Đề thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn năm học 2009 2010 môn: Toán (dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán)45180

Sở giáo dục đào tạo hoá Kỳ thi tuyển sinh thpt chuyên lam sơn năm học: 2009 - 2010 Đề thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) Cho sè x x  R; x  0 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn: x2 + =7 x2 1 TÝnh giá trị biểu thức: A = x3 + vµ B = x5 + x x  1  2   y  x Giải hệ phương trình:    2 y x Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax bx c ( a  ) cã hai nghiÖm x1 , x2 thoả mÃn điều kiện: x1 x2 Tìm giá trị lớn biểu thøc: Q 2a  3ab  b 2a ab ac Câu 3: (2,0 điểm) Giải phương trình: x2 + y 2009 + z  2010 = ( x  y  z) 2 Tìm tất số nguyên tố p để 4p2 +1 6p2 +1 số nguyên tố Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng qua A , cắt cạnh BC M cắt đường thẳng CD N Gọi K giao điểm đường thẳng EM BN Chøng minh r»ng: CK  BN Cho đường trịn (O) bán kính R=1 điểm A cho OA= Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm).Một góc xOy có số đo 45 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB D cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC E Chứng minh rằng: 2   DE  C©u 5: (1,0 ®iĨm) Cho biĨu thøc P  a  b  c  d  ac  bd ,trong ®ã ad  bc  Chøng minh r»ng: P  HÕt Hä tên thí sinh: Số báo danh Họ tên chữ ký giám thị Họ tên chữ ký giám thị DeThiMau.vn Sở giáo dục đào Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn Thanh Hoá năm học 2009-2010 Đáp án đề thi thức Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 (Đáp án gồm 04 trang) C©u ý Néi dung ) =9x+ = (do x > 0) x x 1 1  21 = (x + )(x2 + ) = (x3 + ) + (x + )  A = x3 + =18 x x x x x 1 1  7.18 = (x2 + )(x3 + ) = (x5 + ) + (x + ) x x x x  B = x5+ = 7.18 - = 123 x 1 1  2   2 Từ hệ suy (2) y x x y Tõ gi¶ thiÕt suy ra: (x + Nếu  2 1   nên (2) xảy x=y y x §iĨm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 x y vào hệ ta giải x=1, y=1 0.5 b c , x1.x2  a a b b     2a  3ab  b a a Khi ®ã Q  = ( V× a  0) b c 2a  ab  ac 2  a a 2  3( x1  x2 )  ( x1  x2 ) =  ( x1  x2 )  x1 x2 2 V×  x1 x2 nên x1 x1 x2 x2  0.25 Theo ViÐt, ta cã: x1  x2    x12  x2  x1 x2    x1  x2   x1 x2   3( x1  x2 )  x1 x2  Do ®ã Q  3  ( x1  x2 ) x1 x2 Đẳng thức xảy chØ x1  x2  hc x1  0, x2  DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25  b   a    c  c  b  4a   a    b  2a VËy max Q =3 Tøc lµ    b   c    a  c     a 0.25 §K: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 0.25 Ph­¬ng trình đà cho tương đương với: x + y + z = x  +2 y  2009 +2 z  2010  ( x  - 1)2 + ( y  2009 - 1)2 + ( z  2010 - 1)2 = x2 -1=0 x=3 y  2009 - =  y = - 2008 z  2010 - = z = 2011 0.25 0.25 0.25 NhËn xÐt: p lµ số nguyên tố 4p2 + > 6p2 + > Đặt x = 4p2 + = 5p2- (p - 1)(p + 1) y = 6p2 +  4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2) 0.25 Khi ®ã: - NÕu p chia cho dư dư (p - 1)(p + 1) chia hÕt cho  x chia hết cho mà x > x không số nguyên tố 0.25 - Nếu p chia cho dư dư (p - 2)(p + 2) chia hÕt cho  4y chia hÕt cho mµ UCLN(4, 5) =  y chia hết cho mà 0.25 y>5 y không số nguyên tố Vậy p chia hết cho 5, mà p số nguyên tố p = Thử với p =5 x =101, y =151 số nguyên tố Đáp số: p =5 DeThiMau.vn 0.25 A I B K E M D C N Trên cạnh AB lấy điểm I cho IB = CM Ta cã  IBE =  MCE (c.g.c) Suy EI = EM , MEC  BEI   MEI vuông cân E Suy EMI 45 BCE IB CM MN Mặt khác:  IM // BN AB CB AN BCE  EMI  BKE  tø gi¸c BECK néi tiÕp BEC  BKC  180 L¹i cã: BEC  90  BKC  90 VËy CK  BN 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 O B x x 0.25 D M A y E C Vì AO = , OB=OC=1 ABO=ACO=900 suy OBAC hình vuông Trên cung nhỏ BC lấy điểm M cho DOM = DOB MOE=COE Suy  MOD=  BOD  DME=900  MOE=  COE EMO=900 suy D,M,E thẳng hàng, suy DE tiếp tuyến (O) Vì DE tiếp tuyến suy DM=DB, EM=EC Ta có DE