Đề thi chọn HSG vòng 2 môn: Toán 9 Trường THCS Phú Lương40815

TRƯỜNG THCS PHÚ LƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút  x5 x   25  x x 3 x 5   1 :    Bài 1: (6,0 điểm) Cho biểu thức A =   x  25 x  x  15 x  x      1) Rút gọn A 2) Tìm số nguyên x để A nguyên 3) Với x  , x  25, x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức B= A( x  16) Bài 2:(4,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y2x + x + y + = x2 + 2y2 + xy 2) Giải phương trình x  4x + = 2x+3 Bài 3:(4,0 điểm) 1    x y z 1 Chứng minh rằng:   1 2x+y+z x  2y  z x  y  2z 2) Cho số thực dương thỏa mãn a  b  Tìm GTNN : 1) Cho x > 0, y > 0, z > A 1   4ab a  b ab Bài 4:(5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) AB CD hai đường kính cố định (O) vng góc với M điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K H hình chiếu M CD AB ฀ ฀ ฀ ฀ 1) Tính sin MBA  sin MAB  sin MCD  sin MDC 2) Chứng minh: OK  AH (2 R  AH ) 3) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn Bài 5: (1,0 điểm) Tìm n  N* cho: n4 + n3 + số phương Ghi : Giám thị coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG VỊNG MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút Bài 1: (6 điểm)  x5 x   25  x x 3 x 5  Cho biểu thức A =   1 :     x  25 x  x  15 x  x      Rút gọn A Tìm số nguyên x để A nguyên Với x  , x  25, x  tìm giá trị nhỏ biểu thức A( x  16) B= Bài 1: (6điểm) Tìm điều kiện x  0, x  25, x  Rút gọn A  (2,5đ) x 3 x  z => x  Ư(5) (1,5đ)  x   1loai =>   x    x  A( x  16) 5( x  16) x  16   B  5( x  x 3  x 3 25 x 3  x 3 (2,0đ) 25 x 3 6 => B  => B =  x=4 Bài 2:(4 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy Giải: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy  2y2x- 2y2- x2+ x- xy + y = -1  2y2(x-1)- x(x-1)- y(x-1) = -1  (x-1)(2y2-x-y) = -1 x 1  x  x  (yZ)   2 y  x  y  1 ( y  1)(2 y  1)   y   x   1 x  *  2 y  x  y   y  * Vậy nghiệm phương trỡnh là: (2;1),(0;1) 2) Giải phương trình x  4x+5=2 2x+3 Điều kiện: 2x+3   x  (1)  x  4x+5-2 2x+3  (1)  x  2x+1+2x+3-2 2x+3   ThuVienDeThi.com  (x  1)2  ( 2x+3  1)2  x     2x+3   x  1  2x+3=1  x  1 thỏa mãn điều kiện Bài 3:(4 điểm) 1 1) Cho x > 0, y > 0, z >    x y z 1   1 Chứng minh rằng: 2x+y+z x  2y  z x  y  2z 1   Áp dụng bất đẳng thức x y x  y (với x,y > 0) 1 1 1  (  )   Ta có: 2x+y+z 2x y  z ; y  z 4y 4z 1 1  (   ) 2x+y+z 2x 4y 4z (1) Suy ra: 1 1  (   ) Tương tự: x+2y+z 4x 2y 4z (2) 1 1  (   ) x+y+2z 4x 4y 2z (3) 1 1 1     (   ) 2x+y+z x+2y+z x+y+2z x y z Từ (1),(2),(3)  1   1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z Dấu "=" xảy 2) Cho số thực dương thỏa mãn a  b  Tìm GTNN : xyz 1   4ab a b ab A 1 1   4ab   2ab 4ab 4ab a b 1 2  4ab  2 4ab 4ab a  b 2ab A    a  b  2ab 2 2  2 4ab a  b  4ab ThuVienDeThi.com      Do ab   a  b      2 2 a  b  ab 4    a  b 2     2 27 a  b  2ab  4ab  1 Dấu “=” xảy   ab 4ab a  b  a  b  Vậy GTNN A Bài 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R ) AB CD hai đường kính cố định (O) vng góc với M điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K H hình chiếu M CD AB ฀ ฀ ฀ ฀ a) Tính sin MBA  sin MAB  sin MCD  sin MDC b) Chứng minh: OK  AH (2 R  AH ) c) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn C K M B O H D A (0,5đ) a Vì M thuộc (O) nên tam giác: BMA CMD vuông M nên: ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ )  (sin MCD ฀ ฀ sin MBA  sin MAB  sin MCD  sin MDC = (sin MBA  cos MBA  cos MCD ) (1,5đ) =1+1=2 b Chứng minh: OK  AH (2 R  AH ) Thật vậy: KOHM hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng tam giác vng MAB có MH đường cao) (1đ) BH = AB – AH = 2R – AH ThuVienDeThi.com (1đ) Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) c P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) OH  MH OM R Mà OH.MH    (Pitago) 2 Vậy P  R  OH = (0,25đ) (0,25đ) R2  R đẳng thức xẩy  MH = OH (0,25đ) R 2 (0,25đ) Câu 5: (1 điểm) Tìm n  N* cho: n4 +n3+1 số phương Câu 5: Giả sử n4 +n3 + số phương n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2   n4  n3 1  n2  K  n  2Kn  K (K  N * )  n  2Kn  K   n (n  2k )  K   Mà K  1 n  K  n  K  Nếu K   K   n (n  2)   n  Thử lại    ( thỏa mãn) Khi K   K  K   n  K  n  n  2k  mâu thuẫn với điều kiện n n  2K   K   Vậy n = (1đ) GV soạn đề: Bùi Công Hải ThuVienDeThi.com ... 3 25 x 3  x 3 (2, 0đ) 25 x 3 6 => B  => B =  x=4 Bài 2: (4 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy Giải: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy  2y2x- 2y2- x2+ x- xy + y = -1  2y2(x-1)-... trình x  4x+5 =2 2x+3 Điều kiện: 2x+3   x  (1)  x  4x+5 -2 2x+3  (1)  x  2x+1+2x+3 -2 2x+3   ThuVienDeThi.com  (x  1 )2  ( 2x+3  1 )2  x     2x+3   x  1  2x+3=1  x ...  ) Tương tự: x+2y+z 4x 2y 4z (2) 1 1  (   ) x+y+2z 4x 4y 2z (3) 1 1 1     (   ) 2x+y+z x+2y+z x+y+2z x y z Từ (1), (2) ,(3)  1   1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z Dấu "=" xảy 2) Cho số thực dương