UBND HUYỆN PHÚ QUỐC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2010 - 2011 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (6 điểm ) 1) Chứng minh M = + 22 + 23 + … + 220 chia hết cho 15 ( điểm ) 2) Tìm tất số nguyên tố p, cho p+8 p+10 số nguyên tố (2 điểm ) 2 3) Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số ab , cho: ab - ba =1980 ( điểm ) Bài 2: (5 điểm) 1 a 1 a 2 cho biểu thức: Q : a a a a 1 a/ Rút gọn Q với a > 0, a a b/ Tìm a để Q=-1 c/ Tìm a để Q > Bài 3: (3 điểm) Tìm x, biếtt: 3x +1 - x x + = Bài 4: (6 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) có hai đường chéo AC, BD vng góc với I I khác O a) Chứng minh: IA IC = IB ID b) Vẽ đường kính CE, chứng minh ABDE hình thang cân Suy ra: AB2 + CD2 = 4R2 AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2 c) Gọi M trung điểm CD Chứng minhL AB = 2.OM d) Từ A B vẽ đường thẳng vng góc đến CD cắt BD F, cắt AC K Chứng minh: A, B, K, F bốn đỉnh tứ giác đặc biệt .Hết……………… ThuVienDeThi.com UBND HUYỆN PHÚ QUỐC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2010 - 2011 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( điểm ) 1) Chứng minh M = + 22 + 23 + … + 220 chia hết cho 15 ( điểm ) Ta có: M = 2+22+23 + … + 220 = ( 2+22+23+24 ) + ( 25+26+27+28 ) + … + ( 217+218+219+220 ) (0,75 điểm ) = 2.15 + 25.15 + … + 217 15 (0,5 điểm ) 17 = 15 ( + … + ) (0,5 điểm ) Vậy M chia hết cho 15 (0,25 điểm ) 2) Tìm tất số nguyên tố p cho p+8 p+10 số nguyên tố (2 điểm ) * Với p= p + p + 10 hợp số ( Không TMĐK toán ) (0,25 điểm ) * Với p= p + p + 10 số nguyên tố ( TMĐKbài toán ) (0,25 điểm ) * Với p = 3k + ( k N, k chẵn ) p + = 3k + hợp số (Không TMĐK toán ) (0,5 điểm ) *Với p = 3k + (k N, k lẽ ) p + 10 = 3k + 12 hợp số (Khơng TMĐK tốn ) (0,5 điểm ) Vậy với p = p + p + 10 số nguyên tố (0,5 điểm ) 3) Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số ab , cho: ab - ba =1980 ( điểm ) 2 ab - ba = 1980 ab ba ab ba 1980 (0,25 điểm ) (10a+b+10b+a)(10a+b-10b-a) =1980 (0,25 điểm ) 11(a+b).9(a-b) =1980 (0,25 điểm ) 99(a+b)(a-b) =1980 (0,25 điểm ) (a+b)(a-b) =20 (0,25 điểm ) 2 Do18 > a+b a-b >0 a + b a – b tính chẵn, lẽ nên a+b=10 a-b=2 , suy a=6 ;b=4 Vậy số cần tìm 64 Bài 2: (5 điểm) 1 a 1 a 2 a/ Q : a a a a 1 ThuVienDeThi.com (0,5 điểm ) (0,25điểm) a 1: a 1 a 4 0,5 đ a a 1 a a 1 a a a 1 0,5 đ a 2 a 1 0,5 đ a a 1 a a 1 a : a 1 a 2 a 1 a 2 0,5 đ a a a 2 1 với a (0,5 đ) b/ Q = - a a a 3 a 0, 25 đ 4 a 2 a a 0, 25 đ 0, 25 đ (TMDK ) 0, 25 đ a a 2 c/ Q > với a a a Vậy a 0,5 đ a 2 0, 25 đ a a 20 0, 25 đ a 0, 25 đ a 4(TMDK ) 0, 25 đ Bài 3: (3 điểm) Tìm x, biết: 3x +1 - x x + = 3x +1 - (3x 1) 3x +1 - x (1) Trường hợp 3x-1 tức x (0,25 điểm) Từ (1) ta có PT: 3x+1-3x+1+6=0 (PT vơ nghiệm) Trường hợp 3x-1