Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn: Toán Lớp 934303

PHÒNG GD-ĐT VĨNH LINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU MƠN: TỐN - LỚP Thời gian 120 phút (khơng kể giao đề) Bài (2,0 đ): Tìm hai số nguyên dương x y cho tổng số với chia hết cho số Bài (1,75 điểm): Giải phương trình: x   x 1  x   x 1  Bài (1,75 điểm): Cho a, b, c số lớn Chứng minh rằng: bc + ac + ab  abc a+b+c Bài (1,50 điểm): Cho x > 0, y > Chứng minh rằng: 1   x y x+y Bài (3,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vng góc với AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD Tính góc BMK ? ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (2,0 đ): chia hết cho số Tìm hai số nguyên dương x y cho tổng số với x + 1 y Theo giả thiết ta có:  y + 1 x Do ta có: x + 1 y + 1  xy (0,125 đ) (0,125 đ)   xy + x + y + 1  xy  x + y + 1  xy  x + y + = nxy (n  Z ) (*) 1 (1)     n x y xy 1 1 Giả sử x  y  ®ã ta cã  ;  x y xy y 1 1 1 Do đó:       x y xy y y y y 1 Hay:   (2)  x y xy y Từ (1) (2) ta suy ra: n   y  y Vậy y = 1; 2; + Với y = 1, thay vào (*) ta có x + = nx  x(n - 1) = Do đó: x = 1; + Với y = 2, thay vào (*) ta có x + = 2nx  x(2n - 1) = Ta có x  n; y = nªn x  n  x = 1 + Với y = => x > =>    Do ®ã n < (lo¹i) x y xy Vậy số nguyên dương x, y là:(1;1); (1;2); (2;1); (3;2); (2;3) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) (0,125 đ) Bài (1,75 điểm): Giải phương trình: Ta có: * x   x 1  x   x 1  x   x   (x - 1) - x -   *  x -  2  x   x 1   x - 1  x - 12 x - 19  x -  3  Phương trình cho trở thành: x - 3 x - 12    x - 3 1 x-1 ThuVienDeThi.com (0,125 đ) (0,125 đ) (0125 đ) (0,125 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,50 đ)   x  10 Vậy nghiệm PT cho là:   x  10 (0,25 đ) Bài (1,75 điểm): Cho a, b, c số lớn Chứng minh rằng: bc + ac + ab  abc a+b+c Để giải toán trên, ta giải toán sau: Cho a, b, c số lớn bc + ac + ab Chứng minh rằng:  a + b + c    abc bc + ac + ab  a + b + c   bc + ac + ab Tacó: (0,25 đ)  a + b + c    abc abc abc + b c + bc2  a c +abc + ac2  a b + ab  abc (0,125 đ)  9 abc c a  b  b c2  a  a b  c2  3abc  9 (0,25 đ) abc a  b  c  a  b  c2      6 (0,125 đ) ab ac bc  a  b    c  a    b  c2      2    2    2 (0,125 đ) ab ac bc       a  b  2ab a  c2  2ac b  c2  2bc =   (0,125 đ) ab ac bc 2 a + b  a + c  b + c     = (0,125 đ) ab ac bc 2 a + b a + b a + b    0 ;  0; 0 Vì (0,125 đ) ab ab ab 2 a + b  a + c  b + c   Nên: = (0,125 đ)   0 ab ac bc bc + ac + ab Suy (0,125 đ)  a + b + c    abc bc + ac + ab Hay (0,25 đ)  abc a+b+c Bài (1,50 điểm): Cho x > 0, y > Chứng minh rằng: 1   x y x+y x + y y + x + y x - 4xy 1 Ta có:    x y x+y xy(x + y) xy + y + x + xy - 4xy  xy(x + y) x - 2xy + y  xy(x + y) ThuVienDeThi.com (0,25 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) x - y  (0,25 đ) 0 xy(x + y) 1 1 Do đó:   (0,25 đ)  hay   x y x+y x y x+y Bài (3,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vng góc với AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD Tính góc BMK ?  B E Vẽ hình ghi GT,KL (0,5 đ) C N Gọi N trung điểm BH; Tia MN cắt BC K E, ta có MN đường trung bình  ABH => H 1 MN // AB MN = AB = CD (v× AB = CD) (0,5 đ) M 2 D A MN // CK  Do (0,5 đ) MNCK h bình hành MN = CK  => MK // CN (1) (0,25 đ) Tam giác BMC cú BH MC BH đường cao (0,25 đ) Mặt khác ME // AB mà AB  BC nªn ME  BC hay ME đường cao tam giác BMC (0,5 đ) Như N trực tâm tam giác MBC Do CN  BM (2) (0,25 đ) ฀  90 Từ (1) (2) suy MK  BM t¹i M hay BMK (0,25 đ) ThuVienDeThi.com ... Bài (1,75 điểm): Cho a, b, c số lớn Chứng minh rằng: bc + ac + ab  abc a+b+c Để giải toán trên, ta giải toán sau: Cho a, b, c số lớn bc + ac + ab Chứng minh rằng:  a + b + c    abc bc... 12 x - 19  x -  3  Phương trình cho trở thành: x - 3 x - 12    x - 3 1 x-1 ThuVienDeThi.com (0,125 đ) (0,125 đ) (0125 đ) (0,125 đ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,50 đ)   x  10 Vậy nghiệm... Bài (2,0 đ): chia hết cho số Tìm hai số nguyên dương x y cho tổng số với x + 1 y Theo giả thi? ??t ta có:  y + 1 x Do ta có: x + 1 y + 1  xy (0,125 đ) (0,125 đ)   xy + x + y