Đề thi giáo viên giỏi huyện năm học 2009 2010 môn: Toán34508

ĐỀ THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN ( Thời gian làm 120 phút ) Câu a)Cho a a2 phân số tối giản Chứng minh phân số tối giản b ab b) Cho a;b;c số nguyên thỏa mãn: a2(b-c) + b2 (c-a) + c2(a-b) = a+b+c Chứng minh a+b+c  27 ax+by=5 bx+ay=5 Câu a) Cho hệ phương trình  ( với a,b ngun dương khác nhau) Tìm a,b để hệ có nghiệm (x;y) với x;y số nguyên dương b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x3  Câu 3.Cho số dương a;b;c thỏa mãn a + b + c  Chứng minh rằng: 2009   670 2 a b c ab  bc  ca Câu Cho hình thang vuông ABCD (  A =  D = 900) DC = AB Gọi H hình chiếu D đường chéo AC M trung điểm đoạn HC Chứng minh BM  MD ฀ , gọi Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Điểm M thuộc cung nhỏ BC I;K;H theo thứ tự hình chiếu vng góc M cạnh AB; AC; BC a) Chứng minh AB AC BC   MI MK MH ฀ để MA + MB + MC = Max (đạt b) Giả sử  ABC , xác định vị trí M cung BC giá trị lớn nhất) Câu 6.Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng phân thức sau số nguyên : 2x3  x  2x  2x  HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010 MƠN: TỐN Câu ( điểm) a) ( đ) Vì a phân số tối giản nên (a;b) = b Giả sử a2 a + b chia hết cho số ngun tố d Khi a2  d d số nguyên tố nên a  d Từ a  d a+b  d => b  d a b chia hết cho số nguyên tố d, trái với giẻ thiết (a;b)=1 (a2; a+b)=1 hay a2 phân số tối giản ab b) (2đ) a2(b-c)+ b2(c-a) + c2(a-b) = a+b+c. (a-b)(b-c)(a-c)= a+b+c gọi r1, r2, r3 số dư chia a; b; c cho DeThiMau.vn (1) Trường hợp 1: Nếu số dư khác (0;1;2) r1+ r2+ r3 = => a+b+c  Nhưng hiệu a-b;b-c;a-c không chia hết đẳng thức không xẩy điều trái với giả thiết Trường hợp 2: Nếu có số dư a+b+c khơng chia hết cho tích (a-b)(bc)(c-a)  điều vơ lý Trường hợp 3: Cả số dư Khi (a-b); (b-c); (a-c) chia hết cho => (a-b)(b-c)(a-c)  3.3.3 Vậy từ (1) => a+b+c  27 Câu 2: (4điểm) ax+by=5 => ax+by=bx+ay (a-b)(x-y) = bx+ay=5 a)(2đ)  a  b => x-y =0 => x=y Từ x=y ta có ax+by=5 x(a+b)=5 để phương trình có nghiệm ngun dương a+b>0 ước Do a,b  N * a  b nên ta có : a=1 b = => x = y = ; a= b = => x = y = a= b = => x = y = ; a = b = => x = y = b) ( đ) Đặt a = x  ; b = x  x  đ/k x  ; a  ; b >0 a2 = x + ; b2 = x2-x +1 => x2+2 = a2+b2 x3+1 = a2b2 Phương trình trở thành 2(a2+b2) = ab (2a – b) (a – 2b) = a = 2b b = 2a Với a = 2b ta có x  = x  x  4x2 -5x+3 = ( vơ nghiệm) Vowia b = 2a ta có x1,2 = x  x  = x  x2-5x – =  37 nghiệm phương trình Câu ( điểm) Ta có  )(a  b  c  2ab  2bc  2ca  2 a b c ab  bc  ca (1)     a  b  c ab  bc  ca (a  b  c) Mặt khác từ ab+bc+ca  a2+b2+c2 => ab + bc + ca (a  b  c) 2007 2007  3   669 (2) ab  bc  ca 2009 Từ (1) (2) ta có 2   670 dấu = xảy a b c ab  bc  ca ( a = b = c = Câu ( 2,5 điểm) Gọi N trung điểm DH MN đường trung bình  DHC => DeThiMau.vn A B H N D M C DC MN//CD Mà AB = CD ; AB//CD MN =  MN =AB MN//AB => tứ giác ABMN hình bình hành => AN//BM  Từ MN//AB mà AB  AD => MN  AD => N trực tâm  AMD => AN  MD AN//BM mà AN  DM => BM  DM Câu 5.(4 điểm) a) (2đ) giả sử AC  AB ta có AB AC AI  BI AK  KC AI AK      MI MK MI MK MI MK (1) Do góc C1 = góc A1 nên cotgA1= cotgC1 => AI CH AK BH (2) góc A2 = góc B1 nên cotg A2 = cotgB1 => (3)   MI MH MK MH AB AC AB AC BC Từ (1), (2) ,(3) => =    MI MK MI MK MH b) (2đ)gọi D giao điểm MA với BC => tam giác MBD đòng dạnh tam gics MAC (gg) MB BD MC CD MB MC BD  CD    1 tương tự MA AC MA AB MA MA AB  MA+MB+MC = MA  4R Max( MA+MB+MC)= R AM đường kính => dó M trung điểm cung BC A K B D H C C I M Câu 6.( 2,5 điểm) biến đổi x  x  x  x (2 x  1)  (2 x  1)  3   x2 1 2x  2x  2x  2x3  x  2x   Z   2x +1  2x+1  -3 ; -1 ; ; Từ ta có 2x  2x - -3 -1 x -2 -1 DeThiMau.vn ...  669 (2) ab  bc  ca 2009 Từ (1) (2) ta có 2   670 dấu = xảy a b c ab  bc  ca ( a = b = c = Câu ( 2,5 điểm) Gọi N trung điểm DH MN đường trung bình  DHC => DeThiMau.vn A B H N D M C... r2+ r3 = => a+b+c  Nhưng hiệu a-b;b-c;a-c không chia hết đẳng thức không xẩy điều trái với giả thi? ??t Trường hợp 2: Nếu có số dư a+b+c khơng chia hết cho tích (a-b)(bc)(c-a)  điều vơ lý Trường... 2x  2x  2x3  x  2x   Z   2x +1  2x+1  -3 ; -1 ; ; Từ ta có 2x  2x - -3 -1 x -2 -1 DeThiMau.vn