TRƯỜNG THCS PHÚ LƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút x5 x 25 x x 3 x 5 1 : Bài 1: (6,0 điểm) Cho biểu thức A = x 25 x x 15 x x 1) Rút gọn A 2) Tìm số nguyên x để A nguyên 3) Với x , x 25, x Tìm giá trị nhỏ biểu thức B= A( x 16) Bài 2:(4,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y2x + x + y + = x2 + 2y2 + xy 2) Giải phương trình x 4x + = 2x+3 Bài 3:(4,0 điểm) 1 x y z 1 Chứng minh rằng: 1 2x+y+z x 2y z x y 2z 2) Cho số thực dương thỏa mãn a b Tìm GTNN : 1) Cho x > 0, y > 0, z > A 1 4ab a b ab Bài 4:(5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) AB CD hai đường kính cố định (O) vng góc với M điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K H hình chiếu M CD AB 1) Tính sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC 2) Chứng minh: OK AH (2 R AH ) 3) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn Bài 5: (1,0 điểm) Tìm n N* cho: n4 + n3 + số phương Ghi : Giám thị coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG VỊNG MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút Bài 1: (6 điểm) x5 x 25 x x 3 x 5 Cho biểu thức A = 1 : x 25 x x 15 x x Rút gọn A Tìm số nguyên x để A nguyên Với x , x 25, x tìm giá trị nhỏ biểu thức A( x 16) B= Bài 1: (6điểm) Tìm điều kiện x 0, x 25, x Rút gọn A (2,5đ) x 3 x z => x Ư(5) (1,5đ) x 1loai => x x A( x 16) 5( x 16) x 16 B 5( x x 3 x 3 25 x 3 x 3 (2,0đ) 25 x 3 6 => B => B = x=4 Bài 2:(4 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy Giải: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy 2y2x- 2y2- x2+ x- xy + y = -1 2y2(x-1)- x(x-1)- y(x-1) = -1 (x-1)(2y2-x-y) = -1 x 1 x x (yZ) 2 y x y 1 ( y 1)(2 y 1) y x 1 x * 2 y x y y * Vậy nghiệm phương trỡnh là: (2;1),(0;1) 2) Giải phương trình x 4x+5=2 2x+3 Điều kiện: 2x+3 x (1) x 4x+5-2 2x+3 (1) x 2x+1+2x+3-2 2x+3 ThuVienDeThi.com (x 1)2 ( 2x+3 1)2 x 2x+3 x 1 2x+3=1 x 1 thỏa mãn điều kiện Bài 3:(4 điểm) 1 1) Cho x > 0, y > 0, z > x y z 1 1 Chứng minh rằng: 2x+y+z x 2y z x y 2z 1 Áp dụng bất đẳng thức x y x y (với x,y > 0) 1 1 1 ( ) Ta có: 2x+y+z 2x y z ; y z 4y 4z 1 1 ( ) 2x+y+z 2x 4y 4z (1) Suy ra: 1 1 ( ) Tương tự: x+2y+z 4x 2y 4z (2) 1 1 ( ) x+y+2z 4x 4y 2z (3) 1 1 1 ( ) 2x+y+z x+2y+z x+y+2z x y z Từ (1),(2),(3) 1 1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z Dấu "=" xảy 2) Cho số thực dương thỏa mãn a b Tìm GTNN : xyz 1 4ab a b ab A 1 1 4ab 2ab 4ab 4ab a b 1 2 4ab 2 4ab 4ab a b 2ab A a b 2ab 2 2 2 4ab a b 4ab ThuVienDeThi.com Do ab a b 2 2 a b ab 4 a b 2 2 27 a b 2ab 4ab 1 Dấu “=” xảy ab 4ab a b a b Vậy GTNN A Bài 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R ) AB CD hai đường kính cố định (O) vng góc với M điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K H hình chiếu M CD AB a) Tính sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC b) Chứng minh: OK AH (2 R AH ) c) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn C K M B O H D A (0,5đ) a Vì M thuộc (O) nên tam giác: BMA CMD vuông M nên: ) (sin MCD sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC = (sin MBA cos MBA cos MCD ) (1,5đ) =1+1=2 b Chứng minh: OK AH (2 R AH ) Thật vậy: KOHM hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng tam giác vng MAB có MH đường cao) (1đ) BH = AB – AH = 2R – AH ThuVienDeThi.com (1đ) Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) c P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) OH MH OM R Mà OH.MH (Pitago) 2 Vậy P R OH = (0,25đ) (0,25đ) R2 R đẳng thức xẩy MH = OH (0,25đ) R 2 (0,25đ) Câu 5: (1 điểm) Tìm n N* cho: n4 +n3+1 số phương Câu 5: Giả sử n4 +n3 + số phương n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2 n4 n3 1 n2 K n 2Kn K (K N * ) n 2Kn K n (n 2k ) K Mà K 1 n K n K Nếu K K n (n 2) n Thử lại ( thỏa mãn) Khi K K K n K n n 2k mâu thuẫn với điều kiện n n 2K K Vậy n = (1đ) GV soạn đề: Bùi Công Hải ThuVienDeThi.com ... 3 25 x 3 x 3 (2, 0đ) 25 x 3 6 => B => B = x=4 Bài 2: (4 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy Giải: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy 2y2x- 2y2- x2+ x- xy + y = -1 2y2(x-1)-... trình x 4x+5 =2 2x+3 Điều kiện: 2x+3 x (1) x 4x+5 -2 2x+3 (1) x 2x+1+2x+3 -2 2x+3 ThuVienDeThi.com (x 1 )2 ( 2x+3 1 )2 x 2x+3 x 1 2x+3=1 x ... ) Tương tự: x+2y+z 4x 2y 4z (2) 1 1 ( ) x+y+2z 4x 4y 2z (3) 1 1 1 ( ) 2x+y+z x+2y+z x+y+2z x y z Từ (1), (2) ,(3) 1 1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z Dấu "=" xảy 2) Cho số thực dương