Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức (BĐT) phần kiến thức đặc biệt quan trọng Toán Học nói chung chương trình THPT nói riêng BĐT phần thiếu kỳ thi Tốn, thi Đại Học, Cao Đẳng, Nói đến BĐT, không nhắc đến BĐT quen thuộc BĐT Cauchy (AM-GM) sử dụng hầu hết toán chứng minh BĐT Xoay quanh BĐT Cauchy nhiều kỹ thuật ứng dụng : Chọn điểm rơi, Hệ số bất định , Cauchy ngược dấu , Để góp phần giúp cho bạn nắm vững kiến thức BĐT này, vận dụng số kỹ năng, phương pháp để giải toán liên quan đến BĐT, tổng hợp hệ thống ngắn gọn lại tập tiêu biểu phương pháp gọi là: "Kỹ thuật Cauchy ngược dấu" Dù cố gắng chắn báo cáo nhiều sai sót, mong nhận góp ý cô bạn I KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU Ví dụ Cho số thỏa mãn điều kiện CMR: Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số, ta có: Như ta BĐT đổi chiều  khơng có điều phải chứng minh Tuy nhiên thử biến đổi chút biểu thức ta thấy: , thật may mắn đến ta BĐT chiều Làm tương tự với biểu thức lại cộng vào ta điều phải chứng minh Lời giải: Ta có:  + – Mà  + Dấu (đpcm) Nhận xét: Qua phép biến đổi, ta đưa biểu thức mà ta muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số từ biểu thức mang dấu dương thành biểu thức mang dấu âm Từ ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu mà bất đẳng thức chiều Định nghĩa:  Xét (k=const) Phân tích:  Sử dụng BĐT Cauchy cho mẫu số  Với biến khơng âm Ta có: => Dấu  B = k A.B = (Biến không âm)  Dấu hiệu nhận biết: + BĐT đối xứng biến (hoán vị) + Khi sử dụng ln BĐT thơng thường bị ngược dấu II BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Cho và.Chứng minh rằng: Lời giải Ta có: ; (1) Vì ; = Mà  (2) Từ (1) (2): Dấu Bài Cho dương thỏa mãn CMR: Lời giải Theo BĐT AM – GM, ta có:   Dấu Bài Cho ba số thực dương bé CMR: Lời giải Ta có: Tương tự: ; Dấu Bài Cho số thực dương Tìm GTLN biểu thức: Lời giải Ta có: (1) Chứng minh tương tự: (2) (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có: Vậy Bài Cho số thực dương thỏa mãn: Chứng minh bất đẳng thức: Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy cho số kết hợp với giả thiết xyz=1 ta có: Tương tự ta có được: Cộng BĐT theo vế theo vế ta có: (1)Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:  (Do (1)) Ta có: (AM – GM)  (đpcm) Dấu Bài Cho số thực dương Chứng minh: Lời giải: Ta có:  Ta phải chứng minh: Ta có Ta chứng minh Giả sử nằm (đpcm) Dấu hốn vị Bài Cho > thỏa mãn Tìm GTNN Lời giải Ta có:   (1) Ta có:  Tương tự:  Từ (1):     Đặt , ta có:  Vậy Bài Cho thỏa mãn Tìm GTNN: Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức: Lời giải Ta có: Mặt khác ta có: Như Bài 10 Cho Chứng ming rằng: Lời giải Ta có: Mà theo bất đẳng thức AM-GM: Xây dựng BĐT tương tự cộng vế, ta có: (đpcm) TÀI LIỆU THAM KHẢO https://drive.google.com/file/d/0B7uAMT9Yh6ueV3JZRmZyRDlnM2M/ view http://tailieu.vn/doc/ky-thuat-cosi-nguoc-dau-458154.html https://huynhquysp.files.wordpress.com/2015/04/cauchy_nguoc_dau.pdf https://www.slideshare.net/CharliePhan93x/c-mt-s-k-thut-sd-bt-cauchy https://www.youtube.com/watch?v=tI_tWB00sRM https://www.youtube.com/watch?v=DsJ0L2ofwN8 10 ...I KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU Ví dụ Cho số thỏa mãn điều kiện CMR: Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số, ta có: Như ta BĐT đổi chiều... có:  + – Mà  + Dấu (đpcm) Nhận xét: Qua phép biến đổi, ta đưa biểu thức mà ta muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số từ biểu thức mang dấu dương thành biểu thức mang dấu âm Từ ta áp... đẳng thức Cauchy cho mẫu mà bất đẳng thức chiều Định nghĩa:  Xét (k=const) Phân tích:  Sử dụng BĐT Cauchy cho mẫu số  Với biến khơng âm Ta có: => Dấu  B = k A.B = (Biến không âm)  Dấu hiệu