1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Tuyển tập 52 đề thi toán cấp II

23 314 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 23
Dung lượng 1,18 MB

Nội dung

Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương ®Ị sè 1 C©u 1: Cho x = 2 2 2 2 b c a bc + − ; y = 2 2 2 2 ( ) ( ) a b c b c a − − + − TÝnh gi¸ trÞ P = x + y + xy C©u 2:Gi¶i ph¬ng tr×nh: a, 1 a b x+ − = 1 a + 1 b + 1 x (x lµ Èn sè) b, 2 2 ( )(1 )b c a x a − + + + 2 2 ( )(1 )c a b x b − + + + 2 2 ( )(1 )a b c x c − + + = 0 (a,b,c lµ h»ng sè vµ ®«i mét kh¸c nhau) C©u 3: X¸c ®Þnh c¸c sè a, b biÕt: 3 (3 1) ( 1) x x + + = 3 ( 1) a x + + 2 ( 1) b x + C©u 4:Chøng minh ph¬ng tr×nh: 2x 2 – 4y = 10 kh«ng cã nghiƯm nguyªn. C©u 5:Cho ∆ ABC; AB = 3AC. TÝnh tû sè ®êng cao xt ph¸t tõ B vµ C §Ị sè 2 C©u 1:Cho a,b,c tho¶ m·n: a b c c + − = b c a a + − = c a b b + − TÝnh gi¸ trÞ M = (1 + b a )(1 + c b )(1 + a c ) C©u 2: X¸c ®Þnh a, b ®Ĩ f(x) = 6x 4 – 7x 3 + ax 2 + 3x +2 Chia hÕt cho y(x) = x 2 – x + b C©u 3: Gi¶i PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680. b, 4x 2 + 4y – 4xy +5y 2 + 1 = 0 C©u 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa ph©n sè mµ tư sè lµ mét sè cã 3 ch÷ sè mµ mÉu lµ tỉng c¸c ch÷ sè cđa nã. C©u 5: Cho ∆ ABC c©n t¹i A, trªn AB lÊy D, trªn AC lÊy E sao cho:AD = EC = DE = CB. a, NÕu AB > 2BC. TÝnh gãc µ A cđa ABCV b, NÕu AB < BC. TÝnh gãc µ A cđa HBCV . ®Ị sè 3 C©u 1:Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: a, a 3 + b 3 + c 3 – 3abc b, (x-y) 3 +(y-z) 3 + (z-x) 3 C©u 2:Cho A = 2 2 2 (1 ) 1 x x x − + : 3 3 1 1 ( )( ) 1 1 x x x x x x   − + + −   − +   a, Rót gän A b, T×m A khi x= - 1 2 c, T×m x ®Ĩ 2A = 1 - 1 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 3:a, Cho x+y+z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x 2 + y 2 + z 2 b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa P = 2 ( 10) x x + C©u 4:a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 < a a b+ + b b c+ + c c a+ < 2 b, Cho x,y ≠ 0 CMR: 2 2 x y + 2 2 y x ≥ x y + y x C©u 5: Cho ABCV ®Ịu cã ®é dµi c¹nh lµ a, kÐo dµi BC mét ®o¹n CM =a a, TÝnh sè ®o c¸c gãc ACMV b, CMR: AM ⊥ AB c, KÐo dµi CA ®o¹n AN = a, kÐo dµi AB ®o¹n BP = a. CMR MNPV ®Ịu. ®Ị sè 4 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: a, a 8 + a 4 +1 b, a 10 + a 5 +1 C©u 2:a, Cho a+b+c = 0, TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = 2 2 2 1 b c a+ − + 2 2 2 1 c a b+ − + 2 2 2 1 a b c+ − b, Cho biĨu thøc: M = 2 2 3 2 15 x x x − + − + Rót gän M + T×m x ∈ Z ®Ĩ M ®¹t gi¸ trÞ nguyªn. C©u 3: a, Cho abc = 1 vµ a 3 > 36, CMR: 2 3 a + b 2 + c 2 > ab + bc + ca b, CMR: a 2 + b 2 +1 ≥ ab + a + b C©u 4:a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A = 2x 2 + 2xy + y 2 - 2x + 2y +1 b, Cho a+b+c= 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt P = a 3 + b 3 + c 3 + a 2 (b+c) + b 2 (c+a) + c 2 (a+b) C©u 5:a, T×m x,y,x ∈ Z biÕt: x 2 + 2y 2 + z 2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0 b, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 6x + 15y + 10z = 3 C©u 6: Cho ABCV . H lµ trùc t©m, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i B, víi AC t¹i C c¾t nhau t¹i D. a, CMR: Tø gi¸c BDCH lµ h×nh b×nh hµnh. b, NhËn xÐt mèi quan hƯ gi÷a gãc µ A vµ µ D cđa tø gi¸c ABDC. §Ị sè 5 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: a, (x 2 – x +2) 2 + (x-2) 2 b, 6x 5 +15x 4 + 20x 3 +15x 2 + 6x +1 C©u 2: a, Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c = 0 vµ a 2 + b 2 + c 2 = 14. TÝnh gi¸ trÞ cđa A = a 4 + b 4 + c 4 b, Cho a, b, c ≠ 0. TÝnh gi¸ trÞ cđa D = x 2003 + y 2003 + z 2003 BiÕt x,y,z tho¶ m·n: 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + + + + = 2 2 x a + 2 2 y b + 2 2 z c - 2 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 3: a, Cho a,b > 0, CMR: 1 a + 1 b ≥ 4 a b+ b, Cho a,b,c,d > 0. CMR: a d d b − + + d b b c − + + b c c a − + + c a a d − + ≥ 0 C©u 4: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: E = 2 2 2 2 x xy y x xy y + + − + víi x,y > 0 b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: M = 2 ( 1995) x x + víi x > 0 C©u 5: a, T×m nghiƯm ∈ Z cđa PT: xy – 4x = 35 – 5y b, T×m nghiƯm ∈ Z cđa PT: x 2 + x + 6 = y 2 C©u 6: Cho ABCV M lµ mét ®iĨm ∈ miỊn trong cđa ABCV . D, E, F lµ trung ®iĨm AB, AC, BC; A’, B’, C’ lµ ®iĨm ®èi xøng cđa M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B lµ h×nh b×nh hµnh. b, CMR: CC’ ®i qua trung ®iĨm cđa AA’ §Ị sè 6 C©u 1: Cho a x y+ = 13 x z+ vµ 2 169 ( )x z+ = 27 ( )(2 )z y x y z − − + + TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A = 3 2 2 12 17 2 2 a a a a − + − − C©u 2: Cho x 2 – x = 3, TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc. M = x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 2 C©u 3:a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x(x+1)(x+2)(x+3) b, Cho x,y > 0 vµ x + y = 0, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa N = 1 x + 1 y C©u 4: a, Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. CMR: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 1+ a 2 b + b 2 c + c 2 a b, Cho 0 <a 0 <a 1 < < a 1997 . CMR: 0 1 1997 2 5 8 1997 a a a a a a a + + + + + + + < 3 C©u 5: a,T×m a ®Ĩ PT 4 3x− = 5 – a cã nghiƯm ∈ Z + b, T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa PT: 2 x x y z+ + + 2 y y x z+ + + 2 z z x y+ + = 3 4 C©u 6:Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn CD lÊy M, nèi M víi A. KỴ ph©n gi¸c gãc · MAB c¾t BC t¹i P, kỴ ph©n gi¸c gãc · MAD c¾t CD t¹i Q. CMR PQ ⊥ AM ®Ị sè 7 C©u 1:Cho a, b, c kh¸c nhau tho¶ m·n: 2 2 2 2 b c a bc + − + 2 2 2 2 c a b ac + − + 2 2 2 2 a b c ab + − = 1 Th× hai ph©n thøc cã gi¸ trÞ lµ 1 vµ 1 ph©n thøc cã gi¸ trÞ lµ -1. C©u 2: Cho x, y, z > 0 vµ xyz = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A = 3 3 1 1x y+ + + 3 3 1 1y z+ + + 3 3 1 1z x+ + C©u 3: Cho M = a 5 – 5a 3 +4a víi a ∈ Z - 3 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương a, Ph©n tÝch M thµnh nh©n tư. b, CMR: M M 120 ∀ a ∈ Z C©u 4: Cho N ≥ 1, n ∈ N a, CMR: 1+ 2+ 3+ +n = ( 1) 2 n n + b, CMR: 1 2 +2 2 + 3 2 + +n 2 = ( 1)(2 1) 6 n n n+ + C©u 5: T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: x 2 = y(y+1)(y+2)(y+3) C©u 6: Gi¶i BPT: 2 2 2 1 x x x + + + > 2 4 5 2 x x x + + + - 1 C©u 7: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 2 vµ a+b+c = 3. CMR: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5 C©u 8: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã chiỊu dµi BC gÊp 2 lÇn chiỊu réng CD, tõ C kỴ Cx t¹o víi CD mét gãc 15 0 c¾t AD t¹i E. CMR: BCEV c©n. ®Ị sè 8 C©u 1: Cho A = 3 2 3 2 2 1 2 2 1 n n n n n + − + + + a, Rót gän A b, NÕu n ∈ Z th× A lµ ph©n sè tèi gi¶n. C©u 2: Cho x, y > 0 vµ x+y = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa P = (1 - 2 1 x )(1 - 2 1 y ) C©u 3: a, Cho a, b ,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cđa 1 tam gi¸c. CMR: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab+bc+ca) b, Cho 0 ≤ a, b , c ≤ 1. CMR: a + b 2 +c 3 – ab – bc – ca ≤ 1 C©u 4: T×m x, y, z biÕt: x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz C©u 5: Cho n ∈ Z vµ n ≥ 1. CMR: 1 3 + 2 3 +3 3 + +n 3 = 2 2 ( 1) 4 n n+ + C©u 6: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5 C©u 7:Chia tËp N thµnh c¸c nhãm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhãm n gåm n sè h¹ng. TÝnh tỉng c¸c sè trong nhãm 94. C©u 8:Cho h×nh vu«ng ABCD. M, N lµ trung ®iĨm AB, BC, K lµ giao ®iĨm cđa CM vµ DN. CMR: AK = BC ®Ị sè 9 C©u 1: Cho M = a b c+ + b a c+ + c a b+ ; N = 2 a b c+ + 2 b a c+ + 2 c a b+ a, CMR: NÕu M = 1 th× N = 0 b, NÕu N = 0 th× cã nhÊt thiÕt M = 1 kh«ng? C©u 2: Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 2. CMR: 2 a b c+ + 2 b a c+ + 2 c a b+ ≥ 1 C©u 3:Cho x, y, z ≥ 0 vµ x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa M = x + y + z C©u 4:a, T×m c¸c sè nguyªn x ®Ĩ x 2 – 2x -14 lµ sè chÝnh ph¬ng. - 4 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương b, T×m c¸c sè ab sao cho ab a b− lµ sè nguyªn tè C©u 5: Cho a, b, c, d lµ c¸c s« nguyªn d¬ng CMR: A = a a b c+ + + b a b d+ + + c b c d+ + + d a c d+ + kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn. C©u 6:Cho ABCV c©n (AB=AC) trªn AB lÊy ®iĨm M, trªn phÇn kÐo dµi cđa AC vỊ phÝa C lÊy ®iĨm N sao cho: BM = CN, vÏ h×nh b×nh hµnh BMNP. CMR: BC ⊥ PC C©u 7: Cho x, y tho¶ m·n: 2x 2 + 2 1 x + 2 4 y = 4 (x ≠ 0). T×m x, y ®Ĩ xy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ®Ị sè 10 C©u 1: Cho a, b, c > 0 vµ P = 3 2 2 a a ab b+ + + 3 2 2 b b bc c+ + + 3 2 2 c c ac a+ + Q = 3 2 2 b a ab b+ + + 3 2 2 c b bc c+ + + 3 2 2 a c ac a+ + a, CMR: P = Q b, CMR: P ≥ 3 a b c+ + C©u 2:Cho a, b, c tho¶ m·n a 2 + b 2 + c 2 = 1. CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) ≥ 0 C©u 3:CMR ∀ x, y ∈ Z th×: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y 4 lµ sè chÝnh ph¬ng. C©u 4:a, T×m sè tù nhiªn m, n sao cho: m 2 + n 2 = m + n + 8 b, T×m sè nguyªn nghiƯm ®óng: 4x 2 y = (x 2 +1)(x 2 +y 2 ) C©u 5:T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = 2 4 3 1 x x + + C©u 6:Cho x = 2 2 2 2 b c a ab + − ; y = 2 2 2 2 ( ) ( ) a b c b c a − − + − TÝnh gi¸ trÞ: M = 1 x y xy + − C©u 7: Gi¶i BPT: 1 x a x− < − (x lµ Èn sè) C©u 8:Cho ABCV , trªn BC lÊy M, N sao cho BM = MN = NC. Gäi D, E lµ trung ®iĨm cđa AC, AB, P lµ giao cđa AM vµ BD. Gäi Q lµ giao cđa AN vµ CE. TÝnh PQ theo BC §Ị sè 11 C©u 1: Cho x = a b a b − + ; y = b c b c − + ; z = c a c a − + CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z) C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cđa A = 4 2 2 1 ( 1) x x + + C©u 3: a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 1. CMR: b+c ≥ 16abc - 5 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 C©u 4: Gi¶i BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m 2 – 1 C©u 5: a, T×m nghiƯm nguyªn tè cđa PT: x 2 + y 2 + z 2 = xyz b, T×m sè nguyªn tè p ®Ĩ 4p + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. C©u 6:T×m sè cã 2 ch÷ sè mµ sè Êy lµ béi sè cđa tÝch hai ch÷ sè cđa nã. C©u 7:Cho h×nh thang ABCD (BC// AD). Gäi O lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo AC, BD; Gäi E, F lµ trung ®iĨm cđa AD, BC. CMR: E, O, F th¼ng hµng. ®Ị sè 12 C©u 1:T×m ®a thøc f(x) biÕt: f(x) chia cho x+3 d 1 f(x) chia cho x-4 d 8 f(x) chia cho (x+3)(x-4) th¬ng lµ 3x vµ d C©u 2:a, Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: A = x 4 + 2000x 2 + 1999x + 2000 b, Cho: 2 2 2 x yz y zx z xy a b c − − − = = . CMR: 2 2 2 a bc b ca c ab x y z − − − = = C©u 4:CMR: 1 9 + 1 25 + + 2 1 (2 1)n + < 1 4 Víi n ∈ N vµ n ≥ 1 C©u 5:T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: M = 2 2 2 2 x xy y x y + + + (x≠0; y≠0) C©u 6:a, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 2x 2 + 4x = 19 – 3y 2 b, CMR ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiƯm nguyªn: x 2 + y 2 + z 2 = 1999 C©u 7:Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn BD lÊy M, tõ M kỴ c¸c ®êng vu«ng gãc AB, AD t¹i E, F. a, CMR: CF = DE; CF ⊥ DE b, CMR: CM = EF; CM ⊥ EF c, CMR: CM, BF, DE ®ång qui ®Ị sè 13 C©u 1:a, Rót gän: A = (1- 2 4 1 )(1- 2 4 3 ) (1- 2 4 199 ) b, Cho a, b > 0 vµ 9b(b-a) = 4a 2 . TÝnh : M = a b a b − + C©u 2:a, Cho a, b, c > o. CMR: 2 a b c+ + 2 b c a+ + 2 c a b+ ≥ 2 a b c+ + b, Cho ab ≥ 1. CMR: 2 1 1a + + 2 1 1b + ≥ 2 1ab + C©u 3: T×m x, y, z biÕt: x+2y+3z = 56 vµ 1 1x − = 2 2y − = 3 3z − C©u 4:a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = 2 2 1 2 x x + + b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt A = 2 2 6 5 9x x− − - 6 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 5:Gi¶i BPT: mx 2 – 4 > 4x + m 2 – 4m C©u 6:a, T×m sè nguyªn d¬ng x tho¶ m·n: x(x+1) = k(k+2) (k lµ sè nguyªn d¬ng cho tríc). b, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 2x-5y-6z =4. C©u 7:Cho h×nh vu«ng ABCD, VỊ phÝa ngoµi h×nh vu«ng trªn c¹nh BC vÏ BCFV ®Ịu, vỊ phÝa trong h×nh vu«ng trªn c¹nh AB vÏ ABEV ®Ịu. CMR: D, E, F th¼ng hµng. §Ị sè 14 C©u 1: Cho A = ( 2 2 2 3 2 1 ) : ( ) : x x y y x y xy x xy x xy x y y − − + + + − + a, T×m §KX§ cđa A b, T×m x, y ®Ĩ A > 1 vµ y < 0. C©u 2: a, Gi¶i PT: x 4 + 2x 3 – 2x 2 + 2x - 3 = 0 b, Gi¶i BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1) 2 C©u 3: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 2 a b c b c a c a b + + ≥ + + + C©u 4:CM: A = n 6 – n 4 +2n 3 +2n 2 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng víi n ∈ N vµ n >1 C©u 5:Cho f(x) = x 2 + nx + b tho¶ m·n 1 ( ) ; 1 2 f x x≤ ≤ . X¸c ®Þnh f(x) C©u 6:Cho x, y > 0 tho¶ m·n xy= 1.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt : A = 4 2 2 4 x y x y x y + + + C©u 7: Cho h×nh thang ABCD (AD//BC). M, N lµ trung ®iĨm cđa AD, BC. Tõ O trªn MN kỴ ®ëng th¼ng song song víi AD c¾t AB, CD t¹i E vµ F. CMR: OE = OF ®Ị sè 15 C©u 1:Cho xyz = 1 vµ x+y+z = 1 1 1 x y z + + = 0. TÝnh gi¸ trÞ M = 6 6 6 3 3 3 x y z x y z + + + + C©u 2: Cho a ≠ 0 ; ± 1 vµ 1 2 1 2 3 1 2 1 11 ; ; 2 1 1 x xa x x x a x x − −− = = = + + + T×m a nÕu x 1997 = 3 C©u 3:T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm ©m : ( 2) 3( 1) 1 1 m x m x + − − = + C©u 4: Víi n ∈ N vµ n >1. CMR: 1 1 1 1 1 2 1 2 2n n n < + + + < + + C©u 5:Cho M = 3x 2 - 2x + 3y 2 – 2y + 6x +1 T×m gi¸ trÞ M biÕt: xy = 1 vµ x y+ ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. C©u 6:T×m x, y ∈ N biÕt: 2 x + 1 = y 2 C©u 7:Cho ABCV (AB < AC). AD, AM lµ ®êng ph©n gi¸c, ®êng trung tun cđa ABCV . §êng th¼ng qua D vµ vu«ng gãc víi AD c¾t AC t¹i E. So s¸nh S ADMV vµ S CEMV §Ị sè 16 C©u 1:Cho (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz) 2 . CMR: x y z a b c = = víi abc ≠ 0 - 7 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 2: Cho abc ≠ 0 vµ 2 2 4 4 x y z a b c a b c a b c = = + + + − − + CMR: 2 2 4 4 a b c x y z x y z x y z = = + + + − − + C©u 3:Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng vµ nhá h¬n 1CMR: Trong 3 sè: (1-a)b; (1-b)c; vµ (1-c)a kh«ng ®ång thêi lín h¬n 1 4 C©u 4:Cho x 3 + y 3 + 3(x 2 +y 2 ) + 4xy + 4 = 0 vµ xy > 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A = 1 1 x y + C©u 5:a, CMR PT: 3x 5 – x 3 + 6x 2 – 18x = 2001 kh«ng cã nghiƯm nguyªn. b, T×m 4 sè nguyªn d¬ng sao cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng C©u 6: Cho n ∈ N vµ n >1 CMR: 1 + 2 2 2 1 1 1 2 2 3 n + + + < C©u 7:Cho ABCV vỊ phÝa ngoµi ABCV vÏ tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ CAF t¹i ®Ønh A. CMR: Trung tun AI cđa ABCV vu«ng gãc víi EF vµ AI = 1 2 EF C©u 8: CMR: 21 4 14 3 n n + + lµ ph©n sè tèi gi¶n (víi n ∈ N). ®Ị sè 17 C©u 1:Ph©n tÝch ra thõa sè: a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 b, x 3 + 6x 2 + 11x + 6 C©u 2: Cho x > 0 vµ x 2 + 2 1 x = 7. TÝnh gi¸ trÞ cđa M = x 5 + 5 1 x C©u 3:Cho x, y tho¶ m·n 5x 2 + 8xy + 5y 2 = 72 TÝm gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x 2 + y 2 C©u 4:a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c ≤ 1 CMR: 2 2 2 1 1 1 9 2 2 2a bc b ac c ab + + ≥ + + + b, Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1. CMR: 0 ≤ a, b, c ≤ 4 3 C©u 5: TÝnh tỉng S = 1+2x+3x 2 +4x 3 + + nx n-1 (x≠1) C©u 6: T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: xy xz yz z y x + + = 3 C©u 7: Cho ABCV biÕt ®êng cao AH vµ trung tun AM chia gãc · BAC thµnh 3 phÇn b»ng nhau. X¸c ®Þnh c¸c gãc cđa ABCV §Ị sè 18 - 8 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 1:Rót gän: M = 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a bc b ac c ab a b a c b a b c a c a b − − − + + + + + + + + C©u 2:Cho: x = 2 2 2 ( )( ) ; 2 ( )( ) b c a a b c a c b y bc a b c b c a + − + − + − = + + + − TÝnh gi¸ trÞ P = (x+y+xy+1) 3 C©u 3:Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 C©u 4:Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4 CMR: NÕu x = m; y = n Víi m, n ∈ N th× P.Q lµ sè ch½n. C©u 5:a, CMR PT: 2x 2 – 4y 2 = 10 kh«ng cã nghiƯm nguyªn. b, T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt n > 1 sao cho: A = 1 2 + 2 2 + +n 2 lµ mét sè chÝnh ph¬ng. C©u 6:Cho ABCV vu«ng c©n ë A, qua A vÏ ®êng th¼ng d sao cho B, C thc cïng nưa mỈt ph¼ng cã bê lµ d, vÏ BH, CK cïng vu«ng gãc víi d (H, K lµ ch©n ®êng vu«ng gãc). a, CMR: AH = CK b, Gäi M lµ trung ®iĨm BC. X¸c ®Þnh d¹ng MHKV ®Ị sè 19 C©u 1: Cho a, b, c ≠ 0; a 2 + 2bc ≠ 0; b 2 + 2ca ≠ 0; c 2 + 2ab ≠ 0 vµ a 2 + b 2 + c 2 = (a+b+c) 2 CMR: S = 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 a b c a bc b ac c ab + + = + + + M = 2 2 2 1 2 2 2 bc ca ab a bc b ac c ab + + = + + + C©u 2: a, Cho a, b, c > 0 CMR: 2 2 2 2 2 2 1 1 1a b b c a c a b b c a c a b c + + + + + ≤ + + + + + b, Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. CMR: a+b+c+ 1 abc ≥ 1 1 1 a b c + + + abc C©u 3: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = 1 2 5 3 8x x x+ + + + − b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: M = 2 2 2 2 x xy y x xy y + + − + (x,y > 0) C©u 4:a,T×m nghiƯm ∈ Z + cđa: 1 1 1 2 x y z + + = b, T×m nghiƯm ∈ Z cđa: x 4 + x 2 + 4 = y 2 – y C©u 5: Cho ABCV , ®Ỉt trªn c¸c ®o¹n kÐo dµi cđa AB, AC c¸c ®o¹n BD = CE. Gäi M lµ trung ®iĨm cđa BC, N lµ trung ®iĨm cđa DE. CMR: MN // ®êng ph©n gi¸c trong cđa gãc µ A cđa ABCV C©u 6: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng n vµ sè nguyªn tè P sao cho P = ( 1) 1 2 n n + − - 9 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương ®Ị sè 20 C©u 1:a, Cho a+b+c = 1; a 2 + b 2 + c 2 = 1 vµ x y z a b c = = ; abc ≠ 0 CMR: xy + yz + xz = 0 b, Cho x, y, z > 0 vµ 2x 2 + 3y 2 – 2z 2 = 0 , CMR: z lµ sè lín nhÊt. C©u 2:a, Cho a, b, c ≠ 0 CMR: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + b, Cho n ∈ N, n > 1 CMR: 2 2 1 1 1 1 5 13 ( 1) 2n n + + + < + C©u 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt víi a, b, c > 0 a, P = a b c a b c a b c b c c a a b c b a + + + + + + + + + + + b, Q = a b c d b c d a c d a b d a b c + + + + + + + + + + + C©u 5: T×m c¸c sè chÝnh ph¬ng sao cho chia nã cho 39 ®ỵc th¬ng sè nguyªn tè vµ d 1 C©u 6:Cho tø gi¸c ABCD, ®êng th¼ng AB vµ CD c¾t nhau t¹i E. Gäi F, G lµ trung ®iĨm cđa AC, BD. a, CMR: S EFGV = 1 4 ABCD S b, Gäi M lµ giao ®iĨm cđa AD, BC. Chøng minh FG ®i qua trung ®iĨm ME. §Ị sè 21 C©u 1: Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = abc CMR: a(b 2 -1)( c 2 -1) + b(a 2 -1)( c 2 -1) + c(a 2 -1)( b 2 -1) = 4abc C©u 2: Cho n lµ sè nguyªn tè CMR: A = n 4 – 14n 3 +71n 2 – 154n + 120 chia hÕt cho 24. C©u 3:T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 4x 2 y = (x 2 +1)(x 2 +y 2 ) C©u 4: T×m a, b ®Ĩ M = x 4 - 6x 3 +ax 2 +bx + 1 lµ b×nh ph¬ng cđa mét ®a thøc kh¸c. C©u 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa PT: P = x 2 +y 2 vµ biÕt x 2 +y 2 +xy = 4 C©u 6: T×m c¸c sè a, b, c tho¶ m·n ®ång thêi c¸c B§T: a b c< − ; b a c< − ; c a b< − C©u 7:Cho h×nh thang ABCD (AD//BC), AD > BC. C¸c ®êng chÐo AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau t¹i I. Trªn AD lÊy ®iĨm M sao cho AM cã ®é dµi b»ng ®é dµi trung b×nh cđa h×nh thang ABCD. CMR: MACV c©n t¹i M ®Ị sè 22 C©u 1:Cho x 3 + x = 1. TÝnh A = 4 3 2 5 2 2 3 5 2 x x x x x x x − + − + − − + C©u 2:Gi¶i BPT: 2 2 1 4 3x x− + − = C©u 3:Cho 3 sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n: x = 1 - 1 2y− - 10 - [...].. .Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương y = 1 - 1 − 2z z = 1 - 1 − 2x T×m sè lín nhÊt trong ba sè x, y, z C©u 4:Cho x, y tho¶ m·n: x+y=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x3+y3+xy 1 1 1 5 C©u 5:CMR: 2 + 2 +... 2 − 25 y−2 ):( 2 ) 3 2 x − 10 x + 25 y − y − 2 TÝnh gi¸ trÞ M biÕt: x2+9y2-4xy = 2xy- x − 3 C©u 2:a, Cho a+b = ab TÝnh (a3+b3-a3b3)3 + 27a6b6 2a b b, Cho a, b tho¶ m·n: + =2 a +b a−b - 11 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương 3a − b a + 5b C©u 3:a, T×m sè tù nhiªn n ®Ĩ n4+4 lµ sè nguyªn tè b, T×m sè nguyªn tè p sao cho 2p+1 lµ lËp ph¬ng cđa sè tù nhiªn T×m c¸c gi¸ trÞ cã thĨ cđa N= C©u... nhÊt 1 ph©n sè lµ b×nh ph¬ng cđa mét trong 2 sè cßn l¹i C©u 2: Cho a, b, c tho¶ m·n: abc = 1 CMR: vµ C©u 3:T×m c¸c nghiƯm nguyªn tho¶ m·n 2 BPT: 16 + 5x > 3+ 11 vµ - 12 - 7x 3 x + < +6 4 2 2 Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương ( x − a)2 ( x − b) 2 ( x − c) 2 C©u 4:Cho A = + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a )(c − b) a, A thay ®ỉi nh thÕ nµo nÕu ta ho¸n vÞ 2 trong 3 sè a, b, c b, T×m... − z ) 2 + ( z − x) 2 + ( x − y ) 2 7 2 C©u 2:a, CMR: M = n 8 + n + 1 kh«ng tèi gi¶n ∀n ∈ Z + n + n +1 b, CMR: NÕu c¸c ch÷ sè a, b, c ≠ 0 tho¶ m·n: ab : bc = a:c Th×: abbb : bbbc = a:c - 13 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương (14 + 4)(54 + 4)(94 + 4)(134 + 4) + + (214 + 4) C©u 3: a, Rót gän: P = (34 + 4)(7 4 + 4) + + (234 + 4) 1 (mÉu cã 99 ch÷ sè 0) 1, 00 1 T×m gi¸ trÞ cđa Q víi 200 ch÷... ®iĨm 2 ®¸y lµ 2 T×m diƯn tÝch h×nh thang? §Ị sè 30 C©u 1:CMR: ∀n ∈ N ; n ≥ 1 1 1 1 1 9 + + + + 2 < 2 5 13 25 n (n + 1) 20 2+(y-z)2+(z-x)2 = (x+y-2z)2+(y+z-2z)2+(x+z-2y)2 C©u 2:Cho: (x-y) - 14 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương CMR: x = y = z C©u 3:a, Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: A = x3(x2-7)2-36x b, CMR: AM víi mäi x ∈ N 210 C©u 4: Cho: 0 ≤ a, b, c ≤ 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt... x3-6x2+21x+18 Víi − ≤ x ≤ 1 2 · C©u 4:Cho VABC (AB = AC) BiÕt BAC = 200, vµ AB = AC = b; BC = a CMR: a3 + b3 = 3ab2 §Ị sè 33 C©u 1:Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c = 0 vµ ab+bc+ca = 0 2k-1 - 15 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương T×m gi¸ trÞ cđa: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001 C©u 2: Cho x, y, z lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0 CMR: NÕu : x2 – yz = a y2 – zx = b z2 – xy = c Th× ax+by+cz chia hÕt... c lµ 3 sè kh¸c nhau b−a c−a a −b 2 2 2 + + = + + CMR: (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a b, T×m x, y, z biÕt: x+y-z = y+z-x = z+x-y = xyz C©u 2: Gi¶i PT: - 16 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương x +1 x + 2 x + 3 x + 4 + = + 58 57 56 55 C©u 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt 1 1 1 + 3 3 + 3 (x, y, z > 0; xyz = 1) 3 x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1 C©u 4: T×m nghiƯm nguyªn... AC.BD C©u 5:Cho VABC , O lµ ®iĨm n»m trong tam gi¸c ABC, ®êng th¼ng AO, BO, CO c¾t c¸c c¹nh cđa VABC t¹i A1, B1, C1 T×m vÞ trÝ cđa O ®Ĩ: P = - 17 - OA OB OC + + ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt OA1 OB1 OC1 Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương §Ị sè 38 a+b− x a+c− x b+c− x 4x C©u 1:a, Gi¶i PT: + + + =1 c b a a +b+c b, T×m c¸c sè a, b, c, d, e biÕt: 2a2+b2+c2+d2+e2 = a(b+c+d+e) C©u 2:T×m nghiƯm nguyªn cđa... c, Víi D lµ ®iĨm bÊt kú trªn AB CMR: IC2 = IE.IA §Ị sè 40 C©u 1:T×m tỉng Sn = 7 + 77 + + 77 7 uuuu uu ux (n ch÷ sè) C©u 2:CMR: S = 1+2+3+ +n (n ∈ N) cã tËn cïng lµ 0, 1, 3, 5, 6 hc 8 - 18 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương n( n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1)(2n + 1) b, CMR: Víi n ∈ N th×: lµ sè nguyªn 6 C©u 4:CMR: NÕu n ∈ Z th×: C©u 3: a, CMR: 12 + 22 + + n2 = n5 n3 7 n lµ sè nguyªn tè +... y ≤ 2x+18 y ≥ x2+4x C©u 3:Gi¶i PT: 2 3 x −3 + x − 4 =1 C©u 4:Cho 3 sè a, b, c tho¶ m·n: a4+b4+c4 < 2(a2b2+ b2c2+ a2c2) Chøng minh r»ng: Tån t¹i tam gi¸c mµ cã ®é dµi 3 c¹nh lµ a, b, c - 19 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 5:Cho 2 ®êng th¼ng ox, vµ oy vu«ng gãc víi nhau, c¾t nhau t¹i O Trªn Ox lÊy vỊ 2 phÝa cđa ®iĨm O hai ®o¹n OA = 4cm; OB = 2cm Gäi M lµ ®iĨm n»m trªn ®êng trung . Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương ®Ị sè 1 C©u 1: Cho x = 2 2 2 2 b c a bc + − ; y = 2. x   − + + −   − +   a, Rót gän A b, T×m A khi x= - 1 2 c, T×m x ®Ĩ 2A = 1 - 1 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 3:a, Cho x+y+z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x 2 . x,y,z tho¶ m·n: 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + + + + = 2 2 x a + 2 2 y b + 2 2 z c - 2 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 3: a, Cho a,b > 0, CMR: 1 a + 1 b ≥ 4 a b+ b,

Ngày đăng: 07/07/2014, 01:00

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w