Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương ®Ị sè 1 C©u 1: Cho x = 2 2 2 2 b c a bc + − ; y = 2 2 2 2 ( ) ( ) a b c b c a − − + − TÝnh gi¸ trÞ P = x + y + xy C©u 2:Gi¶i ph¬ng tr×nh: a, 1 a b x+ − = 1 a + 1 b + 1 x (x lµ Èn sè) b, 2 2 ( )(1 )b c a x a − + + + 2 2 ( )(1 )c a b x b − + + + 2 2 ( )(1 )a b c x c − + + = 0 (a,b,c lµ h»ng sè vµ ®«i mét kh¸c nhau) C©u 3: X¸c ®Þnh c¸c sè a, b biÕt: 3 (3 1) ( 1) x x + + = 3 ( 1) a x + + 2 ( 1) b x + C©u 4:Chøng minh ph¬ng tr×nh: 2x 2 – 4y = 10 kh«ng cã nghiƯm nguyªn. C©u 5:Cho ∆ ABC; AB = 3AC. TÝnh tû sè ®êng cao xt ph¸t tõ B vµ C §Ị sè 2 C©u 1:Cho a,b,c tho¶ m·n: a b c c + − = b c a a + − = c a b b + − TÝnh gi¸ trÞ M = (1 + b a )(1 + c b )(1 + a c ) C©u 2: X¸c ®Þnh a, b ®Ĩ f(x) = 6x 4 – 7x 3 + ax 2 + 3x +2 Chia hÕt cho y(x) = x 2 – x + b C©u 3: Gi¶i PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680. b, 4x 2 + 4y – 4xy +5y 2 + 1 = 0 C©u 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa ph©n sè mµ tư sè lµ mét sè cã 3 ch÷ sè mµ mÉu lµ tỉng c¸c ch÷ sè cđa nã. C©u 5: Cho ∆ ABC c©n t¹i A, trªn AB lÊy D, trªn AC lÊy E sao cho:AD = EC = DE = CB. a, NÕu AB > 2BC. TÝnh gãc µ A cđa ABCV b, NÕu AB < BC. TÝnh gãc µ A cđa HBCV . ®Ị sè 3 C©u 1:Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: a, a 3 + b 3 + c 3 – 3abc b, (x-y) 3 +(y-z) 3 + (z-x) 3 C©u 2:Cho A = 2 2 2 (1 ) 1 x x x − + : 3 3 1 1 ( )( ) 1 1 x x x x x x − + + − − + a, Rót gän A b, T×m A khi x= - 1 2 c, T×m x ®Ĩ 2A = 1 - 1 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 3:a, Cho x+y+z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x 2 + y 2 + z 2 b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa P = 2 ( 10) x x + C©u 4:a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 < a a b+ + b b c+ + c c a+ < 2 b, Cho x,y ≠ 0 CMR: 2 2 x y + 2 2 y x ≥ x y + y x C©u 5: Cho ABCV ®Ịu cã ®é dµi c¹nh lµ a, kÐo dµi BC mét ®o¹n CM =a a, TÝnh sè ®o c¸c gãc ACMV b, CMR: AM ⊥ AB c, KÐo dµi CA ®o¹n AN = a, kÐo dµi AB ®o¹n BP = a. CMR MNPV ®Ịu. ®Ị sè 4 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: a, a 8 + a 4 +1 b, a 10 + a 5 +1 C©u 2:a, Cho a+b+c = 0, TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = 2 2 2 1 b c a+ − + 2 2 2 1 c a b+ − + 2 2 2 1 a b c+ − b, Cho biĨu thøc: M = 2 2 3 2 15 x x x − + − + Rót gän M + T×m x ∈ Z ®Ĩ M ®¹t gi¸ trÞ nguyªn. C©u 3: a, Cho abc = 1 vµ a 3 > 36, CMR: 2 3 a + b 2 + c 2 > ab + bc + ca b, CMR: a 2 + b 2 +1 ≥ ab + a + b C©u 4:a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A = 2x 2 + 2xy + y 2 - 2x + 2y +1 b, Cho a+b+c= 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt P = a 3 + b 3 + c 3 + a 2 (b+c) + b 2 (c+a) + c 2 (a+b) C©u 5:a, T×m x,y,x ∈ Z biÕt: x 2 + 2y 2 + z 2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0 b, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 6x + 15y + 10z = 3 C©u 6: Cho ABCV . H lµ trùc t©m, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i B, víi AC t¹i C c¾t nhau t¹i D. a, CMR: Tø gi¸c BDCH lµ h×nh b×nh hµnh. b, NhËn xÐt mèi quan hƯ gi÷a gãc µ A vµ µ D cđa tø gi¸c ABDC. §Ị sè 5 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: a, (x 2 – x +2) 2 + (x-2) 2 b, 6x 5 +15x 4 + 20x 3 +15x 2 + 6x +1 C©u 2: a, Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c = 0 vµ a 2 + b 2 + c 2 = 14. TÝnh gi¸ trÞ cđa A = a 4 + b 4 + c 4 b, Cho a, b, c ≠ 0. TÝnh gi¸ trÞ cđa D = x 2003 + y 2003 + z 2003 BiÕt x,y,z tho¶ m·n: 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + + + + = 2 2 x a + 2 2 y b + 2 2 z c - 2 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 3: a, Cho a,b > 0, CMR: 1 a + 1 b ≥ 4 a b+ b, Cho a,b,c,d > 0. CMR: a d d b − + + d b b c − + + b c c a − + + c a a d − + ≥ 0 C©u 4: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: E = 2 2 2 2 x xy y x xy y + + − + víi x,y > 0 b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: M = 2 ( 1995) x x + víi x > 0 C©u 5: a, T×m nghiƯm ∈ Z cđa PT: xy – 4x = 35 – 5y b, T×m nghiƯm ∈ Z cđa PT: x 2 + x + 6 = y 2 C©u 6: Cho ABCV M lµ mét ®iĨm ∈ miỊn trong cđa ABCV . D, E, F lµ trung ®iĨm AB, AC, BC; A’, B’, C’ lµ ®iĨm ®èi xøng cđa M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B lµ h×nh b×nh hµnh. b, CMR: CC’ ®i qua trung ®iĨm cđa AA’ §Ị sè 6 C©u 1: Cho a x y+ = 13 x z+ vµ 2 169 ( )x z+ = 27 ( )(2 )z y x y z − − + + TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A = 3 2 2 12 17 2 2 a a a a − + − − C©u 2: Cho x 2 – x = 3, TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc. M = x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 2 C©u 3:a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x(x+1)(x+2)(x+3) b, Cho x,y > 0 vµ x + y = 0, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa N = 1 x + 1 y C©u 4: a, Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. CMR: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 1+ a 2 b + b 2 c + c 2 a b, Cho 0 <a 0 <a 1 < < a 1997 . CMR: 0 1 1997 2 5 8 1997 a a a a a a a + + + + + + + < 3 C©u 5: a,T×m a ®Ĩ PT 4 3x− = 5 – a cã nghiƯm ∈ Z + b, T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa PT: 2 x x y z+ + + 2 y y x z+ + + 2 z z x y+ + = 3 4 C©u 6:Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn CD lÊy M, nèi M víi A. KỴ ph©n gi¸c gãc · MAB c¾t BC t¹i P, kỴ ph©n gi¸c gãc · MAD c¾t CD t¹i Q. CMR PQ ⊥ AM ®Ị sè 7 C©u 1:Cho a, b, c kh¸c nhau tho¶ m·n: 2 2 2 2 b c a bc + − + 2 2 2 2 c a b ac + − + 2 2 2 2 a b c ab + − = 1 Th× hai ph©n thøc cã gi¸ trÞ lµ 1 vµ 1 ph©n thøc cã gi¸ trÞ lµ -1. C©u 2: Cho x, y, z > 0 vµ xyz = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A = 3 3 1 1x y+ + + 3 3 1 1y z+ + + 3 3 1 1z x+ + C©u 3: Cho M = a 5 – 5a 3 +4a víi a ∈ Z - 3 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương a, Ph©n tÝch M thµnh nh©n tư. b, CMR: M M 120 ∀ a ∈ Z C©u 4: Cho N ≥ 1, n ∈ N a, CMR: 1+ 2+ 3+ +n = ( 1) 2 n n + b, CMR: 1 2 +2 2 + 3 2 + +n 2 = ( 1)(2 1) 6 n n n+ + C©u 5: T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: x 2 = y(y+1)(y+2)(y+3) C©u 6: Gi¶i BPT: 2 2 2 1 x x x + + + > 2 4 5 2 x x x + + + - 1 C©u 7: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 2 vµ a+b+c = 3. CMR: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5 C©u 8: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã chiỊu dµi BC gÊp 2 lÇn chiỊu réng CD, tõ C kỴ Cx t¹o víi CD mét gãc 15 0 c¾t AD t¹i E. CMR: BCEV c©n. ®Ị sè 8 C©u 1: Cho A = 3 2 3 2 2 1 2 2 1 n n n n n + − + + + a, Rót gän A b, NÕu n ∈ Z th× A lµ ph©n sè tèi gi¶n. C©u 2: Cho x, y > 0 vµ x+y = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa P = (1 - 2 1 x )(1 - 2 1 y ) C©u 3: a, Cho a, b ,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cđa 1 tam gi¸c. CMR: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab+bc+ca) b, Cho 0 ≤ a, b , c ≤ 1. CMR: a + b 2 +c 3 – ab – bc – ca ≤ 1 C©u 4: T×m x, y, z biÕt: x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz C©u 5: Cho n ∈ Z vµ n ≥ 1. CMR: 1 3 + 2 3 +3 3 + +n 3 = 2 2 ( 1) 4 n n+ + C©u 6: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5 C©u 7:Chia tËp N thµnh c¸c nhãm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhãm n gåm n sè h¹ng. TÝnh tỉng c¸c sè trong nhãm 94. C©u 8:Cho h×nh vu«ng ABCD. M, N lµ trung ®iĨm AB, BC, K lµ giao ®iĨm cđa CM vµ DN. CMR: AK = BC ®Ị sè 9 C©u 1: Cho M = a b c+ + b a c+ + c a b+ ; N = 2 a b c+ + 2 b a c+ + 2 c a b+ a, CMR: NÕu M = 1 th× N = 0 b, NÕu N = 0 th× cã nhÊt thiÕt M = 1 kh«ng? C©u 2: Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 2. CMR: 2 a b c+ + 2 b a c+ + 2 c a b+ ≥ 1 C©u 3:Cho x, y, z ≥ 0 vµ x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa M = x + y + z C©u 4:a, T×m c¸c sè nguyªn x ®Ĩ x 2 – 2x -14 lµ sè chÝnh ph¬ng. - 4 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương b, T×m c¸c sè ab sao cho ab a b− lµ sè nguyªn tè C©u 5: Cho a, b, c, d lµ c¸c s« nguyªn d¬ng CMR: A = a a b c+ + + b a b d+ + + c b c d+ + + d a c d+ + kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn. C©u 6:Cho ABCV c©n (AB=AC) trªn AB lÊy ®iĨm M, trªn phÇn kÐo dµi cđa AC vỊ phÝa C lÊy ®iĨm N sao cho: BM = CN, vÏ h×nh b×nh hµnh BMNP. CMR: BC ⊥ PC C©u 7: Cho x, y tho¶ m·n: 2x 2 + 2 1 x + 2 4 y = 4 (x ≠ 0). T×m x, y ®Ĩ xy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ®Ị sè 10 C©u 1: Cho a, b, c > 0 vµ P = 3 2 2 a a ab b+ + + 3 2 2 b b bc c+ + + 3 2 2 c c ac a+ + Q = 3 2 2 b a ab b+ + + 3 2 2 c b bc c+ + + 3 2 2 a c ac a+ + a, CMR: P = Q b, CMR: P ≥ 3 a b c+ + C©u 2:Cho a, b, c tho¶ m·n a 2 + b 2 + c 2 = 1. CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) ≥ 0 C©u 3:CMR ∀ x, y ∈ Z th×: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y 4 lµ sè chÝnh ph¬ng. C©u 4:a, T×m sè tù nhiªn m, n sao cho: m 2 + n 2 = m + n + 8 b, T×m sè nguyªn nghiƯm ®óng: 4x 2 y = (x 2 +1)(x 2 +y 2 ) C©u 5:T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = 2 4 3 1 x x + + C©u 6:Cho x = 2 2 2 2 b c a ab + − ; y = 2 2 2 2 ( ) ( ) a b c b c a − − + − TÝnh gi¸ trÞ: M = 1 x y xy + − C©u 7: Gi¶i BPT: 1 x a x− < − (x lµ Èn sè) C©u 8:Cho ABCV , trªn BC lÊy M, N sao cho BM = MN = NC. Gäi D, E lµ trung ®iĨm cđa AC, AB, P lµ giao cđa AM vµ BD. Gäi Q lµ giao cđa AN vµ CE. TÝnh PQ theo BC §Ị sè 11 C©u 1: Cho x = a b a b − + ; y = b c b c − + ; z = c a c a − + CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z) C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cđa A = 4 2 2 1 ( 1) x x + + C©u 3: a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 1. CMR: b+c ≥ 16abc - 5 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 C©u 4: Gi¶i BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m 2 – 1 C©u 5: a, T×m nghiƯm nguyªn tè cđa PT: x 2 + y 2 + z 2 = xyz b, T×m sè nguyªn tè p ®Ĩ 4p + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. C©u 6:T×m sè cã 2 ch÷ sè mµ sè Êy lµ béi sè cđa tÝch hai ch÷ sè cđa nã. C©u 7:Cho h×nh thang ABCD (BC// AD). Gäi O lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo AC, BD; Gäi E, F lµ trung ®iĨm cđa AD, BC. CMR: E, O, F th¼ng hµng. ®Ị sè 12 C©u 1:T×m ®a thøc f(x) biÕt: f(x) chia cho x+3 d 1 f(x) chia cho x-4 d 8 f(x) chia cho (x+3)(x-4) th¬ng lµ 3x vµ d C©u 2:a, Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: A = x 4 + 2000x 2 + 1999x + 2000 b, Cho: 2 2 2 x yz y zx z xy a b c − − − = = . CMR: 2 2 2 a bc b ca c ab x y z − − − = = C©u 4:CMR: 1 9 + 1 25 + + 2 1 (2 1)n + < 1 4 Víi n ∈ N vµ n ≥ 1 C©u 5:T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: M = 2 2 2 2 x xy y x y + + + (x≠0; y≠0) C©u 6:a, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 2x 2 + 4x = 19 – 3y 2 b, CMR ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiƯm nguyªn: x 2 + y 2 + z 2 = 1999 C©u 7:Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn BD lÊy M, tõ M kỴ c¸c ®êng vu«ng gãc AB, AD t¹i E, F. a, CMR: CF = DE; CF ⊥ DE b, CMR: CM = EF; CM ⊥ EF c, CMR: CM, BF, DE ®ång qui ®Ị sè 13 C©u 1:a, Rót gän: A = (1- 2 4 1 )(1- 2 4 3 ) (1- 2 4 199 ) b, Cho a, b > 0 vµ 9b(b-a) = 4a 2 . TÝnh : M = a b a b − + C©u 2:a, Cho a, b, c > o. CMR: 2 a b c+ + 2 b c a+ + 2 c a b+ ≥ 2 a b c+ + b, Cho ab ≥ 1. CMR: 2 1 1a + + 2 1 1b + ≥ 2 1ab + C©u 3: T×m x, y, z biÕt: x+2y+3z = 56 vµ 1 1x − = 2 2y − = 3 3z − C©u 4:a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = 2 2 1 2 x x + + b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt A = 2 2 6 5 9x x− − - 6 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 5:Gi¶i BPT: mx 2 – 4 > 4x + m 2 – 4m C©u 6:a, T×m sè nguyªn d¬ng x tho¶ m·n: x(x+1) = k(k+2) (k lµ sè nguyªn d¬ng cho tríc). b, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 2x-5y-6z =4. C©u 7:Cho h×nh vu«ng ABCD, VỊ phÝa ngoµi h×nh vu«ng trªn c¹nh BC vÏ BCFV ®Ịu, vỊ phÝa trong h×nh vu«ng trªn c¹nh AB vÏ ABEV ®Ịu. CMR: D, E, F th¼ng hµng. §Ị sè 14 C©u 1: Cho A = ( 2 2 2 3 2 1 ) : ( ) : x x y y x y xy x xy x xy x y y − − + + + − + a, T×m §KX§ cđa A b, T×m x, y ®Ĩ A > 1 vµ y < 0. C©u 2: a, Gi¶i PT: x 4 + 2x 3 – 2x 2 + 2x - 3 = 0 b, Gi¶i BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1) 2 C©u 3: Cho a, b, c > 0. CMR: 3 2 a b c b c a c a b + + ≥ + + + C©u 4:CM: A = n 6 – n 4 +2n 3 +2n 2 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng víi n ∈ N vµ n >1 C©u 5:Cho f(x) = x 2 + nx + b tho¶ m·n 1 ( ) ; 1 2 f x x≤ ≤ . X¸c ®Þnh f(x) C©u 6:Cho x, y > 0 tho¶ m·n xy= 1.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt : A = 4 2 2 4 x y x y x y + + + C©u 7: Cho h×nh thang ABCD (AD//BC). M, N lµ trung ®iĨm cđa AD, BC. Tõ O trªn MN kỴ ®ëng th¼ng song song víi AD c¾t AB, CD t¹i E vµ F. CMR: OE = OF ®Ị sè 15 C©u 1:Cho xyz = 1 vµ x+y+z = 1 1 1 x y z + + = 0. TÝnh gi¸ trÞ M = 6 6 6 3 3 3 x y z x y z + + + + C©u 2: Cho a ≠ 0 ; ± 1 vµ 1 2 1 2 3 1 2 1 11 ; ; 2 1 1 x xa x x x a x x − −− = = = + + + T×m a nÕu x 1997 = 3 C©u 3:T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm ©m : ( 2) 3( 1) 1 1 m x m x + − − = + C©u 4: Víi n ∈ N vµ n >1. CMR: 1 1 1 1 1 2 1 2 2n n n < + + + < + + C©u 5:Cho M = 3x 2 - 2x + 3y 2 – 2y + 6x +1 T×m gi¸ trÞ M biÕt: xy = 1 vµ x y+ ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. C©u 6:T×m x, y ∈ N biÕt: 2 x + 1 = y 2 C©u 7:Cho ABCV (AB < AC). AD, AM lµ ®êng ph©n gi¸c, ®êng trung tun cđa ABCV . §êng th¼ng qua D vµ vu«ng gãc víi AD c¾t AC t¹i E. So s¸nh S ADMV vµ S CEMV §Ị sè 16 C©u 1:Cho (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz) 2 . CMR: x y z a b c = = víi abc ≠ 0 - 7 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 2: Cho abc ≠ 0 vµ 2 2 4 4 x y z a b c a b c a b c = = + + + − − + CMR: 2 2 4 4 a b c x y z x y z x y z = = + + + − − + C©u 3:Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng vµ nhá h¬n 1CMR: Trong 3 sè: (1-a)b; (1-b)c; vµ (1-c)a kh«ng ®ång thêi lín h¬n 1 4 C©u 4:Cho x 3 + y 3 + 3(x 2 +y 2 ) + 4xy + 4 = 0 vµ xy > 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A = 1 1 x y + C©u 5:a, CMR PT: 3x 5 – x 3 + 6x 2 – 18x = 2001 kh«ng cã nghiƯm nguyªn. b, T×m 4 sè nguyªn d¬ng sao cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng C©u 6: Cho n ∈ N vµ n >1 CMR: 1 + 2 2 2 1 1 1 2 2 3 n + + + < C©u 7:Cho ABCV vỊ phÝa ngoµi ABCV vÏ tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ CAF t¹i ®Ønh A. CMR: Trung tun AI cđa ABCV vu«ng gãc víi EF vµ AI = 1 2 EF C©u 8: CMR: 21 4 14 3 n n + + lµ ph©n sè tèi gi¶n (víi n ∈ N). ®Ị sè 17 C©u 1:Ph©n tÝch ra thõa sè: a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 b, x 3 + 6x 2 + 11x + 6 C©u 2: Cho x > 0 vµ x 2 + 2 1 x = 7. TÝnh gi¸ trÞ cđa M = x 5 + 5 1 x C©u 3:Cho x, y tho¶ m·n 5x 2 + 8xy + 5y 2 = 72 TÝm gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x 2 + y 2 C©u 4:a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c ≤ 1 CMR: 2 2 2 1 1 1 9 2 2 2a bc b ac c ab + + ≥ + + + b, Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1. CMR: 0 ≤ a, b, c ≤ 4 3 C©u 5: TÝnh tỉng S = 1+2x+3x 2 +4x 3 + + nx n-1 (x≠1) C©u 6: T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: xy xz yz z y x + + = 3 C©u 7: Cho ABCV biÕt ®êng cao AH vµ trung tun AM chia gãc · BAC thµnh 3 phÇn b»ng nhau. X¸c ®Þnh c¸c gãc cđa ABCV §Ị sè 18 - 8 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 1:Rót gän: M = 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a bc b ac c ab a b a c b a b c a c a b − − − + + + + + + + + C©u 2:Cho: x = 2 2 2 ( )( ) ; 2 ( )( ) b c a a b c a c b y bc a b c b c a + − + − + − = + + + − TÝnh gi¸ trÞ P = (x+y+xy+1) 3 C©u 3:Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 C©u 4:Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4 CMR: NÕu x = m; y = n Víi m, n ∈ N th× P.Q lµ sè ch½n. C©u 5:a, CMR PT: 2x 2 – 4y 2 = 10 kh«ng cã nghiƯm nguyªn. b, T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt n > 1 sao cho: A = 1 2 + 2 2 + +n 2 lµ mét sè chÝnh ph¬ng. C©u 6:Cho ABCV vu«ng c©n ë A, qua A vÏ ®êng th¼ng d sao cho B, C thc cïng nưa mỈt ph¼ng cã bê lµ d, vÏ BH, CK cïng vu«ng gãc víi d (H, K lµ ch©n ®êng vu«ng gãc). a, CMR: AH = CK b, Gäi M lµ trung ®iĨm BC. X¸c ®Þnh d¹ng MHKV ®Ị sè 19 C©u 1: Cho a, b, c ≠ 0; a 2 + 2bc ≠ 0; b 2 + 2ca ≠ 0; c 2 + 2ab ≠ 0 vµ a 2 + b 2 + c 2 = (a+b+c) 2 CMR: S = 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 a b c a bc b ac c ab + + = + + + M = 2 2 2 1 2 2 2 bc ca ab a bc b ac c ab + + = + + + C©u 2: a, Cho a, b, c > 0 CMR: 2 2 2 2 2 2 1 1 1a b b c a c a b b c a c a b c + + + + + ≤ + + + + + b, Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. CMR: a+b+c+ 1 abc ≥ 1 1 1 a b c + + + abc C©u 3: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = 1 2 5 3 8x x x+ + + + − b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: M = 2 2 2 2 x xy y x xy y + + − + (x,y > 0) C©u 4:a,T×m nghiƯm ∈ Z + cđa: 1 1 1 2 x y z + + = b, T×m nghiƯm ∈ Z cđa: x 4 + x 2 + 4 = y 2 – y C©u 5: Cho ABCV , ®Ỉt trªn c¸c ®o¹n kÐo dµi cđa AB, AC c¸c ®o¹n BD = CE. Gäi M lµ trung ®iĨm cđa BC, N lµ trung ®iĨm cđa DE. CMR: MN // ®êng ph©n gi¸c trong cđa gãc µ A cđa ABCV C©u 6: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng n vµ sè nguyªn tè P sao cho P = ( 1) 1 2 n n + − - 9 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương ®Ị sè 20 C©u 1:a, Cho a+b+c = 1; a 2 + b 2 + c 2 = 1 vµ x y z a b c = = ; abc ≠ 0 CMR: xy + yz + xz = 0 b, Cho x, y, z > 0 vµ 2x 2 + 3y 2 – 2z 2 = 0 , CMR: z lµ sè lín nhÊt. C©u 2:a, Cho a, b, c ≠ 0 CMR: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + b, Cho n ∈ N, n > 1 CMR: 2 2 1 1 1 1 5 13 ( 1) 2n n + + + < + C©u 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt víi a, b, c > 0 a, P = a b c a b c a b c b c c a a b c b a + + + + + + + + + + + b, Q = a b c d b c d a c d a b d a b c + + + + + + + + + + + C©u 5: T×m c¸c sè chÝnh ph¬ng sao cho chia nã cho 39 ®ỵc th¬ng sè nguyªn tè vµ d 1 C©u 6:Cho tø gi¸c ABCD, ®êng th¼ng AB vµ CD c¾t nhau t¹i E. Gäi F, G lµ trung ®iĨm cđa AC, BD. a, CMR: S EFGV = 1 4 ABCD S b, Gäi M lµ giao ®iĨm cđa AD, BC. Chøng minh FG ®i qua trung ®iĨm ME. §Ị sè 21 C©u 1: Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = abc CMR: a(b 2 -1)( c 2 -1) + b(a 2 -1)( c 2 -1) + c(a 2 -1)( b 2 -1) = 4abc C©u 2: Cho n lµ sè nguyªn tè CMR: A = n 4 – 14n 3 +71n 2 – 154n + 120 chia hÕt cho 24. C©u 3:T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 4x 2 y = (x 2 +1)(x 2 +y 2 ) C©u 4: T×m a, b ®Ĩ M = x 4 - 6x 3 +ax 2 +bx + 1 lµ b×nh ph¬ng cđa mét ®a thøc kh¸c. C©u 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa PT: P = x 2 +y 2 vµ biÕt x 2 +y 2 +xy = 4 C©u 6: T×m c¸c sè a, b, c tho¶ m·n ®ång thêi c¸c B§T: a b c< − ; b a c< − ; c a b< − C©u 7:Cho h×nh thang ABCD (AD//BC), AD > BC. C¸c ®êng chÐo AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau t¹i I. Trªn AD lÊy ®iĨm M sao cho AM cã ®é dµi b»ng ®é dµi trung b×nh cđa h×nh thang ABCD. CMR: MACV c©n t¹i M ®Ị sè 22 C©u 1:Cho x 3 + x = 1. TÝnh A = 4 3 2 5 2 2 3 5 2 x x x x x x x − + − + − − + C©u 2:Gi¶i BPT: 2 2 1 4 3x x− + − = C©u 3:Cho 3 sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n: x = 1 - 1 2y− - 10 - [...].. .Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương y = 1 - 1 − 2z z = 1 - 1 − 2x T×m sè lín nhÊt trong ba sè x, y, z C©u 4:Cho x, y tho¶ m·n: x+y=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x3+y3+xy 1 1 1 5 C©u 5:CMR: 2 + 2 +... 2 − 25 y−2 ):( 2 ) 3 2 x − 10 x + 25 y − y − 2 TÝnh gi¸ trÞ M biÕt: x2+9y2-4xy = 2xy- x − 3 C©u 2:a, Cho a+b = ab TÝnh (a3+b3-a3b3)3 + 27a6b6 2a b b, Cho a, b tho¶ m·n: + =2 a +b a−b - 11 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương 3a − b a + 5b C©u 3:a, T×m sè tù nhiªn n ®Ĩ n4+4 lµ sè nguyªn tè b, T×m sè nguyªn tè p sao cho 2p+1 lµ lËp ph¬ng cđa sè tù nhiªn T×m c¸c gi¸ trÞ cã thĨ cđa N= C©u... nhÊt 1 ph©n sè lµ b×nh ph¬ng cđa mét trong 2 sè cßn l¹i C©u 2: Cho a, b, c tho¶ m·n: abc = 1 CMR: vµ C©u 3:T×m c¸c nghiƯm nguyªn tho¶ m·n 2 BPT: 16 + 5x > 3+ 11 vµ - 12 - 7x 3 x + < +6 4 2 2 Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương ( x − a)2 ( x − b) 2 ( x − c) 2 C©u 4:Cho A = + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a )(c − b) a, A thay ®ỉi nh thÕ nµo nÕu ta ho¸n vÞ 2 trong 3 sè a, b, c b, T×m... − z ) 2 + ( z − x) 2 + ( x − y ) 2 7 2 C©u 2:a, CMR: M = n 8 + n + 1 kh«ng tèi gi¶n ∀n ∈ Z + n + n +1 b, CMR: NÕu c¸c ch÷ sè a, b, c ≠ 0 tho¶ m·n: ab : bc = a:c Th×: abbb : bbbc = a:c - 13 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương (14 + 4)(54 + 4)(94 + 4)(134 + 4) + + (214 + 4) C©u 3: a, Rót gän: P = (34 + 4)(7 4 + 4) + + (234 + 4) 1 (mÉu cã 99 ch÷ sè 0) 1, 00 1 T×m gi¸ trÞ cđa Q víi 200 ch÷... ®iĨm 2 ®¸y lµ 2 T×m diƯn tÝch h×nh thang? §Ị sè 30 C©u 1:CMR: ∀n ∈ N ; n ≥ 1 1 1 1 1 9 + + + + 2 < 2 5 13 25 n (n + 1) 20 2+(y-z)2+(z-x)2 = (x+y-2z)2+(y+z-2z)2+(x+z-2y)2 C©u 2:Cho: (x-y) - 14 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương CMR: x = y = z C©u 3:a, Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: A = x3(x2-7)2-36x b, CMR: AM víi mäi x ∈ N 210 C©u 4: Cho: 0 ≤ a, b, c ≤ 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt... x3-6x2+21x+18 Víi − ≤ x ≤ 1 2 · C©u 4:Cho VABC (AB = AC) BiÕt BAC = 200, vµ AB = AC = b; BC = a CMR: a3 + b3 = 3ab2 §Ị sè 33 C©u 1:Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c = 0 vµ ab+bc+ca = 0 2k-1 - 15 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương T×m gi¸ trÞ cđa: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001 C©u 2: Cho x, y, z lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0 CMR: NÕu : x2 – yz = a y2 – zx = b z2 – xy = c Th× ax+by+cz chia hÕt... c lµ 3 sè kh¸c nhau b−a c−a a −b 2 2 2 + + = + + CMR: (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a b, T×m x, y, z biÕt: x+y-z = y+z-x = z+x-y = xyz C©u 2: Gi¶i PT: - 16 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương x +1 x + 2 x + 3 x + 4 + = + 58 57 56 55 C©u 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt 1 1 1 + 3 3 + 3 (x, y, z > 0; xyz = 1) 3 x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1 C©u 4: T×m nghiƯm nguyªn... AC.BD C©u 5:Cho VABC , O lµ ®iĨm n»m trong tam gi¸c ABC, ®êng th¼ng AO, BO, CO c¾t c¸c c¹nh cđa VABC t¹i A1, B1, C1 T×m vÞ trÝ cđa O ®Ĩ: P = - 17 - OA OB OC + + ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt OA1 OB1 OC1 Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương §Ị sè 38 a+b− x a+c− x b+c− x 4x C©u 1:a, Gi¶i PT: + + + =1 c b a a +b+c b, T×m c¸c sè a, b, c, d, e biÕt: 2a2+b2+c2+d2+e2 = a(b+c+d+e) C©u 2:T×m nghiƯm nguyªn cđa... c, Víi D lµ ®iĨm bÊt kú trªn AB CMR: IC2 = IE.IA §Ị sè 40 C©u 1:T×m tỉng Sn = 7 + 77 + + 77 7 uuuu uu ux (n ch÷ sè) C©u 2:CMR: S = 1+2+3+ +n (n ∈ N) cã tËn cïng lµ 0, 1, 3, 5, 6 hc 8 - 18 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương n( n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1)(2n + 1) b, CMR: Víi n ∈ N th×: lµ sè nguyªn 6 C©u 4:CMR: NÕu n ∈ Z th×: C©u 3: a, CMR: 12 + 22 + + n2 = n5 n3 7 n lµ sè nguyªn tè +... y ≤ 2x+18 y ≥ x2+4x C©u 3:Gi¶i PT: 2 3 x −3 + x − 4 =1 C©u 4:Cho 3 sè a, b, c tho¶ m·n: a4+b4+c4 < 2(a2b2+ b2c2+ a2c2) Chøng minh r»ng: Tån t¹i tam gi¸c mµ cã ®é dµi 3 c¹nh lµ a, b, c - 19 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 5:Cho 2 ®êng th¼ng ox, vµ oy vu«ng gãc víi nhau, c¾t nhau t¹i O Trªn Ox lÊy vỊ 2 phÝa cđa ®iĨm O hai ®o¹n OA = 4cm; OB = 2cm Gäi M lµ ®iĨm n»m trªn ®êng trung . Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương ®Ị sè 1 C©u 1: Cho x = 2 2 2 2 b c a bc + − ; y = 2. x − + + − − + a, Rót gän A b, T×m A khi x= - 1 2 c, T×m x ®Ĩ 2A = 1 - 1 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 3:a, Cho x+y+z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x 2 . x,y,z tho¶ m·n: 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + + + + = 2 2 x a + 2 2 y b + 2 2 z c - 2 - Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc Tùng Dương C©u 3: a, Cho a,b > 0, CMR: 1 a + 1 b ≥ 4 a b+ b,