500 bài toán bất ðẳng thức chọn lọc41547

500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang ♦♦♦♦♦ ĩnh Long, Xuân M u Tý, 2008 DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c ♦♦♦♦♦ Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng 2 a + (1− b) + b + (1− c) + c + (1− a ) ≥ Komal [ Dinu Serbănescu ] Cho a, b, c ∈ (0,1) Ch ng minh r ng abc + (1− a )(1− b)(1− c) < Junior TST 2002, Romania [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = Ch ng minh r ng b+c c +a a +b + + ≥ a + b + c + a b c Gazeta Matematică N u phương trình x + ax3 + x + bx + = có nh t m t nghi m th c, a + b2 ≥ Tournament of the Towns, 1993 Cho s th c x, y, z th a mãn ñi u ki n x + y + z = Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c x3 + y + z − 3xyz Cho a, b, c, x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = Ch ng minh r ng ax + by + cz + ( xy + yz + zx )(ab + bc + ca ) ≤ a + b + c Ukraine, 2001 [ Darij Grinberg] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a (b + c) + b (c + a ) + c ( a + b) ≥ (a + b + c) [ Hojoo Lee ] Cho a, b, c ≥ Ch ng minh r ng a4 + a2b2 + b4 + b4 + b2c2 + c4 + c4 + c2a2 + a4 ≥ a 2a2 + bc + b 2b2 + ca + c 2c2 + ab Gazeta Matematică Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = Ch ng minh r ng a + b + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b JBMO 2002 Shortlist 10 [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z s th c dương Ch ng minh r ng xyz ≤ (1 + 3x)( x + y )( y + z )( z + 6) DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang Gazeta Matematică 11 [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng (a + b + c ) ≤ (a + b + c3 ) + 12 [ Mircea Lascu ] Cho x1 , x2 , , xn ∈ ℝ , n ≥ 2, a > cho x1 + x2 + + xn = a, x12 + x22 + + xn2 ≤ a2 n −1 Ch ng minh r ng  2a  xi ∈ 0,  , i = 1, 2, , n  n  13 [ Adrian Zahariuc ] Cho a, b, c ∈ (0,1) Ch ng minh r ng b a c b a c + + ≥1 4b c − c a 4c a − a b 4a b − b c 14 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc ≤ Ch ng minh r ng a b c + + ≥ a +b+c b c a 15 [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n a + x ≥ b + y ≥ c + z , a + b + c = x + y + z Ch ng minh r ng ay + bx ≥ ac + xz 16 [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = Ch ng minh r ng 1+ ≥ a + b + c ab + bc + ca Junior TST 2003, Romania 17 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a b3 c a b c + + ≥ + + b2 c2 a b c a JBMO 2002 Shortlist 18 Cho x1 , x2 , , xn > 0, n > th a mãn ñi u ki n x1 x2 xn = Ch ng minh r ng 1 + + + >1 + x1 + x1 x2 + x2 x3 + xn + xn x1 Russia, 2004 19 [ Marian Tetiva ] Cho x, y, z s th c dương th a ñi u ki n x + y + z + xyz = Ch ng minh r ng a) xyz ≤ , b) x + y + z ≤ , DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang c) xy + yz + zx ≤ ≤ x + y + z , d) xy + yz + zx ≤ + xyz 20 [ Marius Olteanu ] Cho x1 , x2 , , x5 ∈ ℝ cho x1 + x2 + + x5 = Ch ng minh r ng cos x1 + cos x2 + + cos x5 ≥ Gazeta Matematică 21 [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = xyz Ch ng minh r ng xy + yz + zx ≥ + x + + y + + z + 22 [ Laurentiu Panaitopol ] Cho x, y, z s th c th a mãn ñi u ki n x, y , z > −1 Ch ng minh r ng 1+ x2 1+ y2 1+ z + + ≥2 1+ y + z 1+ z + x2 1+ x + y JBMO, 2003 23 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng a2 + b b2 + c c2 + a + + ≥ b+c c+a a +b 24 Cho a, b, c ≥ th a mãn ñi u ki n a + b + c ≤ (a 2b + b c + c a ) Ch ng minh r ng a + b + c ≤ (ab + bc + ca ) Kvant, 1988 25 Cho x1 , x2 , , xn > 0, n > th a mãn ñi u ki n 1 1 + + + = x1 +1998 x2 +1998 xn +1998 1998 Ch ng minh r ng n x1 x2 xn ≥ 1998 n −1 Vietnam, 1998 26 [Marian Tetiva ] Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = xyz Ch ng minh r ng a) xyz ≥ 27, b) xy + yz + zx ≥ 27 , c) x + y + z ≥ , d) xy + yz + zx ≥ ( x + y + z ) + 27 Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = Ch ng minh r ng x + y + z ≥ xy + yz + zx DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang Russia 2002 28 [ D Olteanu ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a+b a b+c b c+a c + + ≥ b + c 2a + b + c c + a 2b + c + a a + b 2c + a + b Gazeta Matematică 29 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a b c c+a a+b b+c + + ≥ + + b c a c+b a +c b+a India, 2002 30 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng 3(ab + bc + ca) a3 b3 c3 + + ≥ 2 2 2 b − bc + c c − ac + a a − ab + b a +b +c Proposed for the Balkan Mathematical Olympical 31 [ Adrian Zahariuc ] Cho x1 , x2 , , xn s ngun đơi m t phân bi t Ch ng minh r ng x12 + x22 + + xn2 ≥ x1 x2 + x2 x3 + xn x1 + 2n − 32 [ Murray Klamkin ] Cho x1 , x2 , , xn ≥ 0, n > th a mãn ñi u ki n x1 + x2 + + xn = Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c x12 x2 + x22 x3 + + xn2−1 xn + xn2 x1 Crux Mathematicorum 33 Cho x1 , x2 , , xn > th a mãn ñi u ki n xk +1 ≥ x1 + x2 + + xk v i m i k Hãy tìm giá tr l n nh t c a h ng s c cho x1 + x2 + + xn ≤ c x1 + x2 + + xn IMO Shortlist, 1986 34 Cho s th c dương a, b, c, x, y, z th a mãn ñi u ki n a + x = b + y = c + z = Ch ng minh r ng 1 1 + +  ≥  ay bz cx  (abc + xyz ) Russia, 2002 35 [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng ab bc ca + + ≤ (a + b + c) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Gazeta Matematică 36 Cho a, b, c, d s th c th a mãn ñi u ki n a + b + c + d = Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a (b + c + d ) + b3 (c + d + a) + c (d + a + b) + d (a + b + c) 37 [ Walther Janous ] Cho x, y, z s th c dương Ch ng minh r ng DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c x x + ( x + y )( x + z ) + Cao Minh Quang y y + ( y + z )( y + x ) + z z + ( z + x)( z + y ) ≤1 Crux Mathematicorum 38 Cho a1 , a2 , , an , n ≥ n s th c cho a1 < a2 < < an Ch ng minh r ng a1a24 + a2 a34 + + an a14 ≥ a2 a14 + a3a24 + + a1an4 39 [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng  a b+c c +a a +b b c  + + ≥  + +    b + c c + a a + b  a b c 40 Cho a1 , a2 , , an s nguyên dương l n T n t i nh t m t s a1 a1 , a2 a3 , , an−1 an , an a1 nh ho c b ng 3 Adapted after a well – known problem 41 [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n xy + yz + zx + xyz = Ch ng minh r ng a) xyz ≤ , b) x + y + z ≥ , c) 1 + + ≥ 4( x + y + z) , x y z (2 z −1) 1 , z = max { x, y, z } d) + + − 4( x + y + z) ≥ x y z z (2 z +1) 42 [ Manlio Marangelli ] Cho x, y, z s th c dương Ch ng minh r ng 3( x y + y z + z x )( xy + yz + zx ) ≥ xyz ( x + y + z ) 43 [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n max {a, b, c} − {a, b, c} ≤ Ch ng minh r ng + a + b3 + c + 6abc ≥ 3a 2b + 3b c + 3c a 44 [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng   1 1 a  b2  c2  27 + 2 + 2 + 2 +  ≥ (a + b + c ) + +      a b c bc  ca  ab   a2 45 Cho a0 = , a k+1 = ak + k Ch ng minh r ng n 1− < an < n TST Singapore 46 [ Călin Popa ] Cho a, b, c ∈ (0,1) th a mãn ñi u ki n ab + bc + ca = Ch ng minh r ng DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang a b c 1− a 1− b2 1− c   + + ≥ + +  b c  1− a 1− b 1− c  a 47 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x, y, z ≤ th a mãn ñi u ki n x + y + z = Ch ng minh r ng 1 27 + + ≤ 2 1+ x 1+ y 1+ z 10 48 [ Gabriel Dospinescu ] Cho x + y + z = Ch ng minh r ng 2 (1− x) (1− y ) (1− z ) ≥ 215 xyz ( x + y )( y + z )( z + x) 49 Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz = x + y + z +2 Ch ng minh r ng a) xy + yz + zx ≥ ( x + y + z ) , x+ y+ z≤ b) xyz 50 Cho x, y, z s th c th a mãn ñi u ki n x + y + z = Ch ng minh r ng x + y + z ≤ xyz + IMO Shortlist, 1987 51 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , , xn ∈ (0,1) σ m t hoán v c a {1, 2, , n} Ch ng minh r ng n    xi   n ∑  n    1 i=1   ≥ +  ∑ 1− x   ∑ 1− x x  n  i=1 i i σ(i )    i=1    n 52 Cho x1 , x2 , , xn s th c dương th a mãn ñi u ki n i=1 n n ∑ i=1 xi ≥ (n −1) ∑ i=1 ∑ 1+ x = Ch ng minh r ng i xi Vojtech Jarnik n 53 [ Titu Vàreescu ] Cho n > a1 , a2 , , an s th c th a mãn ñi u ki n ∑a ≥ n i i=1 n ∑a i ≥ n Ch ng minh r ng i=1 max {a1 , a2 , , an } ≥ USAMO, 1999 54 [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d s th c dương Ch ng minh r ng a −b b−c c − d d −a + + + ≥0 b+c c+d d +a a +b 55 Cho x, y s th c dương Ch ng minh r ng x y + yx >1 DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang France, 1996 56 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = Ch ng minh r ng (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ (a + b + c −1) MOSP, 2001 57 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng (a + b2 + c2 )(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) ≤ abc (ab + bc + ca) 58 [ D.P.Mavlo ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng (a + 1)(b +1)(c +1) 1 a b c 3+ a +b + c + + + + + + ≥ + abc a b c b c a Kvant, 1988 59 [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , , xn s x1 x2 xn = Ch ng minh r ng th c dương th a mãn ñi u ki n n n  n 1 n ∏( x + 1) ≥ ∑ xi + ∑  x   i=1 n n n i i =1 i=1 i 60 Cho a, b, c, d s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng 1 d  a + b3 + c3 + abcd ≥   , +     27     Kvant, 1993 61 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng 2 2 2 2 ∑ (1+ a ) (1 + b ) (a − c) (b − c) ≥ (1 + a )(1 + b )(1 + c )(a − b) (b − c) (c − a) 2 AMM 62 [ Titu Vàreescu, Mircea Lascu ] Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz = α ≥ Ch ng minh r ng xα yα zα + + ≥ y+z z+x x+ y 63 Cho x1, x2 , , xn , y1, y2 , , yn ∈ ℝ th a mãn ñi u ki n x12 + x22 + + xn2 = y12 + y22 + + yn2 =1 Ch ng minh r ng  n  ( x1 y2 − x2 y1 ) ≤ 1− ∑ xi yi   i=1  Korea, 2001 64 [ Laurentiu Panaitopol ] Cho a1 , a2 , , an s nguyên dương khác t ng đơi m t Ch ng minh r ng a12 + a22 + + an2 ≥ 2n + (a1 + a2 + + an ) TST Romania 65 [ Călin Popa ] Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c b c a ( 3c + ab ) Cao Minh Quang c a + b ( 3a + bc ) a b + c ( 3b + ca ) ≥ 3 66 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, d s th c th a mãn ñi u ki n (1 + a )(1+ b2 )(1+ c )(1 + d ) = 16 Ch ng minh r ng −3 ≤ ab + bc + cd + da + ac + bd − abcd ≤ 67 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng (a + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) APMO, 2004 68 [ Vasile Cirtoale ] Cho x, y, z s th c th a mãn ñi u ki n < x ≤ y ≤ z, x + y + z = xyz + Ch ng minh r ng a) (1− xy )(1− yz )(1− zx) ≥ , b) x y ≤ 1, x y ≤ 32 27 69 [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c ≥ abc Ch ng minh r ng nh t m t ba b t ñ ng th c sau ñây ñúng 6 + + ≥ 6, + + ≥ 6, + + ≥ a b c b c a c a b TST 2001, USA 70 [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = xyz Ch ng minh r ng ( x −1)( y −1)( z −1) ≤ −10 71 [ Marian Tetiva ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng 2 a3 − b3 b3 − c3 c − a3 (a − b) + (b − c ) + (c − a ) + + ≤ a +b b+c c+a Moldova TST, 2004 72 [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng (a5 − a + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c + 3) ≥ (a + b + c)3 USAMO, 2004 73 [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , , xn > 0, n > th a mãn ñi u ki n  n  n   x   k  ∑  = n +1  ∑  x  k =1 k  k =1 Ch ng minh r ng  n  n  2 ∑ xk ∑  > n + + n (n −1)  k =1  k =1 xk  74 [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang a + b + c + 2abc + ≥ (1 + a)(1 + b)(1 + c) 75 [ Titu Vàreescu, Zuming Feng ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng 2 ( 2a + b + c ) (2b + a + c) (2c + b + c) + + ≤8 2 2 2a + (b + c) 2b + (a + c) 2c + (a + b) USAMO, 2003 76 Cho x, y s th c dương m, n s nguyên dương Ch ng minh r ng (n −1)(m −1)( x m+n + y m+n ) + (m + n −1)( x m y n + x n y m ) ≥ mn ( x m+n−1 y + y m+n−1 x) Austrian – Polish Competition, 1995 77 Cho a, b, c, d , e s th c dương th a mãn ñi u ki n abcde = Ch ng minh r ng a + abc b + bcd c + cde d + dea e + eab 10 + + + + ≥ + ab + abcd + bc + bcde + cd + cdea + de + deab + ea + eabc Crux Mathematicorum  π 78 [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c ∈ 0,  Ch ng minh r ng   sin a.sin (a − b).sin (a − c ) sin b.sin (b − c ).sin (b − a ) sin c.sin (c − a ).sin (c − b) + + ≥0 sin (b + c ) sin (c + a ) sin (a + b) TST 2003, USA 79 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a + b4 + c + a 2b + b 2c + c a ≥ a 3b + b3c + c 3a + ab3 + bc3 + ca KMO Summer Program Test, 2001 80 [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ] Cho a1 , a2 , , an > 0, n > th a mãn ñi u ki n a1a2 an = Hãy tìm h ng s kn nh nh t cho a1a2 (a + a2 )(a + a1 ) 2 + a2 a3 (a 2 + a3 )(a + a2 ) + + an a1 (a n + a1 )(a12 + an ) ≤ kn 81 [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, x, y, z s th c dương Ch ng minh r ng ax + by + cz + (a + b2 + c )( x + y + z ) ≥ (a + b + c)( x + y + z ) Kvant, 1989 82 [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c ñ dài ba c nh c a m t tam giác Ch ng minh r ng a b c  b c a 3 + + −1 ≥  + +   b c a   a b c  83 [ Walther Janous ] Cho x1 , x2 , , xn > 0, n > th a mãn ñi u ki n x1 + x2 + + xn = Ch ng minh r ng   n   1 +  ≥  n − xi  ∏ ∏   x  i=1  1− x  i=1  n i i Crux Mathematicorum 10 DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 84 [ Vasile Cirtoaje, Gheoghe Eckstein ] Cho x1 , x2 , , xn s th c dương th a mãn ñi u ki n x1 x2 xn = Ch ng minh r ng 1 + + + ≤1 n −1 + x1 n −1 + x2 n −1 + xn TST 1999, Romania 85 [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c s th c khơng âm th a u ki n a2 +b2 +c2 +abc = Ch ng minh r ng ≤ ab + bc + ca − abc ≤ USAMO, 2001 86 [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a+b+c − abc ≤ max {( ) ( a− b , ) ( b− c , c− a ) } TST 2000, USA 87 [ Kiran Kedlaya ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a + ab + abc a + b a + b + c ≤ a 3 88 Tìm h ng s k l n nh t cho v i b t kì s ngun dương n khơng phương, ta có (1+ n ) sin (π n ) > k Vietnamese IMO Training Camp, 1995 89 [ Tr n Nam Dũng ] Cho x, y, z s th c dương th a ñi u ki n ( x + y + z ) = 32 xyz Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a bi u th c x4 + y4 + z 4 (x + y + z) Vietnam, 2004 90 [ George Tsintifas ] Cho a, b, c, d s th c dương Ch ng minh r ng 3 3 (a + b) (b + c) (c + d ) (d + a) ≥ 16a 2b2 c d (a + b + c + d ) Crux Mathematicorum 91 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c s th c không âm th a mãn ñi u ki n a + b + c = n s nguyên dương Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c n (ab) 1− ab n + (bc) 1− bc n + (ca) 1− ca 92 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng 1 + + ≥ a (1 + b) b (1 + c ) c (1 + a ) abc + abc ( ) 93 [Tr n Nam Dũng ] Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b2 + c = Ch ng minh r ng DeThiMau.vn 11 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang (a + b + c) − abc ≤ 10 Vietnam, 2002 94 [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng          a + −1b + −1 + b + −1c + −1 + c + −1a + −1 ≥             b  c   c  a   a  b  95 [ Gabriel Dospinescu ] Cho n s nguyên l n Tìm s th c l n nh t mn s th c nh nh t M n cho v i s th c dương b t kì x1 , x2 , , xn (xem xn = x0 , xn+1 = x1 ), ta có n mn ≤ ∑ i=1 xi ≤ Mn xi−1 + (n −1) xi + xi +1 96 [ Vasile Cirtoaje ] Cho x, y, z s th c dương Ch ng minh r ng 1 + + ≥ 2 2 x + xy + y y + yz + z z + zx + x (x + y + z) Gazeta Matematică 97 [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d s th c dương Ch ng minh r ng (a3 +1)(b3 +1)(c + 1)(d +1) ≥ (1 + abcd )(1 + a )(1 + b )(1 + c )(1 + d ) Gazeta Matematică 98 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng 4 (a + b) + (b + c) + (c + a) ≥ 4 a + b4 + c4 ) ( Vietnam TST, 1996 99 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = Ch ng minh r ng 1 1 1 + + ≤ + + 1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a + a + b + c Bulgaria, 1997 100 [Tr n Nam Dũng ] Cho a, b, c s th c dương th a 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c + + a b c Vietnam, 2001 101 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n xy + yz + zx = Ch ng minh r ng a b c ( y + z)+ ( z + x) + ( x + y) ≥ b+c c+a a +b 102 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng 2 (b + c − a ) (c + a − b) (a + b − c) + + ≥ 2 (b + c) + a (c + a) + b (a + b) + c Japan, 1997 12 DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 103 [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 , , an ≥ 0, an = {a1 , a2 , , an } Ch ng minh r ng  a + a2 + + an−1 n a1n + a2n + + ann − na1a2 an ≥ (n −1) − an    n −1 104 [ Turkervici ] Cho x, y , z , t s th c dương Ch ng minh r ng x + y + z + t + xyzt ≥ x y + y z + z 2t + x z + y 2t Kvant 105 Cho a1 , a2 , , an s th c dương Ch ng minh r ng n  n 2 ij  a  ≤ aa ∑ ∑ i  i=1  i , j=1 i + j −1 i j 106 Cho a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn ∈ (1001, 2002) cho a12 + a22 + + an2 = b12 + b22 + + bn2 Ch ng minh r ng a 17 a13 a23 + + + n ≤ (a12 + a22 + + an2 ) b1 b2 bn 10 TST Singapore 107 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng (a + b2 )(b2 + c )(c + a ) ≥ 8(a 2b2 + b2c + c a ) 108 [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d s th c dương th a mãn ñi u ki n abcd = Ch ng minh r ng (1 + a ) + (1 + b) + (1 + c) + (1 + d ) ≥1 Gazeta Matematică 109 [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a2 b2 c2 a b c + + ≥ + + 2 2 2 b +c c +a a +b b+c c +a a +b Gazeta Matematică 110 [ Gabriel Dospinescu ] Cho n s th c a1 , a2 , , an Ch ng minh r ng    a  ≤ + + a j ) (  ∑ ∑ i  i∈ℕ*  1≤i≤ j≤n TST 2004, Romania 111 [Tr n Nam Dũng ] Cho x1 , x2 , , xn ∈ [−1,1] th a mãn ñi u ki n x13 + x23 + + xn3 = Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c x1 + x2 + + xn 112 [ Gabriel Dospinescu, Călin Popa ] Cho n s th c a1 , a2 , , an , n ≥ th a mãn ñi u ki n a1a2 an = Ch ng minh r ng DeThiMau.vn 13 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang a12 + a22 + + an2 − n ≥ 2n n n −1 (a1 + a2 + + an − n) n −1 113 [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng 2a 2b 2c + + ≤ a +b b+c c+a Gazeta Matematică 114 Cho x, y, z s th c dương Ch ng minh r ng  ( xy + yz + zx)  +  ( x + y ) + ( y + z)  ≥ 2 ( z + x)  Iran, 1996 115 [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 , , xn s th c dương th a mãn ñi u ki n n ∏(3x +1) ≤ n i i=1 Ch ng minh r ng n n ∑ x +1 ≥ i=1 i 116 [ Suranyi ] Cho a1 , a2 , , an s th c dương Ch ng minh r ng (n −1)(a1n + a2n + + ann ) + na1a2 an ≥ (a1 + a2 + + an )(a1n−1 + a2n−1 + + ann−1 ) Miklos Schweitzer Competition 117 [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , , xn > th a mãn ñi u ki n x1 x2 xn = Ch ng minh r ng n ∑ (x − x ) ≥ ∑ x i i j 1≤i≤ j≤n −n i =1 A generazation of Tukervici’s Inequality 118 [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1 , a2 , , an < a1 + a2 + + an = 1, n > Tìm giá tr n −1 nh nh t c a bi u th c n ∑ i=1 a1a2 an 1−(n −1) 119 [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1 , a2 , , an ∈ [0,1) th a mãn ñi u ki n a= a12 + a22 + + an2 ≥ n Ch ng minh r ng a a1 a na + 2 + + n ≥ 1− a1 1− a2 1− an 1− a 120 [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n 14 DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang (a + b + c)( x + y + z ) = (a + b + c )( x + y + z ) = Ch ng minh r ng abcxyz < 36 121 [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , , xn > 0, n > th a mãn ñi u ki n x1 x2 xn = Tìm h ng s kn nh nh t cho 1 + + + ≤ n −1 + kn x1 + kn x2 + kn xn Mathlinks Contest 122 [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , , xn > 0, n > th a mãn ñi u ki n x12 + x22 + + xn2 = Tìm h ng s kn l n nh t cho (1− x1 )(1− x2 ) (1− xn ) ≥ kn x1 x2 xn 123 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = Ch ng minh r ng 1 + + ≥ a (b + c ) b (c + a ) c (a + b) IMO, 1995 124 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = Ch ng minh r ng ab bc ca + + ≤ 5 a + b + ab b + c + bc c + a + ca IMO Shortlist, 1996 125 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = Ch ng minh r ng + ab + bc + ca 18 + + ≥ 3 3 c a b a + b3 + c3 Hong Kong, 2000 126 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = Ch ng minh r ng 2 + 2 + 2 (a +1) + b + (b +1) + c + (c +1) + a + ≤ 127 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = Ch ng minh r ng     a −1 + b −1 + c −1 +  ≤  b  c  a  IMO, 2000 128 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = Ch ng minh r ng a3 b3 c3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c) (1 + a )(1 + b) IMO Shortlist, 1998 129 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng DeThiMau.vn 15 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang ab bc ca + + ≤ 1+ c 1+ a 1+ b 130 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng a + b + c + 3abc ≤ Poland, 1999 131 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng a +b+c+ ≥4 abc Macedonia, 1999 132 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng ab + c + bc + a + ca + b ≥ + ab + bc + ca 133 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1− a )(1− b)(1− c) Russia, 1991 134 Cho a, b s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b = Ch ng minh r ng a2 b2 + ≥ a +1 b +1 Hungary, 1996 135 Cho s th c x, y Ch ng minh r ng 3( x + y + 1) + ≥ xy Columbia, 2001 136 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng  1 a b (a + b) +  ≥ +  a b  b a Czech and Slovakia, 2000 137 Cho a, b, c ≥ Ch ng minh r ng a −1 + b −1 + c −1 ≤ c (ab + 1) Hong Kong, 1998 138 Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = xyz Ch ng minh r ng 1+ x + 1+ y + ≤ 1+ z Korea, 1998 139 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a a + 8bc + b + b + 8ca IMO, 2001 16 DeThiMau.vn c c + 8ab ≥1 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 140 Cho a, b, c, d s th c dương Ch ng minh r ng a b c d + + + ≥ b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + a + 3b a + 2b + 3c IMO Shortlist, 1993 141 Cho a, b, c, d s th c dương th a mãn ñi u ki n ab + bc + cd + da = Ch ng minh r ng a3 b3 c3 d3 + + + ≥ b+c +d c +d +a d +a +b a +b+c IMO Shortlist, 1990 142 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a2 b2 c2 bc ca ab + + ≥1 ≥ + + a + 2bc b + 2ca c + 2ab a + 2bc b + 2ca c + 2ab Romania, 1997 143 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a b3 c3 + + ≥ a +b +c bc ca ab Canada, 2002 144 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng 1 1 + + ≤ 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc USA, 1997 145 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a2 + b2 + c2 = Ch ng minh r ng 1 + + ≥ + ab + bc + ca Belarus, 1999 146 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a b c a +b b+c + + ≥ + +1 b c a b+c a +b Belarus, 1998 147 Cho a, b, c ≥ − , a + b + c = Ch ng minh r ng a b c + + ≤ a + b + c + 10 Poland, 1996 148 Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz = Ch ng minh r ng x9 + y y9 + z9 z + x9 + + ≥2 x6 + x3 y + y y + y z + z z + z z + x Roamania, 1997 149 Cho x ≥ y ≥ z > Ch ng minh r ng DeThiMau.vn 17 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang x2 y y2 z z x + + ≥ x2 + y2 + z z x y Vietnam, 1991 150 Cho a ≥ b ≥ c > Ch ng minh r ng a − b c − b2 a − c + + ≥ 3a − 4b + c c a b Ukraine, 1992 151 Cho x, y, z s th c dương Ch ng minh r ng ( xyz x + y + z + x + y + z (x + y + z )( xy + yz + zx ) 2 ) ≤ 3+ Hong Kong, 1997 152 Cho a1 , a2 , , an > a1 + a2 + + an < Ch ng minh r ng a1a2 an (1− a1 − a2 − − an ) ≤ n+1 (a1 + a2 + + an )(1− a1 )(1− a2 ) (1− an ) n IMO Shortlist, 1998 153 Cho hai s th c a, b , a ≠ Ch ng minh r ng a + b2 + b + ≥ a2 a Austria, 2000 154 Cho a1 , a2 , , an > Ch ng minh r ng a2 a2 a12 a22 + + + n−1 + n ≥ a1 + a2 + + an a2 a3 an a1 China, 1984 155 Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz = Ch ng minh r ng x + y + z + x + y + z ≥ ( xy + yz + zx) Russia, 2000 156 Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz ≥ xy + yz + zx Ch ng minh r ng xyz ≥ 3( x + y + z ) India, 2001 157 Cho x, y, z > 1 + + = Ch ng minh r ng x y z x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 IMO, 1992 158 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n ab +bc +ca =1 Ch ng minh r ng 18 1 1 + 6b + + 6c + + 6a ≤ a b c abc DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang IMO Shortlist, 2004 159 Cho x ≥ 2, y ≥ 2, z ≥ Ch ng minh r ng ( x3 + y )( y + z )( z + x) ≥ 125 xyz Saint Petersburg, 1997 160 Cho a, b, c, d s th c dương th a mãn ñi u ki n c + d = (a + b ) Ch ng minh r ng a b3 + ≥ c d Singapore, 2000 161 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng a b c + + ≥1 b + 2c c + 2a a + 2b Czech – Slovak Match, 1999 162 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng ab bc ca a b c + + ≥ + + c (c + a) a (a + b) b (b + c) c + a b + a c + b Moldova, 1999 163 Cho a, b, c, d s th c dương Ch ng minh r ng a +c b+d c +a d +b + + + ≥ a+b b+c c +d d +a Baltic way, 1995 164 Cho x, y, u , v s th c dương Ch ng minh r ng xy + xu + uy + uv xy uv ≥ + x + y +u +v x+ y u +v Poland, 1993 165 Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng    a    1 + 1 + b 1 + c  ≥ 1 + a + b + c   b  c  a   abc  APMO, 1998 166 Cho x, y, z s th c không âm th a mãn ñi u ki n x + y + z =1 Ch ng minh r ng x2 y + y z + z x ≤ 27 Canada, 1999 167 Cho a, b, c, d , e, f s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c + d + e + f = 1, ace + bdf ≥ 108 Ch ng minh r ng DeThiMau.vn 19 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang abc + bcd + cde + def + efa + fab ≤ 36 Poland, 1998 168 Cho a, b, c ∈ [0,1] Ch ng minh r ng a + b + c ≤ a 2b + b c + c a + Italy, 1993 169 Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c ≥ abc Ch ng minh r ng a + b + c ≥ abc Ireland, 1997 170 Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c ≥ abc Ch ng minh r ng a + b + c ≥ 3abc BMO, 2001 171 Cho x, y, z s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = xyz Ch ng minh r ng xy + yz + zx ≥ ( x + y + z ) Belarus, 1996 172 Cho x1 , x2 , x3 , x4 s th c dương th a mãn ñi u ki n x1 x2 x3 x4 = Ch ng minh r ng    1 1 x13 + x23 + x33 + x43 ≥ max   x1 + x2 + x3 + x4 , + + +    x1 x2 x3 x4      Iran, 1997 173 Cho a, b, c, x, y, z s th c dương Ch ng minh r ng a b3 c (a + b + c ) + + ≥ x y z 3( x + y + z ) Belarus TST, 2000 174 Cho a, b, c, d s th c dương th a mãn ñi u ki n 1 1 + + + =1 4 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d Ch ng minh r ng abcd ≥ Latvia, 2002 175 Cho x, y, z > Ch ng minh r ng xx +2 yz yy + zx zz +2 xy xy + yz + zx ≥ ( xyz ) Proposed for 1999 USAMO 176 Cho c ≥ b ≥ a ≥ Ch ng minh r ng (a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) ≥ 60abc Turkey, 1999 20 DeThiMau.vn .. .500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c ♦♦♦♦♦ Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh... Cho x, y, z s th c dương Ch ng minh r ng xyz ≤ (1 + 3x)( x + y )( y + z )( z + 6) DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang Gazeta Matematică 11 [ Mihai Piticari, Dan Popescu... dương th a ñi u ki n x + y + z + xyz = Ch ng minh r ng a) xyz ≤ , b) x + y + z ≤ , DeThiMau.vn 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang c) xy + yz + zx ≤ ≤ x + y + z , d) xy + yz + zx ≤