Nguy n Phú Khánh – Đà L t http//:www.maths.vn NH NG BÀI TOÁN B T Đ NG TH C CƠ B N TRONG COSI Cho ≥ nguyên = Tìm giá tr# nh$ nh%t c'a + Gi i: = + + + + ≥ + = D%u ñ*ng th+c x-y ≥ nguyên Cho ⇔ + ≥ + + = + = Giá tr# nh$ nh%t c'a + + ≥ > + = Tìm giá tr# nh$ nh%t c'a + Gi i: ≥ V1i > ≥ ⇔ ⇔ − Ta có: + − − − − ⇔ + − + + + − ≥ Suy + − − − ≥ + − + − ñúng v1i m4i = Giá tr# nh$ nh%t c'a + − − + − + + − ≥ + + − ≥ ⇔ − + ≥ ≤ − > + − − < + − − = + + − + − < + = − ≥ Cách : Nháp : = + + + + + + > DeThiMau.vn + − + + − ≥ Nguy n Phú Khánh – Đà L t http//:www.maths.vn = cho: = Ta ch4n = Bài gi-i: + + + ⇒ + + + = + − + = ≥ + + + + + − + + ≥ + nên < Cho hai s6 th7c ≠ ≠ c'a bi>u th+c : = Vì > + + − + ≥ suy ra: + = ( thay ñ8i th$a mãn ñi:u ki;n: + ) + = = + − Tìm giá tr# l1n nh%t + Đ thi Đ i h c kh i A năm 2006 Xét ĐAt ( ) + = ( + + ) = ⇒ + = + + + + ≤ = − ⇒ ⇒ ≤ + = = + + ≤ = = = + − ⇒ ( + ) − + − + = + = + hay = = s6 th7c dương thay đ8i Tìm giá tr# nh$ nh%t c'a bi>u th+c + + + + Đ thi Đ i h c kh i B năm 2007 + Gi i: = + + + + = ≤ + + D%u ñ*ng th+c x-y Cho ( ) − − Khi : = + = Ta ñưCc ⇒ = Gi i: + = + + DeThiMau.vn + + + + ≤ + Nguy n Phú Khánh – Đà L t = ( + ) + = + ≥ = = Đ*ng th+c x-y http//:www.maths.vn ( + ) + + + = = = VFy giá tr# nh$ nh%t c'a bi>u th+c Đ thi Đ i h c kh i A năm 2009 Cho = Tìm giá tr# nh$ nh%t c'a bi>u th+c s6 th7c dương thay ñ8i tho- mãn ñi:u ki;n ( = ) + + ( + ) + + + ( ) + + Đ thi Đ i h c kh i A năm 2007 Gi i: ≥ + + = ĐAt: = = Hay ≥ ⇒ + + + ≥ Khi đó: − + + + + )= (− + + = − = bi>u th+c = ( + )( + + + + + + + + − − + ≥ + − + − + + + + + + VFy giá tr# nh$ nh%t c'a bi>u th+c c'a Cho s6 th7c không âm + − = + ≥ + = = thay ñ8i th$a mãn + )+ = + = = Tìm giá tr# l1n nh%t giá tr# nh$ nh%t c'a Đ thi Cao ñ ng kh i B năm 2009 Gi i: NhFn xét: vai trò gi6ng (ñ6i x+ng) c'a DeThiMau.vn Nguy n Phú Khánh – Đà L t ( = )+ + ( + ) ( + http//:www.maths.vn ) Hay = Vì không âm th$a mãn ⇒− ≤ − ≤ + Cho s6 th7c = ( + + = )− ( ≤ = + + − + ≤ = ≤ + )+ − = suy thay ñ8i th$a mãn + + + = − = VFy giá tr# l1n nh%t c'a )( + + − ≤ ⇒ ( = = giá tr# nh$ nh%t c'a ( ) + + = = ≥ Tìm giá tr# nh$ nh%t c'a bi>u th+c )+ + Đ thi Đ i h c kh i B năm 2009 Gi i: ( ( + + = = ) ) ≥ ( ( + + )+ ( ≥ Khi = = ( Xét hàm s6 Ta có Khi ( ( + ≥ ⇒ + )+ = )− ( + ≥( + ( + )− ( + + − + ∈ +∞ + + ≥ + ≥ = ) + ≥ ( )= ( )= ) +( + + ) ) + ) + ( )− ( + + Mà ĐAt ≥ ⇒ + − > ( )= ⇒ ≥ + )+ ) −( + )⇒ ( + ) + hay ≥ + ≥ )− ( + + ≥ ( ≥ ( + )+ + ) )− ( + + xác ñ#nh liên tNc nOa kho-ng , ≥ = ⇒ () +∞ ñQng biRn nOa kho-ng Đ*ng th+c x-y ĐI M RƠI TRONG B%T D'NG TH)C COSI DeThiMau.vn = +∞ )+ Nguy n Phú Khánh – Đà L t > th$a mãn Bài toán m" ñ$u : Cho = + + + http//:www.maths.vn + ≤ Tìm giá tr# nh$ nh%t c'a bi>u th+c Gi i: L,i gi-i Ta có: = + + D%u = x-y ⇔ + L,i gi-i Ta có: = + ≥ + + + + ≥ VFy + + x-y ⇔ = + = + + = + + ≥ + = + = − H; vô nghi;m VFy không tQn t i ⇔ + = = = + ≤ = MAt khác D%u = + + ≥ + + + + + + + + ≥ = + + + + = ⇔ = = L,i bình: l,i gi-i l,i gi-i gSn tương t7 nhau, áp dNng b%t đ*ng th+c mUt tốn mà có đRn hai ñáp s6 ? Do ñâu mà lWi gi-i + ≥ = t i l i tách + + T i ? Đó k6 thu8t ch n ñi9m rơi b th$a mãn + ≤ Tìm giá tr# nh$ nh%t c'a bi>u th+c = + + + Gi i: Do Ta có: bi>u th+c đ6i x+ng v1i = + + + , ta d7 đốn + + ñ tt i ≥ + + DeThiMau.vn = = + + ≥ Nguy n Phú Khánh – Đà L t D%u http//:www.maths.vn + = x-y ⇔ = + = = ⇔ = VFy giá tr# nh$ nh%t c'a bi>u th+c = = = ñ tt i = Thao kh-o hai l,i gi-i khác : L,i gi-i 1: = D%u + + + + + + = x-y ⇔ = + = = ≥ ⇔ = VFy giá tr# nh$ nh%t c'a bi>u th+c ( + = = + ) = Thay = ñ tt i = ≥ = + + = ≥ vào ta ñưCc + L,i bình 1: = Qua cách gi-i ta ñã ch4n ñúng d%u ñ*ng th+c x-y = giá tr# nh$ nh%t c'a bi>u th+c ( − ) + ñ tt i ≥ , ñ*ng th+c x-y = = = nên dZn ñRn vi;c tách s6 h ng ñúng , bư1c cu6i ta làm sai , ví dN ⇒ = ( − ) + = L,i gi-i 2: = + + + + MAt khác + ≥ ≥ + = + + + ≥ VFy + = ( + ) ⇒ + = + ( + ) L,i bình 2: Tho t nhìn th%y tốn gi-i Th7c tR sao? Vi;c tách th+c + = Cho + ( + = ( ) = ⇔ = + = s6 th7c dương + = + ñ> làm xu%t hi;n ñ*ng ) H; vô nghi;m Đ*ng th+c không x-y , khơng tQn t i tho- mãn + + ≤ Ch+ng minh rXng : DeThiMau.vn Nguy n Phú Khánh – Đà L t + + + + + ≥ http//:www.maths.vn + + + + + + + + + + ≥ ≥ Gi i: + + + + + ≥ + + + Ta có th> ph m sai lSm: + + ≥ + = = = ñó D%u ñ*ng th+c x-y ≥ + + = = > ( trái gi- thiRt ) Phân tích tốn : T\ gi- thiRt ≥ bình nhân Khi : + + + + + ≥ + ⇒ + + + Đ*ng th+c x-y + + + , gCi ý hư1ng gi-i b%t ñ*ng th+c trung bình cUng, trung ĐAt: ≥ = ≤ = + + ⇒α = ≥ + ≤ ≤ ≥ = Ta ch4n α > cho: = α Bài gi i: + + + + + dương tho- mãn = + D7 đốn đ*ng th+c x-y = − ≥ − = − = = = = + + ≥ Phân tích tốn : T\ gi- thiRt bình nhân Xét + dương tho- mãn ≥ + + , ch4n α > ≥ + + ⇒ = cho: = α ≤ ≤ , gCi ý hư1ng gi-i b%t ñ*ng th+c trung bình cUng, trung ĐAt: ⇒α = = ≤ = DeThiMau.vn ,ñ*ng th+c x-y = Nguy n Phú Khánh – Đà L t http//:www.maths.vn Áp dNng b%t đ*ng th+c trung bình cUng, trung bình nhân cho s6, s6 s6 − + = + ≥ ⇒ − ⇒ + ⇒ + + + + + + ≥ − ≥ + + + + − ≥ + + ≥ + − − ≥ − + ( ) ≥ ≥ + − − − ≥ = = = = Đ*ng th+c x-y Cách khác : = Ch4n : = Dùng b%t ñ*ng th+c vecto + + + + + + ≥ ( ≥ ) ( + + + + ≥ + + + + + + ≥ + + Tương t7 Xét + ) + + ≤ ≤ + + + + + + Đ*ng th+c x-y = + = Tương t7 , ta ñAt = + + + ≥ + ≥ + + ≥ = + = = = + + + + ≥ , ch4n α > = = cho: = α DeThiMau.vn ⇒α = = − : Nguy n Phú Khánh – Đà L t http//:www.maths.vn Áp dNng b%t đ*ng th+c trung bình cUng, trung bình nhân cho s6, s6 s6 : − + = + ≥ ⇒ + − ⇒ + + + + Đ*ng th+c x-y > Cho = + + + + − ≥ + ≥ − ≥ − + − + ≥ ( ) − ≥ = = = = + th$a mãn + − ≥ + + ≥ + + + + = Tìm giá tr# l1n nh%t c'a bi>u th+c + Đ thi Đ i h c kh i D năm 2007 Gi i: Cho s6 khơng âm + th$a đi:u ki;n + ≤ + ≤ Ch+ng minh rXng : ≤ Toán tu@i thơ – s 27 Gi i: NhFn xét : Các ña th+c tham gia toán bFc tương +ng bXng Áp dNng b%t đ*ng th+c trung bình cUng , trung bình nhân cho DeThiMau.vn = + s6 , ñQng thWi s6 mũ c'a biRn s6 Nguy n Phú Khánh – Đà L t + ( Tương t7 T\ + ( ) + ( ) ( ) suy T\ T\ ( ≥ ) + + ≤ + ≤ http//:www.maths.vn ) ( ) ( ) ( ≥ ( ⇒ ( ( ≥ = D%u ñ*ng th+c x-y )≥ + )+ ( + )⇒ ( + )() + + ≤ th$a ñi:u ki;n + + + + ≤ + + ≤ + s6 dương th$a mãn ñi:u ki;n: + + = + = Ta có : + + + Áp dNng b%t ñ*ng th+c: ≥ Ta ñưCc: + Đ*ng th+c x-y ⇔ = VFy + Ch+ng minh rXng : Tìm giá tr# nh$ nh%t c'a bi>u th+c: Gi i: Cho )() ≤ Cho = () = + = T-ng quát : Cho s6 không âm + ) )+ ( + ≥ ( ) ( ) suy () = + + = = ñ t ñưCc + + ≥ + s6 th7c dương + + = ≥ + + + + ⇒ = = tho- mãn + ( + + = + = = + ) + = = + = Ch+ng minh rXng : Phân tích tốn : DeThiMau.vn Nguy n Phú Khánh – Đà L t http//:www.maths.vn • TrưWng hCp t8ng quát , gi- sO < ≤ ≤ tho- mãn đi:u ki;n + + = , vFy ta có th> suy < ≤ ≤ < hay không? Như vFy đi:u ki;n khơng xác d%u đ*ng th+c chb x-y < = = ⇒ ∈ + + = • Ta th%y m6i liên h; c'a toán ? D th%y toán v: d ng cSn ch+ng minh : • Vì vai trị − + + − + − ( + + ) • Ta thO tìm lWi gi-i : − ≥ ⇔ ≥ − + = + + + GCi ý ta đưa ≥ − ý phân tích gCi ý ta đưa đRn cách phân tích ≥ − + − + ⇔ − cSn ch+ng minh − − ≥ − ⇔ ≥ ≥ ≥ ≥ − ⇔ ≥ − − = − − D th%y + − + − = Áp dNng b%t ñ*ng th+c trung bình cUng trung bình nhân = ⇒ + − ≥ + − − ≥ − − ⇔ ≥ − − Tương t7 cho trưWng hCp l i Gi i : Cho s6 th7c dương Ch+ng minh rXng : ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ ( + + ) Phân tích tốn : • Đ*ng th+c cSn ch+ng minh đưa v: d ng : ( + ) • Gi- sO + < ( + )+ + ( + ) + ( + )+ ≤ ≤ D7 đốn ñ*ng th+c x-y + ( + ) = = DeThiMau.vn + ( + )+ ≥ Nguy n Phú Khánh – Đà L t T\ gCi mc hư1ng gi-i : http//:www.maths.vn + ) ( + ( + )+ = ( + )= ⇔ = ( + ) ( + ) = = Tương t7 cho trưWng hCp khác ≥ Đ*ng th+c x-y ⇔ + )= ( = = Gi-i : + ) ( ( + ) ( + ) + + ( + )≥ Đ*ng th+c x-y khi: + + ( + )≥ Đ*ng th+c x-y khi: ( + ) + + ( + )≥ Đ*ng th+c x-y khi: ( + ) CUng vR theo vR ta ñưCc : ( + ) + + ( + ) ( ( + ) ≥ + ) = = ( + ) = = ( + ) = = ( + ) ( + + ) D%u ñ*ng th+c x-y : = = > Cho s6 th7c dương + + + + tho- mãn + + + + + + + + + + + + ≤ + ≤ + + + + + + + + + = Ch+ng minh rXng : < ≥ Gi-i: + ( < )+ + + + + = + ≤ = + ⇒ + + + + + = + ≤ = + Đ*ng th+c x-y + = + = + = ⇔ = = + VFy = ( )≤ ( ) ( ) + + + + + + ( ) ( ) + + + < + + + ≤ = + + + = + + Phân tích tốn : DeThiMau.vn ⇒ ≤ + + = ≠ + = Nguy n Phú Khánh – Đà L t http//:www.maths.vn • TrưWng hCp t8ng quát , gi- sO < ≤ ≤ tho- mãn ñi:u ki;n < = = ⇒ = = = HXng s6 cSn thêm + + = + + • T\ gi- thiRt gCi ý ta đưa đRn cách phân tích + + + + + = , d%u ñ*ng th+c chb x-y ≤ ( + + ) + + + + + + + = + + + + + ≤ + + • Ta thO tìm lWi gi-i : Áp dNng b%t đ*ng th+c trung bình cUng trung bình nhân ( + ) + = Tương t7 cho trưWng hCp l i + ≥ + + ( + ) = hay + + + Cách khác : Gi- sO v1i m4i d7 đốn ( + ) + = > , ta ln có : ≤ > + + V%n ñ: bây giW ta phù hCp? + = ⇔ = D th%y ñ*ng th+c x-y = = Gi i : Áp dNng b%t đ*ng th+c trung bình cUng trung bình nhân ( + )+ + = ≤ ( + ) ( + )+ + = + ≤ ( ) ( + )+ ≤ ( + ) + = ⇒ + + + + Đ*ng th+c x-y + + + + + = = = + ( ≤ ≤ + + )+ DeThiMau.vn = = (ñpcm) Nguy n Phú Khánh – Đà L t • TrưWng hCp t8ng quát , gi- sO < = = + + = ⇒ http//:www.maths.vn < ≤ ≤ + = ⇒ + = + = = = = • T\ gi- thiRt gCi ý ta đưa đRn cách phân tích + + = + + + ( ≤ + + ( Gi-i : Áp dNng b%t ñ*ng th+c trung bình cUng trung bình nhân + + + + = + ≤ + + + + = + ≤ ( + )+ + + = + ≤ ( ) ⇒ = ( ) ( ) + + + + D%u ñ*ng th+c x-y + + + + + ( ) ( ) + ( ≤ = = = + + + + + )+ )+ + + + = ( + + ) hay ( + )+ = + (ñpcm) ≤ ≤ tho- mãn ñi:u ki;n + + = Đ*ng th+c x-y : = + + + ⇔ + = , d%u ñ*ng th+c chb x-y • T\ đi:u cSn ch+ng minh ,gCi ý ta đưa đRn cách phân tích v1i m4i = ≤ ≥ Phân tích tốn : • TrưWng hCp t8ng quát , gi- sO < < = = ⇒ = = = + + = • Vì thR mà = , d%u đ*ng th+c chb x-y HXng s6 cSn thêm + + )+ + + + tho- mãn ñi:u ki;n > , ta ln có : = + = ( + + )+ DeThiMau.vn + + − ( + + ) + ≥ Nguy n Phú Khánh – Đà L t http//:www.maths.vn Gi-i : Áp dNng b%t ñ*ng th+c trung bình cUng trung bình nhân + ≥ + ≥ + ≥ = ( + + )+ ⇒ Đ*ng th+c x-y : + = − ( + + )≥ = = = Bài t/p tương t3 Cho s6 th7c dương nh%t bi>u th+c + + + + ≥ ∈ ℝ Tìm giá tr# l1n + = Hư1ng dZn : Th7c hi;n vi;c ch4n ñi>m rơi : Ch+ng minh rXng nRu (ñpcm) th$a mãn + − ( + + )= + = + = + =β ≥ Phân tích tốn : • Trư1c hRt ta đ> ý m6i liên h; gida th+c có d ng : ( − ) ≥ ⇔ ( ) +( ) ≥ • Phân tích : + ≥ Đ*ng th+c x-y = + ≥ Đ*ng th+c x-y = + ≥ Đ*ng th+c x-y = + = = Bây giW ta ch4n cho : = ⇔ = = = Gi-i : + ≥ Đ*ng th+c x-y = + ≥ Đ*ng th+c x-y + ≥ Đ*ng th+c x-y = = DeThiMau.vn cho ta ñi:u ?, ph-i nhdng hXng ñ*ng Nguy n Phú Khánh – Đà L t http//:www.maths.vn + CUng vR theo vR ta ñưCc : + = = Đ*ng th+c x-y : = + + s6 th7c dương Cho ≥ ( + + = ⇔ = = + )⇒ + ≥ (ñpcm) = + + tho- mãn = + Ch+ng minh rXng : + ≥ Phân tích tốn : • Trư1c hRt ta đ> ý m6i liên h; gida + ñưCc biRn ñ8i v: d ng • Phân tích : + ≥ + ≥ + ≥ Bây giW ta ch4n + + + + ≤ ≤ ≤ = = > Đ*ng th+c x-y > Đ*ng th+c x-y = = ⇔ = = = = ( < ≥ > Đ*ng th+c x-y cho : + cho ta đi:u ?, gCi ý : = + + = = = = = = = Gi-i : + ≥ Đ*ng th+c x-y = + ≥ Đ*ng th+c x-y = + ≥ = Đ*ng th+c x-y CUng vR theo vR ta ñưCc + + ≥ ( + + )− DeThiMau.vn = (ñpcm) + ) ≥ Nguy n Phú Khánh – Đà L t = Đ*ng th+c x-y = = Cho http//:www.maths.vn s6 th7c không âm + Ch+ng minh rXng : ≤ ( + )( + )( + ( + )( + )( + ) ) Gi-i : + ( ≤ ⇔ ( ĐAt : + )( = ( )( + + + )( )( )( + + + + + + + + + ≤ + + + + D%u ñ*ng th+c x-y ≤ ) )( )⇔ + + ( )( + + + ) ≤ )( + + + ) = ( > tho- mãn Gi-i : − − − = ≥ + s6 th7c dương ) ta ln có : = ≤ + T8ng quát : Cho + + + ≤ = = ≥ Ch+ng minh rXng v1i m4i = ( )( + + + + + = + T8ng quát : Cho )( + + ) + + ( + ) ( (ñpcm) > + + = ) + + = Ch+ng minh rXng : − − − ≥ − − − + = = + + DeThiMau.vn + + Nguy n Phú Khánh – Đà L t Ch+ng minh rXng : Cho http//:www.maths.vn − − s6 th7c dương ≤ − tho- mãn + + − ≥ ( − ) + + + + ≥ Ch+ng minh rXng : + Gi-i : + ≥ + VFy: ⇒ ( + − + ≥ + + + + + )( T8ng quát : Cho : + ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ≥ ≥ ( ≥ ≥ + + − + )( + )( + )( + )( + ( + )( + )( + )( ) + ≥ + + + + + + ) ) ( + + + + + ≤ Bài tương t7 Cho s6 th7c dương + + )( + )( + ≥ − )( + ) ⇒ > Ch+ng minh rXng : + + ) + + + + ) ( )( + tho- mãn + ≥ + ( − ) + + = Ch+ng minh rXng : DeThiMau.vn ≤ Nguy n Phú Khánh – Đà L t + + + + + + + + = − = − + CUng vR theo vR : + + + + + + + + + + ⇒ + + + + + + ≤ ≥ − + = − + + ≥ + + − ≥ − + + ≥ − = = Ch+ng minh rXng : tho- mãn + + ⇒ ≥ − + s6 th7c dương Cho ≥ + Hư1ng dZn : + + = + + ≤ + − = + + + ≥ Tương t7 : ≥ + + + http//:www.maths.vn + ≥ + ≤ + Hư1ng dZn : Cho + s6 th7c dương + + + + + + = Ch+ng minh rXng : tho- mãn ≥ Gi-i : + + + + + ≥ ⇔ + + + + + + DeThiMau.vn + + ≥ + + + Nguy n Phú Khánh – Đà L t ⇔ + + + + + + + + + ⇔ ⇔ + + + s6 th7c dương Cho + + + + ≥ + ≥ + + = + + = Ch+ng minh rXng : tho- mãn + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + http//:www.maths.vn ≤ + + Hư1ng dZn : + Dùng b%t ñ*ng th+c Cho ≥ s6 th7c dương + + + + + Hư1ng dZn : Cách : Cách 1: + + Ch+ng minh rXng : + + + + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + ≥ ( + + ) + + + + + + + + ≥ + + + ≥ + + + ≥ + + + ≥ ≥ ≥ Cách 2: Cách 2: DeThiMau.vn + + + + + + + + + + + + + ≥ + + + + ≥ + + + + ≥ + + + + + + + + + ≥ ≥ ≥ ... ñQng biRn nOa kho-ng Đ*ng th+c x-y ĐI M RƠI TRONG B%T D'NG TH)C COSI DeThiMau.vn = +∞ )+ Nguy n Phú Khánh – Đà L t > th$a mãn Bài tốn m" đ$u : Cho = + + + http//:www.maths.vn +... s6 khơng âm + th$a đi:u ki;n + ≤ + ≤ Ch+ng minh rXng : ≤ Toán tu@i thơ – s 27 Gi i: NhFn xét : Các ña th+c tham gia toán bFc tương +ng bXng Áp dNng b%t ñ*ng th+c trung bình cUng , trung... trung ĐAt: ≥ = ≤ = + + ⇒α = ≥ + ≤ ≤ ≥ = Ta ch4n α > cho: = α Bài gi i: + + + + + dương tho- mãn = + D7 đốn ñ*ng th+c x-y = − ≥ − = − = = = = +