Một số Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 2015 môn: Toán41198

TRƯỜNG THCS CAO VIÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang Bài 1: (6 điểm) a) Cho P   x  x  y 1 y    y x y     x 1 xy  x 1 1 y  Tìm điều kiện x,y để biểu thức P xác định rút gọn P Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình: P = b) Chứng minh rằng: Với n N n + n +1 không chia hết cho Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình : 17  x  3  x  b) Cho số thực dương a,b thỏa mãn: a 100 + b 100 = a 101 + b 101 = a 102 + b 102 Tính giá trị biểu thức: P = a 2015 + b 2015 Bài 3: (3 điểm) a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y  x  19 ab  bc  ca a  b  c  b/ Cho a,b,c > Chứng minh : 2   28 a b c abc Bài 4: (6 điểm) Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2R Gọi M điểm thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến đường tròn tâm O A M cắt E Vẽ MP vng góc với AB(P AB), vẽ MQ vng góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O thuộc đường tròn tứ giác APMQ hình chữ nhật Gọi I trung điểm PQ Chứng minh O,I,E thẳng hàng Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh EAO đồng dạng với  MPB suy K trung điểm MP Đặt AP = x Tính MP theo x R.Tìm vị trí điểm M đường trịn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm ngun ,dương phương trình: xy+yz+zx=xyz+2 - Hết PHỊNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Bài (6 điểm) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2014-2015 Thời gian: 150 phút  x 1 x  x  3  x   :   1.Cho biểu thức: A =   x 1   x    x 1 với x  0; x  ThuVienDeThi.com   x 1 a Rút gọn A b Tìm x để A nguyên Chứng minh với số nguyên a ta có a3 + 11a  Bài (4 điểm) Giải phương trình: x   x   x  16  x  12  xy  x  y   Cho số dương x,y,z thoả mãn  yz  y  z   zx  z  x  15  Tính giá trị biểu thức P = x + y + z Bài (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 3xy – x – y + = Cho số dương a,b,c thoả mãn a + b + c  2015.Chứng minh 5a  b 5b  c 5c  a    2015 ab  3a bc  3b ca  3c Bài (6 điểm) Cho đường trịn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngồi đường tròn, M di động đường thẳng d, kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB I a) Chứng minh tích OI.OM khơng đổi b) Tìm vị trí M để  MAB c) Chứng minh M di động d AB ln qua điểm cố định Bài 5(1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: (x + y)4 = 40y + PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Bài Bài (6 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014-2015 Mơn thi: Tốn Nội dung Điểm a  x  ( x  3)( x  1)  x   x  : A =     x 1 = =   ( x  1)( x  1)  ( x  1) x  x 1 2đ b Vì x   x   x   0,5 ThuVienDeThi.com  x 1 Đồng thời 4 A4 x 1    A  1;2;3;4 A x 0,5 x 1 0 A0 0,5 9(TM) 1(loại) (TM) 0(TM) Kết luận: x  9; ;0   Bài (4 điểm) 0,5 0,5đ Ta có a3 + 11a = a3 – a + 12a = a.(a – 1).(a + 1) + 12a Chứng minh a.(a – 1).(a + 1)  a.(a – 1).(a + 1)   a.(a – 1).(a + 1)  mà 12a  a    a.(a – 1).(a + 1) + 12a  Vậy a3 + 11a  a   Điều kiện x  Đặt x   a, x   b (a > 0, b  0) 1đ 0,5đ 0,25đ  a  b  2x Ta có a + b = 2ab + a2 + b2 - 12  a  b   a  b  12   a  b  a  b  3   a + b - = (vì a > 0, b  nên a + b + > 0)  x4  x4 40  0,75đ x4  4 x4  x   16  x   x   x  1  x  5(TM ) Kết luận x =  xy  x  y  ( x  1)( y  1)     yz  y  z   ( y  1)( z  1)   zx  z  x  15 ( z  1)( x  1)  16    [(x + )(y + 1)(z + 1)]2 = 476 Vì x,y,z số dương nên (x + )(y + 1)(z + 1) = 24 24 24  x 1   ; y 1   ; z 1  16 0,5đ  x= ; y = 0,5; z = 43  P=x+y+z= 0,25đ 0,25đ Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + 2y2 + 3xy - x - y + = 0,5đ ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ   (x + y)(x + 2y - 1) = - Bài (3 điểm) Vì x,y nguyên nên x + y x + 2y - ước - Ta có bảng sau: x+y -3 -1 x + 2y -1 -3 x -8 -6 y -3 5 Kết luận nghiệm (x; y) (4; 3), (-8;5), (-6; 5), (4; -3) Chứng minh 5a  b  2a  b(1)  5a  b  6a  2a b  3a b  ab 2 ab  3a -1 -3 0,75đ 0,5đ 0,25đ  a  a b  ab  b   a  b  a  b   Mà a > 0, b > nên a + b > (a – b)2   (a – b)2(a + b)   (1) Chứng minh tương tự ta có: 2 0,5đ 5b  c  2b  c(2) bc  3b 5c  a  2c  a (3) ca  3a 0,25đ Cộng vế bất đẳng thức chiều (1), (2), (3) ta 5a  b 5b  c 5c  a  abc   ab  3a bc  3b ca  3c Mà a + b + c  2015  Bất đẳng thức chứng minh 0,25 đ 0,25đ 0,25đ Bài A O I K B (d) M H Vẽ hình đến câu a 0,5đ ThuVienDeThi.com a) Vì MA, MB hai tiếp tuyến đường trịn (O,R)  OB  MB Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: MA = MB MO tia phân giác góc AMB   AMB cân M có OM đường phân giác đồng thời đường cao  OM  AB   OMB vng B có OI đường cao  OB2 = OI.OM  OI.OM = R2 không đổi b)  AMB cân M (CMT) Để  AMB góc AMB = 600  góc BMO = 300   OBM vng B có OB = 0,5 OM  OM = 2.OB = 2R Kết luận d) Kẻ OH  d, H  d  H cố định, OH cắt AB K Chứng minh OIK OHM đồng dạng   OH.OK = OI OM = R2 không đổi Mà O, H cố định nên OH không đổi  OK không đổi, K  OH cố định  K cố định Kết luận Bài (1điểm) 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: (x + y)4 = 40y + (1) Vì x  1, y  nên (1) viết dạng: x  y 3  40 y  x y Chứng minh 40 y  40 y  40 x <  40 x y x y Suy 2(x + y)2 < 20 suy x + y  2(x + y)2  x  y 3  Đồng thời x + y ước 40y + số lẻ nên x + y lẻ  x+y=3  40y + = 34 = 81  y =  x = Vậy (x,y) = (1;2) TRƯỜNG THCS CAO VIÊN 0,5đ 0,5đ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn ThuVienDeThi.com Nội dung Bài Bài (6 đ ) Điểm a) Tìm điều kiện : x ≥ 0, y ,y ≠ 1, x+y≠0     x  y  x  y 1  y  x  1  x  y  x  y  x  xy  y  xy  =  x  y 1  y  x  1 P x  0,5đ x   y  y  xy =…= x  xy  y P=2  x  xy  y =2   1  y  x  1 Ta có 1  y  1     x 1 y  x 1   0,5đ 1,0đ 0,5đ  y 1  0,5đ x   x  Kết hợp với điều kiện x ≥ Vậy 0x4  x  {0,1,2,3,4} Thay vào phương trình P=2 ta có: (x,y) {(4,0); (2,2)} b) giả sử tồn số tự nhiên n để n  n Đặt A n  n  V× A9  A9 (1) Ta cã: A  4(n  n  1)  (2n  1)  V× A9  A3  (2n  1) 3  2n  13  (2n  1) 9 A  (2n  1)  kh«ng chia hÕt cho  A kh«ng chia hÕt cho Ta thấy (1) (2) mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai Vậy với n N n n không chia hết cho Bài (4đ) 1.(2đ) Tìm điều kiện 0 x 17 - Đặt t3 xx(tu0)  txut 3 x  x 3   1,0đ 0,5đ (2) 0,5đ 0,25đ 0,5đ  -Giải đến {utut==162 ) * Với ut=2 t=1 t=2 - Với t=1  x=1 -Với t=2  x=4 * Với ut=6  Pt vô nghiệm -Kết luận nghiệm (2đ) a102  b102  a101  b101 a  b   ab a100  b100  Ta có : 0,5đ 0,5đ  a102  b102  a102  b102 a  b  ab   a  b  ab   a, b   1;1 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Tính P=2 ThuVienDeThi.com Bài (3đ) Viết  x  x  1 7  y  0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ  x  1  7  y   7  y   y số nguyên lẻ Mà x  1  0 7  y  0 y =1 Thay y =1 vào tìm x=2, x=-4 Thử lại :… trả lời Có nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(-4,1) ;(-4,-1) Với x, y, z > Ta có: x y   (1) y x 1 +)    (2) x y z x yz 0,25đ 0,25đ 0,25đ +) +) x2 + y2 + z2  xy + yz + zx  x2  y  z  (3) xy  yz  zx 0,25đ Xảy đẳng thức (1), (2), (3)  x = y = z.Ta có: P ab  bc  ca  (a  b  c)2 (a  b  c) abc a  b2  c2 (a  b  c) ab  bc  ca   (a  b  c  2ab  2bc  2ca ) 2 abc a b c 0,5đ Áp dụng bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: P ab  bc  ca a  b2  c2  (a  b  c )  2.9 ab  bc  ca  ab  bc  ca a  b  c  a  b2  c2     18   a  b  c ab  bc  ca    ab bc ca      18  28 2  Dấu “ =” xảy  a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c ab  bc  ca 0,5đ I Bài (6đ) M K B O P Q E I x 0,25đ A a) Vì AE tiếp tuyến đường tròn(0) A  AE AO ThuVienDeThi.com 0,75đ  OEA vuông A O,E,A  đường trịn đường kính OE(1) Vì ME tiếp tuyến đường trịn(0) M  MEMO MOE vng MM,O,E  đường trịn đường kính OE(2) (1),(2) A,M,O,E thuộc mơt đường trịn *Tứ giác APMQ có góc vng : ฀ ฀ ฀ EAO  APM  PMQ  90o => Tứ giác APMQ hình chữ nhật b) Ta có : I giao điểm đường chéo AM PQ hình chữ nhật APMQ nên I trung điểm AM Mà E giao điểm tiếp tuyến M A nên theo định lý ta có : O, I, E thẳng hàng c) hai tam giác AEO PMB đồng dạng chúng tam giác vng có góc ฀ ฀ AOE , OE // BM  ABM => 0,75đ 1,5đ 1,5đ AO AE  (3) BP MP Mặt khác, KP//AE, nên ta có tỉ số KP BP  (4) AE AB Từ (3) (4) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB, mà AB = 2.OA => MP = 2.KP Vậy K trung điểm MP d) Ta dễ dàng chứng minh : abcd abcd      (*) Dấu “=” xảy a = b = c = d MP = MO  OP  R  (x  R)2  2Rx  x 1,5đ Ta có: S = SAPMQ = MP.AP  x 2Rx  x  (2R  x)x S đạt max  (2R  x)x đạt max  x.x.x(2R – x) đạt max  x x x (2R  x) đạt max 3 Áp dụng (*) với a = b = c = x x x x x x x R4 Ta có : (2R  x)      (2R  x)   3 3 3 16  x Do S đạt max   (2R  x)  x  R R Vậy MP= hình chũ nhật APMQ có diện tích lớn Bài (1đ) Tìmnghiệm nguyên ,dương phương trình: xy+yz+zx=xyz+2(1) Do vai trị x,y,z bình đẳng, nên khơng tính chất tơng qt Giả sử x y z 1,từ suy xy+yz+zx xy+xy+xy=3xy(2) (1),(2) 3xyz xyz+2 Hay 3xy xyz  z 0; x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thøc B= + + Bài ( đ ) Cho hai đường tròn ( O; R) ( O’; R’) tiếp xúc A( R > R’) Vẽ dây AM đường tròn (O) dây AN đường tròn ( O’) cho AM  AN Gọi BC tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (O)và (O’) với B  (O)và C  (O’) Chứng minh OM // O’N Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui Xác định vị trí M N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn Tính giá trị lớn ú ThuVienDeThi.com Bài 5( 1đ) Không dùng máy tính, bảng số với 4chữ số thập phân CMR sin75 = H­íng dÉn chÊm Bài Bài (6 đ ) a P = - + Nội dung Điểm 0,5đ 0,5đ = = = 0,5 = 0,5đ = = b Đặt y = 0,75đ +  y = 7+5 + - + 3( + ) 0,25đ  y = 14 - 3y  y +3y -14 = …………  (y- 2)( y + 2y + 7) = ( y + 2y + + ≥ 6)  ……  y =  x = Thay x =4 vào biểu thức rút gọn P ta P=4 c P = = … = x +3 + -6 0,25® Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ®èi víi sè d­¬ng ta cã P = x +3 + -6≥2 -6 0,25® 0,5® P ≥ 10 - = VËy Min P =  x +3 = 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® x=4 0,5® 0,5® 0,25® Bài (4đ 2) Gi¶i pt a x + 4x + = 2x + ®k : 2x+ 3≥  x ≥ …  ( x +1) + ( 2x + - 1) = ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25 0,5 0,25 Giải pt tìm ®­ỵc x = - ( x= -1) KL  3x - 3x - 3x = b x - x - x = 0,25® 0,25® 0,25®  4x = x + 3x + 3x +  4x = ( x + 1)  x = x +  x( - 1) = x= = 0,25 2)Tìm nghiệm tự nhiên phương tr×nh x + y + = xyz (*) Ta thấy x, y bình đẳng nên giả sử x y ta cã  x = y ta cã (*)  2x + = x z  x(xz - 2) = x = vµ z =  x > y Ta cã (*)  2x +1 > xyz  2x ≥ xyz  2≥ yz ( v× x ≠0) y = ; z =  x = hc y =2 ; z =1  x =3 nghiƯm cđa pt lµ (x ;y ;z) = ( ;1 ;3) ; ( ;1 ;2) ;(1 ;2 ;2) ; (3 ;2 ;1) ;(2 ;3 ;1) 0,25® 0,25đ 0,5đ 0,5® 0,5® Bài (2đ) a 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 =  4x + y + z - 4xy -4xz + 2yz + y - 6y + + z - 10z +25 =0  ( 2x - y -z) + ( y - 3) + ( z - 5) = 1đ 0,5đ 2x-y-z =0 x =4 y- =0  y = z- 5= z =5 VËy ( 4- 4) 2015 + ( - 4) 2015 + ( - 4) 2015 = b Do x + y+ z = nªn B = ( x + y + z) B = ( x + y + z) ( + + ) 0,5đ 0,5đ 0,5® = + 4+ + ( + )+( + )+( + ) Áp dụng bất đẳng thức Cosi víi số dương ta + 4; + 12 ; + ≥6 0,25®  B ≥ + + + + 12 + = 36 0,25® ThuVienDeThi.com Min B = 36  y = 4x y = 2x  4z = 9y x=  z = 3x z = 9x y= x+y+z=1 x+y+z=1 VËy Min B = 36 vµ chØ x = z= 0,5® : ;y= ;z= 0,25® Bài (5đ = = ( 180 - => OM //O’N Gọi P giao điểm MN OO’ Có : 2,0đ PO' O' N R'   PO OM R 0,75đ Gọi P’ giao điểm BC OO’ Do OB // O’C => P' O' O' C R'   P' O OB R => P = P’ -> đpcm MNO’C hình thang có R  R' R  R' R  R'  O' H   OO'  2 2 Dấu “ = “ xảy  H  O  OM  OO’ O’N  OO’ S= OM  O' N O' H 0,75đ Vậy Max S = Bài ( 1đ) 1,0 R  R'2 0,5đ B H 1.VÏ tam gi¸c ABC cã ฀ A = 90 ; ฀ A C = 15 vµ BC = 2a ( a tïy ý ; a > 0) Gäi I lµ trung ®iĨm cđa BC , ta cã ฀ = 30 IA = IB + IC = a vµ AIB ฀ = a cos 30 = KỴ AH  BC Thì IH = AIcos AIH I C 0,25đ = a sin 30 = AH = AI sin AIH CH = CI + IH = a + AC = CH + AH = 0,25® = + = a (2 + ) ThuVienDeThi.com  AC = a Sin 75 = SinB = = = = = … = 0,25® 0,5đ 0,25đ  Chó ý: HS làm cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com ... + số lẻ nên x + y lẻ  x+y=3  40y + = 34 = 81  y =  x = Vậy (x,y) = (1;2) TRƯỜNG THCS CAO VIÊN 0,5đ 0,5đ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn ThuVienDeThi.com... PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Bài Bài (6 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014- 2015 Môn thi: Toán Nội dung Điểm a  x  ( x  3)( x  1)  x   x  : A =   ... y z  0,5đ Trả li: (x,y,z)=(1,1,1),(4,3,2) Phòng GD & ĐT Thanh Oai đề thi học sinh giỏi lớp Môn : Toán Năm học : 2014 -2015 Thêi gian lµm bµi: 120 Tr­êng THCS Thanh Thùy Bài 1.( đ) Cho biểu