1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA Môn Toán lớp 12 THPT năm 2008 Thời gian: 180 phút (3 điểm) Hãy xác định số nghiệm hệ phương trình ẩn x, y sau x2 + y = 29 log3 x · log2 y = (1) (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc BEC góc nhọn, E trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia EC lấy điểm M cho BM E = ECA Kí hiệu MC α số đo góc BEC, tính tỉ số theo α AB (2 điểm) Đặt m = 20072008 Hỏi có tất số tự nhiên n mà n < m n(2n + 1)(5n + 2) chia hết cho m? (3 điểm) Cho dãy số thực (xn ) xác định sau: x1 = 0, x2 = xn+2 = 2−xn + 21 với n = 1, 2, 3, Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn n → +∞ Hãy tìm giới hạn (3 điểm) Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số gồm tối đa 2008 chữ số có hai chữ số 9? (3 điểm) Cho x, y, z số thực không âm, đôi khác Chứng minh 1 ≥4 + + (xy + yz + zx) 2 (x − y) (y − z) (z − x)2 Hỏi dấu xảy nào? (3 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD.Cho đường thẳng d vng góc với đường thẳng AD Xét điểm M nằm d Gọi E, F trung điểm M B, M C Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P , đường thẳng qua F vng góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng P Q ln qua điểm cố định, điểm M di động đường thẳng d c www.mathscope.org/forum DeThiMau.vn