SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THANH HĨA GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2016 – 2017 Thời gian làm bài: 150 phút ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN Chú ý: 1) Kết tính xác đến chữ số thập phân (trừ kết 1) 2) Thí sinh ghi kết vào trống bên phải, riêng từ – 10 có thêm phần tóm tắt lời giải; 3) Nếu thí sinh làm trịn sai chữ số cuối, lấy kết gần không đủ chữ số thập phân, kết " = ’’ mà ghi " ’’ ngược lại trừ 0,25 điểm 4) Đáp án gồm trang Đề Kết Bài 1: (2 điểm) Tìm nghiệm gần (độ, phút, giây) phương trình: 2sin x 5sin x.cos x 8cos x Bài 2: (2 điểm) Tìm tất nghiệm thực gần phương trình: 2x x2 x Bài 3: (2 điểm) Tính gần khoảng cách d hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số: Điểm x1 630 26 '6 '' k 1800 1,0 x2 36052 '12 '' k 1800 1,0 Với k ¢ x1 2,19376 1,0 x2 1,36915 1,0 d 4,86485 2,0 y x3 x x Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x 1) ( y 2) Tìm giá trị gần hai số a, b để đường thẳng y ax b qua điểm M (1;7) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân ThuVienDeThi.com 87 87 a a 13 13 ; b 87 b 87 13 13 a 2,58695 hay ; b 4, 41305 a 2,58695 b 9,58695 1,0 1,0 1 Bài 5: (2 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1; u2 2; un un 1 un n 1 Viết quy trình bấm phím để tính un Sn ( Với Sn tổng n số hạng dãy số (un ) ) Sử dụng quy trình tính u10 , S10 Lời giải tóm tắt Kết Điểm Quy trình bấm phím sau: SHIFT STO A SHIFT STO B SHIFT STO C 1+2 SHIFT STO D ALPHA C ALPHA =ALPHA C + ALPHA : ALPHA A ALPHA = Quy trình bấm phím 1,0 u10 0, 64131 0,5 1 ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA A ALPHA : ALPHA C ALPHA =ALPHA C + ALPHA : ALPHA B ALPHA = 1 ALPHA A + ALPHA B ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA B 0,5 Bấm phím CALC “ = ” đến gặp C=10 có u10 S10 S10 10, 67523 Bài 6: (2 điểm) Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB=a, AD=b Hai mặt (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Hãy tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết độ dài AA’=10 a 2016; b 2017 Lời giải tóm tắt Kết Điểm Gọi H hình chiếu A’ lên mặt phẳng (ABCD), K, M hình chiếu H lên AB AD Theo định lý ba đường vng góc, ta có AD A ' M , AB A ' K ·A ' MH 600 , ·A ' KH 450 Đặt A ' H x Khi 1,0 x 2x x2 2 A'M , AM AA ' A ' M 100 HK sin 600 3 Mà HK x cot 450 x Suy x 100 4x2 x 10 Vậy VABCD A ' B 'C ' D ' AD AB A ' H 2016 2017.10 hay VABCD A ' B 'C ' D ' 1044,90566 (đvtt) VABCD A ' B 'C ' D ' 1044,90566 (đvtt) 1,0 Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân ThuVienDeThi.com xy ( x y )( xy 2) x y y Bài 7: (2 điểm) Giải hệ phương trình: ( x 1)[y xy x(1 x)]=4 Lời giải tóm tắt ( x, y ¡ ) Kết Điểm xy ( x y )( xy 2) x y y (1) Giải hệ phương trình: ( x 1)[y xy x(1 x)]=4 x 0; y Điều kiện: (*) xy ( x y )( xy 2) *) Ta có x y không nghiệm hệ *) Xét x y đó: (2) xy ( x y )( xy 2) y 0; x y Phương trình (1) : xy ( x y )( xy 2) y x y 0,5 y xy )0 ( x y )( x y xy ( x y )( xy 2) y y x y xy (3) x y ( )( 2) xy x y xy y +) Với y x vào phương trình (2) ta có: x x x 3x x 17 x Đối chiếu điều kiện 17 x Suy hệ có hai nghiệm x y 1; x y 2,56155 +) Ta chứng minh vế trái (3) dương: Từ (2) ta chứng minh y xy Với x 0, y 4 y xy x2 x x 1 x 1 ( x 1) ( x x 1) x 1 ( x 1) ( x 1) x 1 Với x 0, y y xy x(1 x) Vậy hệ có hai nghiệm: x y 1; x y 2,56155 Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân ThuVienDeThi.com 0,5 x y 1 x y 2,56155 0,5 0,5 Bài 8: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng qua AK cắt cạnh bên SB, SD hai điểm M, N (M N khác S) Khối chóp S.ABCD tích V 10 dm3 a) Tính thể tích khối chóp S.AMKN , biết SM SB b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.AMKN Lời giải tóm tắt Kết SM SN x; y x, y (0;1] SB SD V VS CBD VS ABC VS ADC Đặt: V1 VS AMKN ; Ta có: VS ABD Điểm (1) ; V1 theo hai cách: V V V1 VS AMN S MNK xy (2) V 2VS ABD 2VS BDC V V1 VS AMK 1 S ANK x y (3) V 2VS ABC 2VS ADC 4 Từ (2) (3) suy ra: 3xy x y (4) 2 a) Theo đề x thay vào (4) ta có y 3 10 1, 05409 (dm3) suy V1 V 3 x b) Từ (4) y kết hợp với (1) ta có 3x 0 x 1 x ;1 x 2 0 x Tính tỉ số 3x x V f ( x).V Ta thay y vào (2) suy V1 4(3 x 1) 3x 3x [ ;1] 4(3 x 1) x(3 x 2) 0 x Ta có f '( x) 4(3 x 1) 3 f ( ) f (1) ; f ( ) max f ( x) ; f ( x) 1 3 x ;1 x ;1 Xét hàm số f ( x) 2 2 Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân ThuVienDeThi.com 0,5 V1 V 10 1, 05409 (dm3 ) 0,5 Giá trị lớn nhất: VS AMKN 3V 10 1,18585 (dm3 ) 0,5 Giá trị nhỏ nhất: VS AMKN V 10 1, 05409 (dm3 ) 0,5 Bài 9: (2 điểm) a) Một hộp chứa 12 viên bi khác gồm viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi, tính xác suất để viên bi lấy có đủ ba màu b) Một số tự nhiên gọi số thú vị số có chữ số đơi khác thành lập từ tập 1; 2;3; 4;5;6;7;8 số chia hết 1111 Hỏi có số thú vị Lời giải tóm tắt Kết a) Số phần tử không gian mẫu n() C126 Gọi A biến số: “6 viên bi lấy đủ ba màu” Nên n(A) C126 (C66 C106 C66 C86 C66 C66 ) C126 C106 C86 Vậy P(A) n(A) C126 C106 C86 49 0, 74242 n () C126 66 b) Giả sử m a1a2 a3a4b1b2b3b4 số thú vị Ta có tổng chữ số m 1+2+…+8=36 chia hết m chia hết cho Do 1111 có ước chung lớn nên m chia hết cho 9999 Đặt: x a1a2 a3a4 ; y b1b2b3b4 , Ta có: m x.104 y 9999 x ( x y ) chia hết cho 9999 từ suy ( x y ) chia hết cho 9999 Mà: x y 2.9999 x y 9999 Do đó: a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có cặp (1;8), (2;7), (3;6), (4;5) Nên cách chọn a1 ; cách chọn a2 ; cách chọn a3 ; cách chọn a4 (Chọn có ln bi ) Vậy số số thú vị là: 8.6.4.2=384 (số) Điểm 0,5 P(A) 49 0, 74242 66 0,5 0,5 Đáp số=384 0,5 Bài 10: (2 điểm) Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P 3.(a b3 c3 )(a b )(b c )(c a ) Lời giải tóm tắt 10 Kết Điểm Do tính đối xứng a, b, c ta giả sử a b c Phân tích: P 3.M N Với : M (a b)(b c)(c a) ; N (a b3 c3 )(a b)(b c)(c a ) *) Tìm giá trị lớn M : M (a b) (b c) (c a) (b c) b M a 2b ( a b) 2 (c a ) a Vì a b c Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 2ab 2ab a 2ab b M (2ab)(2ab)(a 2ab b ) ( ) ( a b) ( a b c ) 3 27 M 27 27 2 2 Đẳng thức xảy : 0,75 Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân ThuVienDeThi.com a b c 2 3 3 a 2ab b 2ab (a, b, c) ( ; ;0) 2 c a b c Giá trị lớn M 3 *) Tìm giá trị lớn N : Áp dụng Cơsi ta có : N (a b3 c3 ).[3(a b)(b c)(c a )] a b3 c3 3(a b)(b c)(c a ) (a b c)6 729 ] 4 243 N a b c Dấu đẳng thức xảy : 3 a b c 3(a b)(b c)(c a ) 3 3 hệ thỏa mãn (a, b, c) ( ; ;0) 2 243 Giá trị lớn N 3 243 2187 Vậy giá trị lớn P 273,375 3 3 Dấu ‘‘=’’ (a, b, c) hoán vị ( ; ;0) 2 [ 0,5 Giá trị lớn P 273,375 Hết - Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân ThuVienDeThi.com 0,75 ... điểm M, N (M N khác S) Khối chóp S.ABCD tích V 10 dm3 a) Tính thể tích khối chóp S.AMKN , biết SM SB b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.AMKN Lời giải tóm tắt Kết SM SN ... chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có cặp (1;8), (2;7), (3;6), (4;5) Nên cách chọn a1 ; cách chọn a2 ; cách chọn a3 ; cách chọn a4 (Chọn có ln bi ) Vậy số số thú vị là: 8.6.4.2=384 (số) Điểm 0,5 P(A)... có số thú vị Lời giải tóm tắt Kết a) Số phần tử không gian mẫu n() C126 Gọi A biến số: “6 viên bi lấy đủ ba màu” Nên n(A) C126 (C66 C106 C66 C86 C66 C66 ) C126 C106 C86