Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi Năm học 2008 2009 môn thi: Toán11860

Sở giáo dục đào tạo HảI dương Đề thi chÝnh thøc Kú thi tun sinh líp 10 THPT chuyªn nguyễn trÃi - Năm học 2008-2009 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 28 tháng năm 2008 (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I: (2.0 điểm) Cho phương trình ẩn x : x  2(2m  1)x  4m  (1) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Tìm điều kiện m để phương trình (1) cã nghiƯm ph©n biƯt x1 , x , x , x tho¶ m·n x14  x  x  x 4 17 Câu II: (1.0 điểm) Rút gọn biểu thøc : A  3b   b 8b   3b   b 8b  víi b  C©u III: (2.0 điểm) Cho hệ phương trình : x   y  m ( víi m lµ tham sè )   y   x m 1) Giải hệ phương trình m 2) Tìm m để hệ có nghiệm Câu IV: (1.0 điểm) 16 Tìm số thực x cho x 2009 2009 số nguyên x Câu V: (3.0 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm P cố định khác O (OP < R) Hai dây AB CD thay đổi cho AB vuông góc với CD P Gọi E, F trung điểm AC, AD Các đường thẳng EP, FP cắt BD, BC M, N 1) Chøng minh r»ng : Bèn ®iĨm M, N, B, P thuộc đường tròn 2) Chứng minh : BD = 2.EO 3) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ diện tích tứ giác ACBD Câu VI: (1.0 ®iĨm) Cho x, y tho¶ m·n 16x  9y  144 Chøng minh r»ng : 2x  y    -HÕt Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh : Chữ kí giám thị : .Chữ kí giám thị 2: ThuVienDeThi.com Kú thi tun sinh líp 10 THPT chuyªn ngun tr·i - Năm học 2008-2009 Môn thi : toán Sở giáo dục đào tạo HảI dương Ngày 28 tháng năm 2008 Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang Hướng dẫn chấm Điểm Câu Phần câu I Với m = phương trình (1) có dạng: x 10x 16 (2) 1,0điểm Đặt y = x2 y pt (2) có dạng y  10y  16  (3) Gi¶i pt (3) ta y1 2; y (thoả m·n) ®iĨm néi dung 1) x x2   y1       y2   x  2 x Phương trình đà cho có bốn nghiệm x1  2; x   2; x  2; x  2 2) 1,0®iĨm 0.25 0.25 0.25 0.25 Đặt y x y pt (1) trở thành y 2(2m  1)y  4m  (4) cã  '  2m  1  4m  4m 0.25 Để phương trình (1) có nghiÖm x1 , x , x , x phân biệt pt (4) phải có hai nghiệm dương y1 , y phân biệt '   4m      c  m        4m    (*) a  2 2m  1   m    b  a  Gi¶ sư x12  x 2  y1 ; x 32  x  y  x14  x  y12 ; x  x 4  y 2   Do ®ã : x14  x  x  x 4  17  y12  y 2  17   2m  1  8m   17  16m  32m     1  m   hc m kết hợp với ĐK (*) ta m = 4 câu II 1,0điểm ĐK: b Tõ gi¶ thiÕt  A  6b   3A 3b   b 8b      ®iĨm  A  3(1  2b)A  (6b  2)  2 0.25 0.25 ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 A   (A  1)(A  A  6b  2)   (I)   A  A  6b   (*) 1 1 thay vµo biĨu thøc ®· cho ta cã A      8 2 +) Nếu b Phương trình (*) vô nghiệm (v×    24b  ) Tõ (I)  A = VËy víi mäi b  th× A = Thay m = ta hệ pt : 1) 1,0điểm  x    y  (1)   y    x  (2) §iỊu kiƯn : 1  x  9;   y  Gi¶ sư hƯ pt cã nghiƯm (x; y) +) NÕu b câu III điểm Từ hệ pt  Gi¶ sư x  y ta cã x    y  y    x (3) 0.25 0.25 0.25 x   y  vµ  y   x suy x    y  y    x m©u thn víi (3) T­¬ng tù x < y cịng suy m©u thuÉn VËy x = y Thay x = y vµo pt (1) ta cã : x  x bình phương hai vế ta 10 0.25 x 19  x   20  x  19  x    x  8x  16   x  Do ®ã x = y = Hệ phương trình có nghiƯm : (x; y) = (4; 4) Theo c¸ch chøng minh tương tự ta chứng minh : nÕu hƯ cã 2) nghiƯm (x; y) th× x = y 1,0điểm y x Khi hệ phương trình ®· cho  (II)   x   x m (4) Giả sử x0 nghiệm phương trình (4) x    x  m  (8  x )    (8  x )  m   x cịng 0.25 0.25 lµ nghiƯm cđa pt (4) tÝnh nhÊt   x  x  x   m câu IV điểm y x Khi m  thay vµo hƯ (II) ta cã   x    x Giải hệ phương trình ta nghiƯm nhÊt (x; y) = (4; 4) VËy víi m hệ phương trình đà cho có nghiệm 16 1,0điểm ĐK : x Đặt : a x 2009 b   2009 a; b  Z  x 16  2009  ab  2025  b  a  2009 b a  2009 ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 NÕu a  b th× vÕ phải số vô tỉ vế trái số nguyên vô lí Nếu a = b ab - 2025 =  a  b  45  x  45  2009 Thư l¹i víi x  45  2009 tho¶ m·n 16 x  2009  Z vµ  2009  Z x câu V điểm 1) 1,0điểm E A P C N 0.25 0.25 F D K H M O PE trung tuyÕn APC nªn EA = EP  ฀ ฀ EAP cân E EAP EPA MPB B ฀ ฀ ฀ mµ ACD   ABD  PBM ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ MPB  PBM  CAB  ACD  90  BPM vu«ng t¹i M  PMB  90 ฀ ฀ ฀ Chøng minh t­¬ng tù ta cã: PNB  90  PMB  PNB  180  Bèn ®iĨm M, N, B, P thuộc đường tròn đường kính BP Do EA = EC FA = FD nên OE  AC vµ OF  AD 2) ฀ ฀ 1,0®iĨm Do ®ã AFE  OFE  90 (1) Do EF đường trung bình ACD nên EF // CD vµ CD = 2EF ฀ ฀ ฀  AFE  ADC  ABC ฀ ฀ ฀ ฀ mµ ABC  BCD  90  AFE  BCD  90 (2) ฀ ฀ Tõ (1) vµ (2)  OFE  BCD ฀ ฀ C/M t­¬ng tự ta có: OEF BDC BCD đồng dạng víi OFE (g.g) BD CD     BD  2.EO OE FE KỴ OH  AB; OK CD H K HA  HB; KC  KD 3) 2 2 2 2 1,0®iĨm HB  OB  OH  R  OH  AB  4R  4HO TÝnh t­¬ng tù : CD  4R  4KO2 suy   0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25  AB CD  4R  4HO2 4R  4KO2  16R  16R (HO2  KO2 )  16.HO2 KO2  16R  16R PO  16.HO KO (v× ta cã OH  OK  OP ) Chøng minh diƯn tÝch tø gi¸c ACBD b»ng AB.CD 2 Do 16R  16R PO không đổi nên AB2.CD2 nhỏ HO2 KO2 nhỏ nhÊt  H  O hc K  O  AB qua O CD qua O Vậy diƯn tÝch tø gi¸c ACBD nhá nhÊt b»ng : 2 2 16R  16R PO2  2R R  PO2  AB hc CD qua O (có thể cách dựng: Kẻ đường kính qua P kẻ dây với đường kính P) ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 0.25 2   Ta cã HO KO   HO  KO   OP nªn HO2.KO2 lín nhÊt HO =   2 OP OP ; AB2.CD2 lín nhÊt HO2 KO2 lín nhÊt  HO = KO  2  AB CD cách O.Vậy diện tích tứ giác ACBD lín nhÊt b»ng 16R  16R PO2  4.PO  2R  PO2  AB CD cách O KO (có thể cách dựng: Dựng hình vuông OHPK dựng AB, CD) câu VI điểm 1,0điểm Trước hÕt ta chøng minh B§T ax  by   a  b 2 x  0.25  y (1) ThËt vËy B§T (1)  2abxy  a y  b x  ay  bx   (®óng) dÊu b»ng xảy ay bx 1 Ta đặt t = 2x - y = 4x  3y 2 1        t   4x  3y          16x  9y  144 36 2         t 1  1  t2 ®ã    t 2 5  t   2   t  2  t 1  1  1  2x  y    (§PCM)   t    (*) dÊu b»ng x¶y ë (*)  8x  9y  x       2x  y Giải hệ ta tìm 16x  9y  144 y      ThuVienDeThi.com  0.25 0.25 0.25 0.25 Kú thi tun sinh líp 10 THPT chuyªn ngun trÃi - Năm học 2008-2009 Môn thi : toán Sở giáo dục đào tạo HảI dương Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 28 tháng năm 2008 Đề thi gồm: 01 trang Đề thi dự bị Câu I: (2.0 ®iĨm) 2   x    x  11x  44 1) Giải phương trình : 10  x2   x 1   1 x  2) Cho x1 ;x lµ hai nghiƯm phương trình x 6x Đặt S n x1n x n T×m sè d­ chia S 2009 cho Câu II: (2.0 điểm) 1) Chứng minh với số nguyên n n 13n 51 kh«ng chia hÕt cho 49     x  y     xy 2) Giải hệ phương trình :   x  y     49    x2y2   Câu III: (2.0 điểm) 1) Giải bất phương trình : 3x 2x 2) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba ®iĨm A(0; m); B(n; 0); C(3; 2) víi m, n số nguyên dương Tìm tất số m, n để ba điểm thẳng hàng Câu IV: (3.0 điểm) 1) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng (d) điểm chung với đường tròn (O; R) Với điểm M thuộc (d) lấy ®iĨm N cho ba ®iĨm O, N, M th¼ng hàng (N nằm O M) thoả mÃn ON.OM  R Chøng minh r»ng : Khi M chạy đường thẳng (d) điểm N chạy đường tròn cố định 2) Trong tứ giác nội tiếp đường tròn (O; R) hÃy tìm tứ giác có diện tích lớn Câu V: (1.0 điểm) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh Hỏi tìm điểm M, N, P hình vuông ABCD cho diện tích tam giác MNP lớn (đơn vị diện tích ) hay kh«ng? -HÕt Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh : Chữ kí giám thị : .Chữ kí giám thị 2: ThuVienDeThi.com Sở giáo dục đào tạo HảI dương Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trÃi - Năm học 2008-2009 Môn thi : toán Đề thi dự bị Ngày 28 tháng năm 2008 H­íng dÉn chÊm gåm: 04 trang H­íng dÉn chÊm C©u câu I điểm Phần Điểm nội dung 2  x2    x2  x2   10  11  0    1,0®iĨm  x 1   x 1   x 1  x2 x2 §K : x  1; x Đặt a ta có phương tr×nh: ;b  x 1 x 1  ab 10a  b  11ab   10a  b a  b      b  10a x2 x2 +) Víi a = b ta cã   x  (tho¶ m·n §K) x 1 x 1 x2  x2  10   3x  11x   +) Víi b = 10a ta cã  x 1 x Giải phương trình ta : x1 3; x (Đều thoả mÃn ĐK) Vậy phương trình đà cho có ba nghiÖm x1  3; x  ; x Ta tính 2) n2 x n   x1n 1  x n 1 x1  x   x1n  x n x1x  6S n 1  S n 1,0®iĨm S n   x1 1)     Chøng minh t­¬ng tù ta cã S n 3  6S n   S n 1 Do ®ã : S n 3  6(6S n 1  S n )  S n 1  35S n 1  6S n  S n  vµ S n cïng sè d­ chia cho  S 2009 vµ S cïng sè d­ chia cho mµ S  30S  5S  6S  S vµ 5S  6S cïng sè d­ chia cho mµ 5S  6S  786 v× vËy  S 2009 chia cho có số dư câu II điểm Ta cã n  13n  51  n  n  10   21 mµ (n +10) - (n + 3) = chia hÕt 1,0®iĨm chia làm hai trường hợp : + Nếu (n +10) vµ (n + 3) cïng chia hÕt cho ĐPCM + Nếu (n +10) (n + 3) không chia hết cho ĐPCM 1) 1.0 1.0 ThuVienDeThi.com 1.0    1  x y 5  x  y      1,0®iĨm xy  x y    Ta cã    x  y     49 x   y   49     x2 y2 x2y2    a  b  a  2 a 1 Đặt a  x  ; b  y  ta cã hÖ   x y ab  14 b  b Từ giải nghiệm hệ đà cho là: 73 73   73   73 ; 1  ;  ; 1   1;  ;  1;  ;          1) ĐK: x ta giải bất phương trình 3x 2x nghiƯm: 1,0®iĨm x  ;x   m 2) Do m, n > ta lập pt đườngthẳng AB y x m sau thay toạ độ n 1,0điểm điểm C(3; 2) vào phương trình ta tìm kết cặp số (m; n): 8;4 ; 5;5 ; 4;6 ; 3;9 2) câu III điểm câu 1) IV 1,5®iĨm  1.0 1.0 1.0 d ®iĨm T M N O C A B KỴ OA  d, tiÕp tun AB, kỴ BC  OA  C cố định Kẻ tiếp tuyến MT, kẻ TN OM ta chứng minh OM.ON = R2 = OC.OA OCN đồng dạng OMA ONC OAM 90 N nằm đường tròn đường kính OC cố định ThuVienDeThi.com 1.5 2) A 1,5điểm B H K D O C Vẽ Ta chøng minh S ABCD  AC.BD mµ AC  2R; BD 2R nên diện tích tứ giác ABCD lớn 2R ABCD hình vuông câu V 1,0điểm +)Ta chứng minh bổ đề: Nếu ba đỉnh tam giác nằm cạnh hình chữ điểm nhật diện tam giác nhỏ nửa diện tích hình chữ nhật +) Sau đó: - Nếu tam giác MNP có đỉnh nằm hình vuông ABCD diện tích tam giác không lớn nửa diện tích hình vuông - Nếu đỉnh M, N, P nằm hình vuông ABCD qua đỉnh M, N, P ta kẻ đường thẳng song song với cạnh hình vuông tạo hình chữ nhật mà đỉnh tam giác MNP nằm diện tích tam giác không lớn nửa diện tích hình chữ nhật Vậy tam giác MNP có diện tích lớn đơn vị diện tích ThuVienDeThi.com 1.5 1.0 ... sinh : Sè b¸o danh : Chữ kí giám thị : .Chữ kí giám thị 2: ThuVienDeThi.com Sở giáo dục đào tạo HảI dương Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trÃi - Năm học 2008- 2009 Môn. .. ThuVienDeThi.com  0.25 0.25 0.25 0.25 Kú thi tun sinh líp 10 THPT chuyªn ngun trÃi - Năm học 2008- 2009 Môn thi : toán Sở giáo dục đào tạo HảI dương Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 28 tháng năm 2008. ..Kú thi tun sinh líp 10 THPT chuyªn ngun tr·i - Năm học 2008- 2009 Môn thi : toán Sở giáo dục đào tạo HảI dương Ngày 28 tháng năm 2008 Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang