Để góp phần giúp cho các bạn nắm vững các kiến thức về BĐT này, vận dụng một số kỹ năng, phương pháp để giải quyết các bài toán liên quan đến BĐT, cũng như việc tìm đọc các tài liệu viết[r]
(1)c Diễn đàn Toán học – VMF KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU Tác giả :Phạm Kim Hùng Biên tập: Vũ Đình Việt2 - Trần Trung Kiên I LỜI NÓI ĐẦU Các bạn thân mến! Bất đẳng thức (BĐT) là phần kiến thức đặc biệt quan trọng Toán Học nói chung và chương trình THPT nói riêng BĐT là phần không thể thiếu các kỳ thi Toán, thi Đại Học, Cao Đẳng, Nói đến BĐT, chúng ta không thể không nhắc đến BĐT khá quen thuộc đó là BĐT Cauchy (AM-GM) Việc luyện tập tốt BĐT, giúp cho các bạn có tư tốt việc học tập và cải thiện tốt tâm lý phòng thi (khi gặp bài BĐT khó) Cuốn "Sáng tạo bất đẳng thức" - TG: Phạm Kim Hùng, là sách hay viết đề tài này Để góp phần giúp cho các bạn nắm vững các kiến thức BĐT này, vận dụng số kỹ năng, phương pháp để giải các bài toán liên quan đến BĐT, việc tìm đọc các tài liệu viết BĐT dễ dàng hơn, tôi đã tổng hợp và hệ thống ngắn gọn lại các bài tập tiêu biểu phương pháp gọi là: "Kỹ thuật Cauchy ngược dấu" Tài liệu biên soạn nhân kiện http://diendantoanhoc.net kỷ niệm năm hoạt động Vũ Đình Việt và Trần Trung Kiên Có thể coi đây là phần quà dành cho tất các bạn Bài viết gồm phần chính: Phần I: LỜI NÓI ĐẦU Phần II: KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU - PHẠM KIM HÙNG : Phần này trích nguyên mẫu sách ”Sáng tạo bất đẳng thức” - Phạm Kim Hùng Phần III: MỘT SỐ BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI HAY : Ở Phần này gồm các bài toán và lời giải các thành viên trên http://diendantoanhoc.net cùng số bài toán sưu tầm Phần IV: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Việc biên soạn không thể tránh khỏi thiếu sót, mong ý kiến đóng góp các bạn! Mọi đóng góp xin gửi địa chỉ: echcon_ks9x@yahoo.com.vn Trân trọng cảm ơn! Phạm Kim Hùng có nickname trên Diễn đàn toán học VMF là hungkhtn Vũ Đình Việt có nickname trên Diễn đàn toán học VMF là vietfrog Trần Trung Kiên có nickname trên Diễn đàn toán học VMF là Ispectorgadget c www.diendantoanhoc.net Trang 1/13 Lop10.com (2) c Diễn đàn Toán học – VMF II.KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU - PHẠM KIM HÙNG4 Chúng ta xem xét bất đẳng thức AM − GM và kĩ thuật đặc biệt - kỹ thuật Cauchy ngược dấu Đây là kĩ thuật hay, khéo léo, mẻ và ấn tượng bất đẳng thức AM − GM Hãy xem các ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 1: Các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức: a b c + + ≥ 2 1+b 1+c 1+a LỜI GIẢI Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM − GM với mẫu số vì bất đẳng thức đổi chiều b c a b c a + + ≥ ?! + + ≤ 2 1+b 1+c 1+a 2b 2c 2a Tuy nhiên, may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo cách khác a ab2 ab2 ab = a − ≥ a − =a− 2 1+b 1+b 2b Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM − GM cho số + b2 ≥ 2b mẫu lại có bất đẳng thức thuận chiều? Sự may mắn đây là cách dùng ngược bất đẳng thức AM − GM , kĩ thuật ấn tượng và bất ngờ Nếu không sử dụng phương pháp này thì bất đẳng thức trên khó và dài Từ bất đẳng thức trên, xây dựng bất đẳng thức đương tự với b, crồi cộng bất đẳng thức lại suy ra: b c ab + bc + ac a + + =a+b+c− ≥ 2 1+b 1+c 1+a 2 vì ta có ab + bc + ac ≤ Đẳng thức xảy a = b = c = Với cách làm trên có thể xây dựng bất đẳng thức tương tự với số Ví dụ 2: Các số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức: a b c d + + + ≥2 2 1+b 1+c 1+d + a2 Và không dùng kĩ thuật Cauchy ngược dấu thì gần bài toán này không thể giải theo cách thông thường Kĩ thuật này thực hiệu với các bài toán bất đẳng thức hoán vị Ví dụ 3: Chứng minh với số thực dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiên a + b + c + d = ta có: a b c d + + + ≥2 2 + b c + c d + d a + a2 b Phần II này trích nguyên mẫu sách ”Sáng tạo Bất đẳng thức” tác giả Phạm Kim Hùng c www.diendantoanhoc.net Trang 2/13 Lop10.com (3) c Diễn đàn Toán học – VMF LỜI GIẢI Theo bất đẳng thức AM − GM √ a ab2 c ab2 c ab c =a− ≥a− √ =a− + b2 c + b2 c 2b c √ b (a + ac) b a.ac ≥a− ≥a− a ⇒ ≥ a − (ab + abc) 1+b c Hoàn toàn tương tự ta có thêm bất đẳng thức sau: b c d ≥ b − (bc + bcd) , ≥ c − (cd + cda) , ≥ d − (da + dab) 2 1+c d 1+d a 1+a b Cộng vế bất đẳng thức trên ta a b c d + + + ≥ a+b+c+d− (ab + bc + cd + da + abc + bcd + cda + dab) 2 2 1+b c 1+c d 1+d a 1+a b Từ bất đẳng thức AM − GM dễ dàng suy các bất đẳng thức: ab + bc + cd + da ≤ (a + b + c + d)2 = 4 abc + bcd + cda + dab ≤ Do đó (a + b + c + d)3 = 16 a b c d + + + ≥a+b+c+d−2=2 2 + b c + c d + d a + a2 b Đẳng thức xảy và a = b = c = d = Ví dụ 4: Chứng minh với số thực dương a, b, c, d tac luôn có: a3 b3 c3 d3 a+b+c+d + + + ≥ 2 2 2 2 a +b b +c c +d d +a LỜI GIẢI Sử dụng bất đẳng thức AM − GM với số a3 ab2 ab2 b = a − ≥ a − =a− 2 2 a +b a +b 2ab Xây dựng bất đẳng thức tương tự với b, c, drồi cộng theo vế các bất đẳng thức lại ta được: a3 b3 c3 d3 b c d a a+b+c+d + + + ≥a− +b− +c− +d− = 2 2 2 2 a +b b +c c +d d +a 2 2 Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tất các biến c www.diendantoanhoc.net Trang 3/13 Lop10.com (4) c Diễn đàn Toán học – VMF Một bất đẳng thức cùng dạng trên là: a4 b4 c4 d4 a+b+c+d + + + ≥ 3 3 3 3 a + 2b b + 2c c + 2d d + 2a Ví dụ 5: Cho a, b, c ≥ và a + b + c = Chứng minh: a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2b2 b + 2c2 b + 2a2 LỜI GIẢI Sử dụng biến đổi và bất đẳng thức AM − GM cho số: a2 2ab2 2ab2 √ = a − ≥ a − = a − (ab) 3 2 a + 2b a + 2b 3 ab Hoàn toàn tương tự ta có bất đẳng thức: 2 b2 2 c2 3, ≥ b − (bc) ≥ c − (ca) 2 b + 2c c + 2a Do đó ta cần chứng minh: a+b+c− 2 2 (ab) + (bc) + (ca) ≥ 2 ⇔ (ab) + (bc) + (ca) ≤ Nhưng bất đẳng thức này hiển nhiên đúng, vì theo bất đẳng thức AM − GM : 2 a + ab + b ≥ 3(ab) , b + bc + c ≥ 3(bc) , c + ca + a ≥ 3(ca) Ngoài dễ thấy ab + bc + ca ≤ nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Kết bài toán đúng thay giả thiết a + b + c = ab + bc + ca = √ quả√của √ a + b + c = 3, trường hợp sau khó chút Ta có thêm bất đẳng thức khác cùng dạng trên Ví dụ 6: Cho a, b, c ≥ và a + b + c = Chứng minh rằng: b2 c2 a2 + + ≥1 a + 2b3 b + 2c3 b + 2a3 LỜI GIẢI Chứng minh tương tự đưa bất đẳng thức về: √ √ √ 3 b a2 + c a2 + a c ≤ Sau đó áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có: 2 ba ≤ b (2a + 1) , cb ≤ c (2b + 1) , ac ≤ a (2c + 1) c www.diendantoanhoc.net Trang 4/13 Lop10.com (5) c Diễn đàn Toán học – VMF Cộng ba vế bất đẳng thức trên điều phải chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh với số thực dương a, b, c có tổng thì: a+1 b+1 c+1 + + ≥3 b +1 c +1 a +1 LỜI GIẢI Theo bất đẳng thức AM − GM dễ thấy (a + 1) b2 b2 (a + 1) ab + b a+1 =a+1− ≥a+1− =a+1− b +1 b +1 2b Tương tự ta có bất đẳng thức với b, c cộng lại ta được: a+1 b+1 c+1 ab + b bc + c ca + a + + ≥ a+1− + b+1− + c+1− b + c + a2 + 2 a + b + c − ab − bc − ca ≥3 Đẳng thức xảy a = b = c = =3+ Ví dụ 8: Chứng minh với a, b, c, d dương có tổng thì: a+1 b+1 c+1 d+1 + + + ≥2 b +1 c +1 d +1 a +1 Cũng phương pháp tương tự ta có bất đẳng thức sau đây Ví dụ 9: Chứng minh với a, b, c, ddương có tổng thì: a2 1 1 + + + ≥2 +1 b +1 c +1 d +1 LỜI GIẢI Thật ta có đánh giá sau: a2 a2 a = − ≥ − =1− 2 a +1 a +1 2a Sau đó cần làm tương tự vớib, c, drồi cộng lại ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = d = Kĩ thuật Cauchy ngược dấu là kĩ thuật giúp giải bài toán theo lối suy nghĩ nhẹ nhàng và sáng, các kết làm kĩ thuật này nói chung khó có thể làm theo cách khác, phải làm theo cách khá dài Trích ”Sáng tạo Bất đẳng thức–Phạm Kim Hùng” c www.diendantoanhoc.net Trang 5/13 Lop10.com (6) c Diễn đàn Toán học – VMF III MỘT SỐ BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI HAY Bài toán 1: Cho x, y, z là số thực dương Tìm GTLN biểu thức: √ √ √ yz xy xz √ + P = √ + √ x + yz y + xz z + xy (Đề dự bị khối B – 2010) LỜI GIẢI Đây là lời giải HÀ QUỐC ĐẠT trên Diễn đàn toán học VMF Ta có: √ yz x x (1) √ =1− √ ≤1− x + yz x + yz x+y+z Chứng minh tương tự: √ √ xy xz z z y y √ = 1− √ ≤ 1− (2); (3) √ = 1− √ ≤ 1− x+y+z z + xy z + xy x+y+z y + xz y + xz Cộng theo vế (1)(2)(3) ta có: 2P ≤ − x+y+z =2 ⇒P ≤1 x+y+z Vậy M inP = và x = y = z Bài toán 2: Cho số a, b, c là số thực dương Chứng minh rằng: b3 c3 a+b+c a3 + + ≥ a2 + ab + b2 b2 + ab + c2 c2 + ac + a2 LỜI GIẢI Đây là lời giải Ispectorgadget trên Diễn đàn toán học VMF Sử dụng biến đổi và bất đẳng thức AM − GM cho số ta có: a3 a2 b + ab2 ab(a + b) a+b = a − ≥ a − = a − (1) a2 + ab + b2 a2 + ab + b2 3ab Chứng minh tương tự ta có: b3 b+c c3 a+c ≥b− (2); ≥c− (3) 2 b + cb + c c + ac + a Cộng (1)(2)(3) ta có: a3 b2 c3 a+c a+b b+c a+b+c + + ≥ a+b+c− − − = 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ac + a 3 3 Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c c www.diendantoanhoc.net Trang 6/13 Lop10.com (7) c Diễn đàn Toán học – VMF Ta có lời giải khác khá hay, hoàn toàn không liên quan đến LỜI GIẢI và thu đánh giá tương tự LỜI GIẢI Đây là lời giải vietfrog trên Diễn đàn toán học VMF Lời giải này sử dụng ”Phương pháp tiếp tuyến” Giả sử: 2a − b a3 ≥ 2 a + ab + b 3 ⇔ a + b − a b − ab2 ≥ ⇔ (a + b) (a − b)2 ≥ (∗) Do a, b > nên bất đẳng thức (∗) hiển nhiên đúng Như giả sử đúng Xây dựng bất đẳng thức tương tự với b, c cộng theo vế ta được: a3 a+b+c b3 c3 2a − b 2b − c 2c − a + + = + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + ab + c c + ac + a 3 3 Đẳng thức xảy xảy a = b = c Bài toán 3: Cho a, b, c thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a+b+c a+b+c a+b+c + + ≥ V = a + abc b + abc c + abc (Đề thi thử ĐH lần trường chuyên Nguyễn Huệ 2007-2008) LỜI GIẢI Đây là lời giải Ispectorgadget trên Diễn đàn toán học VMF Từ giả thiết ta có: √ a + b + c = ≥ abc ⇔ ≥ abc 1 Do đó: V ≥ (a + b + c) a2 +1 + b2 +1 + c2 +1 = − a2a+1 + − b2 c2 a2 +1− +1− ≥3 1− 2a 2b 2c =3 3− a+b+c b2 b2 +1 +1− =9− c2 c2 +1 9 = 2 Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài toán 4: Cho a, b là số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b = Tìm giá trị nhỏ của: a2 b2 M= + a+1 b+1 LỜI GIẢI Ta có: a2 a+1 =a− a a+1 ≥a− √ a √ a √ =a− a Tương tự với b ta có được: b + ≥ b − 2b Cộng theo vế bất đẳng thức trên ta √ √ √ a2 b2 a b √ + =a− +b− = a + b − ( a + b) a+1 b+1 2 c www.diendantoanhoc.net Trang 7/13 Lop10.com (8) c Diễn đàn Toán học – VMF Theo Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: √ √ p √ √ √ ( a + b) √ a+b≥ ⇔ 2(a + b) ≥ a + b p 2(a + b) =2−1=1 Do đó: M ≥ (a + b) − Như : M inM = Dấu "=" xảy a=b=c=1 Thực thì bài toán giải bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay gọi là bất đẳng thức Schwarz: Với x, y, m, n là các số dương ta luôn có: x2 y (x + y)2 + ≥ (∗) m n m+n LỜI GIẢI Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel ta có: a2 b2 (a + b)2 22 + ≥ = =1 a+1 b+1 a+b+2 2+2 Ta có M inM = và a = b = Tuy nhiên, làm bài thi Đại học thì ta phải chứng minh lại bất đẳng thức (∗) Vì cách chứng minh kỹ thuật Cauchy ngược dấu trên có thể là lựa chọn hay Bài toán 5: Cho a, b, c là số thực dương; a, b, c < CMR: 1 a2 + b2 + c2 + + ≥ + 2−a 2−b 2−c 2 LỜI GIẢI Ta có: b2 b2 b 2−b b2 + = − ≥ − = − = ⇒ ≥ (1) b2 + b2 + 2b 2 2−b c2 + 1 a2 + ≥ (2) ; ≥ (3) 2−c 2−a Cộng theo vế (1)(2)(3) ta có: Chứng minh tương tự: 1 a2 + + b + + + c a2 + b + c + + ≥ = + 2−a 2−b 2−c 2 Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy các biến Bài toán 6: Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn: xyz = Chứng minh bất đẳng thức: x4 y y4z z4x + + ≥ 2 x +1 y +1 z +1 c www.diendantoanhoc.net Trang 8/13 Lop10.com (9) c Diễn đàn Toán học – VMF LỜI GIẢI Đây là lời giải phuc_90 trên Diễn đàn toán học VMF Theo bất đẳng thức AM − GM cho số kết hợp với giả thiết xyz = ta có: q x2 y + x2 y + z x ≥ x3 (xyz)2 = 3x Tương tự ta có được: y z + y z + x2 y ≥ 3y ; z x + z x + y z ≥ 3z Cộng bất đẳng thức theo vế theo vế ta có: x2 y + y z + z x ≥ x + y + z(∗) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 1 x4 y 2 = x y − ≥ x y − xy x2 + 1 + x2 Từ đó suy ra: P X x4 y X X AM −GM xy X (∗) X 2 xy ≥ x y+y − xy ≥ ≥ x y− x +1 2 2 AM −GM ≥ Đây chính là điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z = Bài toán 7: Cho a, b, c là số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b3 + 16 c3 + 16 a3 + 16 LỜI GIẢI Đây là lời giải HÀ QUỐC ĐẠT trên Diễn đàn toán học VMF Ta có: ab3 ab3 ab3 ab2 a = (a − ) = (a − ) ≥ (a − ) = (a − ) b3 + 16 16 b3 + 16 16 b3 + + 16 12b 16 12 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab2 + bc2 + ca2 (3 − )≥ 16 12 ⇔ ab2 + bc2 + ca2 ≤ Chứng minh BĐT mạnh hơn: ab2 + bc2 + ca2 + abc ≤ Giả sử b nằm a và c Ta có: a(b − c)(b − a) ≤ Theo bất đẳng thức AM − GM ab2 + bc2 + ca2 + abc = b(a + c)2 + a(b − a)(b − c) ≤ b(a + c)2 ≤ c www.diendantoanhoc.net Trang 9/13 Lop10.com (10) c Diễn đàn Toán học – VMF Từ đó ta có điều phải chứng minh Bài toán 8: Cho a, b, c là số không nhỏ Chứng minh bất đẳng thức: a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) + 2( 1 )≥9 + + 2 1+a 1+b c +1 LỜI GIẢI Ta có: a2 a 1 b2 c2 b2 c2 = 1− = 3− + + +1− 1− + + + a2 + b c + 1 + a2 + b2 c +1 + a2 + b c + Theo bất đẳng thức AM − GM ta có: a2 a2 b2 c2 a+b+c b2 c2 ≤ + + = + + 2 1+a 1+b c +1 2a 2b 2c Suy ra: a+b+c 1 ≥3− + + 2 1+a 1+b c +1 Ta cần chứng minh: a+b+c a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) + − ≥9 ⇔ a (b + c − 1) + b (a + c − 1) + c (b + a − 1) ≥ (∗) Thật vậy, a, b, c ≥ ⇒ (b + c − 1) ≥ ⇒ a (b + c − 1) ≥ Từ đó nhận thấy bất đẳng thức (∗) đúng và suy bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài toán 9: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn an + bn + cn = k và n, k ∈ N ∗ Tìm Min biểu thức: S= an bn cn + + + nbn+1 + ncn+1 + nan+1 LỜI GIẢI Đây là lời giải vietfrog trên Diễn đàn toán học VMF Ta có: X a,b,c a,b,c a,b,c a,b,c X X X n.an bn+1 n.an bn+1 an n n = a − = a − S= + nbn+1 + nbn+1 + nbn+1 cyc sym cyc cyc ≥k− a,b,c X n.an bn+1 cyc a,b,c n X n n =k− a b (n + 1)b n + cyc Mặt khác ta có: a,b,c X an bn = an bn + bn cn + an cn ≤ cyc c www.diendantoanhoc.net (an + bn + bn )2 k2 = 3 Trang 10/13 Lop10.com (11) c Diễn đàn Toán học – VMF Suy ra: S ≥k− n k2 n+1 n k Như vậy: M inS = k − n+1 và a = b = c = k3 Bài toán trên có thể tổng quát cho n số dương Bài toán 10: Cho > 0; i = 1.n Chứng minh rằng: an1 ann a1 + a2 + + an + + n−1 n−1 n−1 ≥ n−1 n−1 a1 + (n − 2)a2 an + (n − 2)a1 LỜI GIẢI Đây là lời giải anh qua trên Diễn đàn toán học VMF Ta có: (n − 2)a1 a2n−1 an1 = a − an−1 + (n − 2)a2n−1 an−1 + (n − 2)an−1 1 Mà theo bất đẳng thức AM − GM : an−1 + (n − 2)a2n−1 ≥ (n − 1).a1 an−2 Do đó: (n − 2)a2 an1 n−1 n−1 ≥ a1 − n−1 a1 + (n − 2)a2 Xây đựng các bất đẳng thức tương tự cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh Trên đây là 10 Bài toán bất đẳng thức và cực trị có sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu Có thể đó không phải là lời giải hay nhất, ngắn gọn mong qua đó, các bạn có thể có thêm kinh nghiệm mới, cách nhìn nhận để từ đó sáng tạo lời giải tuyệt vời Chúc các bạn thành công c www.diendantoanhoc.net Trang 11/13 Lop10.com (12) c Diễn đàn Toán học – VMF III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Dưới đây là số bài tập đề nghị có thể giải cách sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu Những bài tập này có thể giải nhiều cách hay thử đặt bút và làm kỹ thuật nói tới bài Sẽ thú vị! Bài tập 1: Cho x, y, z là số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức: V = x2 y2 z2 + + x + y y + z z + x2 Bài tập 2: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: a3 b2 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 a +b b +c c +a Bài tập 3: Cho a, b là số thực dương thỏa mãn ab = 1.Chứng minh rằng: a3 b3 + ≥1 + b + a2 Bài tập 4: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c P = + + 3 + 2b + 2c + 2a3 Bài tập 5: Cho a, b, c là số thực dương thỏa a, b, c < 4.Chứng minh bất đẳng thức: 1 a2 + b2 + c2 + + ≥ + 4−a 4−b 4−c 16 Bài tập 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = k và n ∈ N ∗ Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: S= a,b,c X cyc a2 a + nbn+1 c www.diendantoanhoc.net Trang 12/13 Lop10.com (13) c Diễn đàn Toán học – VMF Tài liệu tham khảo Cuốn sách ”Sáng tạo Bất đẳng thức” – Phạm Kim Hùng Diễn đàn toán học VMF : diendantoanhoc.net Một số đề thi Biên tập : Vũ Đình Việt và Trần Trung Kiên Soạn thảo LATEX : Vũ Đình Việt HẾT c www.diendantoanhoc.net Trang 13/13 Lop10.com (14)