Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi Năm học 2009 2010 môn thi: Toán37192

Sở giáo dục đào tạo HảI dương Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trÃi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Đề thi thức Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phương trình: x y  xy    xy 3x 2) Tìm m nguyên để phương trình sau có nghiệm nguyên: 4x  4mx  2m  5m   Câu II (2.5 điểm): 1) Rút gọn biểu thức: A   x2   2  x   2  x    víi 2  x    x2 2) Cho tr­íc sè h÷u tØ m cho m số vô tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m2 b m  c  C©u III (2.0 ®iĨm): 1) Cho ®a thøc bËc ba f(x) víi hƯ số x3 số nguyên dương biết f(5)  f(3)  2010 Chøng minh r»ng: f(7) f(1) hợp số 2) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: P  x  4x   x  6x  13 C©u IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C hình chiếu vuông góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lÊy D, E ฀ ฀ cho DE song song với NP Trên tia AB lấy điểm K cho DMK Chøng  NMP minh r»ng: 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đường tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Câu V (1.0 điểm): Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đường tròn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn -HÕt - .. ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm Câu Phần câu I 1) 2,5 điểm 1,5điểm nội dung Điểm x y  xy  (1)  (2)  xy  3x  2 Tõ (2)  x  Tõ ®ã y   3x , thay vµo (1) ta cã: x 0.25   3x   3x x2   x  3  x x    7x  23x  16  Giải ta x x = 0.25 0.25 16 0.25 16 7 x y 7  5   4 7  VËy hƯ cã nghiƯm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1);   ;  ;  ; Điều kiện để phương trình có nghiệm: x ' Từ x   x  1  y ; x 2) 1,0điểm câu II 2,5 ®iĨm 1) 1,5®iĨm 0.25 0.25 0.25   m  5m    (m  2)(m  3)  V× (m - 2) > (m - 3) nªn:  x '   m   vµ m     m  3, mµ m  Z  m = hc m = Khi m =   x ' =  x = -1 (tháa m·n) Khi m =   x ' =  x = - 1,5 (loại) 0.25 Vậy m = 0.25 Đặt a  x; b   x (a, b  0)  a  b  4; a  b  2x  ab a  b3  ab a  b  a  b2  ab A   ab  ab 2  0.25   ΒΟΟΚΣ.ςΙΕΤΜΑΤΗΣ.ΧΟΜ ThuVienDeThi.com 0.25  0.25 A  ab a  b 4  ab   ab  A   2ab a  b  a A    ab a  b  0.25 0.25   b2  2ab a  b   a  b a  b  0.25  A  a  b  2x  A  x 2 2) 1,0®iĨm 0.25 a m  b m  c  (1) Gi¶ sư cã (1)  b m  c m  am  (2) Tõ (1), (2)  (b  ac) m  (a m  bc) 0.25 a m bc số hữu tỉ Trái với gi¶ thiÕt! b  ac b  ac  b3  abc   a m  bc  bc  am 0.25 NÕu a m  bc   m   b3  a 3m  b  a m NÕu b  th× m b số hữu tỉ Trái với giả thiÕt! a  a  0;b  Tõ ta tìm c = Ngược lại a = b = c = (1) ®óng VËy: a = b = c = c©u III điểm 1) 1,0điểm 2) 1,0điểm ax3 Theo f(x) cã d¹ng: f(x) = (53 + bx2 33)a (52 0.25 0.25 + cx + d víi a nguyªn d­¬ng 0.25 32)b Ta cã: 2010 = f(5) - f(3) = + + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c  16b + 2c = (2010- 98a) Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) Vì a nguyên dương nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) hợp số P x  12  x  3 0.25 0.25 0.25 22 0.25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chứng minh ®­ỵc: AB  OA  x   x  3  1   x  Mặt khác ta có: OA OB AB  2  12 , OB  x    25   26 x  3  12   22 x  3 0.25  2  26 0.25 Dấu = xảy A thuộc đoạn OB B thuộc đoạn OA x2 x Thử lại x = A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn x3 OB Vậy Max P  26 x =  ΒΟΟΚΣ.ςΙΕΤΜΑΤΗΣ.ΧΟΜ Μ ThuVienDeThi.com 0.25 câuIV 1) điểm 0,75điểm Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp  MAB ,  MNB ฀ ฀ MCAP néi tiÕp  CAM  CPM 0.25 ฀ ฀  CPM L¹i cã BNM (cïng phơ gãc NMP) ฀ ฀  CAM  BAM 0.25 (1) Do DE // NP mỈt kh¸c MA  NP  MA  DE (2) Tõ (1), (2) ADE cân A MA trung trùc cña DE  MD = ME 0.25 2) 1,25®iĨm Μ Κ Β Χ D Ε Ν Π Α NAB Do DE//NP nên DEK , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: ฀ NMB  NAB  1800  NMB  DEK  1800 ฀ ฀ ฀ ฀  NMP  DMK  DEK  1800 Theo gi¶ thiÕt DMK  Tø giác MDEK nội tiếp Do MA trung trực DE  MEA  MDA 0.25 ฀ ฀ ฀ ฀  MEA  MDA  MEK  MDC ฀ Vì MEK DM phân giác cđa gãc CDK, kÕt hỵp  MDK  MDK  MDC với AM phân giác DAB M tâm đường tròn bàng tiếp góc DAK 0.25 0.25 0.25 tam gi¸c DAK ΒΟΟΚΣ.ςΙΕΤΜΑΤΗΣ.ΧΟΜ ThuVienDeThi.com 0.25 Së giáo dục đào tạo Hưng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút đề thức câu V điểm Β Ο Χ Α D∋ D ฀ Kh«ng mÊt tỉng quát giả sử:AB AC Gọi B điểm cung ABC AB ' CB ' Trên tia ®èi cđa BC lÊy ®iĨm A’ cho BA’ = BA  AB  BC  CA ' ฀ 'BC  B ฀ ' AC  B ฀ 'CA (1) ; B ฀ 'CA  B ฀ 'BA  1800 Ta cã: B 0.25 (2) ฀ 'BC  B ฀ 'BA '  1800 B ฀ 'BA  B ฀ 'BA ' (3);Tõ (1), (2), (3)  B Hai tam giác ABB ABB A 'B '  B ' A Ta cã  B ' A  B 'C  B ' A ' B 'C  A 'C = AB + BC ( B’A + BC không đổi 0.25 B, A, C cố định) Dấu = xảy B trùng với B 0.25 Hoàn toàn tương tự gọi D điểm cung ADC ta có AD + CD’  AD + CD DÊu “=” x¶y D trïng víi D’  Chu vi tø gi¸c ABCD lớn B, D điểm cung đường tròn (O) AC 0.25 Bài 1: (1,5 điểm) Cho a :    1 1       H·y lËp mét phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Bài 2: (2,5 điểm) x 16  xy  y  a) Gi¶i hƯ phương trình: xy y x ΒΟΟΚΣ.ςΙΕΤΜΑΤΗΣ.ΧΟΜ ThuVienDeThi.com ... tam giác DAK .. ThuVienDeThi.com 0.25 Sở giáo dục đào tạo Hưng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2 010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời... cã: 2 010 = f(5) - f(3) = + + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c  16b + 2c = (2 010- 98a) Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2 010- ... + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2 010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2 010) Vì a nguyên dương nên 16a + 2 010> 1 Vậy f(7)-f(1) hợp sè P x    12  x  3 0.25 0.25 0.25  22 0.25 Trên