Thử nghiệm phân tích thống kê hoạt động kinh doanh của công ty tài chính việt

Thử nghiệm phân tích thống kê hoạt động kinh doanh của Công ty Tài Chính Việt Chu Thị Hồng Đăng Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê;

Thử nghiệm phân tích thống kê hoạt động kinh doanh của Công ty Tài Chính Việt

Chu Thị Hồng Đăng

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê; Mã số: 60 46 15

Người hướng dẫn: PGS.TS Hồ Đăng Phúc

Năm bảo vệ: 2012

Abstract: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về xác suất: phần tử ngẫu nhiên và

phân phối xác suất; một số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên; một số phân phối thường gặp Nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên: một số quá trình ngẫu nhiên thường gặp Giới thiệu về hồi quy Poisson Mô hình hồi quy Poisson tổng quát Phân tích hoạt

động tín dụng tiêu dùng

Keywords: Toán học; Phân tích thống kê; Hoạt động kinh doanh; Công ty Tài chính

Việt

Content

1 Một số kiến thức chuẩn bị về xác suất

1.1 Phần tử ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Định nghĩa 1 Giả sử (, A, P) là không gian xác suất cơ bản và (E, F) là không gian đo

được Ta gọi X :   E là một biến ngẫu nhiên nếu nó là một ánh xạ đo được (tức là X -1 (F)

 A)

Đặc biệt, nếu E = R n

và F = B n là  - đại số Borel của R n thì ta gọi X là véc tơ ngẫu nhiên n chiều và viết X thay cho X Trong trường hợp n = 1, ta viết X thay cho X

và gọi X

là đại lượng ngẫu nhiên

Định nghĩa 2 Phân bố xác suất (hay còn gọi là phân phối xác suất) của một biến ngẫu nhiên

X (trên R) là phân bố xác suất P X trên R, với  - đại số là  - đại số Borel B của R, cho bởi công sau:

P F (B) = P(X -1 (B)

với mọi tập con B của R nằm trong  - đại số B

Định nghĩa 3 Hàm phân phối xác suất của phân bố xác suất P X trên R của một biến ngẫu nhiên X là hàm Fx: R  [0; 1] cho bởi công thức

FX :  P X x (   ) P ((  , ]) x

Định lý 1 Hàm phân phối F X của một phân bố xác suất tuỳ ý trên R thoả mãn 4 tính chất sau:

1 Đơn điệu không giảm: F X (x)F X (y) với mọi x  y

2 Liên tục bên phải: lim0 F X(x)F X(x) với mọi x,

3.limxF X(x)0

Ngược lại, mọi hàm số thực trên R thoả mãn 4 tính chất trên là hàm phân phối của một phân bố xác suất trên R

Định nghĩa 4 Một phân bố P X trên R được gọi là liên tục nếu như hàm phân phối xác suất

F X là hàm liên tục trên R Nó được gọi là liên tục tuyệt đối nếu như tồn tại một hàm

sốX:RR khả tích và không âm, sao cho với mọi a R ta có

F a X( ) P X( , )a a X( )x dx



   

Hàm X : R R + thoả mãn như trên gọi là hàm mật độ của P X.

Định nghĩa 5 Một phân bố xác suất P X được gọi là rời rạc nếu như nó tập trung trên các

điểm hạt của nó: P X (A X ) = 1, P X (R\ A X ) = 0

1.2 Một số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

Đối với trường hợp rời rạc: Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là E(X),

chính là trung bình cộng có trọng số của biến ngẫu nhiên đó

Từ đó, có thể suy ra rằng hai biến ngẫu nhiên có cùng phân bố xác suất trên R thì có

cùng kỳ vọng Bởi vậy, thay vì nói về kỳ vọng của biến ngẫu nhiên, ta có thể nói về kỳ vọng

của phân bố xác suất trên R Trong trường hợp không gian xác suất là một tập hợp hữu hạn

hoặc đếm được,  ={1,2 } với xác suất P(i),i P(i)1thì công thức tính giá trị kỳ

vọng của một biến ngẫu nhiên X là

( ) ( i) ( i)

i

E X  X  P 

Trong trường hợp tổng quát, công thức tính giá trị kỳ vọng được viết dưới dạng phân

Lesbesgue của X trên không gian xác suất (, R):



X

E ( )

Định nghĩa 7 Phương sai của biến ngẫu nhiên X là đại lượng:

D(X) = E[X-E(X)] 2

còn   D X( ) được gọi là độ lệch tiêu chuẩn của X

1.3 Một số phân phối thường gặp

Sau đây, ta đưa ra một số phân phối thường gặp trong thực tế

Định nghĩa 8 Giả sử a, b là hai số thực, với b > a Khi đó phân phối đều trên đoạn thẳng [a;

b] là phân bố liên tục với hàm mật độ xác suất được cho như sau:





















b x a

x khi

b x a khi a

b x

c a

ho 0

1 )

(



Phân bố xác suất đều trên [a;b] hay được ký hiệu là U(a;b) Trong định nghĩa trên ta có thể thay đoạn thẳng đóng [a;b] bằng các khoảng mở (a;b) hoặc nửa đóng, nửa mở cũng được

Ví dụ, vị trí của một người đi trên đường có thể mô hình hoá bằng một biến ngẫu nhiên với phân bố đều, nếu chúng ta không có thông tin gì ngoài thông tin người đi bộ trên quãng đường đó

Khái niệm phân bố đều có thể mở rộng lên trường hợp nhiều chiều: Không gian xác suất là một miền của Rn (n2), và xác suất một miền con (n chiều) tỷ lệ thuận với thể tích (n chiều) của miền con đó

Định nghĩa 9 Phân bố xác suất chuẩn (hay phân bố Gauss) trên R với trung bình  và độ lệch chuẩn  là phân bố liên tục với hàm mật độ sau:

.

2 2

2 2

x

x e xp 





 



Ký hiệu phân phối chuẩn trên đây là N(,2), phân bố chuẩn với  = 0, 2= 1 được gọi là chuẩn tắc Phân bố chuẩn là một trong những phân bố quan trọng nhất vì nhiều phân bố xác suất gặp trong thực tế có dáng điệu khá giống phân bố chuẩn

Định nghĩa 10 Phân bố mũ với tham số  là phân bố xác suất liên tục tuyệt đối trên R cho bởi hàm mật độ sau:











0 0

0 )

(

x khi x khi e

x

x







Định nghĩa 11 Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố nhị thức với tham số n, p nếu

hàm phân bố xác suất của nó có dạng

P X  k C p p  k n  p

Giá trị kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức lần lượt là np và

np (1-p)

Định nghĩa 12 Một biến ngẫu nhiên Y được gọi là phân phối Poisson với tham số >0 nếu

nó nhận các giá trị nguyên y = 0, 1, 2,… với xác suất

 

!

y

e

y





  (1)

Khi đó ta ký hiệu Y  P( )

Phân phối Poisson là giới hạn của phân bố nhị thức với tham số p = / n và n, khi n tiến tới vô cùng

2 Quá trình ngẫu nhiên

2.1 Một số quá trình ngẫu nhiên thường gặp

Chuyển động Brown

Quá trình Wiener W t có ba đặc điểm:

1 W 0 = 0

2 W t liên tục hầu chắc chắn

3 W t có số gia độc lập với phân phối W t - W s ~ N(0, t - s) (với 0  s t)

, ( 

N ) biểu thị phân phối chuẩn với giá trị trung bình  và phương sai 2 Điều kiện quá trình có số gia độc lập có nghĩa là nếu 0s1t1s2t2 thì W t1 - W s1 và W t2-

W s2 là những biến ngẫu nhiên độc lập

Một đại diện của quá trình ngẫu nhiên rời rạc chính là quá trình Poisson, sẽ được đề cập

chi tiết ở mục sau

3 Giới thiệu về hồi quy Poisson

3.1 Phân bố Poisson

Phân phối Poisson là phân phối được đặt theo tên nhà toán học người Pháp Siméon

Denis Poisson (1781 - 1840) Như trên ta đã nói, một biến ngẫu nhiên Y được gọi là có phân

phối Poisson với tham số  > 0 nếu nó nhận các giá trị nguyên y = 0, 1, 2,… với xác suất

 

!

y

e

P Y y

y





Giá trị trung bình và phương sai của phân phối này được chỉ ra bằng:

E(Y) = Var (Y) = 

Một tính chất quan trọng của phân phối Poisson là tổng của các biến ngẫu nhiên

Poisson độc lập cũng có phân phối Poisson Cụ thể, nếu Y 1 , Y 2 là các biến ngẫu nhiên độc lập,

i

Y ~ P( ),i i1; 2 thì Y1Y2 ~P( 1 2) Kết quả này có thể mở rộng cho tổng nhiều hơn hai biến ngẫu nhiên Poisson

Giả sử ta có ni nhóm quan sát có cùng phương sai, ký hiệu Y ij là số lượng biến cố của

quan sát thứ j trong lớp nhóm thứ i Trên các nhóm đó, Y i là toàn bộ các quan sát của nhóm

thứ i Với giả thiết thông thường về tính độc lập và Y ij ~ P(i) với j = 1,2, n i thì Y i ~ ( P n ii)

3.2 Quá trình hồi quy Poisson

Một quá trình Poisson, là một quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa theo sự xuất hiện

của các biến cố Một quá trình ngẫu nhiên N(t) là một quá trình Poisson (thời gian - thuần

nhất, một chiều) nếu:

1 N (0) = 0

2 Số các biến cố xảy ra trong hai khoảng thời gian không giao nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập

3 Xác suất của số biến cố trong một khoảng con [t, t +  ] nào đó được cho bởi công thức

! ) ( ))

( ) (

k e k t N t

N P

k



trong đó số  dương là một tham số cố định, được gọi là tham số cường độ, có nghĩa là, biến

ngẫu nhiên N(t+ ) - N(t) mô tả số lần xuất hiện trong khoảng thời gian [t, t+ ] tuân theo một phân bố Poisson với tham số 

3.3 Mô hình loga tuyến tính cho quá trình Poisson

Giả sử ta có một mẫu bao gồm n quan sát Y 1 , Y 2 ,…,Y n là các biến ngẫu nhiên độc lập có

phân phối Poisson, Y i ~ P(i ), ta mong muốn i phụ thuộc vào một véc tơ các biến độc lập,

ta có thể bắt đầu bằng mô hình tuyến tính đơn giản

Tuy nhiên vế phải của (3) là một số thực bất kỳ trong khi vế trái là giá trị trung bình không âm Phương án thay thế giải quyết vấn đề này là ta nghĩ đến logarit của giá trị trung bình Ta lấy ilog(i) và xét mô hình tuyến tính

i x i'j

)

Trong mô hình này jbiểu diễn sự thay đổi của loga giá trị trung bình ứng với mỗi thay đổi của xj Lấy luỹ thừa cơ số e hai vế của (4) ta thu được mô hình

ie xp x i'j (5)

Để ước lượng các tham số của phân phối Poisson trong mô hình trên, người ta dùng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại Trước tiên ta xây dựng hàm hợp lý là tích các giá trị

của biểu thức (2) lấy trên n quan sát độc lập có phân phối Poisson với tham số i thoả mãn (3), tức là

! )

( 1

i yi i i n

i y e

L   





Lấy loga hai vế ta có

  







i

i i i

y LogL

1

) log(

)

Ở đó i phục thuộc vào các biến độc lập xi và  là vecto gồm p tham số được cho ở (3) Lấy đạo hàm riêng hai vế theo từng phần tử của  và cho chúng bằng 0 Nghiệm của các phương trình đó cho ta ước lượng hợp lý cực đại của mô hình loga tuyến tính Poisson Có thể chỉ ra rằng các nghiệm đó thoả mãn phương trình

X'yY'ˆ (8)

Ở đây X là ma trận thiết kế với mỗi hàng là mỗi quan sát, mỗi cột là biến dự báo (có thể bao gồm hằng số) Y biến đáp ứng, ˆ là một vectơ của giá trị dự báo, được tính toán thông qua ước lượng ˆ bằng cách lấy exp mũ của dự báo tuyến tính X'ˆ

Một độ đo đánh giá mức độ phù hợp của mô hình với tập giá trị quan sát là độ chệch có dạng















 n

i

i i i i

i y y y

D

1

ˆ ( ) ˆ log(

Với cỡ mẫu lớn, D là đại lượng có phân phối xấp xỉ phân phối khi bình phương với

(n-p) bậc tự do, ở đây n là số lượng quan sát, p số lượng tham số Do vậy D thường được sử

dụng trực tiếp để kiểm tra tính đúng đắn của mô hình

Một độ đo khác có thể dùng thay thế là thống kê Khi bình phương của Peason

 

i i i p

y X





ˆ ) ˆ

2

Khi cỡ mẫu lớn, phân phối của thống kê Peason cũng xấp xỉ phân phối khi bình phương

với (n-p) bậc tự do Hai độ đo trên được dùng để kiểm định sự phù hợp của mô hình với dữ

liệu quan sát được

4 Mô hình hồi quy Poisson tổng quát

Giả sử biến phụ thuộc Y là một biến đếm tuân theo luật Poisson tổng quát chịu tác động của p biến mô tả (x i1 , x i2 ,…x ip ) Mô hình hồi quy Poisson tổng quát được xây dựng bởi

Famoye nói rằng phân phối của Y i lấy điều kiện theo (x i1 , x i2 ,…x ip ) và được định nghĩa bằng

i

y

i i i i i

i i i



y i = 0,1,…

với x 1 = (1, x i1 ,… x ip ) là véctơ (p + 1) 1 chiều, i 0 là giá trị trung bình phụ thuộc của Y i với điều kiện x i Ta cũng có phân tích phổ biến cho ilà

E Y x( |i i)i e xp x( i t) (11)

Phương sai của Y được cho bởi

/

V a r Y x    (12)

Ở đây (0,1, p)là một véc tơ p + 1 chiều của các tham số hồi quy, tham số 

là một độ đo của hàm mật độ Khi  = 0 mô hình hồi quy Poisson tổng quát ở (10) trở thành

mô hình hồi quy Poisson bình thường Với  > 0 mô hình hồi quy Poisson tổng quát có thể

sử dụng cho mô hình có số liệu đếm có độ phân tán vượt trội, tương tự  < 0, mô hình hồi quy Poisson tổng quát sử dụng cho mô hình có số liệu đếm có độ phân tán thiếu hụt Với một vài quan sát trong tập số liệu, giá trị Yi có thể bị mất theo dõi, từ đó mô hình hồi quy Poisson tổng quát mất theo dõi được Faymoye và Wang đề xuất năm 2004

Nếu quan sát không bị mất theo dõi thì Y i = y i

Nếu quan sát mất theo dõi thì Y i  y i , và phân phối được áp dụng cho số liệu mẫu là

phân phối nhị phân d i được xác định như sau: d i = 1 nếu Yi  yi và d i = 0 nếu ngược lại

Mô hình hồi quy Poisson tổng quát bị mất theo dõi được cho bởi:

0

i i

i

d y

d

i i i i

j







Mô hình hồi quy Poisson tổng quát (13) bao gồm (p+2) tham số được sắp xếp trong

véctơ (',), và nó có thể được ước lượng bằng phương pháp hợp lý cực đại như trình bày tiếp sau đây

4.1 Ước lượng tham số (',)

Hàm hợp lý của (13) được cho bởi

i

y n

i i

L   y f y   f j

Hàm log hợp lý là:

i

y

LL   y d f y d  f j

Thay công thức hàm mật độ ở (13) vào (15) ta thu được































 n

i i i

i i

i i

y LL

1

) 1 ( ) 1 log(

) 1 ( 1

log ) 1 ( )

, ,

(

















     





 n j

y j i

i

j f d

0

1

0 ( ) 1

Bằng cách lấy đạo hàm riêng theo từng tham số và cho chúng bằng 0, ta thu được

0 )) ( 1

(

) ) ( (

) ) 1 ( )(

1 ( )

, ,

(

1

1 0 1 0

1

































































n

i

y j y j i n

i

i i i i i i

i i

j f j f d

x y

d y











(17)











































n

i i i i i i i i i i

y y y y

d y

LL

1

2 ) ) 1 (

) (

) 1 (

) 1 ( ) ) 1 ( )(

1 ( )

, ,

(



















0

)) ( 1

(

) ) ( (

0 1 0



































n

j y j

i i

i

j f j f

Trong đó:

) 1 (

) ( ) ( )

(

2 i i i

x j

j f j

f













(19)

, ) 1 (

) ( 1

) 1 ( ) 1 (

) ( ) ( )

(

2

i i i i

j j j j

j f j

f

































(20)

Hệ phương trình hợp lý trên không tuyến tính với các tham số ,, chúng được giải bằng cách dùng phương pháp lặp Newtơn - Raphson

Lấy đạo hàm riêng của (16) ta nhận được ma trận thông tin Fisher I(,) bằng cách lấy kỳ vọng của hiệu các đạo hàm cấp hai Ma trận nghịch đảo của I(,) cho ta các phương sai của ước lượng hợp lý cực đại Phương sai của ước lượng hợp lý cực đại có thể thu được từ

ma trận Hessian, H là ma trận vuông cấp p+2 Toàn bộ ma trận Hessian, được ký hiệu là các

đạo hàm riêng cấp hai, được cho bởi:





































































) ) , , ( ( ) ) , , ( (

) ' ) , , ( ( ) ' ) , , ( ( )

(

2 2 2

2 2

22 21 12 11































i i

i i

y LL

y LL

y LL

y LL

H H H H

Ở đây,



































n

i

i i i i

i i i

i

x x y d

y LL

H

1

' 3

2

) 1 ( 2 1

( 1 ( '

) , ,















, ))

( 1

(

) ' ) ( ( )

) ( ( )

' ) ( ( )) ( 1

(

0

2 1

0

1 0 1

0 1

0 2























































































n

j y

j

y j y

j y

j

j f

j f j

f j

f j

f

































n

i

i i i i i i i

x y

d y

LL H

1

3 2

) 1 (

) (

( 1 ( 2 ) , , (















, ))

( 1

(

) ) ( ( )

) ( ( )

) ( ( )) ( 1

(

0

2 1

0

1 0 1

0 1

0 2























































































n

j y

j

y j y

j y

j

j f

j f j

f j

f j

f







































n

i i i

i i i i i

y y y y

d y

LL H

1

3 2 1 2 1 2

2 2

2 2

) 1 (

) (

2 ) 1 (

) 1 ( )

1 ( ( 1 ( )

, , (



















, ))

( 1

(

) ) ( ( )

) ( ( )) ( 1

(

0

2 1

0

1 0

2 1

2

















































































n

j y

j

y j y

j

j f

j f j

f j

f

H21= H'12

, )

) 1 (

) ( ) ) 1 (

2 1

( ) ( '

)

2 3

2

i i i

i i

i i

x x j

j j

f j

f









































































































































i i i i i

i i

i i

i i

x j

j j j j j

j j

f

j

f

2 2

3 2

) 1 ( ( ) 1 ) 1 ( 1

( ( ) 1 ( )

1 (

) ( 2 )

(

)

(









































































































2 3

2 2 2 2 2 2

2

) 1 (

) ( ) 1 ) 1 ( 1

( )

1 ( ( 2 ) 1 (

) 1 ( )

1 ( ) (

)

(

i i i i

i i

i i

i

j j j j j

j j j j j

f

j

f



























Trong trường hợp ma trận Hessian được tính toán tại ước lượng hợp lý cực đại )'

ˆ

,

'

(

 , và có nghịch đảo âm thì ta sẽ nhận được ma trận phương sai - hiệp phương sai được ký hiệu bởi 2   1

) ˆ ( ˆ

,

ˆ     

4.2 Sự phù hợp của thống kê hợp lý

Để kiểm tra sự phù hợp của mô hình CGPS, cũng giống trường hợp hồi quy Poisson, ta dùng tỉ số hợp lý để kiểm tra mô hình, bài toán kiểm định giả thuyết của chúng ta là

0

Thống kê tỉ lệ hợp lý có dạng

2( ( ˆ0, ,ˆ ) ( , ,ˆ ˆ ) )

i R i U

Ở đây LL( ˆ0, ,ˆ y i) ,R LL( , , ˆ ˆ y i U) lần lượt là các hàm loga hợp lý được tính toán từ

mô hình được hạn chế và không hạn chế các tham số đưa vào Với giả thuyết không (21),

thống kê D trên có phân phố 2 với p bậc tự do

4.3 Kiểm định tham số hồi quy và các tham số phân tán

Có thể khẳng định rằng nếu trong mỗi bài toán phân tích, mô hình hồi quy Poisson tổng quát được xây dựng chính xác và phù hợp với tập số liệu thì ước lượng hợp lý cực

đạiˆ (ˆ',ˆ)'cực đại hàm loga hợp lý của mô hình luon tồn tại với (',)' và thu được kết quả tiệm cận chuẩn sau:

 ((1/ ) (ˆ,ˆ)) ),

; 0 ( ) ˆ

n

Từ đó giúp ta có các kết luận về các hệ số hồi quy và các tham số phân tán 

Kiểm định hệ số phân tán 

Hiện tượng mất theo dõi có thể ảnh hưởng đến mô hình không, mô hình cũng có thể dẫn tới

mô hình hồi quy Poisson tổng quát, ta có bài toán kiểm định

0 :

; 0 :

0  H 

Đây là bài toán điểm định sự quan trọng của tham số  Sự xuất hiện của trong mô

hình hồi quy Poisson tổng quát được khẳng định nếu giả thuyết H 0 bị bác bỏ, thống kê sử

dụng cho H 0 là:

)

) , ˆ ( )

, ˆ ( (

Nếu giả thiết H 0 đúng, D có phân phối 2 với một bậc tự do

Kiểm định các tham số hồi quy

Để kiểm định các hệ số mũ J, j = 1, 2, …, p ta có bài toán

H : J = 0; H1: J 0 Thống kê cho giả thuyết không là

ˆ

(

ˆ

)

j mle

mle J

Z

s 





Ở đây, ˆ

j mle

 là ước lượng hợp lý cực đại của hệ số J, s( ˆ

j mle

 ) là sai số chuẩn của các ước lượng này, được xác định từ ước lượng của ma trận phương sai – hiệp phương sai, S2

(  ˆ , ) Dưới giả thuyết không, thống kê Z có phân bố tiệm cận chuẩn

5 Phân tích hoạt động tín dụng tiêu dùng

5.1 Mô tả số liệu

Số lượng sản phẩm khách hàng mua và có tham gia dịch vụ cho vay của công ty là nhân

tố chính để đánh giá được hiệu quả kinh doanh của công ty, và cũng góp phần đánh giá hiệu quả kinh doanh của các đại lý bán hàng liên kết Do vậy, trong mô hình, biến quan sát phụ thuộc Y được chọn là tổng số sản phẩm được bán bằng dịch vụ cho vay trả góp trong một đơn

vị thời gian tại một địa điểm bán hàng