Bài giảng môn toán lớp 12 Tập xác địnhTập giá trị của hàm số39988

T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s http://www.toanthpt.net Chương I: HÀM S ð nh nghĩa: Cho D t p khác r ng c a R ( ≠ ∅ ) Hàm s f xác ñ nh D m t quy t c ñ t tương ng m i s x ∈ D v i m t ch m t s , kí hi u f(x) *Ta kí hi u hàm s sau : y = f ( x) ho c f : D → ℝ x ֏ y = f ( x) * x g i ñ i s (hay bi n s ); y g i giá tr c a hàm s f t i x: y = f ( x) * D: t p xác ñ nh c a hàm s (hay mi n xác ñ nh c a hàm s ) * Y = f ( D) = {x ∈ D | f ( x)} : g i t p giá tr hàm s (hay mi n giá tr c a hàm s ) ð th hàm s Cho hàm s y = f ( x) xác ñ nh D ð th c a hàm s t p h p (G) g m ñ m M ( x; f ( x)) ( v i x ∈ D ) n m m t ph ng t a ñ Oxy  x0 ∈ D V y M ( x0 ; y0 ) ∈ (G ) ⇔  y f ( x ) =  0 2.T p xác ñ nh c a hàm s : 1.1:ð nh nghĩa: T p xác ñ nh c a hàm s y = f ( x) t p t t c giá tr c a x mà làm cho bi u th c f ( x) có nghĩa 1.2: Cách tìmTXð c a hàm s Ta thư ng g p d ng sau: P( x) * f ( x) = ði u ki n: Q( x) ≠ Trong P ( x) Q( x) ña th c Q( x) * f ( x) = k P ( x ) ði u ki n : P ( x) ≥ V i P ( x) ña th c π + kπ ði u ki n : sin u ( x) ≠ ⇔ u ( x) ≠ kπ * f ( x) = cot u ( x) * f ( x) = log a g ( x) ði u ki n : g ( x) > ( < a ≠ 1) * f ( x) = tan u ( x) ði u ki n : cos u ( x) ≠ ⇔ u ( x) ≠ 1.3:Các ví d : Ví d 1: Tìm t p xác ñ nh hàm s sau: x2 2) y = x − x − + ln 1) y = x −1 x2 − 3x + 4) y = x + x − x + 6) y = 3− x x − x +1 − − 2 3) y = ln x −1 5) y = x − x + log (25 − x ) 7) f ( x) = tan(2 x + Gi i: GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn π ) 8) f ( x) = cot x + tan x T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s http://www.toanthpt.net  x < 1) Hàm s có nghĩa ⇔ x − 3x + > ⇔  x >  1 ≤x≤2 −2 x + x − ≥    ⇔ ⇔1< x ≤ 2) Hàm s có nghĩa ⇔  x < −1   x − >    x >    ≥ ≥  x − ≤ ln   x −1 3) Hàm s có nghĩa ⇔  ⇔  x −1 ⇔ ⇔1< x ≤  x > x − > x >     ( x − ) + ≥ x − x + ≥ 4) Hàm s có nghĩa ⇔  ⇔  x + x − x + ≥   x − x + ≥ −x x ≥  ⇔   x < ⇔ ∀x ∈ R  2   x − x + ≥ x  x ≥  x − x + ≥    x ≤ 5) Hàm s có nghĩa ⇔  ⇔  ⇔ − < x ≤ 25 − x >  5 x − < <   2 3 − x ≥ x ≤   log ≤ x ≤ x x +1 6) Hàm s có nghĩa ⇔ 4 − − ≥ ⇔ 2 x ≥ ⇔   x ≠ log  x  x +1 x 4 − − ≠ 12 2 ≠ 7) Hàm s xác ñ nh ⇔ x + π ≠ π + kπ ⇔ x ≠ π +k π 12 sin x ≠ π 8) Hàm s xác ñ nh ⇔  ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ k cos x ≠ Ví d 2: Cho hàm s : y = (m + 1) x − m mx − m + − 1 Tìm t p xác đ nh c a hàm s m = GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s http://www.toanthpt.net Tìm m đ TXð c a hàm s D = [0; +∞) Gi i: 3x − 1) V i m = ta có: y = x+3− 3x − ≥  ⇒ Hàm s có nghĩa ⇔  x + ≥ ⇔ x≥   x + − ≠ ( m + 1) x − m ≥  2) Hàm s xác ñ nh ⇔ mx − m + ≥ (I)  mx − m + ≠ D th y ñ TXð c a hàm s n a đo n [0; +∞) trư c h t m ≥ * N u m = ⇒ ( I ) ⇔ x ≥ ⇒ m = th a mãn m  ≥ x  m +1   m−2 m ⇔ x≥ *N u m > ⇒ ( I ) ⇔  x ≥ m m +1   m −1 x ≠ m  m ð TXð c a hàm s n a đo n [0; +∞) = vơ nghi m m +1 V y m = giá tr c!n tìm Ví d 3: Tìm m ñ hàm s sau y = (m + 1) x − 2(m − 1) x + 3m − xác ñ nh v i R Gi i: Hàm s xác ñ nh R ⇔ (m + 1) x − 2(m − 1) x + 3m − ≥ ∀x ∈ R (1) * m = −1 ⇒ (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ m + > * m ≠ −1 ⇒ (1) ⇔  ⇔ m ≥ m m ∆ = − − − ≤ ' ( 1)( 4)  V y m ≥ nh"ng giá tr c!n tìm Bài t p: Bài Tìm TXð c a hàm s sau 2x − 1 − sin x 2 1) y = x − x − 8.log ( x − 3) 2) y = ln 3) y = + x − 2x x−2 + cos x 4) y = −2 x + 3x − + log (3x − x) 2 5) y = ln( x + x − 4) GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s 6) y = log ( 3x − ) | x − 1| 7) y = lg(2 x − 1) http://www.toanthpt.net + 3x − x − 8) y = tan(2 x − 1) Bài 2: Cho hàm s y = m.9 x + (m − 1).3 x + + m − 1 1) Tìm TXð c a hàm s m = 2) Tìm m đ hàm s xác ñ nh R Bài 3: Cho hàm s y = log ( m.9 x 1 xác ñ nh v i m i x ∈ [ − ; ] 2 −x − (2m + 1)6 x −x + m.4 x −x ) Tìm m đ hàm s 2)T p giá tr ð tìm TGT c a hàm s y = f ( x) xác ñ nh D ta có cách sau * Tìm y cho phương trình : f ( x) = y có nghi m D Khi t p giá tr y tìm đư c t p giá tr c a hàm s * Dùng b t ñ ng th c * Dùng kh o sát hàm s Ví d 1: Tìm t p giá tr c a hàm s sau: x +1 x −1 x2 − x + 2) y = 3) y = 4) y = 1) y = x − 3x + x +1 x + x +1 x − x +1 Gi i: 1) TXð: D = R Cách 1: Ta có y = x − 3x + ⇔ x − 3x + − y = Phương trình có nghi m 1 ⇔ ∆ = + y ≥ ⇔ y ≥ − V y t p giá tr : T = [ − ; +∞) 1 Cách 2: Ta có y = x − x + = ( x − ) − ≥ − V y T = [− ; +∞) 4 2) TXð: D = R \ {−1} x −1 Cách 1: Xét phương trình y = ⇔ ( y − 1) x = −1 − y (*) x +1 *N u y=1 ta th y (*) vô nghi m y +1 *N u y ≠ ⇒ (*) có nghi m x = − ≠ −1 y −1 V y t p giá tr c a hàm s là: T = R \ {1} x −1 2 Cách 2: Ta có y = Vì nh n m i giá tr khác nên y nh n m i giá =1− x +1 x +1 x +1 tr khác V y T = R \ {1} GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s http://www.toanthpt.net 3) Vì x − x + = ( x − ) + > ∀x ∈ R nên hàm s xác ñ nh R x +1 Xét phương trình y = ⇔ yx − ( y + 1) x + y + = (*) x − x +1 * y = ⇒ (*) ⇔ x = 1 * y ≠ ⇒ (*) có nghi m ⇔ ∆ = ( y + 1)(1 − y ) ≥ ⇔ −1 ≤ y ≤ V y TGT c a hàm s T = [ −1; ] 4) TXð: D = R x2 − x + Xét phương trình: y = ⇔ ( y − 1) x + ( y + 1) x + y − = 0(*) x + x +1 * y = ⇒ (*) có nghi m x=0 * y ≠ ⇒ (*) có nghi m ⇔ ∆ = −3 y + 10 y − ≥ ⇔ ≤ x ≤ 3 V y t giá tr c a hàm s T = [ ;3] Chú ý: * N u TGT c a hàm s y = f ( x) D đo n [a; b] max f ( x) = b D f ( x) = a D * ð i v i hàm s b c hai y = ax + bx + c (a ≠ 0) mi n giá tr [ − ∆ ] v i a < 4a * Phương trình a sin x + b cos x + c = có nghi m ⇔ a + b ≥ c ∆ ; +∞) v i 4a a > ( −∞; − Ví d 2: Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s sau sin x + 2cos x + 1) y = 2sin x + 3sin x + 2) y = sin x + cos x + 2 3) y = (2sin x + 3cos x) + 2(2sin x + 3cos x) + Gi i: 1) TXð: D = R Xét phương trình y = 2sin x + 3sin x + ⇔ 3sin x − cos x + − y = Phương trình có nghi m ⇔ 32 + (−1) ≥ (2 − y ) ⇔ − 10 ≤ y ≤ + 10 V y max y = + 10, y = − 10 x∈ R x∈ R 2) Vì sin x + cos x = sin( x + π ) ≥ − ⇒ sin x + cos x + > nên hàm xác ñ nh R GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s http://www.toanthpt.net sin x + 2cos x + ⇔ ( y − 1)sin x + ( y − 2)cos x + y + = sin x + cos x + Phương trình có nghi m ⇔ ( y − 1) + ( y − 2) ≥ (2 y − 1) ⇔ y + y − ≤ ⇔ −2 ≤ y ≤ V y max y = 1, y = −2 Xét phương trình: y = x∈R x∈R 3) ð t t = 2sin x + 3cos x ⇒ t ≤ 2 + 32 = 13 ⇔ − 13 ≤ t ≤ 13 Khi ñó y = g (t ) = t + 2t + = (t + 1) + Do t ∈ [− 13; 13] nên ta có: max y = g ( 13) = 17 + 13, miny = g (−1) = x a sin x + b cos x + c Chú ý: Khi g p hàm s có d ng y = ta có th đ t t = tan a 'sin x + b 'cos x + c ' 2sin x + Ví d 3: Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s y = sin x + 2cos x + π π kho ng ( − ; ) 2 x π π Gi i: ð t t = tan ⇒ t ∈ R ∀x ∈ ( − ; ) Khi 2 2 t + 4t + y= ⇔ ( y − 1)t + 2( y − 2)t + y − = (1) t + 2t + * y = ⇒ (1) ⇔ −2t + = ⇔ t = vô nghi m * y ≠ ⇒ (1) có nghi m ⇔ ∆ = ( y − 2) − ( y − 1)(5 y − 1) ≥ ⇔ y − y − ≤ ⇔ − 13 + 13 + 13 x − 13 ≤ y≤ V y max y = ñ t ñư c tan = 4 13 − y = − 13 x + 13 ñ t ñư c tan = − 13 + Ví d 4: Tìm k đ giá tr nh nh t c a hàm s y = Gi i: TXð: D = R k sin x + nh -1 cos x + k sin x + ⇔ k sin x − y cos x + − y = cos x + Phương trình có nghi m ⇔ k + y ≥ (1 − y ) ⇔ y − y + − k ≤ Xét phương trình y = ⇔ − + 3k + + 3k − + 3k ≤ y≤ ⇒ y = 3 2 2 − + 3k < −1 ⇔ + 3k > ⇔| k |> 2 V y k < −2 ∨ k > 2 nh"ng giá tr c!n tìm u c!u tốn ⇔ GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s Ví d 5: Tìm a,b đ t p giá tr c a hàm s y = http://www.toanthpt.net ax + b x2 + ño n [−1;1] Gi i: TXð: D = R ax + b Ta có: y = ⇔ y.x − ax + y − b = (1) x +1 * N u y = ⇒ (1) ⇔ ax + b = có nghi m ⇔ a ≠ * V i y ≠ ⇒ (1) có nghi m ⇔ ∆ = a − y ( y − b) ≥ ⇔ y − 4by − a ≤ 2 2 b− a +b b+ a +b ≤ y≤ 2 b − a2 + b2  = −1  b = Yêu câu toán ⇔  ⇔ a 2 = ± b + a + b  =1   b = V y giá tr c!n tìm a = ±2 Ví d 6: Tìm t p giá tr c a hàm s sau 1) y = − x + x + 2) y = lg x + lg x + Gi i: 1) TXð: D = [ −4;6] ⇔ 3) y = 2007 x + 2007 − x + Ta có y ≥ y = 10 + (6 − x)( x + 4) ⇒ y ≥ 10 ⇒ y ≥ 10 (khi x=-4 ho c x=6) M t khác: Áp d#ng BðT Cô si: (6 − x)( x + 4) ≤ 10 ⇒ y ≤ 20 ⇒ y ≤ ð ng th c x y x=1 V y t p giá tr c a hàm s T = [ 10;2 10] 2) D = (0; +∞) 1 1 1 Ta có y = (lg x + 2) + + lg x − ≥ (lg x + 2) + − 4 lg x + lg x + 2 Áp d#ng BðT Cô si: 1 (lg x + 2) + ≥ ⇒ y ≥ ð ng th c x y lg x + lg x = ⇔ x = M t khác lim y = +∞ V y t p giá tr c a hàm s là: T = [ ; +∞) x →+∞ 3) TXð: D = R ÁP d#ng BðT Cô si: 2007 x + 2007 − x ≥ ⇒ y ≥ ð ng th c có x=0 GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s M t khác: lim y = +∞, x →−∞ http://www.toanthpt.net lim y = +∞ x →+∞ V y t p giá tr c a hàm s là: T = [3; +∞) Bài t p: Bài 1: Tìm t p giá tr hàm s sau: 2x − 1) y = 3x − x + 2) y = 3) y = − x + x + x + 3x + 2 sin x − 2cos x + sin x − 4) y = 5) y = ln(2 x − 3x + 4) 6) y = 3sin x + cos x + sin x + 3cos x + Bài 2: Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s sau: 2sin x + 20 x + 10 x + 1) y = 3) y = 2) y = 3sin x + 2sin x + 2 3x + x + cos x + 2sin x + cos x + m sin x + n có t p giá tr T = [−2;2] Bài 3: Tìm m,n đ hàm s y = + cos x sin x + m Bài 4: Tìm m đ hàm s y = có t p giá tr m t ño n sin x + 2cos x + Hàm s ch n, hàm s l ð nh nghĩa: Cho hàm s y = f ( x) xác ñ nh D  x ∈ D ⇒ − x ∈ D * Hàm s y = f ( x) g i hàm s ch$n n u :   f ( − x) = f ( x)  x ∈ D ⇒ − x ∈ D * Hàm s y = f ( x) g i hàm s l% n u :   f ( − x) = − f ( x) Chú ý: x ∈ D ⇒ − x ∈ D D g i t p ñ i x ng qua x=0 hay g i t t t p đ i x ng Tính ch t: * ð th hàm s ch$n nh n tr#c Oy làm tr#c ñ i x ng * ð th hàm s l% nh n g c t a ñ O làm tâm đ i x ng Ví d 1: Xét tính ch$n, l% c a hàm s sau: 1) f ( x) = x + x + 4) f ( x) = ln( x + x + 1) 2) f ( x) = 3x + 2sin x 5) f ( x) = x − 3x + 2 | x − 1| − | x + 1| | x − 1| + | x + 1| | x + | + | x − 3| 6) f ( x) = | x − 1| − | x + 1| 3) f ( x) = Gi i: 1) TXð: D = R suy D t p ñ i x ng Ta có: f ( − x) = (− x) + (− x) + = x + x + = f ( x) GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s http://www.toanthpt.net V y hàm s ñã cho hàm s ch$n 2) TXð: D = R ⇒ D t p ñ i x ng 3 f ( − x) = − x − 2sin x = −( x + 2sin x) = − f ( x) ⇒ y = f ( x) hàm s l% 3) TXð: D = R ⇒ D t p ñ i x ng | − x − 1| − | − x + 1| | x − 1| − | x + 1| f (− x) = =− = − f ( x) hàm s l% | −2 x − 1| + | −2 x + 1| | x − 1| + | x + 1| x + + x >| x | + x ≥ ∀x ⇒ TXð: D=R t p ñ i x ng Ta có: f ( − x) = ln(− x + x + 1) = ln( ) = − ln( x + x + 1) = − f ( x) x + x +1 V y f ( x) hàm s l% 5) T p xác ñ nh Ta có x − 3x + ≥ ⇔ x ∈ (−∞;1] ∪ [2; +∞) ⇒ D = (−∞;1] ∪ [2; +∞) 3 Vì x = − ∈ D − x = ∉ D V y f ( x) hàm không ch$n khơng l% 2 Ví d 2: Tìm m đ hàm s sau hàm s ch$n 1) f ( x) = x + (m − 1) x + (m − 1) x + 2(m − 3m + 2) x + 4) Vì 2) g ( x) = (3m + 2) x + m ln( x + x + 2) Gi i: 1) T p xác ñ nh: D = R Hàm s f ( x) hàm s ch$n ⇔ f ( − x) = f ( x) ∀x ∈ R m − = ⇔ ( m − 1) x + 2( m − 3m + 2) x = ∀x ∈ R ⇔  ⇔ m = m − 3m + = 2) Vì x + + x >| x | + x ≥ ⇒ hàm s xác ñ nh v i m i x thu c R Hàm s g ( x) hàm s ch$n ⇔ g (− x) = g ( x) ∀x ∈ R m ln( x + − x) = m ln( x + + x) ⇔ m ln = m ln( x + x + 2) ∀x ∈ R x2 + + x ⇔ 2m ln( x + x + 2) − m ln = ∀x ∈ R ⇔ m = V y m = giá tr c!n tìm Ví d 3: Cho hàm s f ( x) có t p xác đ nh D t p ñ i x ng Ch ng minh r ng f ( x) có th phân tích thành t'ng c a m t hàm s ch$n m t hàm s l% Gi i: Ta có: f ( x) = f ( x) + f ( − x ) f ( x) − f ( − x ) + = h( x) + g ( x ) 2 GV: Nguy n T t Thu Biên Hịa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác đ nh-T p giá tr c a hàm s http://www.toanthpt.net D th y hàm h( x), g ( x) ñ xác ñ nh D f ( − x ) + f ( x) h(− x) = = h( x) ⇒ h( x) hàm s ch$n f (− x) − f ( x) f ( x) − f ( − x ) g (− x) = =− = − g ( x) ⇒ g ( x) hàm s l% 2 T( ta có đpcm Ví d 4: Cho hàm s f ( x) = a2 n x n + a2 n −1 x n −1 + a1 x + a0 Ch ng minh r ng: 1) f ( x) hàm s ch$n ⇔ a1 = a3 = = a2 n −1 = 2) f ( x) hàm s l% ⇔ a0 = a2 = = a2 n = Gi i: T p xác ñ nh: D = R 1) f ( x) hàm s ch$n ⇔ f ( − x) = f ( x) ∀x ∈ R ⇔ a2 n x n − a2n −1 x n −1 + − a1 x + a0 = a2 n x n + a2n −1 x n −1 + + a1 x + a0 n −1 2n − ⇔ a2 n −1 x + a2 n − x + + a3 x + a1 x = ⇔ a1 = a3 = = a2 n − = a2 n −1 = 2) Ch ng minh tương t) câu GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn ∀x ∈ R T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s http://www.toanthpt.net Hàm s tu n hoàn ð nh nghĩa: Hàm s y = f ( x) xác ñ nh D, g i hàm s tu!n hoàn n u t n t i s  x ∈ D ⇒ x ± T ∈ D T g i chu kì th)c dương T cho   f ( x ± T ) = f ( x) S T > nh nh t (n u có) th a mãn tính ch t g i chu kì s* Nh n xét: * N u chu kì ∈ ≠ chu kì *N u hai hàm s f ( x) hai hàm s tu!n hoàn có chu kì s* T0, hàm s T f (ax) hàm tu!n hoàn v i chu kì s* |a| 2π * Hàm s y = sin(ax + b), y = cos( ax + b) ( a ≠ ) tu!n hồn v i chu kì s*: |a| * Hàm s y = tan(ax + b), y = cot(ax + b) ( a ≠ ) tu!n hoàn v i chu kì s* π |a| Ví d 1: Xét tính tu!n hồn tìm chu kì s* (n u có) c a hàm s sau: 1) y = 2cos x 2) y = tan x + cot x 3) y = sin 4) y = cos x x Gi i: 2π 1) Ta có y = + cos x ⇒ hàm tu!n hồn v i chu kì s* T = =π sin x cos x + = ⇒ hàm s tu!n hồn v i chu kì s* T = π 2) y = cos x sin x sin x 3) TXð: D = R \ {0} Gi s hàm s tu!n hoàn v i chu kì T > Ta có T , −T ∈ D T + (−T ) = ∉ D v y hàm s cho khơng tu!n hồn 4) TXð: D = [0;+∞) Ta có v i T ∈ D ⇒ −T ∉ D V y hàm s cho khơng tu!n hồn Nh n xét:T( hai ví d# ta th y : GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s http://www.toanthpt.net • N u hàm s f ( x) khơng xác đ nh t i h"u h n m khơng tu!n hồn • N u hàm s f ( x) có t p xác ñ nh m t ño n, m t kho ng hay n a kho ng khơng tu!n hồn Ví d 2:Ch ng minh r ng hàm s Gi i: TXð: D = R f ( x) = 3sin x hàm tu!n hoàn cos x + 3sin(2π + x) 2sin x = = f ( x) cos(2π + x) + cos x + V y f ( x) hàm s tu!n hoàn V i ∀x ∈R ta có: f ( x + π ) = Ví d 3: Ch ng minh r ng hàm s sau khơng tu!n hồn 1) f ( x) = x + cos x 2) f ( x) = sin x Gi i: 1) T p xác ñ nh: D = R Gi s hàm s tu!n hoàn v i chu kì > Khi v i m i x ta có: f ( x + T ) = f ( x) ⇔ x + T + cos( x + T ) = x + cos x ⇔ T + cos( x + T ) = cos x Cho x = −T ⇒ T + = cos T vơ lí (Vì T + > 1,cos T ≤ ) V y hàm s cho khơng tu!n hồn 2) T p xác đ nh: D = R Gi s hàm s tu!n hoàn v i chu kì > Khi v i m i x ta có: T + xT − 2kπ = (1) 2 f ( x + T ) = f ( x) ⇔ sin( x + T ) = sin x ⇔  2 T + xT + x − π − k 2π = (2) Ta th y nghi m T * c hai phương trình (1) (2) đ u ph# thyuoocj vào x V y hàm s f ( x) = sin x khơng tu!n hồn f1 ( x) f ( x) nh"ng hàm tu!n hoàn v i chu kì tương ng T T1 , T2 Ch ng minh r ng n u s h"u t hàm s f ( x) = f1 ( x) f2 ( x) T2 g ( x) = f1 ( x) + f2 ( x) nh"ng hàm tu!n hoàn Gi i: T m Ta có: = (m, n ∈ ℕ*) ð t T = nT1 = mT2 Khi đó: T2 n f ( x + T ) = f1 ( x + nT1 ) f2 ( x + mT2 ) = f1 ( x) f2 ( x) ⇒ f(x) hàm s tu!n hoàn Tương t) ta ch ng minh đư c g(x) hàm s tu!n hồn Ví d 4: Cho hai hàm s Ví d 5: Cho hàm s f ( x) xác ñ nh R th a mãn: f ( x + 4) + f ( x − 4) = f ( x) Ch ng minh r ng f ( x) hàm tu!n hồn GV: Nguy n T t Thu Biên Hịa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s http://www.toanthpt.net Gi i: T( gi thi t ta suy ra: f ( x + 8) + f ( x) = f ( x + 4) ⇒ f ( x + 8) = − f ( x − 4) Thay x b*i x + ta ñư c: f ( x + 12) = − f ( x) ⇒ f ( x + 24) = − f ( x + 12) = f ( x) V y f ( x) hàm tu!n hoàn Bài t p: Bài 1: Xét tính tu!n hồn tìm chu kì s* c a hàm s sau 1) y = sin 3x 2) y = cos x.cos3x 3) y = sin6 x + cos6 x 4) y = tan x + sin x Bài 2: Ch ng minh r ng hàm s sau khơng tu!n hồn 1) y = x3 2) y = x cos x 3) y = x + sin x Bài 3: Cho hàm s f ( x) xác ñ nh R th a mãn: f ( x + 1) + f ( x − 1) = f ( x) Ch ng minh r ng f ( x) hàm tu!n hoàn Bài 4: Cho hàm s f ( x) xác ñ nh R , th a mãn: f ( x + a) = + f ( x) − f ( x) Trong a h ng s dương Ch ng minh r ng f ( x) hàm tu!n hoàn f ( x) − Bài 5: Cho hàm s f ( x) có tính ch t : T n t i s th)c a ≠ : f ( x + a) = t i f ( x) + t t c m i ñi m mà f ( x + a ), f ( x) xác ñ nh Ch ng minh r ng f ( x) hàm tu!n hoàn 5.Hàm s h p ð nh nghĩa: Cho hàm s y = f ( x) có t p xác đ nh D Gi s hàm u ( x) m t hàm s có mi n xác đ nh X , có t p giá tr T ⊂ D Khi bi u th c f [u ( x)] có nghĩa v i m i x ∈ X Ta nói y = f [u ( x)] m t hàm h p Các d ng tốn liên quan: D ng 1: Xác đ nh bi u th c c a hàm h p Cho hàm s y = f ( x) Xác ñ nh hàm s y = f [u ( x)] Phương pháp: Thay x b*i u ( x) x 2t Tính f ( ) Ví d 1: Cho hàm s f ( x) = x +1 t +1 2t 2t 2t 2t (t + 1) 2t + 2t t + Gi i: ð t x = , ta có: f ( ) = = = t +1 t + ( 2t )2 + 4t + (t + 1)2 t + 6t + t2 + 2t 2t + 2t V y: f ( ) = t + t + 6t + GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s Ví d 2: Cho hàm s f ( x) = http://www.toanthpt.net 2x 4x + 1) Cho x + y = Tính f ( x) + f ( y ) 2006 2) Tính A = f ( )+ f( ) + + f ( ) 2007 2007 2007 Gi i: x 1− x x 4 + 1− x = x + x = 1) Ta có: f ( x) + f ( y ) = f ( x) + f (1 − x) = x +2 +2 +2 +2 2006 2005 1003 1004 + = + = = + = 2) Ta có 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2006 1003 1004 ⇒ A= f ( )+ f( ) + + f ( )+ f( ) = 1003 2007 2007 2007 2007 D ng 2: Xác ñ nh hàm bi t hàm h p Cho hàm f (u ( x)) Xác ñ nh hàm f ( x) ? Phương pháp: ð t t = u ( x) ⇒ x = g (t ) thay vào bi u th c c a f (u ( x)) ta có hàm f ( x) ) = x + ( x ≠ 1) Ví d 1: Xác ñ nh hàm s f ( x) bi t : f ( x −1 Gi i: 1 t +1 ð t t= ⇔ x −1= ⇒ x = (t ≠ 0) x −1 t t t +1 4t + 4x + Thay ñ'i kí hi u x b*i t ta có: f ( x) = V y f (t ) = +2= ( x ≠ 0) t t x Ví d 2: Cho hàm s f ( x) th a mãn: f (tan x) = tan x + cot x 4 π ∀x ∈ (0; ) xác ñ nh hàm f ( x) Gi i: sin x cos x + = = cos x sin x sin x cos x sin x tan x + cot x = (tan x + cot x) − = [(tan x + cot x) − 2]2 − 16 16 2 =[ − 2] − = [4cot x + 2] − = + +2 sin x tan x tan x 16 16 π Do đó: f (tan x) = + + ∀x ∈ (0; ) 4 tan x tan x 16 16 ð t t = tan x, t > , ta ñư c: f (t ) = + + Thay kí hi u t b*i kí hi u x ta đư c: t t Ta có: tan x + cot x = GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s f ( x) = 16 + http://www.toanthpt.net 16 + ∀x > x4 x2 Ví d 3: 1) Gi i s f ( x) = x + 3x + Gi i B t phương trình: f [ f ( x)] > f ( x) 2) Cho tam th c f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ 0) Gi s phương trình f ( x) = x vơ nghi m Ch ng minh r ng phương trình f [ f ( x)] = x vô nghi m Gi i: 1) f [ f ( x)] > f ( x) ⇔ f [ f ( x)] − f ( x) > ⇔ f ( x) − x + 3[ f ( x) − x] >  x ≠ −1 2 ⇔ [ f ( x) − x][ f ( x) + x + 3] > ⇔ ( x + x + 1)( x + x + 4) > ⇔   x ≠ −2  x ≠ −1 V y nghi m c a b t phương trình cho là:   x ≠ −2 2) Vì phương trình f ( x) = x vơ nghi m nên ta có kh sau * f ( x) > x ∀x ∈ R thay x b*i f ( x) ta ñư c: f [ f ( x)] > f ( x) > x ⇒ phương trình f [ f ( x)] = x vơ nghi m * f ( x) < x ∀x ∈ R thay x b*i f ( x) ta ñư c: f [ f ( x)] < f ( x) < x ⇒ phương trình f [ f ( x)] = x vơ nghi m V y phương trình: f [ f ( x)] = x vô nghi m D ng 3: Bi n ñ'i hàm h p Cho hàm s f [u ( x)] Xác ñ nh hàm f [v( x)] ? Phương pháp: ð t v(t ) = u ( x) ⇒ x = ϕ (t ) Thay vào hàm f [u ( x)] ta ñư c f [v(t )] , thay t b*i x ta ñư c f [v( x)] x +1 8x − Xác đ nh Ví d 1: Cho hàm f ( )= f ( )=? x − ( x + 1)2 x +1 Gi i: x +1 t +3 ð t = ⇒ x(t + 1) + t + = x − ⇒ x = − (t ≠ −1) Suy x −1 t +1 t −1 t +3 −8 −8 (t + 3)(t − 1) + (t − 1)2 − t )= =− = t − 1, thay t b*i x ta ñư c f( t +3 t +1 (− + 1) t −1 f( ) = x2 − x +1 Ví d 2: Cho hàm f (cot x) = sin x + cos x v i ∀x ∈ [0;π ] Tìm hàm g ( x) ñư c xác GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s ( http://www.toanthpt.net ) ñ nh b*i: g ( x) = f (sin x) f cos x Gi i: ð t t = cot x ⇒ sin x = tan x 2cot x = = 2t ; cos x = t2 −1 + tan x + cot x + t t2 + t + 2t − , thay t b*i sin x, cos2 x ta có: Suy ra: f (t ) = t +1 (sin x + 2sin x − 1)(cos4 x + 2cos x − 1) sin x cos x + 8sin x cos x − = g ( x) = (sin x + 1)(cos x + 1) sin x cos4 x − 2sin x cos2 x + Bài t p Bài 1: Cho hàm s Bài 2: Tìm hàm s x2 f ( x) = 1+ x f ( x) , bi t: Tính f (tan x) 2) f ( x + ) = x4 − x3 + 3x2 − x + x 1) f ( x2 + 1) = x − 3) f ( x + x2 − 1) = x + − x2 − 4) f ( x2 + x) = x( x2 − 4)( x + 4) Bài 3: Cho hàm f xác ñ nh R th a mãn: f (cot x) = sin x + cos x Xác ñ nh hàm s g ( x) = f ( x) f (1 − x) tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s g ( x) ño n [ −1;1] Bài 4: Cho hàm f ( x) = ax a2 + a 1) Tính f (u ) + f (1 − u ) x 2) Tính t'ng S = f (sin (a > 0) π 2008 ) + f (sin 2π 1003π ) + + f (sin ) 2008 2008 − − x2 Bài 5: Cho hàm f ( x) = Gi i phương trình f 2008 ( x) = , f1 ( x) = f ( x), f n ( x) = f n −1 ( f ( x)) ∀n ≥ Bài 6: Cho hàm f ( x) = x − 3x + 3x Tính t'ng S = 2008 ∑ i =1 f( i ) 2009 Bài t p tr c nghi m Câu 1: T p xác ñ nh c a hàm s y = I D = [ ; +∞) II D = R \ {3} + x − x−3 1 III D = [ ;3) ∪ (3; +∞) IV D = R \ { } 2 GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s http://www.toanthpt.net Câu 2: T p xác ñ nh c a hàm s y = x( x − 1) + x( x + 2) là: I D = R \ {0} II D = {0} III D = [1; +∞) IV D = ( −∞; −2] ∪ {0} ∪ [1; +∞) + x − xác ñ nh Câu 3: Hàm s y = x − 3x + I x < ∪ x > II x ≤ ∪ x ≥ III x ≠ ∪ x ≠ IV x ≥ Câu 4: Hàm s y = mx + 2mx + m + xác ñ nh v i ∀x ∈ R ch I m > II m = III m ≥ IV m ∈ R Câu 5: Mi n xác ñ nh c a hàm s y = log2 ( x2 − x + − x + 2) II x > III x < IV ðáp án khác I x ≥ Câu 6: Cho f ( x) m t ña th c Kh ng ñ nh sau ñây sai II có nghĩa ⇔ f ( x) ≠ I f ( x) có nghĩa ⇔ f ( x) ≥ f ( x) III ln f ( x) có nghĩa ⇔ f ( x) > IV lg f ( x) có nghĩa ⇔ f ( x) ≠ 2x + Câu 7: T p giá tr mà hàm s y = khơng xác đ nh x − x2 + x II T = {0} III T = {1,2} IV ðáp án khác I T = {0,1, 2} x2 + mx + xác ñ nh v i ∀x ∈ R ch x2 + x + m 1 I ∀m ∈ R II m = III m ≥ IV m < 4 Câu 9: T p xác ñ nh c a hàm s y = log2 ( x − 3) − I D = (3; +∞) II D = [5; +∞) III D = R IV D = R \ {5} Câu 8: Hàm s y = Câu 10: Hàm s y = − lg( x − 1) t n t i ch II x < 101 III < x < 101 IV C ba I, II, III ñ u sai I x > Câu 11: T p xác ñ nh c a hàm s y = tan x + 2cos x I x ≠ π II x ≠ π + k 2π III x ≠ − cos x Câu 12: Hàm s y = + cos x I x = + kπ π + kπ II x = k 2π Câu 13: Hàm s y = tan( x + I x = π + kπ π II x = kπ π + kπ III x ≠ π + k 2π ) + sin( π IV x ≠ π +k π IV ðáp án khác − x) + cos x khơng xác đ nh t i III x = π + kπ GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn IV C I, II, III ñ u sai T p xác ñ nh-T p giá tr c a hàm s Câu 14: Cho hàm s f ( x) = x2 − x + x2 − http://www.toanthpt.net Hàm s f (2 x − 1) khơng xác đ nh ch I Hàm s y = x + m −1 có t p xác ñ nh [1; +∞) x + − 2m GV: Nguy n T t Thu Biên Hòa- ð ng Nai DeThiMau.vn ... + 4) Bài 3: Cho hàm f xác ñ nh R th a mãn: f (cot x) = sin x + cos x Xác ñ nh hàm s g ( x) = f ( x) f (1 − x) tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s g ( x) ño n [ −1;1] Bài 4: Cho hàm. .. tr T = [−2;2] Bài 3: Tìm m,n ñ hàm s y = + cos x sin x + m Bài 4: Tìm m đ hàm s y = có t p giá tr m t ño n sin x + 2cos x + Hàm s ch n, hàm s l ð nh nghĩa: Cho hàm s y = f ( x) xác ñ nh D ... + a ), f ( x) xác ñ nh Ch ng minh r ng f ( x) hàm tu!n hoàn 5 .Hàm s h p ð nh nghĩa: Cho hàm s y = f ( x) có t p xác ñ nh D Gi s hàm u ( x) m t hàm s có mi n xác đ nh X , có t p giá tr T ⊂ D