Phòng Giáo dục đ o tạo huyện Văn Giang Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2015 2016 Môn thi: Toỏn 120 phút Đề thức B i (3 ®iĨm): Cho bi u th c P = x + x −1 + x − x −1 x + 2x −1 + x − 2x −1 2x −1 a) Rút g n bi u th c P b) Ch ng minh r ng n u ≤ x ≤ P s vơ t B i (2 ®iĨm): a)Tìm s t nhiên n cho n ( n + 1)( n + )( n + 3) + s phương b) ìm s t nhiên x, y l n th a mãn c hai ñi u ki n x+1 chia h t cho y y+1 chia h t cho x B i (2 ®iĨm): a) Cho 0O < α < 90O Ch ng minh: 2020sin α + 2016cos α − 4sin α ≥ 2015 b) Gi i phương trình x − + 4029 − x = 8056 B i (2 ®iĨm): a) Đ o Trư ng Sa l n có d ng hình m t tam giác vuông, c nh huy n n m theo hư ng Đông B c- Tây Nam Đư ng cao ng v i c nh huy n chia tam giác thành hai ph n có di n tích b ng 54000 m2 96000 m2 Tính đ dài c nh huy n c a tam giác vuông b) Cho tam giác ABC, A B c ñ nh, C ñi m chuy n ñ ng n a m t ph ng b AB D ng hình vng AMNC BPQC phía ngồi tam giác ABC, g i O trung ñi m c a PM Ch ng minh tam giác OAB c ñ nh C thay đ i B i (1 ®iĨm): Cho s th c dương a, b, c th a mãn a + 2b + 3c = 3abc Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 3a + 2b + c + + + a b c HÕt Hä v tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: Phòng thi số: Chữ ký giám thÞ sè : ThuVienDeThi.com Phòng Giáo dục đ o tạo huyện Văn Giang H−íng dÉn chÊm §Ị thi chän häc sinh giái cÊp huyện Năm học 2015 2016 Môn thi: Toỏn §Ị chÝnh thøc I H−íng dÉn chung 1) H−íng dÉn chấm thi n y trình b y bớc lời giải nêu kết Trong b i l m, thí sinh phải trình b y lập luận đầy đủ 2) Nếu thí sinh l m b i không theo cách nêu đáp án m cho đủ điểm phần nh hớng dẫn quy định 3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm v đợc thèng nhÊt thùc hiƯn Héi ®ång chÊm thi 4) Các điểm th nh phần v điểm cộng to n b i phải giữ nguyên không đợc l m tròn II Đáp án v thang điểm Bi N i dung a, ĐKXĐ x ≥ 0,25 Vì P>0 ta có 0,75 P2 = 3ñ Đi m x + x2 − x + x + x2 − 2x + ( x − 1) = x+ x−2 x + x −1 ( x − 1) - V i x>2 P = x − 0,5 - V i 1≤ x ≤ ⇒ P = 0,5 b, V i ≤ x ≤ P = 0,25 Do s t nhiên khơng phương ⇒ V y n u ≤ x ≤ P s vô t a, Đ t A= n ( n + 1)( n + )( n + 3) + 2ñ - Bi n ñ i A ta ñư c A = ( n + 3n + 1) + 2 Ta có ( n + 3n + 1) < A < ( n + 3n + ) s vô t 0,75 0,25 2 - Do A khơng ph i s phương V y khơng tìm đư c giá tr c a n ñ n ( n + 1)( n + )( n + 3) + s 0,25 0,25 0,25 phương b, Gi s < x ≤ y Đ t x + = ky ( k ∈ N * ) 0,25 Ta có ky = x + ≤ y + < y + y = y ⇒ k < ⇒ k = 0,25 V i k=1, thay vào x+1=ky ta có x+1=y ThuVienDeThi.com Mà y + 1⋮ x ⇒ x + + 1⋮ x ⇔ x + 2⋮ x ⇒ 2⋮ x ⇒ x ∈ {1; 2} 0,25 V i x=1 y=2; v i x=2 y=3 V y ( x; y ) = (1; ) , ( 2;3) 0,25 a) 0,5 2 2020sin α + 2016 cos α − 4sin α = (4sin α − 4sin α + 1) − + 2016(sin α + cos α ) 2 = ( 2sin α − 1) − + 2016 = ( 2sin α − 1) + 2015 ≥ 2015 0,5 b) ĐKXĐ ≤ x ≤ 4029 0,25 2ñ Áp d!ng BĐT Bu-nhia-c p-xki ta có: x − + 4029 − x ≤ (1 2 +1 0,25 ) ( x − + 4029 − x ) = 8056 D u = x y x − = 4029 − x ⇔ x = 2015 ( th a mãn) 0,25 V y nghi m c a phương trình x=2015 0,25 a, Gi s ta có tam giác ABC vng t i A, đư ng cao AH S AHB = 54000 m ; S AHC = 96000 m 0,25 A 2ñ B C H -Ta có AH.BH=2 S AHB = 2.54000 ; AH.HC= 2.S AHC = 2.96000 4 - Mà AH = HB.HC ⇒ AH = 12 10 ⇒ AH = 120 10 m - T" tính đư c BC = ( S AHC + S AHB ) ( 54000 + 96000 ) = = 250 10 m AH 120 10 0,25 0,25 0,25 b, Q J N P C I O M A B - G i I J tâm hình vng AMNC BCQP ThuVienDeThi.com 0,25 Ta có IO//CP IO=CJ=JB, JO//CM JO=CI=IA - Ta l i có AIO = AIC − OIC = 900 − CJO = BJO ⇒ ∆AIO = ∆OJB ( c.g.c ) ⇒ OA = OB AOI = OBJ 0,25 - T" AOB = 3600 − AOI − IOJ − JOB = 3600 − OBJ − IOJ − JOB 0,25 0 = 180 − IOJ + OJB = MOI + POJ + OJB = 180 − OJP + OJB = OJC + OJB = 900 - Suy tam giác AOB vuông cân t i O Mà A, B c ñ nh suy tam 0,25 giác OAB c ñ nh C thay ñ i Áp d!ng b t ñ ng th c AM-GM ta có 0,25 4 3 4 4 b b + a + + b + + c + ≥ a + + 2.4 + + 2 a 2 b c 2a + b = + 18 M t khác 3abc = ( a + c ) + ( b + c ) ≥ 2ac + 4bc ⇔ 3ab ≥ ( a + 2b ) 0,25 P =a+ 1ñ ⇔ ≥ + a b Theo BĐT Cauchy- Schwarz, ta có 0,25 2 ( + 1) + = + ≥ = ⇒ 2a + b ≥ a b 2a b 2a + b a + b - Do P ≥ + 18 = 21 D u = x y a=b=c=2 V y GTNN c a P=21 ch a=b=c=2 HÕt ThuVienDeThi.com 0,25 ...Phòng Giáo dục đ o tạo huyện Văn Giang Hớng dÉn chÊm §Ị thi chän häc sinh giái cÊp hun Năm học 2015 2016 Môn thi: Toỏn Đề chÝnh thøc I H−íng dÉn chung 1) H−íng dÉn chÊm thi n y trình b y bớc... 2020sin α + 2016 cos α − 4sin α = (4sin α − 4sin α + 1) − + 2016( sin α + cos α ) 2 = ( 2sin α − 1) − + 2016 = ( 2sin α − 1) + 2015 ≥ 2015 0,5 b) ĐKXĐ ≤ x ≤ 4029 0,25 2đ Áp d!ng BĐT Bu-nhia-c p-xki... ta có x+1=y ThuVienDeThi.com Mà y + 1⋮ x ⇒ x + + 1⋮ x ⇔ x + 2⋮ x ⇒ 2⋮ x ⇒ x ∈ {1; 2} 0,25 V i x=1 y=2; v i x=2 y=3 V y ( x; y ) = (1; ) , ( 2;3) 0,25 a) 0,5 2 2020sin α + 2016 cos α − 4sin α =