Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa năm học 2011 2012 môn: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên tin)44428

Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa Đề CHíNH THứC Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Năm học 2011 - 2012 Môn : Toán (dïng cho thÝ sinh thi vào chuyªn tin) Thêi gian làm 120 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 19 tháng năm 2011 Câu I (2,5 điểm) Giải phương trình: x 17  x  x Chøng minh r»ng: 17  12  17  12  2 C©u II: (2 điểm) Giải phương trình: (x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x Câu III (1,5 điểm) Tìm số nguyên x,y thõa mÃn: x  x  y  y  xy  xy  C©u IV : (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho DE = BD + CE Tia ph©n giác góc DBE cắt cạnh BC I CMR : a) Tam giác DIE vuông b) Đường thẳng DI qua điểm cố định Câu V: (1 điểm) Cho a, b số dương thỏa mÃn: a+b =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = 19   2011(a  b ) ab a  b - HÕt Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký giám thị 1: chữ ký giám thị 2: Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá DeThiMau.vn tù giải -Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012 Môn : Toán (dùng cho thí sinh thi vo chuyên tin) Đề CHíNH THứC Câu I (2,5 điểm) Giải phương tr×nh:  x  17  x x a)Giải phương trình  x  17  x  x x   2 x   17  x  x x  x   x  x  x  17  x  x x  12 x 13 Đặt t = x2 (t 0) Ta cú phương trình; t2 + 12t 13 = phương trình cú hai nghim phân biệt t1=1 ; t2 = -13 (loại) t=1  x2 =  x=+_1 b) Chứng minh rằng: 4 17  12  17  12  2 17  12  17  12  12    12   2 = 3  2  =  :  2 1    32 2   1  2  2    1   2 1 2 1 1  2 17  12  17  12  (đpcm) Câu II: (2 điểm) Giải phương trình: (x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x x  1x  6.x  2x  3  12 x  ( x2 +5 x - 6) ( x2 + x - 6) = 12 x2 ta thấy x =0 nghiệm phương 6 trình chia vế cho x2 ta có  x     x    = 12 (1)  x  x 6 đặt : a =  x      x    = a +2  x    = a -2  x  x  x a4 (1) (a +2)(a - 2) = 12  a2 - = 12  a2 = 16   a  4 6 với a= ta có  x    =   x   =  x2 – x - = giải ta có x1= x2 =-2  x  x Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá DeThiMau.vn 6 với a= - ta có  x    = -4   x   = -7  x2 +7x - = giải ta có ph­¬ng  x x    73  73 ; x2 trình có hai nghiệm phân biƯt x1= nghiệm phương trình 2    73   73  ; S = 3;2;  2   C©u III (1,5 điểm) Tìm số nguyên x,y thõa mÃn: x  x  y  y  xy  xy   2y2x-2y2+ xy – y +1 + – x2 –x =  2y2( x-1) + y(x-1) + 1- x2 +1-x + =  2y2( x-1) + y(x-1) - ( x-1) ( x+1) -( x-1) +1=0  ( x-1)(2y2 + y –x-1-1) +1 =  ( x-1)(2y2 + y –x-2) +1 =  x   1  2y  y  x    ( x-1)(2y2 + y –x-2) = -1  x ; y số nguyên    x    2 y  y  x   1   x0  y 1   x0 3 (loai )  y   2y  y          x  x      2 y  y   y 1   3 (loai )  y   nghiệm phương trình : S = x; y 0;1; 2;1 Câu IV: (3 điểm): A E O D C B K I F a/ Tam giác DIE vuông Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt DI kéo dài F cắt AB K Dễ thấy Nguyn Vn Thu- Sm Sn Thanh Hoỏ DeThiMau.vn EKC cân E => EK = EC EDF cân E => ED = EF Mµ ED = DB + EC => EF = BD + EK, mặt khác EF = EK + KF Suy : BD//=FK => Tø gi¸c BDKF hình bình hành => BK cắt DF trung ®iĨm cđa BK vµ DF(t/c) Gäi O lµ trung ®iĨm DE => OI đường TB hình thangBDEK => IO  BD  EK BD  EC DE => Tam giác DIE vuông E 2 A E D C B I K F b/ Ta chứng minh DI qua điểm F cố định, Thật Tương tự , ta gọi giao phân giác góc DEC BC K, ta chứng minh DKE 90o ; Gọi giao điểm DI EK F => AF đường phân giác BAC => AF cố định (1) Ta dễ dàng chứng minh : FB AB : Tứ giác DIKE nội tiếp đường tròn đường kính DE BKE => IDE  180o ฀  BKE ฀ CKE  180o (KÒ bï) ฀ ฀ BKF  CKE (®èi ®Ønh) ฀ ฀ BDF FDE Từ đẳng thức => BDF  BKF => tø gi¸c BDKF néi tiÕp ฀ ฀ => FBD  DKF  90o => FB AB AB cố định => BF cố định (2) Từ (1) (2) => F điểm cố định Câu V: (1 điểm) Cho a, b số d­¬ng tháa m·n: a+b =1 Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá DeThiMau.vn 19   2011(a  b ) ab a  b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = GIẢI: ta có 19 19(a  b )  6ab 16(a  b )  3(a  b) 16(a  b )  = = (1)   1 ab a  b ab(a  b ) 2 2 2.ab(a  b ) 2.ab(a  b ) 2 áp dụng bu nhi a copxky cho hai số : b ; a 1;1 (12+12)(a2+b2)  ( a.1+b.1)2 hay (a2+b2)  ( a+b)2 dấu = a =b =  16 (a2+b2)  8.( a+b)2 ta có a > ; b > nên ab > ; a2+b2 > áp dụng so si ta có  a  b  2ab     2ab a  b   2ab a  b       dấu = a= b = 16(a  b )  83 8a  b     = = 88 dấu = a= b = 2 2 11 2.ab(a  b )  a  b  2ab     22   1 Mà a4 + b4  (a2 + b2)2 dấu = a= b = 2 tương tự : a2 + b2 dấu = a= b = Vậy  (a+ b)2 nên a4 + b4  2 1 1 2  a  b   = (a+ b) = 8 T  88 + 2011 va khi a= b = Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá DeThiMau.vn ...tự giải -Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012 Môn : Toán (dùng cho thí sinh thi vo chuyên tin) Đề CHíNH THứC Câu I (2,5 điểm) Giải... định (2) Từ (1) (2) => F điểm cố định Câu V: (1 điểm) Cho a, b sè d­¬ng tháa m·n: a+b =1 Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá DeThiMau.vn 19   2011( a  b ) ab a  b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T... (a+ b)2 nên a4 + b4  2 1 1 2  a  b   = (a+ b) = 8 T  88 + 2011 va khi a= b = Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá DeThiMau.vn