Sở giáo dục đào tạo HảI dương Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trÃi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Đề thi thức Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phương trình: x y xy xy 3x 2) Tìm m nguyên để phương trình sau có nghiệm nguyên: 4x 4mx 2m 5m Câu II (2.5 điểm): 1) Rút gọn biểu thức: A x2 2 x 2 x víi 2 x x2 2) Cho tríc sè h÷u tØ m cho m số vô tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m2 b m c C©u III (2.0 ®iĨm): 1) Cho ®a thøc bËc ba f(x) víi hƯ số x3 số nguyên dương biết f(5) f(3) 2010 Chøng minh r»ng: f(7) f(1) hợp số 2) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: P x 4x x 6x 13 C©u IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C hình chiếu vuông góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lÊy D, E cho DE song song với NP Trên tia AB lấy điểm K cho DMK Chøng NMP minh r»ng: 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đường tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Câu V (1.0 điểm): Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đường tròn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn -HÕt - .. ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm Câu Phần câu I 1) 2,5 điểm 1,5điểm nội dung Điểm x y xy (1) (2) xy 3x 2 Tõ (2) x Tõ ®ã y 3x , thay vµo (1) ta cã: x 0.25 3x 3x x2 x 3 x x 7x 23x 16 Giải ta x x = 0.25 0.25 16 0.25 16 7 x y 7 5 4 7 VËy hƯ cã nghiƯm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1); ; ; ; Điều kiện để phương trình có nghiệm: x ' Từ x x 1 y ; x 2) 1,0điểm câu II 2,5 ®iĨm 1) 1,5®iĨm 0.25 0.25 0.25 m 5m (m 2)(m 3) V× (m - 2) > (m - 3) nªn: x ' m vµ m m 3, mµ m Z m = hc m = Khi m = x ' = x = -1 (tháa m·n) Khi m = x ' = x = - 1,5 (loại) 0.25 Vậy m = 0.25 Đặt a x; b x (a, b 0) a b 4; a b 2x ab a b3 ab a b a b2 ab A ab ab 2 0.25 ΒΟΟΚΣ.ςΙΕΤΜΑΤΗΣ.ΧΟΜ ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 A ab a b 4 ab ab A 2ab a b a A ab a b 0.25 0.25 b2 2ab a b a b a b 0.25 A a b 2x A x 2 2) 1,0®iĨm 0.25 a m b m c (1) Gi¶ sư cã (1) b m c m am (2) Tõ (1), (2) (b ac) m (a m bc) 0.25 a m bc số hữu tỉ Trái với gi¶ thiÕt! b ac b ac b3 abc a m bc bc am 0.25 NÕu a m bc m b3 a 3m b a m NÕu b th× m b số hữu tỉ Trái với giả thiÕt! a a 0;b Tõ ta tìm c = Ngược lại a = b = c = (1) ®óng VËy: a = b = c = c©u III điểm 1) 1,0điểm 2) 1,0điểm ax3 Theo f(x) cã d¹ng: f(x) = (53 + bx2 33)a (52 0.25 0.25 + cx + d víi a nguyªn d¬ng 0.25 32)b Ta cã: 2010 = f(5) - f(3) = + + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) Vì a nguyên dương nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) hợp số P x 12 x 3 0.25 0.25 0.25 22 0.25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chứng minh ®ỵc: AB OA x x 3 1 x Mặt khác ta có: OA OB AB 2 12 , OB x 25 26 x 3 12 22 x 3 0.25 2 26 0.25 Dấu = xảy A thuộc đoạn OB B thuộc đoạn OA x2 x Thử lại x = A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn x3 OB Vậy Max P 26 x = ΒΟΟΚΣ.ςΙΕΤΜΑΤΗΣ.ΧΟΜ Μ ThuVienDeThi.com 0.25 câuIV 1) điểm 0,75điểm Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp MAB , MNB MCAP néi tiÕp CAM CPM 0.25 CPM L¹i cã BNM (cïng phơ gãc NMP) CAM BAM 0.25 (1) Do DE // NP mỈt kh¸c MA NP MA DE (2) Tõ (1), (2) ADE cân A MA trung trùc cña DE MD = ME 0.25 2) 1,25®iĨm Μ Κ Β Χ D Ε Ν Π Α NAB Do DE//NP nên DEK , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: NMB NAB 1800 NMB DEK 1800 NMP DMK DEK 1800 Theo gi¶ thiÕt DMK Tø giác MDEK nội tiếp Do MA trung trực DE MEA MDA 0.25 MEA MDA MEK MDC Vì MEK DM phân giác cđa gãc CDK, kÕt hỵp MDK MDK MDC với AM phân giác DAB M tâm đường tròn bàng tiếp góc DAK 0.25 0.25 0.25 tam gi¸c DAK ΒΟΟΚΣ.ςΙΕΤΜΑΤΗΣ.ΧΟΜ ThuVienDeThi.com 0.25 Së giáo dục đào tạo Hưng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút đề thức câu V điểm Β Ο Χ Α D∋ D Kh«ng mÊt tỉng quát giả sử:AB AC Gọi B điểm cung ABC AB ' CB ' Trên tia ®èi cđa BC lÊy ®iĨm A’ cho BA’ = BA AB BC CA ' 'BC B ' AC B 'CA (1) ; B 'CA B 'BA 1800 Ta cã: B 0.25 (2) 'BC B 'BA ' 1800 B 'BA B 'BA ' (3);Tõ (1), (2), (3) B Hai tam giác ABB ABB A 'B ' B ' A Ta cã B ' A B 'C B ' A ' B 'C A 'C = AB + BC ( B’A + BC không đổi 0.25 B, A, C cố định) Dấu = xảy B trùng với B 0.25 Hoàn toàn tương tự gọi D điểm cung ADC ta có AD + CD’ AD + CD DÊu “=” x¶y D trïng víi D’ Chu vi tø gi¸c ABCD lớn B, D điểm cung đường tròn (O) AC 0.25 Bài 1: (1,5 điểm) Cho a : 1 1 H·y lËp mét phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Bài 2: (2,5 điểm) x 16 xy y a) Gi¶i hƯ phương trình: xy y x ΒΟΟΚΣ.ςΙΕΤΜΑΤΗΣ.ΧΟΜ ThuVienDeThi.com ... tam giác DAK .. ThuVienDeThi.com 0.25 Sở giáo dục đào tạo Hưng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2 010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời... cã: 2 010 = f(5) - f(3) = + + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2 010- 98a) Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2 010- ... + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2 010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2 010) Vì a nguyên dương nên 16a + 2 010> 1 Vậy f(7)-f(1) hợp sè P x 12 x 3 0.25 0.25 0.25 22 0.25 Trên