KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2008 – Mơn TỐN Câu 1:Hãy xác định số nghiệm hệ phương trình (ẩn sau: ) Câu 2:Cho tam giác ABC có góc góc nhọn,trong E trung điểm AB.Trên tia EC lấy điểm M cho Kí hiệu số đo góc ,hãy tính tỉ số theo Câu 3:Đặt Hỏi có tất số tự nhiên n mà chia hết cho m? Câu 4:Cho dãy số thực xác định sau: với Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn Câu 5:Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số gồm tối đa 2008 chữ số có chữ số 9? Câu 6:Cho x,y,z số thực không âm ,đôi khác nhau.Chứng minh Hỏi dấu xảy nào? Câu 7:Cho tam giác ABC,trung tuyến AD.Cho đường thẳng d vng góc với đường thẳng AD.Xét điểm M nằm d.Gọi E,F trung điểm MB,MC.Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P,đường thẳng qua F vng góc với d cắt đường thẳng AC Q.CMR đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng PQ ln qua điểm cố định ,khi điểm M di động đường thẳng d DeThiMau.vn Lời giải số học sinh 11 chuyên toán trường Quốc Học Huế Bài Bằng qui nạp ta có Với n với Xét Ta có Mà tăng , tương tự ta có giảm qui nạp ta có bị chặn bới 2, Xét dãy theo dãy tăng nên có giới hạn Đặt Khi từ có Tương tự dãy giảm, bị chặn nên có giới hạn Ta có giới hạn Vậy Bài Gọi số phải tìm có dạng Do số chia hết tổng chữ số chia hết cho Bước Tìm tất số chia hết cho Có 10 cách chọn chữ số , 10 cách chọn chữ số , , 10 cách chọn chữ số ứng với cách chọn có cách chọn chữ số để thoả mãn tốn Vậy có số chia hết cho DeThiMau.vn Bước Tìm số số chia hết cho khơng có chữ số Có cách chọn số tất chữ số có cách chọn có Bước Tìm số số chia hết cho mà có chữ số Có số có n-1 chữ số thoả toán, ta đưa chữ số vào số số thoả tốn Có (n-1) vị trí đưa chữ số vào Như có số Cuối số số phải tìm Tính tổng ni dễ dùng cấp số nhân với đạo hàm ok Bài Giả sử Ta có Và Từ ta suy ra: Vậy ta chứng minh rằng: DeThiMau.vn Cái ni hiển nhiên theo Cauchy Từ suy đpcm Dấu xảy khi: Bài Cách ni anh bên TPHCM ý tưởng tương tự, post lên xem thử Cho số không âm khác đơi , tìm số k tốt bất đẳng thức Đặt : Ta chung minh : That vay , khong mat tinh tong quat gia su ta co : Vay ta chi can chung minh bat dang thuc truong hop Dat Ta co : Cách : biến đổi tưong đương chứng minh Hiển nhiên ! tươnng đương với DeThiMau.vn va khac ! Cách : Tu ta tim duoc gia tri nho nhat cua la va dat duoc tai diem la vay hang so tot nhat can tim la va va dau bang xay tai hai diem la va Bài Lấy điểm cho Ta có hình bình hành thẳng hàng Do đó: tam giác Trên tia lấy điểm Xét hai tam giác cân Suy cho có Do Suy Suy tam giác Lấy trung điểm cân Vậy Bài ngắn gọn, đơn giản, giải trước: Từ C kẻ CF song song với BM (F thuộc cạnh BC, dễ thấy, bạn không thắc mắc) Khi CE phân giác góc ACB DeThiMau.vn Áp dụng định lí Talet tính chất phân giác, ta có mặt khác theo cơng thức tính diện tích suy Từ suy Tương tự suy Bài Bằng qui nạp ta có Xét Với n với Ta có DeThiMau.vn Mà tăng , tương tự ta có giảm qui nạp ta có bị chặn bới 2, Xét dãy theo dãy tăng nên có giới hạn Đặt Khi từ có Tương tự dãy giảm, bị chặn nên có giới hạn Ta có giới hạn Vậy Bài Gọi số phải tìm có dạng Do số chia hết tổng chữ số chia hết cho Bước Tìm tất số chia hết cho Có 10 cách chọn chữ số , 10 cách chọn chữ số , , 10 cách chọn chữ số ứng với cách chọn có cách chọn chữ số để thoả mãn tốn số chia hết cho Vậy có Bước Tìm số số chia hết cho khơng có chữ số Có cách chọn tất số chữ số có cách chọn có Bước Tìm số số chia hết cho mà có chữ số Có số có n-1 chữ số thoả toán, ta đưa chữ số vào số số thoả tốn Có (n-1) vị trí đưa chữ số DeThiMau.vn vào Như có số Cuối số số phải tìm Tính tổng ni dễ dùng cấp số nhân với đạo hàm ok Nhầm hết Đính lại Gọi số phải t“m có dạng Do số chia hết tổng chữ số chia hết cho Bước T“m tất số chia hết cho Có 10 cách chọn chữ số , 10 cách chọn chữ số , , 10 cách chọn chữ số ứng với cách chọn có cách chọn chữ số để thoả mãn tốn Vậy có số chia hết cho Bước T“m số số chia hết cho khơng có chữ số Có cách chọn chữ số số chọn.Do có tất có cách chọn,chữ số a_n có cách Bước T“m số số chia hết cho mà có chữ số Nếu số đứng đầu: Có số( có cách chọn) Nếu số khơng đứng đầu : Có thêm số vào) (Lấy số có Cịn Giả sử hệ có nghiệm (x,y) Ta có x,y>0 Đặt Ta có hệ (1) Suy Đặt Ta có (2) Lại xét hàm DeThiMau.vn chữ số khơng có số r“i Ta có Khi từ đó, g(t) hàm đồng biến đoạn (3) Nhận xét: Từ (1) a0 suy (loại) Từ (2) (3) suy Mặt khác ta có kết hợp với bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm, từ dễ dàng suy hệ có nghiệm Bài sử dụng phương pháp tọa độ, nhiên lời giải dài, post sau Còn bảng biến thiên giải DeThiMau.vn ... cách chọn chữ số , 10 cách chọn chữ số , , 10 cách chọn chữ số ứng với cách chọn có cách chọn chữ số để thoả mãn toán số chia hết cho Vậy có Bước Tìm số số chia hết cho khơng có chữ số Có cách chọn. .. số chia hết cho Có 10 cách chọn chữ số , 10 cách chọn chữ số , , 10 cách chọn chữ số ứng với cách chọn có cách chọn chữ số để thoả mãn tốn Vậy có số chia hết cho DeThiMau.vn Bước Tìm số số chia... cách chọn chữ số , 10 cách chọn chữ số , , 10 cách chọn chữ số ứng với cách chọn có cách chọn chữ số để thoả mãn tốn Vậy có số chia hết cho Bước T“m số số chia hết cho khơng có chữ số Có cách chọn