PHỊNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1:(1 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x +2009 x +2008 x +2009 Câu 2:(1 điểm) Giải phương trình sau: Câu 3: (2 điểm) x 2 x 45 x x 69 + = + 13 15 37 a/ Chứng minh a b4 ab3 a 3b a 2b 2 b/ Cho hai số dương a,b a=5-b a Tìm giá trị nhỏ tổng P= b Câu 4:(2 điểm) a/ Cho a b hai số thực dương thõa mãn điều kiện : a 2006 b 2006 a 2007 b 2007 a 2008 b 2008 Hãy tính tổng: S= a 2009 b 2009 b/ Chứng minh :A= 13 48 6 số nguyên Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương x,y thõa mãn phương trình sau: xy-2x-3y+1=0 Câu 6: (3điểm) Cho tam giác ABC vng A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm D cho HD=HA.Đường vng góc với với BC D cắt AC E a)Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng b)Chứng minh tam giác ABE cân c)Gọi M trung điểm BE vẽ tia AM cắt BC G Chứng minh rằng: GB HD BC AH HC DeThiMau.vn PHÒNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA NĂM HỌC 2008-2009 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (1 điểm) x +2009 x +2008 x +2009 = ( x + x +1) +2008( x + x +1) = ( x + x +1)( x - x +1)+ 2008( x + x +1) = ( x + x +1)( x - x +2009) Câu 2: ( điểm) 0,25 đ 0.5 đ 0,25 đ x 2 x 45 x x 69 + = + 13 15 37 ( x2 x 45 3x x 69 +1)+( -1)=( +1)+( -1) 13 15 37 x 15 2( x 15) 13 15 = 3( x 15) 4( x 15) + 37 0,25đ 0,25đ ( x 15)( )0 13 15 37 0,25 đ 0,25 đ x=-15 Câu 3: (2 điểm) a/ (1 điểm) a b4 ab3 a 3b a 2b 2 a b 2ab3 2a 3b 2a 2b 0,25 đ a b 2ab3 2a 3b 2a 2b 0,25 đ (a 2a 3b a 2b ) (b 2ab3 a 2b ) 0,25 đ (a ab) (b ab) 0,25 đ b/ (1 điểm) a b P= = P= ab = ab ab 20 20 = 4ab (a b) 0,25 đ 0,5 đ DeThiMau.vn Vậy giá trị nhỏ P a=b= 0,25 đ Câu (2 điểm) a/ (1 điểm) a 2008 b 2008 ( a 2007 b 2007 )(a b) ab(a 2006 b 2006 ) Ta có: 0,25 đ 1= a b ab 0,25 đ (1 a )(1 b) 0,25 đ a 1, b Vậy S=1+1=2 0,25 đ b/ (1 điểm) A= A= = 13 48 6 2 (2 1) 0,25 đ 6 2 ( 1) 0,25 đ 6 ( )2 2 = = 6 6 0,25 đ 0,25 đ =1 Z Câu (1 điểm) xy-2x-3y+1=0 xy-3y=2x-1 0,25 đ y(x-3)=2x-1 Ta thấy x=3 khơng thõa mãn,với x y=2+ x3 0,25 đ Để y nguyên x-3 phải ước 0,25 đ Suy ra: (x,y) (4,7) ;(8,3) 0,25 đ DeThiMau.vn Câu (3 điểm) a) (1đ điểm) Tam giác ADC tam giác BEC: CD CA ( hai tam giác CE CB CDE CAB đồng dạng) 0,75 đ Góc C: chung Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) 0,25 đ b)(1 điểm) Theo câu ta suy ra: BEC ADC có: ADC EDC ADE 1350 Suy ra: BEC 1350 0,5 đ Suy ra: AEB 450 0,25 đ Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vng có góc 45 ) 0,25 đ c)(1 điểm) Tam giác ABE cân E nên AM cịn phân giác góc BAC Suy ra: GB AB AB ED AH HD , mà ABC DEC ED // AH GC AC AC DC HC HC Do đó: GB HD GB HD GB HD GC HC GB GC HD HC BC AH HC DeThiMau.vn 0,5 đ 0,5 đ ...PHỊNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA NĂM HỌC 2008-2009 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (1 điểm) x +2009 x +2008 x +2009 = ( x +... (b ab) 0,25 đ b/ (1 điểm) a b P= = P= ab = ab ab 20 20 = 4ab (a b) 0,25 đ 0,5 đ DeThiMau.vn Vậy giá trị nhỏ P a=b= 0,25 đ Câu (2 điểm) a/ (1 điểm) a 2008 b 2008 ( a 2007 b... mãn,với x y=2+ x3 0,25 đ Để y nguyên x-3 phải ước 0,25 đ Suy ra: (x,y) (4,7) ;(8,3) 0,25 đ DeThiMau.vn Câu (3 điểm) a) (1đ điểm) Tam giác ADC tam giác BEC: CD CA ( hai tam giác CE CB CDE