Đề thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn năm học: 2009 2010 môn: Toán (dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán)39164

SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Đề thức Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) Cho số x x  R; x  0 thoả mãn điều kiện: x2 + =7 x2 1 Tính giá trị biểu thức: A = x3 + B = x5 + x x  1  2   y  x Giải hệ phương trình:    2   y x  Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax  bx  c  ( a  ) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện:  x1  x2  Tìm giá trị lớn biểu thức: 2a  3ab  b Q 2a  ab  ac Câu 3: (2,0 điểm) ( x  y  z) 2 Tìm tất số nguyên tố p để 4p2 +1 6p2 +1 số nguyên tố Giải phương trình: x2 + y  2009 + z  2010 = Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng qua A , cắt cạnh BC M cắt đường thẳng CD N Gọi K giao điểm đường thẳng EM BN Chứng minh rằng: CK  BN Cho đường tròn (O) bán kính R=1 điểm A cho OA= Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường trịn (O) (B, C tiếp điểm).Một góc xOy có số đo 45 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB D cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC E Chứng minh rằng: 2   DE  Câu 5: (1,0 điểm) ad  bc  Cho biểu thức P  a  b  c  d  ac  bd ,trong Chứng minh rằng: P  Hết ThuVienDeThi.com SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn) Đáp án thức Mơn: Tốn ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 (Đáp án gồm 04 trang) Câu Nội dung ý x = (do x > 0) x 1 1  21 = (x + )(x2 + ) = (x3 + ) + (x + )  A = x3 + =18 x x x x x 1 1  7.18 = (x2 + )(x3 + ) = (x5 + ) + (x + ) x x x x  B = x5+ = 7.18 - = 123 x 1 1 Từ hệ suy (2)  2   2 y x x y Từ giả thiết suy ra: (x + )2 =  x + Nếu x  y 2 Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 1   nờn (2) xảy x=y y x vào hệ ta giải x=1, y=1 0.5 b c , x1.x2  a a b b     2a  3ab  b a a Khi Q  = ( Vì a  0) b c 2a  ab  ac 2  a a 2  3( x1  x2 )  ( x1  x2 ) =  ( x1  x2 )  x1 x2 Vì  x1  x2  nên x12  x1 x2 x2  0.25 Theo Viét, ta có: x1  x2    x12  x2  x1 x2   x1  x2   x1 x2   3( x1  x2 )  x1 x2  Do Q  3  ( x1  x2 )  x1 x2 ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Đẳng thức xảy x1  x2  x1  0, x2   b   a    c  c  b  4a   a    b  2a Vậy max Q =3 Tức    b   c    a  c     a ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 0.25 0.25 0.25 Phương trình cho tương đương với: x + y + z = x  +2 y  2009 +2 z  2010  ( x  - 1)2 + ( y  2009 - 1)2 + ( z  2010 - 1)2 = x2 - = y  2009 - = 0.25 0.25 x=3  z  2010 - = y = - 2008 0.25 z = 2011 Nhận xét: p số nguyên tố  4p2 + > 6p2 + > Đặt x = 4p2 + = 5p2- (p - 1)(p + 1) y = 6p2 +  4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2) 0.25 Khi đó: - Nếu p chia cho dư dư (p - 1)(p + 1) chia hết cho 0.25  x chia hết cho mà x >  x không số nguyên tố - Nếu p chia cho dư dư (p - 2)(p + 2) chia hết cho  4y chia hết cho mà UCLN(4, 5) =  y chia hết cho mà 0.25 y>5  y không số nguyên tố Vậy p chia hết cho 5, mà p số nguyên tố  p = Thử với p =5 x =101, y =151 số nguyên tố ThuVienDeThi.com 0.25 Đáp số: p =5 A I B K E M D C N Trên cạnh AB lấy điểm I cho IB = CM Ta có  IBE =  MCE (c.g.c) Suy EI = EM , MEC  BEI   MEI vuông cân E Suy EMI  45  BCE IB CM MN  IM // BN Mặt khác:   AB CB AN BCE  EMI  BKE  tứ giác BECK nội tiếp BEC  BKC  180 BEC  90  BKC  90 Vậy CK  BN Lại có: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 O B x x 0.25 D M A E C y Vì AO = , OB=OC=1 ABO=ACO=900 suy OBAC hình vuông Trên cung nhỏ BC lấy điểm M cho DOM = DOB MOE=COE Suy  MOD=  BOD  DME=900  MOE=  COE EMO=900 suy D,M,E thẳng hàng, suy DE tiếp tuyến (O) Vì DE tiếp tuyến suy DM=DB, EM=EC Ta có DE