Toán Một số dạng bài tập về số phức39783

www.laisac.page.tl  M  M  T S  S  D  D  N  NG B  BÀ  ÀI T  T  P  V    V  S  S  P  PH  H C  Nguy n Trung Kiên I) D NG Đ I S C AS PH C D ng 1) Bài toán liên quan ñ n bi n ñ i s ph c Ví d 1) Tìm s ngun x, y cho s ph c z=x+yi tho mãn z = 18 + 26i Gi i:  x3 − xy = 18 z = 18 + 26i ⇔ ( x + yi ) = 18 + 26i ⇔  ⇔ 18 ( 3x y − y ) = 26 ( x3 − 3xy ) 3 x y − y = 26 Gi i phương trình b ng cách đ t y=tx ta ñư c t = ⇒ x = 3, y = V y z=3+i Ví d 2) Cho hai s ph c z1; z2 tho mãn z1 = z2 ; z1 + z2 = Tính z1 − z2 Gi i: a12 + b12 = a22 + b22 = Đ t z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i T gi thi t ta có  2 ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = ⇒ ( a1b1 + a2b2 ) = ⇒ ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) = ⇒ z1 − z2 = 2 D ng 2) Bài tốn liên quan đ n nghi m ph c Ví d 1) Gi i phương trình sau: z − 8(1 − i ) z + 63 − 16i = Gi i: Ta có ∆ ' = 16(1 − i ) − (63 − 16i ) = −63 − 16i = (1 − 8i ) T tìm nghi m z1 = − 12i, z2 = + 4i Ví d 2) Gi i phương trình sau: 2(1 + i ) z − 4(2 − i ) z − − 3i = Gi i: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16 V y phương trình cho hai nghi m là: 2(2 − i ) + 4 − i (4 − i )(1 − i ) z1 = = = = − i 2(1 + i ) 1+ i 2 2(2 − i ) − − i (−i )(1 − i ) 1 z2 = = = =− − i 2(1 + i) 1+ i 2 Ví d 3) Gi i phương trình z − z + 14 z − = Gi i: Ta có phương trình tương đương v i ( z − 1) ( z − z + ) = T ta suy phương trình có nghi m z1 = ; z2 = − i; z3 = + i Ví d 4) Gi i phương trình: z − z + z + + (2 z + 1)i = bi t phương trình có nghi m th c 2 z − z + 3z + = −1 tho mãn c Gi i: Vì phương trình có nghi m th c nên  ⇒z= 2 z + = hai phương trình c a h :Phương trình cho tương ñương v i ( z + 1) ( z − 3z + + i ) = Gi i phương trình ta tìm ñư c z = − ; z = − i; z = + i DeThiMau.vn Ví d 5) Gi i phương trình: z + (1 − 2i ) z + (1 − i) z − 2i = bi t phương trình có nghi m thu n o: Gi i: Gi s nghi m thu n o c a phương trình z=bi thay vào phương trình ta có ( bi ) + (1 − 2i) ( bi ) + (1 − i)(bi) − 2i = ⇔ (b − b2 ) + (−b3 + 2b + b − 2)i = b − b = ⇔ ⇒ b = ⇒ z = i nghi m, t ta có phương trình tương  −b + 2b + b − = ñương v i ( z − i ) ( z + (1 − i ) z + ) = Gi i pt ta s tìm đư c nghi m Ví d 6) Tìm nghi m c a phương trình sau: z = z Gi i: Gi s phương trình có nghi m: z=a+bi thay vào ta có ( a + bi ) = a + bi a − b = a ⇔ Gi i h ta tìm đư c (a, b) = (0; 0), (1; 0),(− ; ± ) V y phương 2 2ab = −b i trình có nghi m z = 0; z = 1; z = − ± 2 D ng 3) Các tốn liên quan đ n modun c a s ph c: Ví d 1) Tìm s ph c z tho mãn đ ng th i ñi u ki n sau: z + − 2i = z − + i z − i = Gi i:  x + + ( y − 2)i = x − + (1 − y )i Gi s z=x+yi (x,y s th c) T gi thi t ta có   x + ( y − 1)i |= ( x + 1) + ( y − 2) = ( x − 2) + (1 − y )  y = 3x ⇔ ⇔ x = 1, y = ho c ⇔  2 10 − − = x x   x + ( y − 1) = x = − , y = − V y có s ph c tho mãn u ki n 5 i−m Ví d 2) Xét s ph c z tho mãn z = ;m∈ R − m(m − 2i ) a) Tìm m ñ z.z = b)Tìm m ñ z − i ≤ c) Tìm s ph c z có modun l n nh t Gi i: a) Ta có ( i − m ) (1 − m2 − 2mi ) i−m − m(1 − m2 ) + 2m + (1 − m + 2m ) = = z= − m + 2mi (1 − m + 2mi )(1 − m − 2mi ) (1 − m2 ) + 4m2 DeThiMau.vn = m(1 + m ) + i (1 + m ) (1 + m ) 2 ⇒ z z = m m i⇒ z = i + − 2 1+ m 1+ m + m + m2 m2 + 1 ⇔ = ⇔ m + = ⇔ m = ±1 2 ( m2 + 1) b) Ta có z − i ≤ ⇔ = 1 m m m2   ⇔ + − ≤ ⇔ − i i ≤ ⇔   2 2 1+ m  1+ m 1+ m 1+ m  1 1 m2 m4 m2 + ≤ ⇔ ≤ ⇔ 16m ≤ + m2 ⇔ − ≤m≤ 2 2 (1 + m ) (1 + m ) 16 1+ m 15 15 c) Ta có z = m2 + (m + 1) = m2 + ≤ ⇒| z |max = ⇔ m = Ví d 3) Trong s ph c z tho mãn ñi u ki n z − − 4i = Tìm s ph c z có modun l n nh t, nh nh t 2 Gi i: Xét s ph c z = x+yi T gi thi t suy ( x − ) + ( y − ) = Suy t p h p ñi m M(x;y) bi u di n s ph c z đư ng trịn tâm I(2;4) bán kính R = D dàng có đư c M (2 + sin α ; + cos α ) Modun s ph c z đ dài véc tơ OM Ta có |z|2= OM = (2 + sin α ) + (4 + cos α ) = 25 + 5(sin α + cos α ) Theo BDT Bunhiacopxki ta có (sin α + cos α ) ≤ (1 + 4) ( sin α + cos α ) = ⇒ − ≤ sin α + cos α ≤ ⇒ ≤ z ≤ V y −1 ; cos α = | z |max = ⇔ sin α + cos α = ⇔ sin α = ; cos α = | z |min = ⇒ sin α + cos α = − ⇔ sin α = −2 ⇔ x = 1, y = ⇒ z = + 2i ⇔ x = 3, y = ⇒ z = + 6i Ví d 4) Trong s ph c tho mãn ñi u ki n z − − 4i = z − 2i Tìm s ph c z có moodun nh nh t Gi i: Xét s ph c z = x+yi T gi thi t suy 2 ( x − ) + ( y − ) = x + ( y − ) ⇔ x + y − = Suy t p h p ñi m M(x;y) bi u di n s ph c z đư ng th ng y=-x+4 Ta có z = x + y = x + (4 − x) = x − x + 16 = 2( x − 2) + ≥ 2 T suy z = 2 ⇔ x = ⇒ y = ⇒ z = + 2i D ng 4) Tìm t p h p m bi u di n s ph c Ví d 1) Tìm t p h p ñi m M m!t ph"ng ph c bi u di n s ph c z bi t: z b) z = z − + 4i c) z − i + z + i = a) =3 z −i DeThiMau.vn Gi i: G i z=x+yi 9 a) T gi thi t ta có z = z − i ⇔ x + y = 9( x + ( y − 1) ) ⇔ x + ( y − ) = 64 V y t p h p ñi m M ñư ng tròn tâm I (0; ), R = 8 2 2 b) T gi thi t ta có x + y = ( x − 3) + (4 − y ) ⇔ x + y = 25 V y t p h p ñi m M ñư ng th ng 6x+8y-25=0 c) Gi s z =x+yi z − i + z + i = ⇔ x + ( y − 1) + x + ( y + 1) = ⇔ 2  x + ( y + 1) ≤  x + ( y + 1)2 ≤ 16   ⇔ ⇔   x + ( y − 1)2 = 16 − x + ( y + 1) + x + ( y + 1)2  x + ( y − 1) = y +   x + ( y + 1)2 ≤ 16(1)  x + ( y + 1)2 ≤ 16    x2 y2 2 ⇔  x + y + y + = y + y + 16 ⇔  + = 1(2)  y ≥ −4 3  y ≥ −4(3)   Ta th y m n m hình trịn (1) Elip (2) tung ñ ñi m n m (Elip) x2 y2 ln tho mãn u ki n y >-4 V y t p h p ñi m M Elip có pt + = Ví d 2) Tìm t p h p ñi m bi u di n m!t ph"ng ph c s ph c ω = + i z + bi t r#ng s ph c z tho mãn: z − ≤ ( ) Gi i: Đ t z = a + bi ( a, b ∈ R ) Ta có z − ≤ ⇔ ( a − 1) + b ≤ (1) T ( ( )  x = a − b + ) ω = + i z + ⇒ x + yi = + i ( a + bi ) + ⇔  ( T ( x − ) + y − )  y = 3a + b  x − = a − + b ⇔  y − = 3(a − 1) + b ≤ ( a − 1) + b  ≤ 16 (1)   ( V y t p h p m c n tìm hình trịn ( x − 3) + y − ) ( ) ≤ 16 ; tâm I 3; , bán kính R=4 Ví d 3) Xác đ$nh t p h p ñi m M(z) m!t ph"ng ph c bi u di n s π z−2 có acgumen b#ng ph c z cho s z+2 Gi i: DeThiMau.vn z − ( x − ) + yi ( x − ) + yi  ( x + ) + yi  = = z + ( x + ) + yi ( x + 2) + y2 Gi s z=x+yi, = x − + y + yi ( x + − x + ) ( x + 2) + y2 = x2 + y − ( x − 2) + y2 + 4y ( x − 2) + y2 i (1) π z−2 có acgumen b ng , nên ta có: z+2 π π 4y x2 + y2 −  i i cos sin + = τ +   v i τ >0 2 3  ( x − 2) + y ( x − 2) + y Vì s ph c  x2 + y2 − τ =  2  ( x − 2) + y ⇒ 4y τ  =  ( x − )2 + y 2  T suy y>0 (1) 2 4y 4y     = ⇔ x2 + y2 − = ⇔ x2 +  y −  =  (2) T (1) (2) suy 2 x + y −4 3  3  t p h p ñi m M đư ng trịn tâm n m phía tr c th c(Trên tr c Ox) D ng 5) Ch ng minh b t ñ"ng th c: 2z −1 Ví d 1) Ch ng minh r#ng n u z ≤ ≤1 + iz Gi i: Gi s z =a+bi (a, b ∈ R) z = a + b ≤ ⇔ a + b ≤ Ta có 4a + (2b − 1) 2 z − 2a + (2b − 1)i B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương = = + iz (2 − b) + (2 − b) + a v i 4a + (2b − 1)2 (2 − b) + a 2 ≤ ⇔ 4a + (2b − 1) ≤ (2 − b) + a ⇔ a + b ≤ ⇒ dpcm Ví d 2) Cho s ph c z khác khơng tho mãn u ki n z + ≤ Ch ng minh z3 ≤2 z Gi i: D dàng ch ng minh ñư c v i s ph c z1 , z2 b t kỳ ta có z1 + z2 ≤ z1 + z2 r#ng: z + 3 1 1 1 1   Ta có  z +  = z + +  z +  ⇒ z + ≤ z3 + + z + ≤ + z + z z z z z z z   Đ t z + =a ta có a − 3a − ≤ ⇔ ( a − )( a + 1) ≤ ⇒ dpcm z DeThiMau.vn II) D NG LƯ&NG GIÁC C A S PH C D ng 1: VI'T D NG LƯ&NG GIÁC Ví d 1) Vi t dư i d ng lư ng giác c a s ph c: − ( cos ϕ + i sin ϕ ) a) b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ ) + cos ϕ + i sin ϕ Gi i: − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1 − cos ϕ ) − i sin ϕ = a) + cos ϕ + i sin ϕ (1 + cos ϕ ) + i sin ϕ = 2sin 2 cos ϕ ϕ − 2i sin + 2i sin ϕ ϕ cos cos ϕ ϕ ϕ sin − i cos ϕ = tan 2 = −i tan ϕ ϕ ϕ ϕ 2 cos + i sin ϕ  π ϕ  π  - Khi tan > d ng lư ng giác là: tan cos  −  + i sin  −   2  2   ϕ  π  ϕ  π  - Khi tan < d ng lư ng giác là: − tan cos   + i sin    2 2   ϕ = khơng có d ng lư ng giác b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ ) - Khi tan ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ  sin − i cos  cos  cos + i sin  2 2 2 2   π π   = 2sin ϕ cos  ϕ −  + isin  ϕ −   2     - Khi sin ϕ = d ng lư ng giác khơng xác đ nh = 2sin ϕ   π π   - Khi sin ϕ > d ng lư ng giác là: 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −   2       π π   - Khi sin ϕ < d ng lư ng giác là: (−2sin ϕ )  cos  ϕ +  + i sin  ϕ +   2     Ví d 2): Vi t dư i d ng lư ng giác c a s ph c: − ( cos ϕ + i sin ϕ ) b) [1 − (cos ϕ + i sin ϕ ) ][1 + cos ϕ + i sin ϕ ] a) + cos ϕ + i sin ϕ Gi i: ϕ ϕ − ( cos ϕ + i sin ϕ ) ϕ sin − i cos ϕ − cos ϕ − i sin ϕ a) = = tan = −i tan ϕ ϕ ϕ + cos ϕ + i sin ϕ cos ϕ − i sin ϕ 2 cos + 2i sin cos 2 2 ϕ   π ϕ  π  Khi tan >0 d ng lư ng giác tan cos  −  + i sin  −     2   DeThiMau.vn Khi tan ϕ d ng lư ng giác là: 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −   2     π π     - Khi sin ϕ < d ng lư ng giác là: ( −2sin ϕ ) cos  ϕ +  + i sin  ϕ +   2     D ng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN Ví d 1) Tìm ph n th c ph n o c a s ph c z, bi t z = −2 + 3i Gi i: Ta có: z = − + i ⇔ z =  co s π + i s in π    2π 2π   Do đó: z = −2 + 3i ⇔ z =  cos + i sin  3    2π 2π    z =  cos + i sin  z = 1+ i   ⇔ ⇔  π π   z = −1 − i  z = −2  cos + i sin  3   T suy ph n th c ph n o c a z tương ng ( ) ho c -1 − Ví d 2) Tìm m(t acgumen c a s ph c: z − + i bi t m(t acgumen c a z b#ng π 1  nên z = z  +  2 i    1  Do đó: z − + i = ( z − 2)  +  2 i    Gi i: z có m t acgumen b ng ( π ) ( ) - Khi z > , m t aacgumen c a z − + i ( ) π - Khi < z < , m t acgumen c a z − + i 4π DeThiMau.vn ( ) - Khi z = z − + i =0 nên acgumen khơng xác đ nh Ví d 3) Cho s ph c z có mơđun b#ng Bi t m(t acgumen c a z ϕ , tìm m(t acgumen c a: d) z + z c) z + z a) 2z b) − 2z Gi i: z = , z có m t acgumen ϕ Do z = cos ϕ + i sin ϕ a) z = cos 2ϕ + i sin 2ϕ ⇒ z = ( cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) ⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) V y 2z2 có m t acgumen 2ϕ b) z = cos ϕ + i sin ϕ ⇒ z = cos ϕ − i sin ϕ ⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) 1 = ( cos ( −ϕ ) − i sin ( −ϕ ) ) = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 2z 1 ⇒− = ( − cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos (ϕ + π ) + i sin ϕ (ϕ + π ) ) 2z có m t acgumen ϕ + π V y− 2z c) Ta có: z + z = cos ϕ N u cos ϕ > có m t acgumen N u cos ϕ < có m t acgumen π N u cos ϕ = acgumen khơng xác đ nh ⇒ d) z + z = cos 2ϕ + i sin 2ϕ , z = cos ϕ − i sin ϕ ⇒ z + z = cos 2ϕ + cos ϕ + i ( sin 2ϕ − sin ϕ ) = cos = cos ϕ ϕ 3ϕ 3ϕ cos + i.2 cos sin 2 2 3ϕ  ϕ ϕ  cos + i sin   2 V y acgumen z + z n u cos 3ϕ =0 ϕ n u cos Ví d 4) Cho s ph c z = − cos π 3ϕ ϕ 3ϕ < không xác ñ nh > , + π n u cos 2 − i sin π Tính mơđun, acgumen vi t z dư i d ng lư ng giác Gi i: π π π 8π  4π    Ta có: z =  − cos  + sin = 1 − cos  = 1 + cos  = cos 7 7     π 8π sin − sin = = cot 4π = tan  − π  Đ t ϕ = arg ( z ) tan ϕ =   4π π  14  − cos 2sin 7 DeThiMau.vn Suy ra: ϕ = − π 14 + kπ , k ∈ z Vì ph n th c − cos π > , ph n o − sin π 4π   π   π  cos  −  + i sin  −   V y z = cos    14   14   < nên ch n m t acgumen − Ví d 5) Vi t dư i d ng lư ng giác c a m(t s ph c z cho z = acgumen c a 3π z − 1+ i π 14 m(t Gi i: 1 z = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 3 1 ⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos ( −ϕ ) + i sin ( −ϕ ) ) 3 1 π π 2  Vì + i =  + i  =  cos + i sin   4  2 π π  z    = cos  −ϕ −  + i sin  −ϕ −   Nên  1+ i  4    π π π π 1 3π Do ñó: −ϕ − = − + 2kπ ⇔ ϕ = + 2kπ , k ∈ Ζ v y z =  cos + i sin  3 2 4 π z + 3i Ví d 6) Tìm s ph c z cho: = z+1 có m(t ácgumen − z +i Gi i: T gi thi t Theo gi thi t z = ⇒ z + 3i = z + i ⇔ x + ( y + 3)i = x + ( y + 1)i ⇔ x + ( y + 3) = x + ( y + 1) z + 3i =1 z+i ⇒ y = −2 2  π  π τ t c z + = τ [cos  −  + i sin  − ] = − i v i r>0  6  6  τ  x + = ⇔ τ = Ta có z+1=x+1-2i suy  ⇒ z = − − 2i   x = −  −2 = − τ  D ng 3) NG D)NG S PH C TRONG BÀI TOÁN T* H&P Ví d 1) Tính t ng sau n=4k+1 a) S = C20n +1 − C22n +1 + C24n +1 − + C22nn+−12 − C22nn+1 z+1 có acgumen b ng − π ( ) b) S = C21n +1 − C23n +1 + C25n+1 − + C22nn+−11 − C22nn++11 Gi i: DeThiMau.vn Xét n +1 (1 + i ) = C20n+1 + iC21n+1 + i 2C22n+1 + + i 2n +1C22nn++11 = C20n+1 − C22n+1 + − C22nn+1 + i(C21n+1 − C23n+1 + − C22nn++11 ) M t khác ta l i có: n +1  (2n + 1)π (2n + 1)π  π π n +1  + i =  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) = cos + i sin   4 4   (2n + 1)π (2n + 1)π  (8k + 3)π (8k + 3)π    = 2n cos + i sin = 2n cos + i sin   4 4    3π 3π   = 2n cos + i sin  = −2n + i 2n 4   T ta có a) S=-2n b) S=2n Ví d 2) Tính t ng h+u h n sau: a) S = − Cn2 + Cn4 − Cn6 + b) S = Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + Gi i: n Xét (1 + i ) = Cn0 + iCn1 + i 2Cn2 + + i n Cnn = − Cn2 + Cn4 − + i (Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + ) n  π π nπ nπ  n  + i =  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) = cos + i sin 4 4    T ta có k t qu n n nπ nπ b) S = sin a) S = cos 4 nπ   Ví d 3) Ch ng minh r#ng: + Cn3 + Cn6 + =  2n + cos  3  Gi i: Ta có 2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + Cnn (1) 2π 2π Xét ε = cos + i sin ⇒ ε3 =1 3 Ta có (1 + ε ) n (1 + ε ) = Cn0 + ε Cn1 + ε 2Cn2 + ε n Cnn = Cn0 + ε Cn1 + ε 2Cn2 + Cn3 + ε Cn4 + (2) n = Cn0 + ε 2Cn1 + ε 4Cn2 + ε nCnn = Cn0 + ε 2Cn1 + ε Cn2 + Cn3 + ε 2Cn4 + .(3) Ta có + ε + ε = 0;1 + ε = cos π − i sin π ;1 + ε = cos π + i sin C ng (1) (2) (3) theo v ta có 2n + (1 + ε ) + (1 + ε ) = ( Cn0 + Cn3 + Cn6 + ) ⇔ 2n + cos n n nπ  1 ⇔ + Cn3 + Cn6 + =  2n + cos  3  π nπ = ( Cn0 + Cn3 + Cn6 + ) 10 DeThiMau.vn M TS BÀI T,P T- LUY.N 1) Gi i phương trình sau t p s ph c: c) z − ( z ) = 4i a) z = z b) z + z = + 4i d )z2 + 2z +1− i = g ) z − 2( z + z ) + = e) z + z + = f )(1 + i ) z + + 11i = 2) Tìm s th c x tho mãn b t phương trình:  x + + 2i −  1+ i c)1 − log  − log x ≤ b) a) + 4i − 2− x ≤ ≥0 −   3) Tìm s ph c z cho A = ( z − 2)( z + i ) s th c z + 7i s th c 4) Tìm s ph c z tho mãn ñi u ki n z = 5; z +1 5) Tìm t p h p m M m!t ph"ng ph c bi u di n s ph c z tho mãn ñi u ki n z − 2i a ) z − ( z ) = b) = c )3 z + i = z + z − 3i d ) z + 3i − = e) z + ≥ z + i z + 2i z−2 +2 z − 2i ) >1 f ) z = z + − 3i g ) > h)2 z − i = z − z + 2i k ) log ( z + 2i z − −1 6) Trong s ph c tho mãn ñi u ki n z − + 3i = Tìm s ph c z có modun l n nh t,nh nh t 7) Tìm s ph c z tho mãn ñi u ki n ( z − 1)( z + 2i ) s th c z nh nh t 8) Tìm m(t acgumen c a s ph c z khác bi t z + z i = z 9) Tìm s ph c z tho mãn z + z = z = 10) Gi i h pt sau t p s ph c:  z − i = z − z + 2i a)  2  z − z =  z1 + z2 = − i  b)  1 + i z + z =   z − z2 + = c)   z2 − z1 + =    d)    z − 12 = z − 8i z−4 =1 z −8  z + z + z + = e)  2010 2011  z + z + = 11) Cho phương trình z − (2i + 1) z + (9i − 1) z + 5i = có nghi m th c Hãy tìm t t c nghi m c a phương trình 1 12) Tìm ph n th c ph n o c a z = 2011 + w 2011 bi t + w =1 w w 13) Tìm n ngun dương đ s ph c sau s th c, s o:  − +i  a) z =   + 3i   n  + 6i  b) z =    −1 + 5i  n  + 4i  c) z =    − 3i  n  − 3i  d ) z =    − 3i  11 DeThiMau.vn 14) Cho n nguyên dương, ch ng minh r#ng 2nπ 15) Tìm s ph c z cho z = z − m(t acgumen c a z-2 b#ng m(t acgumen C20n − 3C22n + 9C24n − 27C26n + + ( −3) C22nn = 22 n cos n c a z+2 c(ng v i π 16) Gi i phương trình 2z a) = z + tan 100 + 4i − cos10 b) 2z = z + cot 120 + 6i − sin12 M/i th0c m0c xin vui lòng liên h th y Nguy n Trung Kiên 0988844088 www.MATHVN.com 12 DeThiMau.vn ... 0), (1; 0),(− ; ± ) V y phương 2 2ab = −b i trình có nghi m z = 0; z = 1; z = − ± 2 D ng 3) Các toán liên quan ñ n modun c a s ph c: Ví d 1) Tìm s ph c z tho mãn đ ng th i ñi u ki n sau: z + −... τ = Ta có z+1=x+1-2i suy  ⇒ z = − − 2i   x = −  −2 = − τ  D ng 3) NG D)NG S PH C TRONG BÀI TỐN T* H&P Ví d 1) Tính t ng sau n=4k+1 a) S = C20n +1 − C22n +1 + C24n +1 − + C22nn+−12 −... n nπ  1 ⇔ + Cn3 + Cn6 + =  2n + cos  3  π nπ = ( Cn0 + Cn3 + Cn6 + ) 10 DeThiMau.vn M TS BÀI T,P T- LUY.N 1) Gi i phương trình sau t p s ph c: c) z − ( z ) = 4i a) z = z b) z + z = + 4i