Toán học Kỹ thuật Cauchy ngược dấu41176

c Diễn đàn Toán học – VMF KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU Tác giả :Phạm Kim Hùng Biên tập: Vũ Đình Việt2 - Trần Trung Kiên I LỜI NÓI ĐẦU Các bạn thân mến! Bất đẳng thức (BĐT) phần kiến thức đặc biệt quan trọng Tốn Học nói chung chương trình THPT nói riêng BĐT phần khơng thể thiếu kỳ thi Toán, thi Đại Học, Cao Đẳng, Nói đến BĐT, khơng thể khơng nhắc đến BĐT quen thuộc BĐT Cauchy (AM-GM) Việc luyện tập tốt BĐT, giúp cho bạn có tư tốt việc học tập cải thiện tốt tâm lý phòng thi (khi gặp BĐT khó) Cuốn "Sáng tạo bất đẳng thức" - TG: Phạm Kim Hùng, sách hay viết đề tài Để góp phần giúp cho bạn nắm vững kiến thức BĐT này, vận dụng số kỹ năng, phương pháp để giải tốn liên quan đến BĐT, việc tìm đọc tài liệu viết BĐT dễ dàng hơn, tổng hợp hệ thống ngắn gọn lại tập tiêu biểu phương pháp gọi là: "Kỹ thuật Cauchy ngược dấu" Tài liệu biên soạn nhân kiện http://diendantoanhoc.net kỷ niệm năm hoạt động Vũ Đình Việt Trần Trung Kiên Có thể coi phần quà dành cho tất bạn Bài viết gồm phần chính: Phần I: LỜI NÓI ĐẦU Phần II: KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU - PHẠM KIM HÙNG : Phần trích nguyên mẫu sách ”Sáng tạo bất đẳng thức” - Phạm Kim Hùng Phần III: MỘT SỐ BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI HAY : Ở Phần gồm toán lời giải thành viên http://diendantoanhoc.net số toán sưu tầm Phần IV: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Việc biên soạn tránh khỏi thiếu sót, mong ý kiến đóng góp bạn! Mọi đóng góp xin gửi địa chỉ: echcon_ks9x@yahoo.com.vn Trân trọng cảm ơn! Phạm Kim Hùng có nickname Diễn đàn toán học VMF hungkhtn Vũ Đình Việt có nickname Diễn đàn tốn học VMF vietfrog Trần Trung Kiên có nickname Diễn đàn toán học VMF Ispectorgadget c www.diendantoanhoc.net Trang 1/13 DeThiMau.vn c Diễn đàn Toán học – VMF II.KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU - PHẠM KIM HÙNG4 Chúng ta xem xét bất đẳng thức AM − GM kĩ thuật đặc biệt - kỹ thuật Cauchy ngược dấu Đây kĩ thuật hay, khéo léo, mẻ ấn tượng bất đẳng thức AM − GM Hãy xem ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 1: Các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức: a b c + + ≥ 2 1+b 1+c 1+a LỜI GIẢI Ta sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM − GM với mẫu số bất đẳng thức đổi chiều b c a b c a + + ≥ ?! + + ≤ 2 1+b 1+c 1+a 2b 2c 2a Tuy nhiên, may mắn ta dùng lại bất đẳng thức theo cách khác a ab2 ab2 ab = a − ≥ a − =a− 2 1+b 1+b 2b Ta sử dụng bất đẳng thức AM − GM cho số + b2 ≥ 2b mẫu lại có bất đẳng thức thuận chiều? Sự may mắn cách dùng ngược bất đẳng thức AM − GM , kĩ thuật ấn tượng bất ngờ Nếu khơng sử dụng phương pháp bất đẳng thức khó dài Từ bất đẳng thức trên, xây dựng bất đẳng thức đương tự với b, crồi cộng bất đẳng thức lại suy ra: b c ab + bc + ac a + + =a+b+c− ≥ 2 1+b 1+c 1+a 2 ta có ab + bc + ac ≤ Đẳng thức xảy a = b = c = Với cách làm xây dựng bất đẳng thức tương tự với số Ví dụ 2: Các số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức: a b c d + + + ≥2 2 1+b 1+c 1+d + a2 Và không dùng kĩ thuật Cauchy ngược dấu gần tốn giải theo cách thông thường Kĩ thuật thực hiệu với tốn bất đẳng thức hốn vị Ví dụ 3: Chứng minh với số thực dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiên a + b + c + d = ta có: a b c d + + + ≥2 2 + b c + c d + d a + a2 b Phần II trích nguyên mẫu sách ”Sáng tạo Bất đẳng thức” tác giả Phạm Kim Hùng c www.diendantoanhoc.net Trang 2/13 DeThiMau.vn c Diễn đàn Toán học – VMF LỜI GIẢI Theo bất đẳng thức AM − GM √ a ab2 c ab2 c ab c =a− ≥a− √ =a− + b2 c + b2 c 2b c √ b (a + ac) b a.ac ≥a− ≥a− a ⇒ ≥ a − (ab + abc) 1+b c Hồn tồn tương tự ta có thêm bất đẳng thức sau: b c d ≥ b − (bc + bcd) , ≥ c − (cd + cda) , ≥ d − (da + dab) 2 1+c d 1+d a 1+a b Cộng vế bất đẳng thức ta a b c d + + + ≥ a+b+c+d− (ab + bc + cd + da + abc + bcd + cda + dab) 2 2 1+b c 1+c d 1+d a 1+a b Từ bất đẳng thức AM − GM dễ dàng suy bất đẳng thức: ab + bc + cd + da ≤ (a + b + c + d)2 = 4 abc + bcd + cda + dab ≤ Do (a + b + c + d)3 = 16 a b c d + + + ≥a+b+c+d−2=2 2 + b c + c d + d a + a2 b Đẳng thức xảy a = b = c = d = Ví dụ 4: Chứng minh với số thực dương a, b, c, d tac ln có: a3 b3 c3 d3 a+b+c+d + + + ≥ 2 2 2 2 a +b b +c c +d d +a LỜI GIẢI Sử dụng bất đẳng thức AM − GM với số a3 ab2 ab2 b = a − ≥ a − =a− 2 2 a +b a +b 2ab Xây dựng bất đẳng thức tương tự với b, c, drồi cộng theo vế bất đẳng thức lại ta được: a3 b3 c3 d3 b c d a a+b+c+d + + + ≥a− +b− +c− +d− = 2 2 2 2 a +b b +c c +d d +a 2 2 Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tất biến c www.diendantoanhoc.net Trang 3/13 DeThiMau.vn c Diễn đàn Toán học – VMF Một bất đẳng thức dạng là: a4 b4 c4 d4 a+b+c+d + + + ≥ 3 3 3 3 a + 2b b + 2c c + 2d d + 2a Ví dụ 5: Cho a, b, c ≥ a + b + c = Chứng minh: a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2b2 b + 2c2 b + 2a2 LỜI GIẢI Sử dụng biến đổi bất đẳng thức AM − GM cho số: a2 2ab2 2ab2 √ = a − ≥ a − = a − (ab) 3 2 a + 2b a + 2b 3 ab Hoàn toàn tương tự ta có bất đẳng thức: 2 b2 2 c2 3, ≥ b − (bc) ≥ c − (ca) 2 b + 2c c + 2a Do ta cần chứng minh: a+b+c− 2 2 (ab) + (bc) + (ca) 3 2 ≥1 ⇔ (ab) + (bc) + (ca) ≤ Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên đúng, theo bất đẳng thức AM − GM : 2 a + ab + b ≥ 3(ab) , b + bc + c ≥ 3(bc) , c + ca + a ≥ 3(ca) Ngoài dễ thấy ab + bc + ca ≤ nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Kết toán thay giả thiết a + b + c = ab + bc + ca = √ quả√của √ a + b + c = 3, trường hợp sau khó chút Ta có thêm bất đẳng thức khác dạng Ví dụ 6: Cho a, b, c ≥ a + b + c = Chứng minh rằng: b2 c2 a2 + + ≥1 a + 2b3 b + 2c3 b + 2a3 LỜI GIẢI Chứng minh tương tự đưa bất đẳng thức về: √ √ √ 3 b a2 + c a2 + a c ≤ Sau áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có: 2 ba ≤ b (2a + 1) , cb ≤ c (2b + 1) , ac ≤ a (2c + 1) c www.diendantoanhoc.net Trang 4/13 DeThiMau.vn c Diễn đàn Toán học – VMF Cộng ba vế bất đẳng thức điều phải chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh với số thực dương a, b, c có tổng thì: a+1 b+1 c+1 + + ≥3 b +1 c +1 a +1 LỜI GIẢI Theo bất đẳng thức AM − GM dễ thấy (a + 1) b2 b2 (a + 1) ab + b a+1 =a+1− ≥a+1− =a+1− b +1 b +1 2b Tương tự ta có bất đẳng thức với b, c cộng lại ta được: a+1 b+1 c+1 + + ≥ b +1 c +1 a +1 a+1− ab + b + b+1− bc + c + c+1− ca + a a + b + c − ab − bc − ca ≥3 Đẳng thức xảy a = b = c = =3+ Ví dụ 8: Chứng minh với a, b, c, d dương có tổng thì: a+1 b+1 c+1 d+1 + + + ≥2 b +1 c +1 d +1 a +1 Cũng phương pháp tương tự ta có bất đẳng thức sau Ví dụ 9: Chứng minh với a, b, c, ddương có tổng thì: a2 1 1 + + + ≥2 +1 b +1 c +1 d +1 LỜI GIẢI Thật ta có đánh giá sau: a2 a2 a = − ≥ − =1− 2 a +1 a +1 2a Sau cần làm tương tự vớib, c, drồi cộng lại ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = d = Kĩ thuật Cauchy ngược dấu kĩ thuật giúp giải toán theo lối suy nghĩ nhẹ nhàng sáng, kết làm kĩ thuật nói chung khó làm theo cách khác, phải làm theo cách dài Trích ”Sáng tạo Bất đẳng thức–Phạm Kim Hùng” c www.diendantoanhoc.net Trang 5/13 DeThiMau.vn c Diễn đàn Toán học – VMF III MỘT SỐ BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI HAY Bài toán 1: Cho x, y, z số thực dương Tìm GTLN biểu thức: √ √ √ yz xy xz √ + P = √ + √ x + yz y + xz z + xy (Đề dự bị khối B – 2010) LỜI GIẢI Đây lời giải HÀ QUỐC ĐẠT Diễn đàn tốn học VMF Ta có: √ yz x x (1) √ =1− √ ≤1− x + yz x + yz x+y+z Chứng minh tương tự: √ √ xy xz z z y y √ = 1− √ ≤ 1− (2); (3) √ = 1− √ ≤ 1− x+y+z z + xy z + xy x+y+z y + xz y + xz Cộng theo vế (1)(2)(3) ta có: 2P ≤ − x+y+z =2 ⇒P ≤1 x+y+z Vậy M inP = x = y = z Bài toán 2: Cho số a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: b3 c3 a+b+c a3 + + ≥ a2 + ab + b2 b2 + ab + c2 c2 + ac + a2 LỜI GIẢI Đây lời giải Ispectorgadget Diễn đàn toán học VMF Sử dụng biến đổi bất đẳng thức AM − GM cho số ta có: a3 a2 b + ab2 ab(a + b) a+b = a − ≥ a − = a − (1) a2 + ab + b2 a2 + ab + b2 3ab Chứng minh tương tự ta có: b3 b+c c3 a+c ≥b− (2); ≥c− (3) 2 b + cb + c c + ac + a Cộng (1)(2)(3) ta có: a3 b2 c3 a+c a+b b+c a+b+c + + ≥ a+b+c− − − = 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ac + a 3 3 Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c c www.diendantoanhoc.net Trang 6/13 DeThiMau.vn c Diễn đàn Toán học – VMF Ta có lời giải khác hay, hồn tồn khơng liên quan đến LỜI GIẢI thu đánh giá tương tự LỜI GIẢI Đây lời giải vietfrog Diễn đàn toán học VMF Lời giải sử dụng ”Phương pháp tiếp tuyến” Giả sử: 2a − b a3 ≥ 2 a + ab + b 3 ⇔ a + b − a b − ab2 ≥ ⇔ (a + b) (a − b)2 ≥ (∗) Do a, b > nên bất đẳng thức (∗) hiển nhiên Như giả sử Xây dựng bất đẳng thức tương tự với b, c cộng theo vế ta được: a3 a+b+c b3 c3 2a − b 2b − c 2c − a + + = + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + ab + c c + ac + a 3 3 Đẳng thức xảy xảy a = b = c Bài toán 3: Cho a, b, c thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a+b+c a+b+c a+b+c + + ≥ V = a + abc b + abc c + abc (Đề thi thử ĐH lần trường chuyên Nguyễn Huệ 2007-2008) LỜI GIẢI Đây lời giải Ispectorgadget Diễn đàn toán học VMF Từ giả thiết ta có: √ a + b + c = ≥ abc ⇔ ≥ abc Do đó: V ≥ (a + b + c) ≥3 1− a2 +1 + b2 +1 + c2 +1 b2 c2 a2 +1− +1− 2a 2b 2c =3 1− =3 3− a2 a2 +1 +1− a+b+c b2 b2 +1 +1− =9− c2 c2 +1 9 = 2 Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài toán 4: Cho a, b số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b = Tìm giá trị nhỏ của: a2 b2 M= + a+1 b+1 LỜI GIẢI Ta có: a2 a+1 =a− a a+1 ≥a− √ a √ a √ =a− a Tương tự với b ta có được: b + ≥ b − 2b Cộng theo vế bất đẳng thức ta √ √ √ a2 b2 a b √ + =a− +b− = a + b − ( a + b) a+1 b+1 2 c www.diendantoanhoc.net Trang 7/13 DeThiMau.vn c Diễn đàn Toán học – VMF Theo Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: √ √ √ ( a + b) √ a+b≥ ⇔ 2(a + b) ≥ √ √ a+ b 2(a + b) =2−1=1 Như : M inM = Dấu "=" xảy a=b=c=1 Thực tốn giải bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay gọi bất đẳng thức Schwarz: Với x, y, m, n số dương ta ln có: M ≥ (a + b) − Do đó: x2 y (x + y)2 + ≥ (∗) m n m+n LỜI GIẢI Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel ta có: a2 b2 (a + b)2 22 + ≥ = =1 a+1 b+1 a+b+2 2+2 Ta có M inM = a = b = Tuy nhiên, làm thi Đại học ta phải chứng minh lại bất đẳng thức (∗) Vì cách chứng minh kỹ thuật Cauchy ngược dấu lựa chọn hay Bài toán 5: Cho a, b, c số thực dương; a, b, c < CMR: 1 a2 + b2 + c2 + + ≥ + 2−a 2−b 2−c 2 LỜI GIẢI Ta có: b2 b2 b 2−b b2 + = − ≥ − = − = ⇒ ≥ (1) b2 + b2 + 2b 2 2−b c2 + 1 a2 + ≥ (2) ; ≥ (3) 2−c 2−a Cộng theo vế (1)(2)(3) ta có: Chứng minh tương tự: 1 a2 + + b + + + c a2 + b + c + + ≥ = + 2−a 2−b 2−c 2 Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy biến Bài toán 6: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: xyz = Chứng minh bất đẳng thức: x4 y y4z z4x + + ≥ 2 x +1 y +1 z +1 c www.diendantoanhoc.net Trang 8/13 DeThiMau.vn c Diễn đàn Toán học – VMF LỜI GIẢI Đây lời giải phuc_90 Diễn đàn toán học VMF Theo bất đẳng thức AM − GM cho số kết hợp với giả thiết xyz = ta có: x2 y + x2 y + z x ≥ 3 x3 (xyz)2 = 3x Tương tự ta có được: y z + y z + x2 y ≥ 3y ; z x + z x + y z ≥ 3z Cộng bất đẳng thức theo vế theo vế ta có: x2 y + y z + z x ≥ x + y + z(∗) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: x4 y = x y − x2 + 1 + x2 ≥ x2 y − xy Từ suy ra: x4 y ≥ x2 + x2 y − (∗) xy ≥ x2 y + y − AM −GM xy ≥ xy AM −GM ≥ Đây điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z = Bài toán 7: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b3 + 16 c3 + 16 a3 + 16 LỜI GIẢI Đây lời giải HÀ QUỐC ĐẠT Diễn đàn toán học VMF Ta có: ab3 ab3 ab3 ab2 a = (a − ) = (a − ) ≥ (a − ) = (a − ) b3 + 16 16 b3 + 16 16 b3 + + 16 12b 16 12 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab2 + bc2 + ca2 (3 − )≥ 16 12 ⇔ ab2 + bc2 + ca2 ≤ Chứng minh BĐT mạnh hơn: ab2 + bc2 + ca2 + abc ≤ Giả sử b nằm a c Ta có: a(b − c)(b − a) ≤ Theo bất đẳng thức AM − GM ab2 + bc2 + ca2 + abc = b(a + c)2 + a(b − a)(b − c) ≤ b(a + c)2 ≤ c www.diendantoanhoc.net Trang 9/13 DeThiMau.vn ...c Diễn đàn Toán học – VMF II.KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU - PHẠM KIM HÙNG4 Chúng ta xem xét bất đẳng thức AM − GM kĩ thuật đặc biệt - kỹ thuật Cauchy ngược dấu Đây kĩ thuật hay, khéo léo,... phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = d = Kĩ thuật Cauchy ngược dấu kĩ thuật giúp giải toán theo lối suy nghĩ nhẹ nhàng sáng, kết làm kĩ thuật nói chung khó làm theo cách khác, phải làm theo... c d + + + ≥2 2 1+b 1+c 1+d + a2 Và không dùng kĩ thuật Cauchy ngược dấu gần tốn khơng thể giải theo cách thông thường Kĩ thuật thực hiệu với toán bất đẳng thức hốn vị Ví dụ 3: Chứng minh với