Đang tải... (xem toàn văn)
Câu I: (4,0 điểm). 1. Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng 2. Giải phương trình sau: . Câu II: (4,0 điểm). 1. Giải phương trình sau: . 2. Giải hệ phương trình sau: Câu III: (4,0 điểm). 1. Cho ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: 2. Cho dãy số a. Chứng minh dãy số là dãy số giảm. b. Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số . Câu IV: (4,0 điểm). 1. Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp . Tính xác suất để trong baCâu V: (4,0 điểm). 1. Cho tứ diện , gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của . Một mặt phẳng đi qua cắt các cạnh lần lượt tại . Tính . số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp. Câu V: (4,0 điểm). 1. Cho tứ diện , gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của . Một mặt phẳng đi qua cắt các cạnh lần lượt tại . Tính .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019- 2020 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Mơn thi:Tốn– LỚP 11 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang Câu I: (4,0 điểm) y = f ( x) = mx − 2(m − 1) x + m − m Tìm để hàm số đồng biến khoảng (-2; + ∞) Giải phương trình sau: 19 + x + − x − x + = − x + 12 + x Câu II: (4,0 điểm) ( sin x − cos x )( sin x − 3) − sin x − cos x + = sin x − Giải phương trình sau: x + x y − y + = x + x x( x − 3) + − y = x − Giải hệ phương trình sau: Câu III: (4,0 điểm) a, b, c a+b+c =3 Cho ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: a b c + + ≤ a3 + b + c b3 + c + a c3 + a + b Cho dãy số u1 = ( u n ) : 3n ( 2u n+1 − u n ) = a Chứng minh dãy số ,∀n ∈ N * ( un ) dãy số giảm b Lập công thức số hạng tổng quát dãy số Câu IV: (4,0 điểm) ( un ) Chọn ngẫu nhiên ba số đôi khác từ tập hợp để ba số chọn khơng có hai số tự nhiên liên tiếp {1; 2; 3; 20} Tính xác suất Oxy, ABCD D (5;1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình vng có Gọi BC N AC AC = AN M trung điểm thuộc cho Biết đường thẳng x − y − = MN C M có phương trình có tung độ dương Tìm tọa độ đỉnh Câu V: (4,0 điểm) ABCD G BCD G ' AG Cho tứ diện , gọi trọng tâm tam giác , trung điểm (α ) AB, AC, AD B', C', D' G' Một mặt phẳng qua cắt cạnh Tính AB AC AD + + AB' AC ' AD' ( P) ABCD A' B ' C ' D' AB M A B Cho hình hộp Trên cạnh lấy điểm khác Gọi ( ACD') M M mặt phẳng qua song song với mặt phẳng Xác định vị trí để thiết ( P) diện hình hộp cắt mặt phẳng có diện tích lớn ……….HẾT…… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019- 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: TỐN– LỚP 11 THPT (Hướng dẫn chấm có 06 trang) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Câu NỘI DUNG I y = f ( x) = mx − 2( m − 1) x + m − m Tìm để hàm số đồng biến khoảng 4,0 (-2; + ∞ ) điể m Với m=0 ta có y=2x-2 nên hàm số đồng biến R Đ m −1 ; +∞ ÷ m Với m>0 hàm số đồng biến khoảng m −1 ; +∞ ÷ m Để hàm số đồng biến khoảng m −1 ≤ −2 ⇔ m ≤ m 0 1 ∈ 0; 3 Vậy m Giải phương trình sau: (1) 19 + x + − x − x + = − x + 12 + x x ∈ [ −3; 2] Điều kiện xác định bất phương trình 19 + x + ( − x ) ( + x ) = ⇔ Phương trình (1) − x + + x ( t > ) ⇒ t = 14 + x + ( (*) 2− x + 3+ x ) ( − x) ( + x) Đặt t= Phương trình trở thành t = t − 6t + = ⇔ t = − x + + x = ⇔ 3x + 13 + ( − x) ( + x) Với t=1 ta có II 4,0 điể m nghiệm ) =0 (vô −3 ≤ x ≤ 11 − x ≥ − x − x + = 11 − x ⇔ ⇔ x =1 25 x − 50 x + 25 = 0 0, Với t=5 ta có Vậy phương trình có nghiệm x=1 ( sin x − cos x )( sin x − 3) − sin x − cos x + = sin x − Giải phương trình sau: Điều kiện π x ≠ + k 2π s inx ≠ ⇔ x ≠ π + l 2π (k,l ∈ 2, Z) 0, ( s inx − cos x ) ( sin x − 3) − 2sin x cos x + 2sin x = ⇔ ( s inx- cosx ) ( sin x − ) + 2sin x ( s inx − cos x ) = ⇔ ( s inx − cos x ) ( sin x + 2sin x − ) = sinx − cosx = ( 1) ⇔ sin x + 2sin x − = ( ) π + kπ sin x = ( 2) ⇔ ( loai ) sinx = 0, ( 1) ⇔ x = Phương trình tương đương 0, 0, x= Kết hợp với điều kiện ta nghiệm phương trình x + x y − y + = x + x ( 1) x ( x − ) + − y = x − ( ) 5π + k 2π ( k ∈ Ζ ) 2 Giải hệ phương trình sau: Điều kiện x ( x − 3) ≥ y≤5 x2 − ≥ 0 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình Pt(1) ⇔ ( x + y − ) ( x − 1) = ⇔ y = − x ( ⇔ ) ( x ( x − 3) − + x − 3x − x ( x − 3) + + ) x + − = x2 − x −3 = ( x − 3) ( x + 3) x +1 + x=3 2x + ⇔ + = x+3 x ( x − 3) + x + + 2x + 2x + Do + < + < x + ∀x ≥ −1 x +1 + x ( x − 3) + III 4,0 Thay vào pt(2) ta Điể Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;1) m a, b, c Cho ba số thực dương a a+b+c =3 thỏa mãn Chứng minh rằng: b c + + ≤ a3 + b + c b3 + c + a c3 + a + b Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có 0, 1 + + c ÷( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) = a +1+ c a + a + ac a ⇔ ≤ ⇔ ≤ a +b +c a +b +c 0, b + b + ba c + c + cb ≤ ; ≤ 2 b +c +a c +a +b Tương tự Khi + ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) + + + + ≤ ≤ = 9 a + b2 + c b3 + c + a c3 + a + b a b Cho dãy số c u1 = ( u n ) : 3n ( 2u n+1 − u n ) = dãy số giảm b Lập công thức số hạng tổng quát dãy số un +1 = 0, ,∀n ∈ N * ( un ) a Chứng minh dãy số 0, ( un ) un + 3n 1, a)Ta có Chứng minh un +1 < un phương pháp qui nạp toán học ( 2un+1 − un ) = ⇔ 3n +1 ( 2un +1 − un ) = n IV 4,0 điể m b)Ta có 3 ⇔ 3n +1 un +1 = 3n un + ⇔ 3n+1 un+1 + = ( 3n un + ) 2 = un + n Đặt ta +1 = ⇒ (vn ) cấp số nhân với v1=9 , công bội 0, n −1 3 q = ⇒ = ÷ 2 1 ⇒ un = n − n ÷ 2 0, Chọn ngẫu nhiên ba số đôi khác từ tập hợp {1; 2; 3; 20} Tính xác suất 2, để ba số chọn khơng có hai số tự nhiên liên tiếp 0, C20 Số cách chọn ba số đôi khác từ tập A =1140 cách Số cách chọn ba số liên tiếp 18 cách Số cách chọn ba số có hai số liên tiếp 17.2+17.16=306 cách Vậy xác suất cần tìm 1140 − 18 − 306 68 P= = 1140 95 0, 0, Oxy, ABCD D(5;1) M Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình vng có Gọi BC N AC AC = AN MN trung điểm thuộc cho Biết đường thẳng 3x − y − = C M có phương trình có tung độ dương Tìm tọa độ đỉnh 0 Gọi I tâm hình vng , ta có ⇒ NDM = IDC = ICM = 45 tanNDI=tanMDC=1/2 Do tư giác NDCM nội tiếp ⇒ DNM = 900 ⇒ ∆DNM vuông cân N Phương trình DN x+3y-8=0 N giao điểm DN MN Gọi K= AC ∩ DM ⇒ 0, ⇒ N ( 2; ) K trọng tâm uuur uuuur 11 11 ∆BCD ⇒ KD = −2 KM ⇒ K ; ÷ 3 3 Lại có KN uuur uuur = ⇒ KN = − KC ⇒ C ( 5;5 ) KC 4 B A N M I K C D BCD G ' trọng tâm tam giác , trung điểm (α ) AB, AC, AD B', C', D' AG G' Một mặt phẳng qua cắt cạnh AB AC AD + + AB' AC ' AD' Tính V 4,0 điể m Cho tứ diện ABCD , gọi G Ta chứng minh kết : Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Một đường thẳng d cắt AB,AM,AC B1,M1, C1.Khi AB AC AM + = AB1 AC1 AM Gọi M,N trung điểm CD BG M /, N/ Gọi giao điểm (α) với AM,AN Áp dụng kết cho tam giác ACD ta Áp dụng cho tam giác AMN ta ⇒ AC AD AM + = ( 1) / AC AD / AM / AN AM AG + = / AN AM / AG / AN AM AG + = ( 2) AN / AM / AG / Áp dụng cho tam giác ABG ta Thay (1),(3) vào (2) ta AB AG AN + = ( 3) AB / AG / AN / AB AC AD AG + + = =6 AB / AC / AD / AG / A B’ A d M1 B1 C1 B N ABCD A' B ' C ' D' AB Trên cạnh D M C C M F Cho hình hộp M’ C’ G E B D’ N’ G’ M A B ( P) lấy điểm khác Gọi ( ) ACD ' M M mặt phẳng qua song song với mặt phẳng Xác định vị trí để ( P) thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng có diện tích lớn Dựng thiết diện MNPQRS Các tam giác JKI,ACD/,RQI,SMJ,NKP đồng dạng nên 0 I Q D’’ C’’ R B’’ A’’ S A D C N M K B J JM MA NC NK PC PK QD / QI = = = = = = = MN MB NB MN PC / PQ QC / QP ⇒ MJ = NK ; PK = QI ⇒ ∆RQI = ∆JMS = ∆NKP Và có diện tích S1 Gọi diện tích tam giác JKI ACD/ S2 S 2 S1 JM AM AM 2 = ÷ = ÷ = ÷ = k ⇒ S1 = k S S AC DC AB Đặt S JK JM + MK 2 = ÷ = ÷ = ( k + 1) ⇒ S2 = ( k + 1) S S AC AC AM = k ( < k < 1) AB ta có Std = S2 − 3S1 = ( k + 1) S − 3k S ≤ 3S Diện tích thiết diện k= Dấu “=” xảy Vậy diện tích thiết diện lớn M trung điểm AB ... vị trí để thi? ??t ( P) diện hình hộp cắt mặt phẳng có diện tích lớn ……….HẾT…… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019- 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: TỐN–... TỈNH NĂM HỌC 2019- 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: TỐN– LỚP 11 THPT (Hướng dẫn chấm có 06 trang) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Câu NỘI DUNG I y = f ( x) = mx − 2( m − 1) x + m − m Tìm để hàm số đồng biến khoảng 4,0... ) a Chứng minh dãy số 0, ( un ) un + 3n 1, a)Ta có Chứng minh un +1 < un phương pháp qui nạp toán học ( 2un+1 − un ) = ⇔ 3n +1 ( 2un +1 − un ) = n IV 4,0 điể m b)Ta có 3 ⇔ 3n +1 un +1 = 3n un