Toán BDHSG phương trình và hệ phương trình (lớp 9)39518

1 Tốn BDHSG phương trình hệ phương trình (lớp 9) Bài tốn 1: Giải phương trình x   10  x  x  12 x  40 Bổ đề : Với a  0; b  a  b  a  b   a  b   a  b   a  b  a  b  Giải: Điều kiện :  x  10 , Ta có  2 x   10  x  x   10  x   mà  x  12 x  40  x  12 x  36   x     Dấu xảy  x   10  x  x  Vậy phương trình có nghiệm x =  x   Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số khơng âm ta có x  .4 10  x .4 x   10  x    2 4 x    x6 Dấu xảy  10  x  x   10  x   Bài tốn 2: Giải phương trình:  x2  x 1  x  x2   x2  x  Vì x  x   x  x   nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si số hạng vế trái ta được: x2  x 1  x2  x  2 x  x   x  x2  x  x  1   2 x   (1)  (2)  x  1  Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: x2  x 1  x  x2   x2  x x  x2    x  nên theo đề ta 2 có : x  x   x   x  1  Đẳng thức xảy x = Thử lại ta thấy x = thoả Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tốn 3: Giải phương trình: x    x  x  12 x  14 (1)  x  2 x     3x  Điều kiện tồn phương trình:  (*) 2 5  x  x   Vế phải (1): 3x  12 x  14  x  x    x     Đẳng thức xảy x = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) vế trái phương trình (1): x    x  12  12 2 x    x    Đẳng thức xảy x    x  x  Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm phương trình Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có: 2 x  3.1  5  x .1  2x  1  2x 1   Đẳng thức xảy 2 ThuVienDeThi.com 2 x    x  Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm phương  5  x  trình Bài tốn 4: Giải phương trình: x  x   x  x   x  x (1) 2 x  x  Giải: Điều kiện  (2) 1  x  x  Vế trái phương trình (1): x  x   x  1   với x  R đẳng thức xảy x = Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với x thoả mãn (2) vế phải phương trình (1) thoả: 1 x  x   3x  3x     12 x  x   x  x   x  x   x  1  đẳng thức xảy x  x   3x  3x Để đẳng thức xảy phương trình (1) hai vế phương trình (1) Nên x = Thử lại thấy x = nghiệm phương trình Bài tốn 5: Giải phương trình:  x3  x   (1) Giải: Điều kiện  x3   x  1x  x  1 Do x  x   với x nên x    x  1 Đặt a  x  ; b  x  x  với a  ; b  Nên phương trình (1) trở thành :  5ab  a  b 2  a a a a         Giải phương trình   b b b b a  phương trình (1) vơ nghiệm b  x  1 a Với  x   x  x    Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện b  x  5x   Với x1   37 ; x2   37 42 60   (1) 5 x 7x  42   60  Phương trình (1) có nghĩa x < nên 1        0 5 x    x    42   42   60   60  42 60 3 3  3 3  9 9  x  x  x  x     0  5 x  7x 0     42  60  42   60  3  3  3  3  5 x  7x  5 x   7x     5  x   42 7  x   60   0   42  60  5  x    7  x    5 x  7x    Bài tốn 6: Giải phương trình: ThuVienDeThi.com     1     1  x    1  x       42 60  5  x    7  x    5 x   x       5  x    42   5 x    7  x    60   7x  > nên x  Thử lại nên nghiệm phương trình x  x x    x x    x x  3 Bài toán 7: Giải phương trình: (1) Điều kiện để phương trình có nghĩa : 3  x  ;0  x  Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: x x    x x    x x  x    x x  3  x x  x    10 x  x  x x  x    10 x  x     x x  x    100 x  20 x3  x  x x  x  10  100 x  20 x3  x  x  x3  60 x   10   x x  x  60  Giải phương trình x   ;0;6  Thử lai có hai nghiệm x     = 0; x = thoả mãn đề cho Bài tốn 8: Giải phương trình:  x5    x   x  x  10  (1) Điều kiện x > -2 x  x  10  x  x   Nhân hai vế phương trình (1) với  x2    1   x  ta được: x    x    x  x  5     x  x  5 x2  x5  x2  x5    x  1 x   1 x     x   11   x2  x5  x  x  5    x2 0  x  1   x    x  4    Do x > -2 nên x = -4 (loại) Vậy nghiệm phương  x    x  1 1  x   trình x = -1 Cách giải khác: Đặt a  x   a  x  ; b  x   b  x  nên b  a  x   x   Do phương b  a  trình (1) trở thành:  (*) (b  a )(1  ab)  Từ hệ (*) suy b  a  b  a 1  ab   b  a a  b  ab  1  a  b b  a   a  b  ab     a  b    a  b  ta có x = -1     Bài tốn 9: Giải phương trình: 25  x  10  x  ThuVienDeThi.com (1) 25  x   x  25 Giải: Điều kiện    x  10   10  x  10 (*)  2 10  x   x  10 Đặt  a  25  x ; 10  x  b   a  b  25  x  10  x  15 Nên phương trình (1) trở a  b  a  b  a    a  b  15 a  b  b  Nếu b = 10  x   x   x  3 so với điều kiên (*) x  3 thoả Nếu a = 25  x  16  x   x  3 so với điều kiên (*) x  3 thoả Vậy phương trình có nghiệm x  3 thành  2 Bài tốn 10: Giải phương trình: x   x 1  5x (*) Lập phương hai vế phương trình (*) ta được: x  x   x   3 x  1x  1  x   x    x  x  3 x  x    x  x  x  x3  x x   x3  x   x  x   trinh có ba nghiệm Thử lại ta thấy phương Bài tốn 11: Giải phương trình  x   x  (1) Điều kiện: x  Đặt  x  a ;  x  b  a   x ;  b3   x nên phương trình (1) a  b  a   b a  b        2 3 2 a  b  a  ab  b  2  b   b 2  b   b   a  b  a  ab  b  a   b a   b a   b     a  b 1   2 2 b  1  4  4b  b  2b  b  b   b  2b   Nếu a =  x   x   x  Nếu b =  x   x   x  a  b  trở thành    Vậy x = nghiệm phương trình Bài tốn 12: Giải phương trình (1)  x  x 1  Giải: TXĐ x    x  Đặt  x  a ; x   b  Nên phương trình cho trở thành: a   b a   b a   b a  b  a  b      3    2 2 a  b  a  b  1  b   b  1  3b  3b  b  b  b b  4b   3   Nên b  0;1;3Do a; b   1;0 ; 0;1; 2;3 Nếu a   x    x   x  ; b  x    x    x  Nếu a   x    x   x  ; b  x    x    x  Nếu a  2  x  2   x  8  x  10 ; b  x    x    x  10 Vậy phương trình có ba nghiệm x  1; 2;10  x x  x2 Bài tốn 13:Giải phương trình  (*) x  x2 ThuVienDeThi.com 1 x  hay  x  x Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa x  *  1 x 2x 1  1 Thử thấy x  nghiệm phương trình (*) x 1 x  x  x  x   Suy 1 x 2x 1   1 x  x2  x    x  x x   Suy Vậy x = nghiệm phương trình 1 x 2x 1   1 x  x2 Với  x  Với Bài toán 14: Giải phương trình : 3 x  x  2001  3 x  x  2002  x  2003  2002 Giải: Đ ặt : 3x  x  2001  a  a  3x  x  2001  3 x  x  2002  b  b3  3 x  x  2002  x  2003  c  c3  6 x  2003 Suy a  b3  c3  2002 Do phương trình cho a  b  c   a  b3  c3 nên a  b  c   (a  b3  c3 )  Khai triển thu gọn được: a  b b  c c  a    Nếu a  b   3x  x  2001  3x  x  2002  3x  x  2001  3x  x  2002  6x   x   Nếu b  c   3x  x  2002   x  2003  3x  x  2002  6 x  2003 1  13  13  ;  x  x   Phương trình có nghiệm x       Nếu a  c   3x  x  2001  x  2003  3x  x  2001  x  2003  x  x  4004  Phương trình vơ nghiệm  1  13  13  ;  6   Vậy phương trình có ba nghiệm x   ; Bài tốn 15: Tính giá trị biểu thức: a 1 a  a 1  a a nghiệm phương trình x  x   Giải : Phương trình x  x   có ac = -  nên có hai nghiệm phân biệt với a nghiệm dương phương trình nên ta có: 4a  2a   (1) Vì a > nên từ (1) có : 1  a   a a  2a  a a    a  2.2 2 2 Gọi S  a 1 a  a 1  a  a  1 a4  a   a2  a  a  1  a 4  a  1 a4  a   a2 a  a 1 a ThuVienDeThi.com  a4  a   a2   2a  a 1 a  2a  a  8a   a a  6a   a a   a  a 1          8 2 2 2 2 2 2 Bài tốn 16: Giải phương trình: x  x  1000  8000 x  1000 Giải: Đặt  8000 x   y   8000 x  y    8000 x  y  y   y  y  8000 x  y  y  2000 x Do phương trình cho trở thành hệ phương trình:  x  x  2000 y (1).Từ hệ phương trình (1) ta suy   y  y  2000 x x  x  y  y  2000  y  x   x  y x  y   x  y   2000 x  y   (2)  x  y x  y   2000    x  y x  y  1999   Từ hệ phương trình (1) suy ra: x  y  x  y   2000 x  y   2001x  y   x  y   x  y  Nên x  y  1999  Do từ (2) suy x  y  hay x = y Thay vào hệ (1) ta x  x  2000 x  x x  2001   x  x  2001 Nhưng x = khơng nghiệm phương trình nên phương trình có nghiệm x = 2001 Bài tốn 17: Giải phương trình x  3x   x   x   x  x  Điều kiện phương trình: x  Ta có x  3x   x   x   x  x   x  x   x   x   x  x   x 1  x2    x2  x 3   x 3    x2  x 3  x   1   x   x 3 x     x   x  x    x  1 x   x  nghiệm phương trình Bài tốn 18: Giải phương trình 1   2 5x x  x  36 x  x  16 Giải : ĐKXĐ: x    Với x  nên chia 2 5x x  36 x  12 x  36 x  122 hai vế phương trình cho x mẫu ta :  Đặt  2 36  12  36  12  4   9   x  x x  x Từ phương trình ta có  12  36 Quy đồng khử mẫu ta được:  t Khi ta có      x 4t 9t  x t  12t  36   t     t  2 12 36 Do     Quy đồng khử mẫu ta x  x  24  x  x Giải phương trình x  x  24  ta nghiệm: x1,2  3  33 Vậy phương trình có hai nghiệm x1,2  3  33 ThuVienDeThi.com   y 20 x  11 y  2009 (1)  z  Bài toán 19: Giải hệ phương trình: 20  11z  2009 (2)  y  x 20  11x  2009 (3)  z Giải: Từ (1) suy y  20  11  2009  y  Tương tự từ (2) (3) suy x  ; z  Vì x   hệ số khơng đổi ta hốn vị vịng quanh x; y; z giả thiết x = max(x, y, z) Nghĩa x  y ; x  z Trừ tường vế phương trình (3) cho phương trình (1) ta y   x 20     11x  y    20 x3  yz  11x z x  y   (4) Vì x  y  ; x  z  nên x  y  x  z x  y x3  yz  Do phương trình (4)    x  y  z  x  yz   Thay vào phương trình (1) ta được: 20 2009  4035201  11x  2009  11x  2009 x  20  Do x = y = z = x 22 697  (1) x  y  Bài toán 20: Cho hệ phương trình  81  x  y  xy  x  y   (2)  a) Nếu có (x; y) thoả (2) Chứng minh  y  b) Giải hệ phương trình Giải: a) Từ phương trình (2) có: x  y  xy  3x  y    x   y  3 x   y    Phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm:     y  3   y      y   y   y   y     3 y  1  y     y  2 b) Tương tự phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm: x  y  xy  x  y    y  x   y  x  x      x    4( x  x  4)   x  x  16  x  12 x  16   x 4  x     x  4 7 256 49 697   Do  x   y  nên x  y        3 81 81 3 3 7 697  x  y  Khi x  y  thay vào phương trình Đẳng thức xảy x  y  3 3 81 (2) vô nghiệm Nên hệ cho vô nghiệm     x  y x  y  144  Bài toán 21 : Giải hệ phương trình:   x  y  x  y  y Giải: Từ hệ phương trình suy y > ThuVienDeThi.com (*)     x  y x  y  144 (1) (*)   2 (2)  y  x  24 Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta có: x      256   x   16   16  x  x  24 x  x  24  144  x  24 24  x  144  72 x  x  576  24 x  144   x  96 x  720   x  32 x  2  20 ; y  16 x  12 ; y   ; 2 5; 4  ; 3;0  ; 2 3;0  Thử lại nghiệm: x; y   2 5;   x  xy  y  19 x  y 2 Bài toán 22: Giải hệ phương trình:  (*)  x  xy  y  x  y  2  x  xy  y  xy  19 x  y 2 x  y   xy  19 x  y  Giải : Hệ (*)    2 x  xy  y  xy  x  y   x  y   xy  x  y   6 x  y 2  xy  x  y  a  Đặt   xy  b x  y   x  y   xy  6a  b  Khi hệ trở thành:   a  a   a a  1   a  a  a  a  b  x  y  x  Nếu a   b  suy    xy  y   x  y   x   y   Nên x; (-y) nghiệm phương trình bậc   xy   x  y   6 Nếu a   b  suy  hai k  k    k1  ; k2  2 Nếu x = k1  y  k2  ; Nếu x = k2  2 y  k1  3 ; Vậy hệ cho có nghiệm là: x; y   0;0 ; 3; ; 3; 2   x  y  y   (1) Tính Q  x  y 2 (2)  x  x y  y  Bài tốn 23: Cho hệ phương trình:  Giải: Từ (1) suy x3  3  y  y  1  1  y  y  1   y  1  1  x  1 Từ x  x y  y  có x  2y   1  x  y2 1 (3) (4) Từ (3) (4) x  1 Do y  Vậy Q  x  y  1  12  x  3y  Bài toán 24: Giải hệ phương trình:  (1) 2  x  y  x  y   (2) Giải: Từ phương trình (2) suy x  x  1 y  y  1 11   x  1   y  1  11  2 Từ phương trình (1) suy x   y  1 Nên 3 y   1   y  1 2  11   3 y     y  1  11   y  12 y   y  y   11  2 ThuVienDeThi.com  10 y  10 y    y  y   Giải phương trình bậc hai ẩn y hai nghiệm : 2 5  85 10 5  85 15  85 5  85 15  85 Nếu y  x   y  1  ; Nếu y  x   y  1  10 10 10 10 y  15  85 5  85   15  85 5  85   ; ;  ;    10 10 10 10      Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x; y    2 x  x y  (*)  y  xy  Bài tốn 25: Giải hệ phương trình:  Hệ phương trình (*) tương đương 3 2 2 x  y 3  27 2 x  y  8 x  12 x y  20 2 x   3.4 x y  3.2 xy  y  27        2 3 y 9y    y  xy   y  xy   y  xy  Giải phương trình : y  y     y  1 y  y   có ba nghiệm y1  ;  y2   105 ; y3    105  105  105  105  105 x ; Nếu y  x 8    105  105    105  105   ; ; phương trình có ba nghiệm x; y   1;1;   ;    8       Nếu y   x  ; Nếu y  2 x  xy  y  x  y   (1) 2 (2)  x  y  x  y   ; Vậy hệ Bài toán 26: Giải hệ phương trình  Giải: Từ phương trình (1) suy y  x  1 y  x  x   Giải phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1  x  ; y2   x  Nên hệ phương trình tương đương:  y  2x 1  x  y    2  2 x  y  x  y   x  y  x  y      x   y  2x 1    Giải hệ phương trình :  2 x  y  x  y    y   13  x  y   x  Giải hệ phương trình  2 có nghiệm  y 1 x  y  x  y    Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x; y   1;1;   ;    ThuVienDeThi.com 13     10 2 x y  y x  y  Bài toán 27: Giải hệ phương trình  (Đề thi chuyên Lê Khiết năm 2 y x  x y  x  học 2008- 2009) Điều kiện hệ: x  ; y   2 x y  y x  y  2 x y  y x  y   Khi ta có:  2 y x  x y  y   x y  y x   4y 3  4x   2 x y  y x  y    y   x  y   4x   x yy x x yy x   x yy x 4x   y   2 x y  y x  y  2 x y  y x  y      x y  y2 x 4 y   x  3   xy x  y  12 x  y    0   4x   y  4x   y  x y  y x x y  y x 2 x y  y x  y      xy 12    (*) x  y  x   y    x y  y x  3 Do điều kiện x  ; y  4   xy 12  nên phương trình(*) x  y  Do   > hay x = y x   y    x y  y x         Thay x = y vào phương trình ta có: 3x x  x   x3  x   x3  x   x   x 1   x  1 x  x       x  1  13 x  x    1,2   x  y  1  13 So với điều kiện x  (loại) V ậy hệ phương trình cho có nghiệm  1  13 x  y   3 Cách giải khác: Điều kiện hệ x  ; y  4  2 x y  y x  y   xy x  y  y   Ta có:   xy y  x  x  2 y x  x y  x    Giả sử x  y suy x   y  nên            y  x  y  x (vô lý)   y  x  y (vô lý) xy y  x  xy x  y  y  x  x  y   Giả sử x  y suy y   x  nên      xy x  y  xy y  x  x  y  y  x  x  ThuVienDeThi.com 11 Nên suy x  y Thay x = y vào hệ ta có phương trình: 3x x  x   x3  x   x3  x   x   x 1   x  1 x  x       x  1  13 x  x    1,2   x  y  1  13 So với điều kiện x  (loaị) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  1  13 x  y    x  y  z  (1)  Bài tốn 28: Giải hệ phương trình:  y  z  x  (2)   z  x  y  (3) Giải: Điều kiện x; y; z  Nhân phương trình với ta có: 2 x  y  z   2 y  z  x   x  y  z  x   y   z    2 z  x  y        x   1   y   1   z   1   x  y  z   4x 1  4x 1 1  y 1  y 1 1  4z 1  4z 1 1  2 Bài tốn 29 Giải hệ phương trình sau: 12 x  48 x  64  y (1)  12 y  48 y  64  z (2) 12 z  48 z  64  x (3)  Giải: Giả sử ba số x; y; z  nghiệm hệ phương trình  y; z; x  z; x; y  nghiệm phương trình Giả sử x số lớn x  y ; x  z (4) Từ (1) ta có 12 x  48 x  64  y  y  12 x  x   16  12 x    16  16  y  Tương tự từ phương trình (2) (3) ta có x  ; z  (5) Trừ vế (1) (3) ta được: x3  y  12 z  x  48 z  x   12 z  x x  z   (6) Theo (4) (5) suy x3  y  ; z  x  ; x  z   Nên từ (6) suy x  y  z (7) Thay (7) vào (1) ta được: x3  12 x  48 x  64   x     x  Vậy hệ có nghiệm x; y; z   4; 4;  Bài tốn 30: Tìm x, y, z biết x yz  x  y  z ThuVienDeThi.com 12 Điều kiện: x; y; z  ; x  y  z  Đặt x  a ; y  b ; z  c Do a.b.c  nên ta có a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c   a  b  c  a  b  c  2ab  2ac  2bc  2b  2ab  2ac  2bc   2b a  b   2c a  b    a  b b  c   a  b  a  b   b  c  b  c Do x = y z tuỳ ý Hoặc cách giải khác: ; y = z x tuỳ ý x yz  x  y  z  x yz  y  x  z  x  y  z  y  y x  y  x   x  z  xz  y x  y  z   xz  y x  y  z   xz  y x  y   yz  xz   y x  y   z x  y    x  y  y  z   Do x = y z tuỳ ý y = z x tuỳ ý x Bài toán31: Cho x > , y >  Từ  Chứng minh rằng: y 1   (1) Suy x > ; y > thức x y x  y  xy  xy  x  y    x  1 y  1    x y  x y2 x  1 y  1    x  y  x 1  y 1 x  ; y  tồn Từ (1) suy x  1 y  1   x  1 y  1   x 1  y 1  x  y  x   y  (đpcm) Bài toán 32: Cho tam giác có số đo đường cao số ngun, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác Giải: Gọi x, y, z độ dài đường cao ứng với cạnh a, b, c tam giác, đường cao tam giác lớn đường kính đường trịn nội tiếp tam giác đó, nghĩa x  2; y  2; z  Vì x, y, z số nguyên dương nên 1 1 1       Mặt khác ta lại có: x y z 3 1 a b c abc          x  y  z  nên tam giác ABC x y z ax by cz S ABC r x  3; y  3; z   Bài toán 33: Cho phương trình x  2mx   (*) Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn x14  x24  x34  x44  32 Giải: Đặt x  t  phương trình (*) trở thành t  2mt   (1) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 ngh ĩa l à: m 2  '  m    m   m  2   m  2 t1  t2  2m   m    m  t t  t t  1 1 Khi m