Đại số Nâng cao Gv Ngô Trọng Đại Chương I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Tính giá trị biểu thức: a A x 2223 x3 2223 x 2223 x 2223 x = 2222 b B x14 2009 x13 2009 x12 2009 x11 2009 x 2009 x 2009 x = 2008 A 123456.123457 123455.123458 So sánh A B B 987654.987655 987653.987656 Cho Chứng minh ( x 3) 65 x( x 6) 74 Từ tìm GTNN M x( x 6) 74 Xác định a, b biết ( x a )( x 5) x x b với x a) Cho a, b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư 3, b chia cho dư Chứng minh ab chia cho dư b) Tìm số tự nhiên x, y cho (5 x 3)(5 y 4) 516 Cho p số nguyên tố, p thỏa mãn 2p +1 số nguyên tố Chứng minh p(p + 5) + 31 hợp số Rút gọn biểu thức P 75(41993 41992 42 5) 25 (Đề thi HSG Toán 8_Quận 3_HCM) Cho x, y Chứng minh rằng: - Nếu A = 5x + y chia hết cho 19 B = 4x – 3y chia hết cho 19 - Nếu C = 4x + 3y chia hết cho 13 D = 7x + 2y chia hết cho 13 Viết biểu thức sau dạng tổng hai bình phương B x y x 10 y 26 Khi đó, tìm x, y biết x y x 10 y 26 10 Tính nhanh: a A 1002 992 982 97 22 b B 12 22 32 42 2007 20082 20092 c C (2 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1) 232 11 Chứng minh biểu thức sau dương với giá trị x: a x x 17 b x 10 x 29 12 Chứng minh biểu thức sau âm với giá trị x: a x x 13 Tìm GTNN biểu thức A x x 2015 Tìm GTLN biểu thức B x x 127 ThuVienDeThi.com b x x Đại số Nâng cao Gv Ngô Trọng Đại 14 Cho a + b + c = Chứng minh a b3 c 3abc 15 Cho a 3ab b3 3a 2b 11 Tính a b 16 Cho a, b, c thỏa mãn a 2010 b 2010 c 2010 a1005b1005 b1005c1005 c1005 a1005 Tính A (a b) 20 (b c)11 (c a ) 2010 (Đề thi HSG Toán 8_Quận 9_HCM) 17 Cho a, b, c, d số nguyên thỏa a + b = c + d Chứng minh a b c d tổng ba số phương (Đề thi HSG Tốn 8_Quận 9_HCM) 18 Chứng minh rằng: Nếu p q hai số nguyên tố thỏa mãn p q p 3q p q số nguyên tố (Đề thi HSG Tốn 8_Quận 1_HCM) 19 Chứng minh biểu thức sau khơng thể lập phương số tự nhiên 19913333 19902222 19891111 (Đề thi HSG Toán 8_Quãng Ngãi) 20 Chứng minh hiệu bình phương hai số lẻ chia hết cho (Đề thi HSG Tốn 8_Quận 1_HCM) 21 Tìm x biết: a x ( x 7) x(7 x ) b (2 x 5) 2(2 x 5)( x 1) ( x 1) 22 a Cho a b c ab bc ca Chứng minh a = b = c b Cho a b c d 4abcd Chứng minh a = b = c = d 23 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a ( a b c) a (a b c)(b c) b (a b c)(a b c)(a b c) abc 24 Tìm x, y biết x x x y 25 Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a a 2c abc b c b3 (Đề thi HSG Toán 8_Quận 1_HCM) 26 Cho A x y z xyz a Chứng minh x + y + z = A = b Điều ngược lại có khơng? (Đề thi HSG Tốn 8_Quận 12_HCM) 27 Cho hai số dương a, b thỏa a100 b100 a101 b101 a102 b102 Tính giá trị biểu thức P a 2015 b 2015 (Đề thi HSG Toán Tp.HCM 2011) 28 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a x y 10 xy 25 z b x y z t xz yt ThuVienDeThi.com Đại số Nâng cao Gv Ngô Trọng Đại c ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 24 d a (b c) b (c a ) c (a b) 29 Tìm x biết: a x x3 x 40 b x x3 16 x 16 30 Tìm số tự nhiên n cho 5n3 9n 15n 27 số nguyên tố 31 Cho a, b, c, d thỏa mãn a b c d ; a b c d Chứng minh a 2015 b 2015 c 2015 d 2015 (Đề thi HSG Toán 8_Quận 3_HCM) 32 Chứng minh đa thức x x y x y y khơng thể có giá trị 929 với số nguyên x, y 33 Chứng minh (n5 n)30 với số nguyên n Khi đó, cho a1 , a2 , , an , Đặt P a15 a25 an5 Q (a1 a2 an )5 Chứng minh P 30 Q30 34 Tìm n để (n 8) 36 số nguyên tố (Đề thi HSG Toán 8_Quận 9_HCM 2007) 35 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC thỏa mãn 1 Chứng minh tam giác ABC b c a 1 1 a b c (Đề thi HSG Toán 8_Quận 1_HCM) 36 Chứng minh giá trị biểu thức sau dương với x 0, y : (7 x y x y x y ) : (2 x y ) 8( x 1)( x 1) 10 37 Xác định đa thức dư phép chia đa thức x 49 x13 x8 cho đa thức x 38 Tìm số nguyên n để đa thức n3 6n n chia hết cho đa thức n – 39 Xác định đa thức bậc ba cho chia đa thức cho nhị thức x – 1; x – 2; x – có số dư x = - đa thức nhận giá trị – 18 (Đề HSG Toán Quận 1) 40 Cho a b c d 2009 ad bc Tính ab cd 41 Cho a b (a b) c d (c d ) Chứng minh a b (a b) c d (c d ) 42 Cho hai đa thức P ( x) x x 2011, Q( x) x x Gọi x1 , x2 , x3 , x4 , x5 nghiệm đa thức P(x) Tính Q( x1 ).Q( x2 ).Q( x3 ).Q( x4 ).Q( x5 ) ThuVienDeThi.com Đại số Nâng cao Gv Ngô Trọng Đại 43 Cho a + b + c = Chứng minh a b c (a b c )2 44 Cho a + b + c = Chứng minh a b c 2( a 2b b c c a ) 45 Cho a + b + c = Chứng minh a b c 2( ab bc ca ) 46 Cho (a b) 2(a b ) Chứng minh a = b 47 Cho a + b = Tính M a b3 3ab(a b ) 6a 2b (a b) 48 Cho x + y = a x2 + y2 = b Tính x3 + y3 theo a, b 49 Cho ba số a, b, c thỏa a (b c) b (c a ) c ( a b) Chứng minh ba số a, b, c phải có hai số 50 Chứng minh a b3 c 3abc a, b, c số dương a = b = c ThuVienDeThi.com ... x13 x8 cho đa thức x 38 Tìm số nguyên n để đa thức n3 6n n chia hết cho đa thức n – 39 Xác định đa thức bậc ba cho chia đa thức cho nhị thức x – 1; x – 2; x – có số dư x = - đa thức nhận... Toán 8_ Quận 1_HCM) 36 Chứng minh giá trị biểu thức sau dương với x 0, y : (7 x y x y x y ) : (2 x y ) 8( x 1)( x 1) 10 37 Xác định đa thức dư phép chia đa thức x 49 x13 x8... thi HSG Toán 8_ Quận 9_HCM) 17 Cho a, b, c, d số nguyên thỏa a + b = c + d Chứng minh a b c d ln tổng ba số phương (Đề thi HSG Toán 8_ Quận 9_HCM) 18 Chứng minh rằng: Nếu p q hai số nguyên tố