Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh lớp 12 THPT năm học 20142015 môn: Toán25280

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có trang, gồm câu)  Câu a Giải phương trình  cos x cos ( x  )  sin( x  )  cos x  3sin x   2x2 y  x  y  b Giải hệ phương trình   x y   y x   Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hàm số y  x có đồ thị (C) Tìm x2 điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến (C) điểm M cắt trục Ox, Oy A, B phân biệt thoả mãn: AB  2OA  OB Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B, AB = a Gọi I trung điểm AC Biết hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC)   điểm H thoả mãn BI  3IH góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SI Câu Cho số thực a, b, c  (0;1) Chứng minh rằng: log bc (a 2bc)  log ca (ab 2c)  log ab (abc )  x  y  z  Câu Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn:  xyz   nhỏ biểu thức F  Tìm giá trị lớn 1   x3 y z _ Hết _ - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1………………… …… Chữ ký giám thị 2……………… ThuVienDeThi.com Lời giải Câu 1a)  NỘI DUNG  cos x cos ( x  )  sin( x  )  (1) cos x  3sin x  ĐK: cos x  3sin x   cos x   x   k ( k  ฀ )  2sin x sin x  sin( x  )   cos x  cos x  ( sin x  cos x)  (1)  2 cos x  3sin x 2   cos3 x  cos x  sinx  cos3x=cos(x+ ) 2      x x k    x   k   (k  ฀ )   3 x   x    k 2  x    k  12   k Đối chiếu đk ta có: x   ;k  Z 12 ThuVienDeThi.com 1b)   x y  x  y  (1)   x y   y x   (2) Điều kiện x  (*) Từ phương trình (2) ta có: x y   2 y x  (3)  x (4 y  1)  y ( x  1)  x  y  x  2 y Với x  y thay vào (3) ta có: x  y  (không thoả mãn (1)) Với x  2 y thay vào (3) thoả mãn, 2 Thay vào (1) ta có: 2  x3  (2  x ) (4) Để pt (4) có nghiệm  x  Đặt 2 , lúc (4)   x3  x  a  b  2  x3  a; x  b (a, b  0) ta có hệ  6 a  b  3  ab Ta lại có 8( a  b )  4( a  b ) a  b  (a  b)(a  b  ab)    2   6 3 3 2 Do 8( a  b )  16 hay 16  16 Có “=” a  b  hay x  1; y  ĐS: Hệ có nghiệm (1; Lưu ý (3)  x x 1 Xét hàm số f ( x)  Ta có f '( x)  1 ) 1 2 y  (2 y )  x x2  1 với x  R  với x  R suy hàm số đồng biến R ( x  4) x  Từ (3) ta có f ( x)  f (2 y )  x  2 y 2 ThuVienDeThi.com 2) Giả sử có điểm M thoả mãn yêu cầu tốn, lúc tam giác OAB vng O AB  2OA  OB  AB  4OA2  4.OA.OB  OB 5(OA2  OB )  4OA2  4.OA.OB  OB  (OA  2OB)   OA  2OB Vì A, B phân biệt nên O,A, B phân biệt suy OA, OB  OB Hệ số góc tiếp tuyến k     (1) OA 2 Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) ta có k  (2) ( x0  2)  x0  Từ (1) (2) ta tìm   x0  Với x0   M (0;0) suy phương trình tiếp tuyến là: y   x , lúc A,B trùng với O, loại Với x0   M (4; 2) suy phương trình tiếp tuyến là: y   x +4, lúc A,B phân biệt ĐS: M (4; 2) 3a) 3b S Lấy điểm D cho ABCD hình bình hành, từ giả thiết ta có ABCD hình vng cạnh a, tâm I H trọng tâm tam giác ADC Do AC  ( SBD) K Gọi K hình chiếu I lên SB, ta có D SB  ( AKC ) suy góc hai mặt phẳng T C (SAB) (SBC) góc AKC bù với H M góc AKC P N I Do AKC  600 AKC  1200 Vì SAB  SCB nên AK  CK suy A B IK  AC Nếu AKC  60 AKC tam giác đều, mà AK < AB < AC suy vô lý Nếu AKC  1200  KAI  300 a IK  AI tan 300  ฀  IK   tan SBI ฀   sin SBI IB ฀  2 a  2a SH  HB tan SBI 3 1 a3 (đvtt) VS ABC  SH S ABC  SH AB.BC  Kẻ đường thẳng qua I song song với AB cắt AD,BC M, N Ta có: d ( AB, SI )  d ( AB, ( SMN ))  d ( B, ( SMN ))  3d ( H , ( SMN )) : h Gọi P,T hình chiếu H lên MN, H lên SP, ta có h  HT Ta có HP HI a    HP  MD ID ThuVienDeThi.com 2a 153 1 36 153      h 2 153 h HS HP 4a a 4a 2a 153  d ( AB, SI )  53 Cách 1: log bc a bc  log ca ab c  log ab abc  log bc (ab.ac)  log ca (ab.bc)  log ab (ac.bc) suy  log bc ab  log bc ac  log ca ab  log ca bc  log ab ac  log ab bc Đặt log bc ab  x; log ca bc  y; log ab ac  z Vì a, b, c  (0;1) nên x, y, z  1 1 1 log bc a 2bc  log ca ab c  log ab abc  x   y   z   ( x  )  ( y  )  ( z  )  x y z y z x Cách 2: log bc a 2bc  log ca ab 2c  log ab abc   log bc a  log ca b  log ab c  ln a ln b ln c    ln bc ln ca ln ab ln a ln b ln c    (1) ln b  ln c ln c  ln a ln a  ln b Đặt x   ln a; y   ln b; z   ln c ( x, y, z  0) x y z 1     ( x  y  y  z  z  x)(   )9 (1)  yz zx x y x y yz zx log bc a  log ca b  log ab c   BĐT cuối đúng, có đpcm ThuVienDeThi.com Ta có a  b3  c  (a  b)3  c3  3ab(a  b)  (a  b  c)3  3(a  b)c(a  b  c) 3ab(a  b)  (a  b  c)3  3(a  b)(b  c)(c  a ) (*) 1 1  1  1  1  Sử dụng (*) ta có: F               x y z  x y  y z  z x   xy  yz  zx  ( x  y )( y  z )( z  x)  = ( xy  yz  zx)3  (6  x)(6  y )(6  z )  3 2 xyz x y z 64 16   Ta có (6  x)(6  y )(6  z )  216  36( x  y  z )  6( xy  yz  zx)  xyz = 6( xy  yz  zx)  suy F  ( xy  yz  zx)3  ( xy  yz  zx)  64 y  z   x  Từ giả thiết ta có   yz  x Do y, z nghiệm phương trình bậc 2: a  (6  x)a   (*) x Vì y, z > nên (*) có hai nghiệm dương    x  4 Đặt t = x(y+z) + yz = x(6-x) + x Xem t hàm số ẩn x [4  3; 4] Ta có t'(x) =  x=1 x= 1+ Lại có t(1) = t(4) = t(1+ ) = t(4-2 )=6   t  t= chẳng hạn x  4, y  z  ; t= chẳng hạn x   3, y  z   ; t  t   f (t ) 64 f '(t )  t   t  [9;6 3] suy hàm số f (t ) đồng biến [9;6 3] 64 129 27  F Do 64 129 27  Suy GTLN F ; GTNN F 64 Ta có F  HẾT ThuVienDeThi.com ... (t ) 64 f '(t )  t   t  [9;6 3] suy hàm số f (t ) đồng biến [9;6 3] 64 129 27  F Do 64 129 27  Suy GTLN F ; GTNN F 64 Ta có F  HẾT ThuVienDeThi.com ... 1 Xét hàm số f ( x)  Ta có f '( x)  1 ) 1 2 y  (2 y )  x x2  1 với x  R  với x  R suy hàm số đồng biến R ( x  4) x  Từ (3) ta có f ( x)  f (2 y )  x  2 y 2 ThuVienDeThi.com... M góc AKC P N I Do AKC  600 AKC  120 0 Vì SAB  SCB nên AK  CK suy A B IK  AC Nếu AKC  60 AKC tam giác đều, mà AK < AB < AC suy vô lý Nếu AKC  120 0  KAI  300 a IK  AI tan 300 