Toán Hệ thống một số phương trình Hệ phương trình35452

HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH A.PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA: ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) Chú ý :- Phương trình bậc lẻ ln ln có nghiệm thực - Định lý Viete : Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) có nghiệm x1, x2, x3 : x1 + x2 + x3 = -b/2a x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a x1x2x3 = -d/a I Những dạng thông thường Nếu x = x0 nghiệm, ta phân tích thành dạng : (x - x0)(ax2 + bx + c) = Đặc biệt :- Nếu a ± b + c ± d = → x = ±1 nghiệm - Nếu (d/a) = (c/b)3 → x = -c/b nghiệm Phương trình dạng A3 + B3 = (A + B)3 pt ↔ A3 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = II Những dạng tổng quát Phương trình 4x3 - 3x = q * Với │q│ ≤ - Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q - Gọi α góc thỏa cosα = q, : cos3t = cosα - Ta chọn t1 = α/3 ; t2,3 = (α ± 2π)/3 - Kết luận phương trình có nghiệm x1,2,3 = cos t1,2,3 Chú ý bước đặt x = cost cách đặt "ép" ẩn phụ, ta không cần chứng minh pt ln có nghiệm nhỏ 1, tìm đủ nghiệm ta kết luận * Với │q│ > : - Ta dễ dàng CM pt khơng có nghiệm thuộc [-1;1] phương trình có nghiệm x0 khơng thuộc [-1;1] x0 nghiệm - Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 - 3x = ½ (a3 + 1/a3) cách : q = ½ (a3 + 1/a3) ↔ a6 - 2qa3 + = (→ tìm a) - CM x0 = ½ (a + 1/a) nghiệm (duy nhất) phương trình Phương trình 4x3 + 3x = q - Giả sử phương trình có nghiệm x0, dùng đạo hàm ta CM x0 nghiệm - Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 + 3x = ½ (a3 - 1/a3) CM x0 = ½ (a - 1/a) nghiệm (duy nhất) phương trình (phương pháp tương tự trên) Phương trình x3 + px + q = (Cơng thức Cardan - Tartaglia) - Đặt x = u - v cho uv = p/3 - Từ pt, ta có : (u - v)3 + 3uv(u - v) = u3 - v3 = q - Hệ phương trình uv = p/3 u3 - v3 = q cho ta phương trình trùng phương theo u (hoặc v), từ suy u,v tìm nghiệm x = u + v Chú ý lúc giải phương trình trùng phương ta gặp nghiệm phức (u v) nên từ phương trình bậc ba cịn cho thêm nghiệm phức (đó dạng đầy đủ cơng thức trên) Ngồi ra, phương trình 4x3 ± 3x = q giải PP Phương trình bậc ba tổng quát X3 + AX2 + BX + C = Đặt X = x - A/3, pt trở thành x3 + px + q = (#) Cách : Giải trực công thức Cardan - Tartaglia Cách : - Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k3t3 + pkx + q = (chọn k cho DeThiMau.vn k3/4 = pk/3 p > k3/4 = -pk/3 p < 0) - Phương trình đưa dạng 4t3 ± 3t = Q B.PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN:ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (a ≠ 0) I Những dạng đặc biệt 1/ Pt trùng phương ax4 + bx2 + c = 0: Đặt t = x2 (t ≥ 0), phương trình trở dạng bậc hai 2/(x + a)4 + (x + b)4 = c: Đặt t = x + ½(a + b), pt có dạng : (t + m)4 + (t - m)4 = c, khai triển pt trùng phương 3/ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (m ≠ 0) với a + b = c + d pt ↔ [x2 + (a + b)x + ab].[x2 + (c + d)x + cd] = m Đặt t = x2 + (a + b)x = x2 + (c + d)x (nếu muốn kèm theo ĐK t) Phương trình trở dạng bậc hai 4/ ax4 + bx3 + cx2 ± kbx + k2a = (a ≠ 0) - Xét x = có phải nghiệm pt khơng - Với x ≠ : Chia vế pt cho x2 pt ↔ a (x2 + k2/x2) + b(x ± k/x) + c = Đặt t = x ± k/x (nếu muốn kèm theo ĐK t) 5/ a[f2(x) + 1/f2(x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = Đặt t = f(x) ± 1/f(x) (tổng quát so với dạng phương trình 4) 6/ a.f2(x) + b.f(x).g(x) + c.g2(x) = (a ≠ 0) - Với g(x) = 0, pt ↔ f(x) = - Với g(x) ≠ 0, chia vế phương trình cho g2(x) - Đặt t = f(x)/g(x), pt trở dạng bậc hai theo t 7/ x = f(f(x)): pt ↔ hệ đối xứng loại : t = f(x) x = f(t) * Chú ý : Nếu phương trình có chứa tham số, vài trường hợp ta đổi vai trị ẩn tham số (xét phương trình theo tham số a, tính a theo x suy x theo a) II Pt bậc tổng quát X4 + AX3 + BX2 + CX + D = (công thức Ferrari) - Đặt X = x - A/4, phương trình trở dạng khuyết bậc ba :x4 = ax2 + bx + c - Cộng vế pt cho 2mx2 + m2 (m thuộc R), ta : (x2 + m2)2 = (2m + a)x2 + bx + c + m2 - Xét vế phải pt, ta chọn m cho vế phải bình phương nhị thức cách : ΔVP = b2 - 4(2m + a)(c + m2) : pt bậc ba theo m → ln có nghiệm thực - Khi pt có dạng : (x2 + m2)2 = f2(x) C.PTRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - CĂN THỨC I Phương trình - bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối │A│ = │B│ ↔ A = B hay A = -B │A│ = B ↔ (A ≥ A = B) hay (A ≤ -A = B) ↔ (B ≥ A = B) hay (B ≥ A = -B) │A│ < │B│ ↔ A2 < B2 ↔ (A + B)(A - B) < │A│ < B ↔ (A ≥ A < B) hay (A ≤ -A = B) ↔ -B < A < B │A│ > B ↔ A < -B hay A > B * Chú ý :│A + B│ = │A│ + │B│ ↔ AB ≥ │A│ + │B│ = A + B ↔ A ≥ B ≥ II Phương trình - bất phương trình chứa DeThiMau.vn √A = √B ↔ A ≥ (có thể thay B ≥ 0) A = B √A = B ↔ B ≥ A = B2 3√A = 3√B ↔ A = B 3√A = B ↔ A = B3 √A < B ↔ A ≥ B > A < B2 √A ≤ B ↔ A ≥ B ≥ A ≤ B2 √A > B ↔ (A ≥ B < 0) hay (B ≥ A > B2) √A ≥ B ↔ (A ≥ B ≤ 0) hay (B > A ≥ B2) * Chú ý : A > B ↔ A2 > B2 với A,B ≥ A > B ↔ A3 > B3 với A,B thuộc R - Phương trình f(x) = g(x) , với x thuộc MXĐ pt, tồn M thuộc R cho f(x) ≤ M ≤ g(x) Khi pt ↔ f(x) = g(x) = C - Phương trình 3√A + 3√B = 3√C Lấy tam thừa vế pt thay (3√A + 3√B) 3√C ta pt hệ : A + B + 3√(ABC) = C (sau thử lại nghiệm) D.HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Hệ phương trình bậc hai ẩn Đặt - D ≠ : Hệ có nghiệm x = Dx/D y = Dy/D - D = (Dx ≠ hay Dy ≠ 0) : hệ vô nghiệm - D = Dx = Dy = : hệ có vơ số nghiệm (theo công thức nghiệm tổng quát) Nhân tiện trình bày hệ phương trình tuyến tính (n phương trình n ẩn) theo phương pháp Cramer (tham khảo) Đặt: Ta gọi Ai ma trận thành lập cách thay phần tử cột i ma trận A DeThiMau.vn cột ma trận B (với i = 1,2, ,n) - Nếu │A│ ≠ ↔ hệ có nghiệm (x1, x2, , xn) với xi = │Ai│/│A│ - Nếu │A│ = tồn │Ai│ ≠ → hệ vô nghiệm - Nếu │A│ = với i = 1,2, ,n thỏa │Ai│ = → hệ khơng có nghiệm (hệ vô số nghiệm vô nghiệm) II Những dạng hệ phương trình đặc biệt thường gặp Hệ phương trình đối xứng loại Thơng thường,ta đặt S=x+y&P=xy,được hpt theo S,P→ x,y.Chú ý với (S,P), để tồn (x,y) phải thỏa : S2 - 4P ≥ Hệ phương trình đối xứng loại 2: Thơng thường,trừ vế với vế pt, ta có pt dạng (x - y).h(x,y) = Hệ phương trình đẳng cấp bậc * Với y = , giải tìm nghiệm hệ * Với y ≠ 0,giả sử (x,y) 1nghiệm hệ ln tồn số thực k cho x = ky Thay x = ky ta hệ pt Chia pt cho ta pt chứa k Tìm k , suy y x E.Một số bảng giá trị cần nhớ DeThiMau.vn Nguyễn Tấn Thành sưu tầm Nguồn:Olympiavn.org DeThiMau.vn ... thử lại nghiệm) D.HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Hệ phương trình bậc hai ẩn Đặt - D ≠ : Hệ có nghiệm x = Dx/D y = Dy/D - D = (Dx ≠ hay Dy ≠ 0) : hệ vô nghiệm - D = Dx = Dy = : hệ có vơ số nghiệm (theo cơng... 7/ x = f(f(x)): pt ↔ hệ đối xứng loại : t = f(x) x = f(t) * Chú ý : Nếu phương trình có chứa tham số, vài trường hợp ta đổi vai trị ẩn tham số (xét phương trình theo tham số a, tính a theo x suy... dạng hệ phương trình đặc biệt thường gặp Hệ phương trình đối xứng loại Thơng thường,ta đặt S=x+y&P=xy,được hpt theo S,P→ x,y.Chú ý với (S,P), để tồn (x,y) phải thỏa : S2 - 4P ≥ Hệ phương trình