH có độ dài 4cm, 9cm Gọi D E hình chiếu H AB AC a) Tính độ dài đoạn thẳng DE b) Các đường thẳng vng góc với DE D E cắt BC M N Tính diện tích tứ giác DENM Câu (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC); trung tuyến AM ฀ ฀ Gọi ACB   ; AMB   Chứng minh sin + cos    sin - Heát - ThuVienDeThi.com Câu Ý a Kú thi chän học sinh giỏi lớp Năm học 2011 - 2012 Hướng dẫn chấm Môn TOáN (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) Ni dung   x 1 x 1   P x :    , ĐKXĐ: x  0, x   x   x x  x    x 1  x 1   x 1 =  : x  x  x x 1   1đ b  Với x = 0,75đ c) ĐK: x  3 = 1 1 P x = x      x x = x 3  x  1 =  x  2  x 3 a) 1,0   1  x 2 x4 x4   x  2  x   (*) x4  0, x    x    x = (TM ĐKXĐ) 1 a  b  c  1 1 1  2 2 =   0=   2 a b c abc a b c a b c 1 1 1 1 1  2         a b c a b c a b c 1,0 1 2 1 1 Ta có           a b c ab bc ac a b c = b  x  1 x4  x > 0; Nên để (*) xảy 2  x 1   1 x4  x + x + = x 3 Do 2  ĐKXĐ, x =  = 2   x  1 =  x  1 x x  x  1     1 = Nên P = 0,75đ  x x 1 x 1 x x = : =  x x x x 1    = x 1 : x 1 x 1  x x x 1  x   x   ( ĐKXĐ: x  5)  x   x   (*) ThuVienDeThi.com điểm  x + = x – + + x  (do vế (*) không âm)  x5=  x  =  x = (  ĐKXĐ) a A  x2  6x 0,75 A2 = x  +  x + x   x = + Vì ĐKXĐ  x   A  x  6  x   x  6  x  0,25 Nên A2  hay A  - Do MinA =  x = x = ( tm ĐK) x  6  x  Mặt khác A2 = +  + x  + – x = (theo Cauchy) 0,25 A2  hay A  2 - Do MaxA = 2  x  =  x hay x = (tm ĐK) b 0,75 x    x2  2011 y  y2  2011  2011 (hai nhân tử v.trái phải khác 0)   Nên x  x2  2011  2011 y  y  2011 Tương tự y  y2  2011 =  y2  2011  y x2  2011  x Cộng vế theo vế, ta có x + y + y2  2011 + x2  2011 = y2  2011 + x2  2011  x  y  2(x + y) = nên x + y = a) A E D B 1,0 N M H C Ta có Tứ giác ADHE hình chữ nhật có góc vng nên AH = DE Mà AH2 = BH.CH ( Theo hệ thức đường cao hình chiếu) Nên AH2 = 4.9 = 36 Do AH = cm nên DE = cm b) C minh được: * M trung điểm BH nên DM = 1,5 * N trung điểm HC nên EN = BH = cm HC = 4,5 cm Nên tứ giác DENM hình thang vng có đáy cm 4,5 cm đường cao DE = cm Do SDENM = 1 (DM + EN).DE = (2 + 4,5).6 = 19,5(cm2) 2 ThuVienDeThi.com 0,25 Từ A vẽ AH  BC A Vì AB < AC nên HB < HC Do H nằm B M Nên sin  = 1,5 AH 2AH = AM BC  B H M ( Vì AM = BC Theo t/c trung tuyến tam giác vuông) 2 Mặt khác sin   cos   = sin2  + cos2  + 2sin  cos  = + 2sin  cos  Mà sin  cos  =  AB AC AH.BC 2AH   = 2 BC BC BC BC Do sin  = 2.sin  cos  Vì sin   cos   = + sin  ThuVienDeThi.com  C ...Câu Ý a Kú thi chän häc sinh giái lớp Năm học 2011 - 2012 Hướng dẫn chấm Môn TOáN (Thời gian làm 150 phút, không kĨ thêi gian giao ®Ị) Nội... 1    = x 1 : x 1 x 1  x x x 1  x   x   ( ĐKXĐ: x  5)  x   x   (*) ThuVienDeThi.com điểm  x + = x – + + x  (do caùc vế (*) không âm)  x5=  x  =  x = (  ĐKXĐ) a A ... đáy cm 4,5 cm đường cao DE = cm Do SDENM = 1 (DM + EN).DE = (2 + 4,5).6 = 19,5(cm2) 2 ThuVienDeThi.com 0,25 Từ A vẽ AH  BC A Vì AB < AC nên HB < HC Do H nằm B M Nên sin  = 1,5 AH 2AH = AM BC