Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Diễn Châu ***====*****====***==== Đề thi chọn HSG cấp trường năm học 2007 2008 Môn Toán Lớp 10- Chương trình nâng cao (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề) Câu a,(4,25 điểm) Giải phương trình: x - x + x = - - x b, (2,5 điểm) Tìm a để phương trình: ( x - x + 3) x - a = , cã ®óng nghiƯm ph©n biƯt ìï x + y = x Câu (3,0 điểm) Giải hệ phương tr×nh: ïí ïï y + = xy ợ Câu a, (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 0) C(-4; 1) hai đỉnh đối hình vuông ABCD Tìm tọa độ hai đỉnh lại hình vuông b, (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình x - y + = hai điểm A(4; 6), B(0; 4).Tìm điểm M đường thẳng uuur uuur (d) cho độ dài vectơ AM + BM có độ dài nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ c,(2,5điểm) Cho tam giác ABC có góc không nhọn với AB= c, BC= a,CA= b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (a + b)(b + c)(c + a) abc C©u (1,75 điểm) Cho x , y, z ba số thùc tháa m·n: x + xy + y + yz + z = Chøng minh r»ng: x + y+ z £ 13 Dấu = xảy nào? Hết DeThiMau.vn Đáp án biểu điểm: đề thi chọn HSG cấp trường Môn Toán 10- chương trình nâng cao Câu a Đk: x + x (0,25đ) x x £ - (0,25®) Tỉng ®iĨm 4.5 ® Pt ®· cho tương đương với 2( x + x ) - x + x + = (0,5®) x + x , t (0,25đ) Ta có phương trình: 2t - 3t + = (1).(0,25®) Pt (1) Û t = t= (thỏa mÃn đk t ).(0,5đ) Đặt t = Với t = ta có phương trình: x + x = Û x + x = Û x + x - = (0,5®) Û x = - ± (0,5®) 1 1 Với t = ta có phương trình: x + x = Û x + x = Û x + x - = 2 4 (0,5®) (0,5®) Û x = - Đối chiếu với điều kiện phương trình đà cho có nghiệm phân biệt là: (0,25đ) x = - (0,25đ) x = - ± b C©u C©u a §k: x - a ³ Û x ³ a (0,5®) éx - x + = éx = hc x = ờ Pt đà cho tương đương với (0,5đ) (0,5®) Û 2 ê êx - a = ởx = a Vậy phương trình đà cho có nghiệm phân biệt a < (0,5đ) Û - < a < VËy víi -1< a < phương trình đà cho có nghiệm phân biệt.(0,5đ) ỡù x + y - xy + y - x + = Hệ phương trình đà cho tương đương víi ïí (0,5®) ïï x + y = x ỵ ìï x - y - = ïìï ( x - y - 3) = Û í (0, ®) Û ïí (0,5®) ïï x + y - x = ỵïï x + y - x = ỵ ìï y = x - ìï y = x - ìï y = x - Û ïí Û ïí (0,5®) Û ïí (0,5®) ïïỵ x + 6( x - 3) - x = ïïỵ x = 18 ïï x = ± ỵ éìï x = êï êíï ờù y = - Vây hệ phương trình đà hai cho có nghiệm là: ờợ (0,5đ) ờỡù x = - êï êíï ê ëïỵ y = - - 2.5 đ E ẻ Oy nên E có tọa độ (0; y) (0,5đ) 2.0đ uur uuur Tứ giác ABEC hình thang đáy AB CE AB EC phương (0,5đ) DeThiMau.vn 3.0® uur uuur Ta cã: AB (1; -2), EC (-2; –y) (0,5®) uur uuur - 3- y = AB EC phương (0,5đ) - Û y = - (0,5®) b M ( x0 ; y0 ) Ỵ (d ) Û x0 - y0 + = (0,25®) Û y0 = x0 + (0,25®) VËy M( x0 ; x0 + 2) (0,25®) uuur Ta cã: AM ( x0 - 4; x0 - 4) (0,25®) , uuur BM ( x0 ; x0 - 2) (0,25®) uuur uuur Þ AM + BM = (2 x0 - 4; x0 - 6) (0,25®) uuur uuur AM + BM = (2 x0 - 4) + (4 x0 - 6) (0,25®) = 20 x0 - 64 x0 + 52 c (0,25®) 8 ) + (0,25đ) Dấu = xảy x0 = , 5 5 uuur uuur 26 26 ®ã y0 = (0,5®) VËy AM + BM = , M( ; ) (0,5đ) 5 5 Do tam giác ABC có góc không nhọn, không tính tổng quát ta giả sử ) C 90 (0,25đ) áp dụng định lí côsin tam giác ABC ta có c = a + b - ab.cosC ³ a + b ³ ab Þ c ³ ab (dấu xảy tam giác ABC vuông cân đỉnh C).(0,75đ) (a + b)(b + c)(c + a) abc + a b + a c + b c + b a + c a + c b Ta cã P = = abc abc a b a+ b c c P = 2+ ( + )+ ( + + ) (0,25®) b a c a b a b ab áp dụng BĐT cauchy, ta có: + ³ = , (0,25®) b a ba = 3.5® 20( x0 - 2.5® a+ b c c a+ b c c ( a + b )c ab ab + + ³ 33 = 33 ³ 33 = (0,5®) c a b c ab ab ab ị P + (0,25đ) ỡù a b ïï = ïï b a ï DÊu “=” x¶y ïí c = ab Û V ABC vuông cân đỉnh C ùù ùù a + b c c = = ïï a b ïỵ c VËy Pmin = + ABC lµ tam giác vuông cân.(0.25đ) Câu 3 y ) + ( y + z) + y = (0,5®) 2 2 é ự áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta cã ( x + y + z) = ê( x + y ) + ( y + z) + y ú ê 2 2 ú ë û Ta cã: x + xy + y + yz + z = ( x + DeThiMau.vn 2.0 ® é 3 ù = ê ( x + y ) + ( y + z ) + ( y )ú ê ú 2 ë û é 1 3 ù £ (12 + 12 + ( ) ) ê( x + y ) + ( y + z) + y ú (0,5®) ê 2 ú ë û 13 13 Û ( x + y + z) £ (0,25®) Û x + y + z £ (0,25®) 2 2 ïìï x + xy + y + yz + z = ïï ïï 3 y y+ z DÊu “=” x¶y ïí x + y (0,25®) 2 = ïï = ïï 1 ïï ïỵ ìï 2 ïï ïï x = ± 13 ïï ïï 2 (0,25®) Û íï y = ± ïï 13 ïï ïï 2 ïï z = ± 13 ïï ợ Tổng Ghi chú: Học sinh làm theo phương án khác đúng, chặt chẽ điểm tối đa Hết Ngô Trí Thụ DeThiMau.vn 20.0đ ...Đáp án biểu điểm: đề thi chọn HSG cấp trường Môn Toán 10- chương trình nâng cao Câu a Đk: x + x (0,25đ) x x Ê - (0,25đ) Tổng điểm 4.5 đ Pt đÃ... Û íï y = ± ïï 13 ïï ïï 2 ïï z = ± 13 ïï ỵ Tỉng Ghi chó: Học sinh làm theo phương án khác đúng, chặt chẽ điểm tối đa Hết Ngô Trí Thụ DeThiMau.vn 20.0® ... = a ë Vậy phương trình đà cho có nghiệm phân biệt Û a < (0,5®) Û - < a < VËy víi -1< a < phương trình đà cho có nghiệm phân biệt.(0,5đ) ìï x + y - xy + y - x + = HÖ phương trình đà cho tương