http://MrDDT.Wordpress.com Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá Kỳ thi tuyển sinh thpt chuyên lam sơn năm học: 2009 - 2010 Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên T oán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) 1. Cho số x 0; xRx thoả mãn điều kiện: x 2 + 2 1 x = 7 Tính giá trị các biểu thức: A = x 3 + 3 1 x và B = x 5 + 5 1 x 2. Gii h phng trỡnh: 1 1 2 2 1 1 2 2 y x x y Câu 2: (2,0 điểm) Cho ph-ơng trình: 2 0 ax bx c ( 0 a ) có hai nghiệm 1 2 , x x thoả mãn điều kiện: 1 2 0 2 x x .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2 3 2 a ab b Q a ab ac Câu 3: (2,0 điểm) 1. Giải ph-ơng trình: 2x + 2009y + 2010z = )( 2 1 zyx 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p 2 +1 và 6p 2 +1 cũng là số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm) 1. Cho hình vuông ABCD có hai đ-ờng chéo cắt nhau tại E . Một đ-ờng thẳng qua A , cắt cạnh BC tại M và cắt đ-ờng thẳng CD tại N . Gọi K là giao điểm của các đ-ờng thẳng EM và BN . Chứng minh rằng: CK BN . 2. Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R=1 v mt im A sao cho OA= 2 .V cỏc tip tuyn AB, AC vi ng trũn (O) (B, C l cỏc tip im).Mt gúc xOy cú s o bng 0 45 cú cnh Ox ct on thng AB ti D v cnh Oy ct on thng AC ti E. Chng minh rng: 1222 DE . Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức bdacdcbaP 2222 ,trong đó 1 bcad . Chứng minh rằng: 3P . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh Họ tên và chữ ký giám thị 1 Họ tên và chữ ký giám thị 2 . . http://MrDDT.Wordpress.com Sở giáo dục và đào Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn Thanh Hoá năm học 2009- 2010 Đáp án đề thi chính thức Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang) Câu ý Nội dung Điểm 1 1 Từ giả thiết suy ra: (x + x 1 ) 2 = 9 x + x 1 = 3 (do x > 0) 21 = (x + x 1 )(x 2 + 2 1 x ) = (x 3 + 3 1 x ) + (x + x 1 ) A = x 3 + 3 1 x =18 7.18 = (x 2 + 2 1 x )(x 3 + 3 1 x ) = (x 5 + 5 1 x ) + (x + x 1 ) B = x 5 + 5 1 x = 7.18 - 3 = 123 0.25 0.25 0.25 0.25 2 T h suy ra x y y x 1 2 11 2 1 (2) Nu yx 11 thỡ xy 1 2 1 2 nờn (2) xy ra khi v ch khi x=y th vo h ta gii c x=1, y=1 0.5 0.5 2 Theo Viét, ta có: 1 2 b x x a , 1 2 . c x x a . Khi đó 2 2 2 2 3 2 a ab b Q a ab ac = 2 2 3. 2 b b a a b c a a ( Vì a 0) = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3( ) ( ) 2 ( ) x x x x x x x x Vì 1 2 0 2 x x nên 2 1 1 2 x x x và 2 2 4 x 2 2 1 2 1 2 4 x x x x 2 1 2 1 2 3 4 x x x x Do đó 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3( ) 3 4 3 2 ( ) x x x x Q x x x x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 2 x x hoặc 1 2 0, 2 x x 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 http://MrDDT.Wordpress.com Tức là 4 4 4 2 2 0 0 b a c c b a a b a b c a c a Vậy max Q =3 0.25 3 1 ĐK: x 2, y - 2009, z 2010 Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với: x + y + z = 2 2x +2 2009y +2 2010z ( 2x - 1) 2 + ( 2009y - 1) 2 + ( 2010z - 1) 2 = 0 2x - 1 = 0 x = 3 2009y - 1 = 0 y = - 2008 2010z - 1 = 0 z = 2011 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Nhận xét : p là số nguyên tố 4p 2 + 1 > 5 và 6p 2 + 1 > 5 Đặt x = 4p 2 + 1 = 5p 2 - (p - 1)(p + 1) y = 6p 2 + 1 4y = 25p 2 (p - 2)(p + 2) Khi đó: - Nếu p chia cho 5 d- 4 hoặc d- 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5 x chia hết cho 5 mà x > 5 x không là số nguyên tố - Nếu p chia cho 5 d- 3 hoặc d- 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5 4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1 y chia hết cho 5 mà y > 5 y không là số nguyên tố Vậy p chia hết cho 5, mà p là số nguyên tố p = 5 Thử với p =5 thì x =101, y =151 là các số nguyên tố Đáp số: p =5 0.25 0.25 0.25 0.25 4 http://MrDDT.Wordpress.com 1. 2. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm I sao cho IB = CM Ta cã IBE = MCE (c.g.c). Suy ra EI = EM , BEI MEC MEI vu«ng c©n t¹i E Suy ra BCE EMI 0 45 MÆt kh¸c: AN MN CB CM AB IB IM // BN BKE EMI BCE tø gi¸c BECK néi tiÕp 0 180 BKC BEC L¹i cã: 00 90 90 BKC BEC . VËy CK BN Vì AO = 2 , OB=OC=1 và ABO=ACO=90 0 suy ra OBAC là hình vuông Trên cung nhỏ BC lấy điểm M sao cho DOM = DOB MOE=COE Suy ra MOD= BOD DME=90 0 MOE= COE EMO=90 0 suy ra D,M,E thẳng hàng, suy ra DE là tiếp tuyến của (O). Vì DE là tiếp tuyến suy ra DM=DB, EM=EC Ta có DE<AE+AD 2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy ra DE<1 Đặt DM= x, EM=y ta có AD 2 + AE 2 = DE 2 (1-x) 2 + (1-y) 2 = (x+y) 2 1- (x+y) = xy 4 2 yx suy ra DE 2 + 4.DE - 4 0 DE 222 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 D C N A BI K M E O C B D E M A x x y http://MrDDT.Wordpress.com 5. Vy 222 DE<1 Ta có: 2222222222 22)()( cbabcddadbabcdcabcadbdac 2222222222 dcbacdbdca Vì 1 bc ad nên )1()(1 2222 2 dcbabdac áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm 2222 ; dcba có: bdacdcbabdacdcbaP 22222222 2 bdacbdacP 2 12 (theo (1)) Rõ ràng 0 P vì: 2 2 12 bdacbdac Đặt bd ac x ,ta có: xxP 2 12 341411414 2222222 xxxxxxxxP 3321 2 2 xx Vậy 3 P 0.25 0.25 0.25 0.25 . y - 2009, z 2010 Ph-ơng trình đã cho t-ơng - ng với: x + y + z = 2 2x +2 2009y +2 2010z ( 2x - 1) 2 + ( 2009y - 1) 2 + ( 2010z - 1) 2 = 0 2x - 1 = 0 x = 3 2009y - 1 = 0 y = - 2008 2010z. http://MrDDT.Wordpress.com Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá Kỳ thi tuyển sinh thpt chuyên lam sơn năm học: 2009 - 2010 Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên T oán) Thời gian làm bài: 150. học 200 9- 2010 Đáp án đề thi chính thức Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang) Câu ý Nội dung Điểm 1 1 Từ giả thi t