TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TỔ: TOÁN - TIN NĂM HỌC 2016-2017 —————— MƠN TỐN LỚP 11 (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) —————— Câu Giải phương trình sau: a) 2sin x 2cos x b) cos x sin x 2cos x 4sin x c) 4C xx11 A1x 1 72 Câu a) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhau? b) Một hộp đựng 20 viên bi khác đánh số từ đến 20 Lấy ba viên bi từ hộp cộng số ghi lại Hỏi có cách lấy để kết thu số chia hết cho 3? 20 Câu a) Tìm số hạng không chứa x khai triển: 2x x 1 2 2016 2017 b) Tính tổng: S C2017 C2017 C2017 C2017 C2017 C2017 C2017 C2017 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA, N trung điểm SD G trọng tâm tam giác SBC a) Tìm giao điểm đường thẳng AC mặt phẳng (MNG) b) Gọi P, Q giao điểm mặt phẳng (MNG) với SC, SB Chứng minh: MQ NP cắt nhau, AQ DP cắt Gọi I giao điểm MQ NP; J giao điểm AQ DP Chứng minh I, J, S thẳng hàng c) Gọi O tâm hình bình hành ABCD, E giao điểm SO mặt phẳng SE (MNG) Tính tỉ số SO Câu Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn: 2016 x 2016 y z xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 1 y 1 20162 z 2016 2 …….…………………………………… HẾT………………… ………….………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………… …………………………Số báo danh: ………… ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (Đáp án gồm 06 trang) Bài giải Câu PT sin x cos x (2.5đ) 1a 2sin 2 x.cos x 1.0đ sin 2 x sin 2 x cos x 1.0đ π kπ (k ) cos x sin x 2cos x 4sin x 0.5đ x 1b Điểm 0.5đ (2.0đ) 2cos x 2sin x cos x 2cos x 4sin x sin x cos x 1 sin x 1 sin x 1 sin x sin x cos x 1 sin x sin x cos x 0.5đ π k 2π x π k 2π x sin x π x k 2π 4 1.c (1.5đ) 0.5đ 4C xx11 A1x 1 72 , ĐK: x , x 0.5đ x 1! x 1! 72 PT x 1!2! x ! 0.5đ x 1 x x 1 72 0.5đ x T / m x x 75 x 15 L 0.5đ 2 ThuVienDeThi.com 2a Số cần lập có dạng: abcd ( a 0, d chẵn, a, b, c, d khác nhau) (2.0đ) TH1: d = Sau chọn d có A63 120 cách chọn a, b, c 1.0đ TH có 120 số cần lập TH2: d Có cách chọn d Sau chọn d, có cách chọn a Sau chọn d, a có A52 20 cách chọn b, c 1.0đ TH có 3.5.20 = 300 số cần lập Vậy tất có 120 + 300 = 420 số cần lập 2b Ta chia 20 số từ đến 20 thành nhóm sau: (1.5đ) A 3,6,9,12,15,18: Chia hết cho 3, n(A) = B 1,4,7,10,13,16,19: Chia cho dư 1, n(B) = 0.5đ C 2,5,8,11,14,17,20: Chia cho dư 2, n(C) = Tổng số cho chia hết cho có trường hợp sau: TH1: số thuộc A 0.25đ Có C63 20 cách chọn TH2: số thuộc B 0.25đ Có C73 35 cách chọn TH3: số thuộc C 0.25đ Có C73 35 cách chọn TH4: số thuộc A, số thuộc B, số thuộc C 0.25đ Có C61C71C71 294 cách chọn Vậy tất có 20 + 35 + 35 + 294 = 384 cách chọn thỏa mãn ycbt 3a Số hạng tổng quát khai triển là: (2.5đ) T C k x 20 20 k k k 20 k 1k x 40 5k C20 x ThuVienDeThi.com 1.0đ 3b (1.5đ) Số hạng không chứa x tương ứng với 40 5k k 1.0đ Vậy số hạng không chứa x khai triển cho 212 C20 0.5đ Xét khai triển f x 1 x 2n 0.5đ Hệ số x n 1 khai triển C2nn1 (1) Mặt khác, ta có: f x 1 x 2n 1 x x 1 n n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n Cn0 x n Cn1 x n 1 Cn2 x n Cnn Hệ số x n 1 khai triển 0.5đ Cn0Cn1 Cn1 Cn2 Cn2Cn3 Cnn 1Cnn (2) Từ (1) (2) Cn0Cn1 Cn1Cn2 Cn2Cn3 Cnn 1Cnn C2nn1 Áp dụng với n = 2017 ta có: 0.5đ 1 2 2016 2017 2016 S C2017 C2017 C2017 C2017 C2017 C2017 C2017 C2017 C4034 4a (2.0đ) E O Gọi T trung điểm BC 0.5đ ThuVienDeThi.com Trong mặt phẳng (SAT) có SM SG MG cắt AT H SA ST Hai mặt phẳng (MNP) (ABCD) có điểm chung H chứa hai đường thẳng song song MN, AD nên giao tuyến chúng đường thẳng d qua H // MN, AD 1.0đ Trong mặt phẳng (ABCD) có AC cắt d K Giao điểm AC (MNP) K 0.5đ Ta có: MN // PQ (vì song song với AD, BC) MNPQ (1.5đ) hình thang 4b MN AD, PQ BC MN PQ 0.5đ NP, MQ cắt Ta có: AD // PQ (vì song song với BC) ADPQ hình thang PQ 2 BC AD AD PQ 3 0.5đ AQ, DP cắt Ta có: S điểm chung hai mặt phẳng (SAB) (SCD) (1) I MQ I SAB ; I NP I SCD I điểm chung hai mặt phẳng (SAB) (SCD) (2) J AQ J SAB ; J DP J SCD J điểm chung hai mặt phẳng (SAB) (SCD) (3) Từ (1), (2), (3) I, J, S thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) Hay I, J, S thẳng hàng (ĐPCM) ThuVienDeThi.com 0.5đ 4c S (1.0đ) M P E C' C O A A' Trong (SAC) có SO MP E , E giao điểm SO (MNG) 0.25đ Dựng đường thẳng qua A song song với MP cắt đt SO A’ Dựng đường thẳng qua C song song với MP cắt đt SO C’ Ta có: AA’CC’ hình bình hành SA SA ' SC SC ' , SM SE SP SE 0.75đ SA SC SA ' SC ' SO SM SP SE SE SE SO SA SC 3 2 SE SM SP 2 SE SO (2.0đ) Ta có: 2016 x 2016 y z xyz x y Đặt x tan α, y tan β , z z xy (*) 2016 2016 z tan γ , α, β , γ 0; π 2016 (*) tan α tan β tan γ tan α tan β tan γ tan α tan β tan γ tan(γ) tan(α β ) tan α tan β γ α β kπ Do α, β , γ 0; π γ α β π α β γ π Khi đó: ThuVienDeThi.com 0.5đ P 1 tan α 1 tan β 1 tan γ 0.5đ cos α cos β cos γ = cos 2α cos β cos γ = cos α β cos α β cos γ = cosγcos α β cos γ 1 = cosγ cos α β cos α β 1 P Đẳng thức xảy cosγ cos α β α β π α βγ cos α β cosγ Vậy GTNN P , đạt x y 3, z 2016 Lưu ý: Mọi cách giải khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 1.0đ ... ThuVienDeThi.com 2a Số cần lập có dạng: abcd ( a 0, d chẵn, a, b, c, d khác nhau) (2.0đ) TH1: d = Sau chọn d có A63 120 cách chọn a, b, c 1.0đ TH có 120 số cần lập TH2: d Có cách chọn d Sau chọn. .. Tổng số cho chia hết cho có trường hợp sau: TH1: số thuộc A 0.25đ Có C63 20 cách chọn TH2: số thuộc B 0.25đ Có C73 35 cách chọn TH3: số thuộc C 0.25đ Có C73 35 cách chọn TH4: số thuộc A, số... a, b, c 1.0đ TH có 120 số cần lập TH2: d Có cách chọn d Sau chọn d, có cách chọn a Sau chọn d, a có A52 20 cách chọn b, c 1.0đ TH có 3.5.20 = 300 số cần lập Vậy tất có 120 + 300 = 420 số cần