Đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán 838464

Đề kiểm tra học sinh giỏi môn toán Thi gian làm bài: 120 phút Bài 1: (3 điểm) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A  B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y  Chứng minh x  y  x y   0 y  x3  x y  Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x 1 x  x  x  x  x       2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2 điểm) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh  EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HẾT ThuVienDeThi.com H­íng dÉn chÊm biểu điểm Bi 1: (3 im) a) ( 0,75) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) A 10x  7x    5x   Xét B 2x  2x  Với x  Z A  B  Z   ( 2x – 3) 2x  Mà Ư(7) = 1;1; 7;7  x = 5; - 2; ; A  B (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x y x  x  y4  y c) (1,5đ) Biến đổi =  y  x  (y3  1)(x  1) = = x  y  (x  y) xy(y  y  1)(x  x  1) x  y x  y x ( x + y =  y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ)  y  (x  y) xy(x y  y x  y  yx  xy  y  x  x  1) x  y (x  y  1) = xy  x y  xy(x  y)  x  y  xy   = = =  x  y  y) x  y x(x  1)  y(y  1) = 2 xy(x y  3) xy  x y  (x  y)   x  y (x x  y x( y)  y( x) xy(x y  3) 2 = x  y (2xy) xy(x y  3) 2(x  y) Suy điều cần chứng minh x y2  Bài 2: (3 điểm) a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 =  y2 + 6y - 2y -12 =  (y + 6)(y - 2) =  y = - 6; y = * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x =  x2 + x - =  x2 + 2x - x - = ThuVienDeThi.com (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)  x(x + 2) – (x + 2) =  (x + 2)(x - 1) =  x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ) x 1 x  x  x  x  x        2008 2007 2006 2005 2004 2003 ( x 1 x2 x3 x4 x5 x6  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,5đ)  x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      2008 2007 2006 2005 2004 2003  x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      0 2008 2007 2006 2005 2004 2003  ( x  2009)( (0,25đ) 1 1 1 )0      2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,5đ) 1 1 1    ; ; 2008 2005 2007 2004 2006 2003 1 1 1      0 Do : 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì E Vậy x + 2009 =  x = -2009 (0,25đ) I (0,25đ) 1 B C Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) F O Chứng minh  EDF vng cân A D Ta có  ADE =  CDF (c.g.c)   EDF cân D Mặt khác:  ADE =  CDF (c.g.c)  Eˆ  Fˆ (0,25đ) Mà Eˆ  Eˆ  Fˆ1 = 900  Fˆ2  Eˆ  Fˆ1 = 900 (0,25đ)  EDF = 900 Vậy  EDF vuông cân (0,25đ) b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng  CO trung trực BD (0,25đ) 2 Mà  EDF vuông cân  DI = EF Tương tự BI = EF  DI = BI (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)  I thuộc dường trung trực DB  I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng (0,25đ) ThuVienDeThi.com B Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) D A E Áp dụng định lý Pitago với  ADE vuông A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 = 2(x – a2 a2 a2 ) +  2 (0,25đ) (0,25đ) Ta có DE nhỏ  DE2 nhỏ  x =  BD = AE = C a (0,25đ) a  D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 2 2 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) = – (AD2 – 2 AB AB2 AB2 AB AB AB2 AD + )+ = – (AD – ) +  8 Vậy SBDEC = SABC – SADE  (0,25đ) AB2 AB2 – = AB2 không đổi 8 (0,25đ) Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC ThuVienDeThi.com (0,25đ)