Đề kiểm tra học sinh giỏi môn toán Thi gian làm bài: 120 phút Bài 1: (3 điểm) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y Chứng minh x y x y 0 y x3 x y Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2 điểm) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HẾT ThuVienDeThi.com Híng dÉn chÊm biểu điểm Bi 1: (3 im) a) ( 0,75) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) A 10x 7x 5x Xét B 2x 2x Với x Z A B Z ( 2x – 3) 2x Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; A B (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x y x x y4 y c) (1,5đ) Biến đổi = y x (y3 1)(x 1) = = x y (x y) xy(y y 1)(x x 1) x y x y x ( x + y = y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1) x y (x y 1) = xy x y xy(x y) x y xy = = = x y y) x y x(x 1) y(y 1) = 2 xy(x y 3) xy x y (x y) x y (x x y x( y) y( x) xy(x y 3) 2 = x y (2xy) xy(x y 3) 2(x y) Suy điều cần chứng minh x y2 Bài 2: (3 điểm) a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y -12 = (y + 6)(y - 2) = y = - 6; y = * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = x2 + x - = x2 + 2x - x - = ThuVienDeThi.com (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x - 1) = x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ) x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ( x 1 x2 x3 x4 x5 x6 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,5đ) x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ( x 2009)( (0,25đ) 1 1 1 )0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,5đ) 1 1 1 ; ; 2008 2005 2007 2004 2006 2003 1 1 1 0 Do : 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì E Vậy x + 2009 = x = -2009 (0,25đ) I (0,25đ) 1 B C Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) F O Chứng minh EDF vng cân A D Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân D Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) Eˆ Fˆ (0,25đ) Mà Eˆ Eˆ Fˆ1 = 900 Fˆ2 Eˆ Fˆ1 = 900 (0,25đ) EDF = 900 Vậy EDF vuông cân (0,25đ) b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD (0,25đ) 2 Mà EDF vuông cân DI = EF Tương tự BI = EF DI = BI (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng (0,25đ) ThuVienDeThi.com B Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) D A E Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 = 2(x – a2 a2 a2 ) + 2 (0,25đ) (0,25đ) Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x = BD = AE = C a (0,25đ) a D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 2 2 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) = – (AD2 – 2 AB AB2 AB2 AB AB AB2 AD + )+ = – (AD – ) + 8 Vậy SBDEC = SABC – SADE (0,25đ) AB2 AB2 – = AB2 không đổi 8 (0,25đ) Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC ThuVienDeThi.com (0,25đ)