Χηυψν Đề: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI ΤΡΟΝΓ ΒℵΙ ΤΟℑΝ CỰC TRỊ Ι ΒℵΙ ΤΟℑΝ MỞ ĐẦU α, β 1 Β◊ι το〈ν Χηο , τm ΓΤΝΝ Π 2αβ α β α β Giải 1 4 Τα χ⌠: 4 2 2αβ α 2αβ β α β (α β)2 α α β MinΠ ξ ψ Dấu “=” xảy ρα α β β α, β 1 Β◊ι το〈ν Χηο , τm ΓΤΝΝ Π α β2 2αβ α β Giải 1 4 2 Lời giải Τα χ⌠: Π α β2 2αβ α 2αβ β2 (α β)2 1 α β2 2αβ (α β)2 Dấu “=” xảy ρα (vô nghiệm) Vậy κηνγ tồn α β α β MinΠ ? ? Lời giải Τα χ⌠: 1 4 Π α β2 6αβ 3αβ α 6αβ β2 3αβ (α β)2 4αβ 3αβ αβ Mặt κη〈χ αβ Vậy Π αβ 2 αβ 6 1 α β2 3αβ αβ Dấu “=” xảy ρα α β α β Lời βνη: Β◊ι το〈ν ϖ◊ β◊ι το〈ν gần tương tự νηαυ, χνγ 〈π dụng bất đẳng thức 1 1 Lời giải σαο σαι? Lời giải σαο lại τ〈χη ? ? Λ◊m σαο α β αβ 2αβ 6αβ 3αβ nhận biết điều đó…? Đó χηνη λ◊ kỹ thuật chọn điểm rơi τρονγ bất đẳng thức ς◊ θυα χηυψν đề ν◊ψ χηνγ τα hiểu συ kỹ thuật “chọn điểm rơi” τρονγ việc giải χ〈χ β◊ι το〈ν cực trị ΙΙ Λ⇑ DΟ CHỌN ĐỀ ΤℵΙ Trang DeThiMau.vn Χ⌠ thể ν⌠ι tằng β◊ι το〈ν bất đằng thức ν⌠ι χηυνγ ϖ◊ β◊ι το〈ν τm ΓΤΝΝ, ΓΤΛΝ ν⌠ι ρινγ λ◊ τρονγ nhửng β◊ι το〈ν θυαν τm đến nhiều χ〈χ kỳ τηι Học σινη giỏi, tuyển σινη Đại học,…và đặc biệt λ◊ với ξυ hước ρα đề χηυνγ Bộ ΓD – ĐT Τρονγ kỳ τηι tuyển σινη Đại học τη β◊ι το〈ν bất đẳng thức λ◊ β◊ι το〈ν κη⌠ τρονγ đề τηι mặc δ cần sử dụng số bất đẳng thức τρονγ Σ〈χη γι〈ο κηοα học σινη gặp nhiều κη⌠ khăn δο số σαι lầm δο τη⌠ι θυεν lời giải τρονγ β◊ι το〈ν mở đầu λ◊ ϖ dụ Để γιπ học σινη hiểu συ β◊ι το〈ν cực trị đặc biệt λ◊ χ〈χ trường hợp dấu đẳng thức xảy ρα, τι viết χηυψν đề “Chọn điểm rơi τρονγ giải το〈ν bất đẳng thức” ΙΙΙ NỘI DΥΝΓ Bổ τχ kiến thức bất đẳng thức α) Τνη chất bất đẳng thức Định nghĩa: α β α β α β αχ β χ α β αχβχ α β αχβδ χ δ 1 α β β) Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức Χαυχηψ ν α1 , α2 , , αν (ν 2) Χηο số thực κηνγ m τα λυν χ⌠ α1 α2 αν ν α1α2 αν Dấu “=” xảy ρα κηι ϖ◊ κηι α1 α2 αν ν Một ϖ◊ι hệ θυαν trọng: 1 1 (α1 α2 αν ) ν2 với αι 0, ι 1, ν αν α1 α2 αβ0 1 ν2 với αι 0, ι 1, ν α1 α2 αν α1 α2 αν Χηο 2ν số dương ( ν Ζ , ν ): α1 , α2 , , αν , β1 , β2 , , βν τα χ⌠: ν (α1 β1 )(α2 β2 ) (αν βν ) ν α1α2 αν ν β1β2 βν Bất đẳng thức ΒΧΣ Χηο 2ν số dương ( ν Ζ , ν ): α1 , α2 , , αν , β1 , β2 , , βν τα χ⌠: (α1β1 α2β2 ανβν )2 (α12 α22 αν2 )(β12 β22 βν2 ) α α α Dấu “=’ xảy ρα ν (quy ước neáu βι αι 0) β1 β2 βν Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) Χηο ηαι δψ số α1 , α2 , , αν vaø β1 , β2 , , βν với βι ι 1, ν τα λυν χ⌠: αν2 (α1 α2 αν )2 α12 α22 β1 β2 βν β1 β2 βν Trang DeThiMau.vn α α1 α2 ν β1 β2 βν Γι〈 trị lớn nhất, γι〈 trị nhỏ Χηο φ ( ξ1 , ξ2 , , ξν ) λ◊ η◊m ν biến thực τρν D ν : φ : D ν Dấu “=’ xảy ρα φ ( ξ1 , ξ2 , , ξ ν ) Μ ( ξ1 , ξ2 , , ξν ) D Max φ Μ 0 0 0 D ( ξ1 , ξ2 , , ξν ) D : φ ( ξ1 , ξ2 , , ξν ) Μ φ ( ξ1 , ξ2 , , ξ ν ) m ( ξ1 , ξ2 , , ξν ) D Min φ m 0 0 0 D ( ξ1 , ξ2 , , ξν ) D : φ ( ξ1 , ξ2 , , ξν ) Μ Phương πη〈π chọn điểm rơi Nhận ξτ: Χ〈χ bất đẳng thức τρονγ χ〈χ đề τηι đại học τηνγ thường λ◊ đối xứng với χ〈χ biến, ϖ◊ τα dự đoán dấu xảy τα κηι χ〈χ biến νηαυ ϖ◊ xảy ρα βιν α) Kỹ thuật chọn điểm rơi τρονγ bất đẳng thức Χαυχηψ Sử dụng hệ (1) ϖ◊ (2) α, β 1 4αβ Β◊ι Χηο , τm ΓΤΝΝ biểu thức Π 2 αβ α β α β Σαι lầm thường gặp: Σαι lầm 1: Τα χ⌠ : 1 4 Π 4αβ 4αβ 4αβ 2 2αβ 2αβ α β α β 2αβ 2αβ (α β) 2αβ 1 Mặt κη〈χ 4αβ 4αβ 2 Vậy Π 2 νν ΜινΠ 2(2 2) 2αβ 2αβ Σαι lầm 2: 1 1 1 Π 4αβ 42 6 4αβ 2 αβ 4αβ 4αβ (α β) 2αβ 4αβ 4αβ 4αβ α β α β2 2αβ 1 α β Τηαψ α β Dấu xảy ρα α 2β2 ϖ◊ο τα Π 16 2 α β ΜινΠ κηι α β Νγυψν νην σαι lầm: Trang DeThiMau.vn 1 λ◊ δο τη⌠ι θυεν để αβ 2αβ 2αβ α β 4αβ ςΝ Dấu “=” bất λ◊m xuất α β2 2αβ (α β)2 ΜινΠ 2 αβ α β Σαι lầm 1: Học σινη chưa χ⌠ κη〈ι niệm “điểm rơi”, việc τ〈χη đẳng thức κηνγ xảy ρα κηνγ kết luận ΜινΠ 2 Σαι lầm 2: Học σινη χ⌠ κη〈ι niệm điểm rơi, dự đoán dấu κηι α β νν τ〈χη λ◊ đúng, bước cuối học σινη λ◊m σαι ϖ dụ (1 ξ)2 ξ ξ , dấu xảy ρα κηι ξ Μιν ( ξ 1)2 ξ 1?? χ〈χ số hạng ϖ◊ ΜινΠ κηι α β Lời giải đúng: Dο Π λ◊ biểu thức đối xứng với α, β , τα dự đoán ΜινΠ đạt α β Π , τα χ⌠: 1 1 7 αβ αβ 4 4αβ 4αβ (α β)2 2αβ α β2 2αβ αβ 4 α β2 2αβ 1 αβ Dấu xảy ρα α 2β2 16 α β α, β 1 Β◊ι Χηο , τm ΓΤΝΝ biểu thức Σ 3 α β α β αβ α β Σαι lầm thường gặp: 1 2 2 1 Τα χ⌠: Σ 3 α β 3α β 3αβ2 3α 2β 3αβ2 α β3 3α 2β 3αβ2 α 2β αβ2 1 1 59 9 (α β) αβ α β αβ αβ 3 59 ΜινΣ α β3 3α 2β 59 Νγυψν νην σαι lầm: ΜινΣ (ϖν) α β α β Lời giải Trang DeThiMau.vn , ϖ◊ τα thấy α β3 3α 2β 3αβ2 (α β)3 ϖ τα 1 muốn xuất (α β)3 ; τα 〈π dụng bất đẳng thức 3 ϖ◊ vậy: α β 2α β 2αβ2 1 , τα κηνγ đánh γι〈 tiếp χηο νν τα phải 〈π 3 α β 2α β 2αβ (α β) αβ(α β) dụng bất đẳng thức χηο số: 1 1 25 25 Σ 3 20 2 2α β 2αβ 2α β 2αβ (α β) αβ(α β) (α β)3 α β (α β) Dấu xảy ρα κηι α β ξ, ψ , ζ 1 Β◊ι Χηο 1 Τm ΓΤΛΝ Π ξ ψ ζ ξ ψ ζ ξ ψ ζ ξ ψ ζ Σαι lầm thường gặp: 1 1 1 1 10 Σαι lầm 1: Τα χ⌠ Π ξ ψ ζ ξ ψ ζ ξ ψ ζ 18 ξ ψ ζ 10 ΜαξΠ Σαι lầm 2: 1 1 1 1 1 1 1 10 Π 3 ξψζ 3 ξ.2 ψζ 3 ξψ ζ 3 ξ ψ ζ 3 ξ ψ ζ 3 ξ ψ ζ Νγυψν νην σαι lầm: Cả ηαι lời giải τρν biết hướng “đích” σονγ chưa biết chọn điểm 2 ξ ψ ζ 2 ψ ξ ζ 10 10 rơi ΜαξΠ 2 ζ ξ ψ (ϖν) , tức λ◊ κηνγ tồn ( ξ, ψ, ζ ) D : Π 9 1 1 4 ξ ψ ζ Lời giải đúng: Từ ηαι lời giải τρν với dự đoán ΜαξΠ đạt ξ ψ ζ νν τ〈χη χ〈χ số 2ξ ξ ξ ρα χηο dấu xẩy ρα 1 1 1 1 Χ〈χη 1: Τα χ⌠ , tương tự ϖ◊ τα χ⌠: ξ ψ ζ ξ ξ ψ ζ 16 ξ ξ ψ ζ Τα dự đoán dấu xảy ρα κηι α β 1 1 , ΜαξΠ κηι ξ ψ ζ 16 ξ ψ ζ ξ ψ ζ ξ ψ ζ 1 Χ〈χη 2: Τα χ⌠ ξ ψ ζ ξ ξ ψ ζ 4 ξ.ξ ψ.ζ , mặt κη〈χ: ξ ψ ζ 4 ξ ψζ Π Trang DeThiMau.vn 1 1 11 1 1 1 2 1 , tương tự τα χ⌠: ξ ξ ψ ζ ξ ξ ψ ζ ξ ψ ζ 16 ξ ψ ζ 1 1 Π Dấu “=” xảy ρα κηι ξ ψ ζ , συψ ρα: 16 ξ ψ ζ ΜαξΠ κηι ξ ψ ζ Nhận ξτ: Τα χ⌠ thể mở rộng β◊ι 3: ξ, ψ , ζ 1 Χηο 1 Τm ΓΤΛΝ Π ξ ψ ζ ξ ψ ζ ξ ψ ζ ξ ψ ζ ξ ξ Với , , Ν : Χ〈χη λ◊m tương tự β◊ι 3, τα τ〈χη ξ ξ , Nếu , , Ρ , soá τη β◊ι το〈ν χ⌠ χ∫ν giải κηνγ? Χυ trả lời δ◊νη χηο độc giả τρονγ phần σαυ” Kỹ thuật chọn điểm rơi τρονγ ΒΧΣ” α , β, χ Β◊ι Χηο Chứng mινη rằng: α 2β β 2χ χ 2α 3 α β χ Σαι lầm thương gặp: (α 2β) α 2β Τα χ⌠: 1.1(α 2β) , tương tự τα χ⌠: 3 α 2β β 2χ χ 2α α 2β β 2χ χ 2α 5, 3 m◊ 3 đề sai ? ? α 2β β 2χ Νγυψν νην σαι lầm: Π ςΤ 5, vaäy ΜαξΠ =5 (ϖν) , Π χ α α β χ Lời giải đúng: Τα dự đoán dấu “=” τρονγ bất đẳng thức xảy ρα κηι α β χ Vậy τα 〈π dụng Χαυχηψ χηο βα số α 2β,3,3 τα χ⌠: 1 (α 2β) α 2β , tương tự τα χ⌠: α 2β 3 3.3(α 2β) 9 33 α 2β β 2χ χ 2α Π 3 , dấu xảy ρα κηι α β χ 3 3 9 ξ, ψ , ζ ξ2 ψ2 ζ2 Β◊ι Χηο , chứng mινη rằng: 1 ψ 1 ζ 1 ξ ξψζ Σαι lầm thường gặp: 1 ψ ψ 2 2 ( ξψζ ) ξ ψ ζ 33 Σαι lầm 1: Π , mặt κη〈χ 1 ζ ζ , συψ ρα: 1 ψ 1 ζ 1 ξ (1 ψ )(1 ζ )(1 ξ) 1 ξ ξ Trang DeThiMau.vn (1 ψ )(1 ζ )(1 ξ) ξψζ Vậy Π , dấu “=” xảy ρα κηι ξ ψ ζ ξ2 (1 ψ ) ξ ψ ψ Σαι lầm 2: τα χ⌠: (1 ζ ) ψ Π 2( ξ ψ ζ ) ( ξ ψ ζ ) ξ ψ ζ , ζ ζ2 (1 ξ) ζ 1 ξ mặt κη〈χ ξ ψ ζ 3 ξψζ Π Νγυψν νην σαι lầm: 1 Ở σαι lầm 1: Học σινη θυν τνη chất bất đẳng thức: α β α β ξ ψ ζ ψ2 ζ2 ξ Ở σαι lầm 2: Dấu “=” xảy ρα ψ, ζ, ξ (ϖν) ψ ζ ξ ξψζ Lời giải đúng: Τα dự đoán dấu “=” xảy ρα κηι ξ ψ ζ ς κηι 〈π dụng Χαυχηψ χηο 1 ψ ξ2 ξ2 1 ψ ϖ◊ : 1 ψ 1 ψ ξ2 1 ψ ξ ψ ψ ζ 3 3 ψ Π ( ξ ψ ζ) ( ξ ψ ζ) ( ξ ψ ζ) Τα χ⌠: 4 4 1 ζ ζ 1 ξ ζ ξ Dấu “=” xảy ρα κηι ξ ψ ζ Β◊ι tập tương tự(trích dẫn τρονγ χ〈χ đề τηι đại học) m ξ3 ψ m ψ3 ζ3 ξ, ψ , ζ m ζ ξ3 Β◊ι Χηο , chứng mινη 3 3, ξψ ψζ ζξ ξψζ với m Ν : Nếu m đề thi Đại học khối D năm 2005 Β◊ι Χηο ξ, ψ, ζ λ◊ số thỏa ξ ψ ζ , chứng mινη rằng: ξ ψ ζ (đề τηαm khảo 2005) αβ χ βχ α χα β Β◊ι Χηο α 2, β 3, χ , τm ΓΤΛΝ: Π αβχ Β◊ι Χηο α, β, χ λ◊ χ〈χ số dương thỏa mν α β χ Trang DeThiMau.vn ... πη〈π chọn điểm rơi Nhận ξτ: Χ〈χ bất đẳng thức τρονγ χ〈χ đề τηι đại học τηνγ thường λ◊ đối xứng với χ〈χ biến, ϖ◊ τα dự đoán dấu xảy τα κηι χ〈χ biến νηαυ ϖ◊ xảy ρα βιν α) Kỹ thuật chọn điểm rơi. .. , soá τη β◊ι το〈ν χ⌠ χ∫ν giải κηνγ? Χυ trả lời δ◊νη χηο độc giả τρονγ phần σαυ” Kỹ thuật chọn điểm rơi τρονγ ΒΧΣ” α , β, χ Β◊ι Χηο Chứng mινη rằng: α 2β β 2χ χ 2α 3 ... Σαι lầm 1: Học σινη chưa χ⌠ κη〈ι niệm ? ?điểm rơi? ??, việc τ〈χη đẳng thức κηνγ xảy ρα κηνγ kết luận ΜινΠ 2 Σαι lầm 2: Học σινη χ⌠ κη〈ι niệm điểm rơi, dự đoán dấu κηι α β νν τ〈χη λ◊