SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Đề thức Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) Cho số x x R; x 0 thoả mãn điều kiện: x2 + =7 x2 1 Tính giá trị biểu thức: A = x3 + B = x5 + x x 1 2 y x Giải hệ phương trình: 2 y x Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax bx c ( a ) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện: x1 x2 Tìm giá trị lớn biểu thức: 2a 3ab b Q 2a ab ac Câu 3: (2,0 điểm) ( x y z) 2 Tìm tất số nguyên tố p để 4p2 +1 6p2 +1 số nguyên tố Giải phương trình: x2 + y 2009 + z 2010 = Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng qua A , cắt cạnh BC M cắt đường thẳng CD N Gọi K giao điểm đường thẳng EM BN Chứng minh rằng: CK BN Cho đường tròn (O) bán kính R=1 điểm A cho OA= Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường trịn (O) (B, C tiếp điểm).Một góc xOy có số đo 45 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB D cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC E Chứng minh rằng: 2 DE Câu 5: (1,0 điểm) ad bc Cho biểu thức P a b c d ac bd ,trong Chứng minh rằng: P Hết ThuVienDeThi.com SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn) Đáp án thức Mơn: Tốn ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 (Đáp án gồm 04 trang) Câu Nội dung ý x = (do x > 0) x 1 1 21 = (x + )(x2 + ) = (x3 + ) + (x + ) A = x3 + =18 x x x x x 1 1 7.18 = (x2 + )(x3 + ) = (x5 + ) + (x + ) x x x x B = x5+ = 7.18 - = 123 x 1 1 Từ hệ suy (2) 2 2 y x x y Từ giả thiết suy ra: (x + )2 = x + Nếu x y 2 Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 1 nờn (2) xảy x=y y x vào hệ ta giải x=1, y=1 0.5 b c , x1.x2 a a b b 2a 3ab b a a Khi Q = ( Vì a 0) b c 2a ab ac 2 a a 2 3( x1 x2 ) ( x1 x2 ) = ( x1 x2 ) x1 x2 Vì x1 x2 nên x12 x1 x2 x2 0.25 Theo Viét, ta có: x1 x2 x12 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 3( x1 x2 ) x1 x2 Do Q 3 ( x1 x2 ) x1 x2 ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Đẳng thức xảy x1 x2 x1 0, x2 b a c c b 4a a b 2a Vậy max Q =3 Tức b c a c a ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 0.25 0.25 0.25 Phương trình cho tương đương với: x + y + z = x +2 y 2009 +2 z 2010 ( x - 1)2 + ( y 2009 - 1)2 + ( z 2010 - 1)2 = x2 - = y 2009 - = 0.25 0.25 x=3 z 2010 - = y = - 2008 0.25 z = 2011 Nhận xét: p số nguyên tố 4p2 + > 6p2 + > Đặt x = 4p2 + = 5p2- (p - 1)(p + 1) y = 6p2 + 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2) 0.25 Khi đó: - Nếu p chia cho dư dư (p - 1)(p + 1) chia hết cho 0.25 x chia hết cho mà x > x không số nguyên tố - Nếu p chia cho dư dư (p - 2)(p + 2) chia hết cho 4y chia hết cho mà UCLN(4, 5) = y chia hết cho mà 0.25 y>5 y không số nguyên tố Vậy p chia hết cho 5, mà p số nguyên tố p = Thử với p =5 x =101, y =151 số nguyên tố ThuVienDeThi.com 0.25 Đáp số: p =5 A I B K E M D C N Trên cạnh AB lấy điểm I cho IB = CM Ta có IBE = MCE (c.g.c) Suy EI = EM , MEC BEI MEI vuông cân E Suy EMI 45 BCE IB CM MN IM // BN Mặt khác: AB CB AN BCE EMI BKE tứ giác BECK nội tiếp BEC BKC 180 BEC 90 BKC 90 Vậy CK BN Lại có: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 O B x x 0.25 D M A E C y Vì AO = , OB=OC=1 ABO=ACO=900 suy OBAC hình vuông Trên cung nhỏ BC lấy điểm M cho DOM = DOB MOE=COE Suy MOD= BOD DME=900 MOE= COE EMO=900 suy D,M,E thẳng hàng, suy DE tiếp tuyến (O) Vì DE tiếp tuyến suy DM=DB, EM=EC Ta có DE