Chuyên đề Mặt nón – Mặt trụ Mặt cầu25587

Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu CHƯƠNG MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU BÀI MẶT NĨN 1/ Mặt nón trịn xoay Trong mặt phẳng (P ), cho đường thẳng d , D cắt O chúng tạo thành góc b với 00 < b < 900 Khi quay mp (P ) xung quanh trục D với góc b khơng thay đổi gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O (hình 1) + Người ta thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón + Đường thẳng D gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc 2b gọi góc đỉnh hình hình 2/ Hình nón trịn xoay Cho D OI M vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OI M tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) (hình 2) + Đường thẳngOI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón + Hình trịn tâm I , bán kính r = I M đáy hình nón 3/ Cơng thức diện tích thể tích hình nón Cho hình nón có chiều cao h , bán kính đáy r đường sinh l có: + Diện tích xung quanh: Sxq = p.r l + Diện tích đáy (hình trịn): Sday = p.r + Diện tích tồn phần hình nón: Stp = Sxq + Sday + Thể tích khối nón: V non = 1 Sday h = p.r 2.h 3 4/ Tính chất: * Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh Þ Thiết diện tam giác cân + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi mặt phẳng tiếp diện mặt nón * Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng khơng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón Þ giao tuyến đường tròn + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón Þ giao tuyến nhánh hypebol + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón Þ giao tuyến đường parabol Trang ThuVienDeThi.com Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu Bài Một hình nón trịn xoay có đường cao h = 20cm , bán kính đáy r = 25cm a/ Tính diện tích xung quanh hình nón cho b/ Tính thể tích khối nón tạo nên hình nón c/ Một thiết diện qua đỉnh có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12 cm Tính ( ) diện tích thiết diện 12500p cm c/ SD SAB = 20.25 = 500 cm Bài Cho hình lập phương ABCD A ' B 'C ' D ' có cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh tâmO hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A ' B 'C ' D ' ( ) ĐS: a/ Sxq = 125p 41 cm pa ĐS: Sxq = (Ðvdt ) V ( ) b/ V non = = ( ) pa (Ðvtt ) 12 Bài Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh cạnh huyền a a/ Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón, giả sử có đỉnh S b/ Tính thể tích khối nón tương ứng c/ Cho dây cung BC đường tròn đáy hình nón, cho mp SBC tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón ( ) góc 60 Tính diện tích tam giác SBC ĐS: a/ Sxq = pa 2 (Ðvdt ); Stp = ( pa + ) b/ V = a 3p 12 (Ðvtt ) c/ a2 SD SBC = (Ðvdt ) Bài Mặt nón trịn xoay có đỉnh S ,O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 a/ Tính diện xung quanh, diện tích tồn phần hình nón thể tích khối nón tạo nên b/ Gọi I điểm đường cao SO hình nón cho tỉ số qua I vng góc với trục hình nón ( ) ĐS: a/ Sxq = pa Ðvdt ; Stp = 3pa pa Ðvdt V ; = ( ) 12 SI = Tính diện tích thiết diện SO (Ðvtt ) b/ Std = pa 18 (Ðvdt ) Bài Cho hình nón đỉnh S với đáy đường trịn tâmO , bán kính R , chiều cao hình nón 2R Gọi I ( ) điểm nằm mặt phẳng đáy cho I O = 2R Giả sử A điểm nằm đường tròn O, R cho OA ^ OI a/ Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón tạo thành b/ Gọi M điểm di động SA, I M cắt mặt nón điểm thứ hai N Chứng minh N di động đường thẳng cố định c/ Chứng minh hình chiếu K O I M di động đường tròn cố định qua trực tâm H D SAI ĐS: Sxq = pR ; V = 2pR Bài Cho hình nón trịn xoay có bán kính đáy R chiều cao h Trong tất mặt phẳng qua đỉnh hình nón, xác định mặt phẳng cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn tính diện tích lớn · · ĐS: Nếu ASB < 900 , max SD SAM = h.R Nếu ASB ³ 900 , max SD SAM = Bài Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = a bán kính đáy r = khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy h + R2 ( 5a Một mặt phẳng (P ) qua đỉnh 3a ( ) a/ Hãy xác định thiết diện mp P khối nón Tính diện tích khối thiết diện b/ Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần khối nón c/ Tính thể tích khối nón tạo nên hình nón Trang ThuVienDeThi.com ) Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu · Bài Trong không gian cho D OI M vng I có I OM = 300 cạnh I M = a Khi quay tam giác OI M quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón trịn xoay a/ Tính diện tích xung quanh hình nón b/ Tính thể tích khối nón trịn xoay tạo nên hình nón Bài Một hình nón trịn xoay có chiều cao h = 30cm bán kính đáy 20cm a/ Cắt hình nón mặt phẳng chứa đường cao Tính diện tích thiết diện b/ Cắt hình nón mặt phẳng qua đỉnh, ta thiết diện tam giác Tính diện tích thiết diện khoảng cách từ tâm mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện Bài 10 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a a/ Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b/ Tính thể tích khối nón tương ứng c/ Một mặt phẳng qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện tạo nên Bài 11 Hình nón có bán kính đáy 2a , thiết diện qua trục tam giác a/ Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích khối nón b/ Cắt hình nón mặt phẳng qua đỉnh, ta thiết diện tam giác vng Tính diện tích thiết diện khoảng cách từ tâm mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện Bài 12 Một hình nón có bán kính đáy 2cm , góc đỉnh 600 a/ Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b/ Tính thể tích khối nón tương ứng Bài 13 Một hình nón có đỉnh S , bán kính đáy r = 10cm a/ Tính diện tích thiết diện mp P cắt hình nón theo hai đường sinh vng góc ( ) () b/ Gọi G trọng tâm thiết diện mặt phẳng a qua G , đồng thời vng góc với trục hình nón Tính () diện tích thiết diện mặt phẳng a cắt hình nón Bài 14 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân, thiết diện có diện tích 12a a/ Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b/ Tính thể tích khối nón tương ứng ( ) c/ Mặt phẳng P qua đỉnh hình nón, cắt mặt phẳng đáy theo dây cung có độ dài 2a Tính ( ) góc tạo mặt phẳng P mặt phẳng đáy Bài 15 Mặt nón trịn xoay có đỉnh S ,O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 a/ Tính diện xung quanh, diện tích tồn phần hình nón thể tích khối nón tạo nên b/ Gọi I điểm đường cao SO hình nón cho tỉ số SI = SO Tính diện tích thiết diện qua I vng góc với trục hình nón Bài 16 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên a , góc mặt bên mặt phẳng đáy 300 Hình nón đỉnh S có đường trịn đáy nội tiếp tam giác ABC (được gọi hình nón nội tiếp hình chóp) a/ Tính thể tích hình chóp S.ABC b/ Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón tạo nên · ( ) Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SO = h, SAB = a , 450 < a < 900 Hãy tính diện tích xung quanh hình nón có đỉnh S có đường trịn đáy ngoại tiếp đáy ABCD hình chóp Bài 18 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a a/ Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón tạo nên b/ Thiết diện qua đỉnh hình nón cách tâm đáy hình nón khoảng a Tính diện tích thiết diện tạo thành Bài 19 Đường sinh hình nón 13a , chiều cao 12a Một đường thẳng d song song với đáy hình nón cắt hình nón Khoảng cách từ đường thẳng d đến mặt phẳng đáy chiều cao hình nón 6a 2a Tính độ dài đoạn thẳng d nằm phần hình nón Trang ThuVienDeThi.com Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu Bài 20 Cho hình nón đỉnh S đáy hình trịn tâm O Mặt phẳng (a ) qua đỉnh, cắt đáy theo dây cung · AB , cho AOB = 600 mp(a ) hợp với mặt phẳng chứa đáy góc 300 · a/ Tính góc ASB b/ Cho diện tích tam giác SAB b Tính diện tích xung quanh hình nón Bài 21 Cho hình chóp tam giác S.ABC nội tiếp hình nón Tính thể tích hình nón biết thể tích hình chóp tam giác S.ABC V Bài 22 Trên hình trịn làm đáy chung ta dựng hai hình nón (hình chứa hình kia) Sao cho hai đỉnh cách đoạn a Góc đỉnh thiết diện qua trục hình nón lớn 2a hình nón nhỏ 2b Tính thể tích phần ngồi hình nón nhỏ hình nón lớn Bài 23 Cho hình nón có đường cao SO = h bán kính đáy R Gọi M điểm đoạn OS , đặt OM = x (0 < x < h) a/ Tính diện tích thiết diện ( G) vng góc với trục M b/ Tính thể tích khối nón đỉnhO đáy ( G) theo R, h, x Xác định x cho thể tích đạt giá trị lớn Bài 24 Cho hình nón trịn xoay đỉnh S Trong đáy hình nón có hình vng ABCD nội tiếp, cạnh a · ( ) Biết rằng: ASB = 2a , 00 < a < 450 Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón BÀI MẶT TRỤ 1/ Mặt trụ tròn xoay ∆ ( ) Trong mp P cho hai đường thẳng D l song song nhau, ( ) cách khoảng r Khi quay mp P quanh trục cố định D đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ + Đường thẳng D gọi trục + Đường thẳng l gọi đường sinh + Khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ A r l D 2/ Hình trụ trịn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng B chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúc r C ABCD tạo thành hình, hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ + Đường thẳng AB gọi trục + Đoạn thẳngCD gọi đường sinh + Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h gọi chiều cao hình trụ + Hình trịn tâm A , bán kính r = AD hình trịn tâm B , bán kính r = BC gọi đáy hình trụ + Khối trụ tròn xoay, gọi tắt khối trụ, phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ 3/ Cơng thức tính diện tích thể tích hình trụ Cho hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r , đó: + Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2prh + Diện tích tồn phần hình trụ: Stp = Sxq + 2.SÐay = 2prh + 2pr + Thể tích khối trụ: V = B h = pr 2h 4/ Tính chất: Trang ThuVienDeThi.com Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu () + Nếu cắt mặt trụ trịn xoay (có bán kính r ) mp a vng góc với trục D ta đường trịn có tâm D có bán kính r với r bán kính mặt trụ + Nếu cắt mặt trụ trịn xoay (có bán kính r ) mp a khơng vng góc với trục D cắt tất () đường sinh, ta giao tuyến đường elíp có trụ nhỏ 2r trục lớn 2r , j sin j () góc trục D mp a với 00 < j < 900 () + Cho mp a song song với trục D mặt trụ tròn xoay cách D khoảng k () - Nếu k = r mp (a )tiếp xúc với mặt trụ theo đường sinh - Nếu k > r mp (a )khơng cắt mặt trụ - Nếu k < r mp a cắt mặt trụ theo hai đường sinh Þ thiết diện hình chữ nhật ( ) ( ) Bài Một khối trụ có chiều cao 20 cm có bán kính đáy 10 cm Người ta kẻ hai bán kính đáy OA O ' B ' nằm hai đáy, cho chúng hợp với góc 300 Cắt mặt trụ mặt phẳng chứa đường thẳng AB ' song song với trục khối trụ a/ Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng cắt hình trụ b/ Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ ĐS: a/ SABB ' A ' = 200 - ( ) ( ) ( ) cm b/ Sxq = 400p cm ; Stp = 600p (cm ).V = 2000p cm Bài Một khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vng a/ Tính diện tích xung quanh khối trụ b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho c/ GọiV thể tích hình lăng trụ nội tiếp hình trụ V ' thể tích khối trụ Hãy tính tỉ số V V' V = V' p Bài Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường trịn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD ) tạo ĐS: a/ Sxq = 2prl = 4pr ( ) b/ V = 4r Ðvtt c/ với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ ĐS: Sxq = pa ;V = 2a 16 Bài Trong số khối trụ có diện tích tồn phần S , khối trụ tích lớn ? S S h = 6p 6p Bài Cho hình trụ trịn xoay có hai đáy hai hình trịn (O, R )và (O ', R ) Biết tồn dây cung AB ĐS: khối trụ tích lớn khối trụ có R = ( ) ( ) ( ) đường tròn O cho D O ' AB mp O ' AB hợp với mặt phẳng chứa đường trịn O góc 600 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ ĐS: S = 6pR 3pR ;V = 7 Bài Trong khơng gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I , H trung điểm cạnh AB CD Khi quay hình vng xung quanh trục I H , ta hình trụ trịn xoay a/ Tính diện tích xung quanh hình trụ b/ Tính thể tích khối trụ trịn xoay tạo nên hình trụ nói Bài Một khối trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng a/ Tính diện tích xung, diện tích tồn phần thể tích hình trụ b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho (hình lăng trụ có đáy hình vng nội tiếp đường trịn đáy hình trụ) Trang ThuVienDeThi.com Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu ( ) ( ) Bài Một hình trụ có bán kính đáy 20 cm , chiều cao 30 cm a/ Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b/ Tính thể tích khối trụ tương ứng c/ Cho hai điểm A B nằm hai đường trịn đáy, cho góc đường thẳng AB trục hình trụ 600 Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ ( ) ( ) Bài Một khối trụ có bán kính đáy 10 cm chiều cao 10 cm Gọi A, B hai điểm hai đường tròn đáy, cho góc tạo thành đường thẳng AB trục khối trụ 300 a/ Tính diện tích thiết diện qua AB song song với trục khối trụ b/ Tính góc hai bán kính đáy qua A qua B c/ Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AB trục khối trụ Bài 10 Một hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O ' , có bán kính r có đường cao h = r Gọi A điểm đường tròn tâm O B điểm đường tròn tâm O ' cho OA vng góc với O ' B a/ Chứng minh mặt bên tứ diện OABO ' tam giác vng Tính thể tích tứ diện b/ Gọi mp a qua AB song song với OO ' Tính khoảng cách trục OO ' mp a () () () c/ Chứng minh mp a tiếp xúc với mặt trụ trục OO ' có bán kính ( ) r 2 dọc theo đường sinh ( ) Bài 11 Một hình trụ có bán kính đáy 30 cm có chiều cao h = 30 cm a/ Tính diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ tạo nên b/ Một đoạn thẳng có chiều dài 60 cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách từ ( ) đoạn thẳng đến trục hình trụ Bài 12 Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a góc mặt bên mặt phẳng đáy b a/ Tính diện tích xung quanh hình trụ có đường tròn đáy đường tròn nội tiếp tam giác đáy hình chóp có chiều cao chiều cao hình chóp b/ Các mặt bên SAB , SBC , SCA cắt hình trụ theo giao tuyến nào? Bài 13 Một hình trụ có thiết diện qua trụ hình vng, diện tích xung quanh 4p a/ Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ tạo nên b/ Một mp a song song với trục hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện ABA1B1 Biết cạnh () thiết diện dây cung đường tròn đáy căng cung 1200 Tính diện tích thiết diện Bài 14 Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF A ' B 'C ' D ' E ' F ' có cạnh đáy a , chiều cao h a/ Tính diện tích xung quanh thể thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ b/ Tính diện tích tồn phần thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ Bài 15 Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD hình thang cân với đáy nhỏ AB = a , đáy lớn CD = 4a , cạnh bên 5a chiều cao hình lăng trụ h a/ Chứng minh có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ cho b/ Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ Bài 16 Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O ' , bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , đường tròn đáy tâm O ' lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể khối tứ diện OO ' AB Bài 17 Bên hình trụ trịn xoay có hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà đỉnh liên tiếp A, B nằm đường trịn đáy thứ hình trụ, đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hình trụ Mặt phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích thể tích hình trụ Trang ThuVienDeThi.com Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu BÀI MẶT CẦU - MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN I Mặt cầu 1/ Định nghĩa: Tập hợp điểm M không gian cách điểmO cố định khoảng R gọi mặt cầu tâmO , bán kính R , kí hiệu là: S O; R hay { M / OM = R} ( ) 2/ Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho mặt cầu S O; R điểm A bất kì, đó: ( ) ( B ) + Nếu OA = R Û A Ỵ S O; R Khi OA gọi bán kính mặt cầu Nếu OA uuur uuur OB hai bán kính cho OA = - OB đoạn thẳng AB gọi đường kính mặt cầu + Nếu OA < R Û A nằm mặt cầu + Nếu OA > R Û A nằm mặt cầu O A A A Þ Khối cầu S (O; R )là tập hợp tất điểm M cho OM £ R 3/ Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu S O; R mp P Gọi d khoảng cách từ tâmO mặt cầu đến mp P H ( ) ( ) ( ) hình chiếu O mp (P ) Þ d = OH + Nếu d < R Û mp (P ) cắt mặt cầu S (O; R )theo giao tuyến đường tròn nằm mp (P )có tâm R - d = R - OH (hình a) + Nếu d > R Û mp (P ) không cắt mặt cầu S (O; R ) (hình b) H bán kính r = HM = ( ) ( ) + Nếu d = R Û mp P có điểm chung Lúc này, ta gọi mặt cầu S O; R tiếp xúc mp (P ) Do đó, điều kiện cần đủ để mp (P )tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) d (O, mp (P )) = R (hình c) d Hình a Hình b d= Hình c 4/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho mặt cầu S O; R đường thẳng D Gọi H hình chiếu O đường thẳng D d = OH ( ) khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến đường thẳng D Khi đó: + Nếu d > R Û D khơng cắt mặt cầu S O; R + Nếu d < R Û D ( ) cắt mặt cầu S (O; R )tại hai điểm phân biệt + Nếu d = R Û D mặt cầu tiếp xúc (tại điểm nhất) Do đó: điều kiện cần đủ để ( ) Định lí: Nếu điểm A nằm ngồi mặt cầu S (O; R ) thì: đường thẳng D tiếp xúc với mặt cầu d = d O, D = R Trang ThuVienDeThi.com Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu ( ) + Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu S O; R + Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm + Tập hợp điểm đường tròn nằm mặt cầu S O; R ( ) II Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1/ Các khái niệm a/ Trục đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Þ Bất kì điểm nằm trục đa giác cách đỉnh đa giác b/ Đường trung trực đoạn thẳng: đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng Þ Bất kì điểm nằm đường trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng c/ Mặt trung trực đoạn thẳng: mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng Þ Bất kì điểm nằm mặt trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng 2/ Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a/ Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: điểm cách đỉnh hình chóp Hay nói cách khác, giao điểm I trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên hình chóp b/ Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp 3/ Cách xác định tâm bán kính mặt cầu số hình đa diện a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương A + Tâm: trùng với tâm đối xứng hình hộp chữ nhật (hình lập phương) Þ Tâm I , trung điểm AC ' + Bán kính: nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương) Þ Bán kính: R = AC ' A B D C A ’ I I B’ C’ C’ D ’ An A1 b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường trịn O A2 Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3 An A1' A2' A3' An' , có đáy A3 A1A2A3 An A1' A2' A3' An' nội tiếp đường tròn (O )và (O ') Lúc đó, I mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: + Tâm: I với I trung điểm củaOO ' + Bán kính: R = I A1 = I A2 = = I An' A’n A’1 O ’ A’ A’2 c/ Hình chóp có đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh cịn lại góc vng · S · S * Hình chóp S.ABC có SAC = SBC = 900 + Tâm: I trung điểm SC + Bán kính: R = SC · · · * Hình chóp S.ABCD có SAC = SBC = SDC = 900 + Tâm: I trung điểm SC + Bán kính: R = SC I = IA = IB = IC = IA = IB = IC = ID I A A C B Trang ThuVienDeThi.com D B C Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu d/ Hình chóp S Cho hình chóp S.ABC + Gọi O tâm đáy Þ SO trục đáy + Trong mặt phẳng xác định SO cạnh bên, chẳng hạn mp SAO , ta vẽ đường trung trực cạnh SA ( ∆ ) M D cắt SA M cắt SO I Þ I tâm mặt cầu + Bán kính: I A SM SI = SO SA SM SA SA Bán kính là: R = I S = = = I A = I B = I C = SO 2SO Ta có: D SMI : D SOA Þ D O B C e/ Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA ^ đáy ABC đáy ABC nội tiếp đường tròn ( ) tâmO Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC xác định sau: + Từ tâmO ngoại tiếp đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vng góc với mp ABC tạiO ( ( ) ) + Trong mp d, SA , ta dựng đường trung trực D cạnh SA , cắt SA M , cắt d I Þ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính R = I A = I B = I C = I S = S d + Tìm bán kính: Ta có: MI OB hình chữ nhật Xét D MAI vng M có: M I A O ∆ R = AI = 2 MI + MA = ỉSA ữ ữ AO + ỗỗỗ ữ ữ ố ứ C f/ Đường tròn ngoại tiếp số đa giác thường gặp B Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục mặt phẳng đáy, đường thẳng vng góc với mặt phẳng đáy tâm O đường tròn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O yếu tố quan trọng tốn O O Hình vng: O giao điểm đường chéo O Hình chữ nhật: O giao điểm hai đường chéo O O ∆ vuông: O trung điểm cạnh huyền ∆ đều: O giao điểm đường trung tuyến (trọng tâm) ∆ thường: O giao điểm hai đường trung trực hai cạnh ∆ Trang ThuVienDeThi.com Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu Tóm lại : Cách xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Dựng trục D đáy + Dựng mặt phẳng trung trực a cạnh bên () () + a Ç D = I Þ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp 4/ Diện tích thể tích mặt cầu + Diện tích mặt cầu: SC = 4pR + Thể tích mặt cầu: VC = pR Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 450 a/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích khối cầu b/ Gọi G trọng tâm D SBC Tính khoảng cách từ G đến mp SAB ( ) c/ Tính khoảng cách đường thẳng SC AB Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , O tâm đáy Mặt bên hợp với mặt đáy góc 300 a/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD b/ Gọi G trọng tâm D ACD Tính khoảng cách từ G đến mp SAB ( ) c/ Tính thể tích khối chóp SGBC d/ Tính khoảng cách đường thẳng AG SC Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , cho AB = a, AC = a , mặt bên SBC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy a/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC b/ Tính khoảng cách từ B đến mp SAC ( ) c/ Tính khoảng cách hai đường thẳng CB SA Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a; BC = a Cạnh bên SA ^ (ABC ) Mặt bên (SBC )hợp với mặt đáy góc 450 a/ Tìm diện tích thể tích khối cầu qua điểm S, A, B ,C AI b/ Trên cạnh SB lấy điểm I cho = Tính khoảng cách từ I đến mp (SAC ) MI Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD ) a/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC b/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD c/ Tính góc đường thẳng SA CD d/ Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SD Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , mặt (SAC )và (SBD )cùng ( ) ( ) vng góc với mặt đáy ABCD , mặt bên SCD tạo với đáy góc 450 a/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC b/ Gọi G trọng tâm VSAB Tính khoảng cách điểm G đến mp SAD ( ) c/ Tính khoảng cách đường thẳng SA BC Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC tam giác vng cân A có cạnh BC = a biết A ' B = 3a a/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A ' B 'C ' b Tính thể tích khối chóp A.BCB 'C ' c Tính khoảng cách đường thẳng AB A 'C Trang 10 ThuVienDeThi.com Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu ( ) d Gọi I giao điểm AC ' A 'C Tính khoảng cách từ I đến mp BCC ' B ' Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B 'C ' D ' có đáy tứ giác cạnh a biết BD ' = a a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABCD A ' B 'C ' D ' b Mặt phẳng ACD ' chia khối lăng trụ thành phần Tính thể tích khối đa diện ( ) Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B 'C ' D ' có đường chéo A 'C = a Biết A 'C hợp với mp ABCD góc 300 hợp với mp ABB ' A ' góc 450 ( ) ( ) a/ Tính thể tích khối hộp chữ nhật b/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABCD A ' B 'C ' D ' Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O , cạnh a, SA ^ ABCD Cạnh bên SB ( ) tạo với mặt phẳng đáy góc 300 a/ Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD b/ Tính thể tích khối chóp SOCD c/ Tính khoảng cách từ O đến mp SBC ( ) d/ Tính khoảng cách đường thẳng SB AC Bài 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a a/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích khối cầu b/ Tính khoảng cách từ tâm đáy ABC đến mp SAB ( ) c/ Tính khoảng cách đường thẳng SC AB Bài 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 3a O tâm đáy a/ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD b/ Gọi M trung điểm CD Tính khoảng cách từ M đến mp SBC ( ) c/ Tính khoảng cách đường thẳng MO SC ( ) Bài 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C , SA ^ ABC Biết rằng: AB = a 3, BC = a, SB tạo với mp (ABC )một góc 600 a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính diện tích mặt cầu b/ Tính khoảng cách từ C đến mp SAB ( ) AM = Tính khoảng cách từ M đến mp (SBC ) MB d/ Tính khoảng cách đường thẳng AC SB Bài 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC b/ Tính diện tích thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD c/ Gọi G trọng tâm D SAC Tính khoảng cách từ G đến mp (SCD ) c/ Trên cạnh AB lấy điểm M cho ( ) Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA ^ ABCD , SA = a, AC = a a/ Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích thể tích mặt cầu b/ Tính thể tích khối chóp SOBC c/ Gọi G trọng tâm D ABC Tính khoảng cách từ G đến mp SAD ( ) d/ Tính khoảng cách đường thẳng AG SC Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD nửa lục giác SA ^ ABCD ( ) a/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b/ Gọi H , K , L chân đường cao vẽ từ A tam giác: D SAB , D SAC , D SAD Chứng minh điểm A, B ,C , D , H , K , L nằm mặt cầu · ( ) Bài 17 Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BAC = 1200, SA ^ ABC , SA = 2a a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC b/ Tìm diện tích thể tích khối cầu qua điểm S, A, B ,C Trang 11 ThuVienDeThi.com Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu ( ) c/ Gọi G trọng tâm D SAB Tính khoảng cách từ G đến mp SBC ( ) ( ) Bài 18 Cho hình chóp S.ABC có mp SBC ^ mp ABC SC = b, SA = SB = AB = AC = a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho Tìm diện tích thể tích Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a D SAB tam giác Mặt phẳng SAB ^ ABCD ( ) ( ) a/ Tính thể tích hình chóp S.ABCD b/ Tìm góc hai mp SAB , mp SCD ( ) ( ) c/ Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho Tìm diện tích thể tích khối cầu · Bài 20 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' đáy tam giác vuông A, AC = a, ACB = a BC ' hợp với mặt ( ) phẳng ACC ' A ' góc b a/ Tính thể tích lăng trụ cho b/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Bài 21 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B 'C ' có cạnh đáy a , bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên a a/ Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ cho b/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Tính diện tích thể tích khối cầu Bài 22 Ba đoạn thẳng SA, SB , SC đơi vng góc với tạo thành tứ diện SABC , SA = a, SB = b, SC = c a/ Tính thể tích khối SABC , b/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bài 23 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B 'C ' có cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp Bài 24 Cho hình chóp S.ABC hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên a Một mặt cầu qua đỉnh A tiếp xúc với hai cạnh SB , SC trung điểm cạnh a/ Chứng minh mặt cầu qua trung điểm AB , AC b/ Gọi giao điểm thứ hai mặt cầu với đường thẳng SA D Tính độ dài đoạn thẳng AC , SD Bài 25 Hình chóp S.ABCD có SA = a chiều cao hình chóp đáy ABCD hình thang vng A, B có AB = BC = a, AD = 2a Gọi E trung điểm AD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE Tìm diện tích thể tích mặt cầu Bài 26 Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng ABC lấy điểm S khác A ta tứ diện SABC ( ) a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trường hợp mp SBC tạo với mp ABC góc ( ) ( ) 300 ( ) ( ) Bài 27 Cho hình chóp S.ABC có D ABC cạnh a mp SBC ^ mp ABC , SC = SB = a ( ) ( ) ( ) a/ Tính góc mp SAB , mp SAC khoảng cách từ B đến mp SAC b/ Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình chóp cho c/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính diện tích thể tích khối cầu Bài 28 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Hai mặt bên SAD , SAB ( )( ) vng góc với mp(ABCD ), SA = a GọiO tâm hình chữ nhật a/ Tính thể tích hình chópO.SCD b/ Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tính diện tích thể tích khối cầu Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vng, đáy lớn AD = 2a , đường cao AB = a, BC = a , SA ^ ABCD , SA = a ( ) a/ Tính thể diện tích tồn phần thể tích hình chóp b/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABD c/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDM với M trung điểm AD Trang 12 ThuVienDeThi.com ... tích hình trụ b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho (hình lăng trụ có đáy hình vng nội tiếp đường trịn đáy hình trụ) Trang ThuVienDeThi.com Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu (... hình trụ Trang ThuVienDeThi.com Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu BÀI MẶT CẦU - MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN I Mặt cầu 1/ Định nghĩa: Tập hợp điểm M không gian cách điểmO cố định khoảng R gọi mặt. . .Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu Bài Một hình nón trịn xoay có đường cao h = 20cm , bán kính đáy r = 25cm a/ Tính diện tích xung quanh hình nón cho b/ Tính thể tích khối nón tạo nên hình nón