ｂ thi th ｖｔｅSｔ S i h c l n V n m 2013 – Tr ng THPT chuyên HSP Hà N i Câu (2 m) Cho hàm s y = x3 + 3x + 1 Kh o sát s bi n thiên v đ th (C) c a hàm s ng th ng ∆ qua m A (−1, 3) v i h s góc k Tìm giá tr c a k đ ∆ c t (C) t i m phân bi t A, D, E G i d1, d2, l n l t ti p n c a (C) t i D E Ch ng minh r ng kho ng cách t A đ n d1 d2 b ng sin 3x Câu2 (1 m) Gi i ph ng trình cot x cos 3x 2cos x Câu (1 m) Gi i h ph x xy ng trình y 3xy Câu (1 m) Tính tích phân I = Câu (1 m) cos x cos x dx cos5 x = 20o ; = 60o BCD tam giác T di n ABCD có AB = AC = AD = a, vng t i D Tính th tích kh i t di n ABCD kho ng cách gi a hai đ ng th ng AD, BC Câu (1 m) Các s th c d ng x, y thay đ i th a mãn x + 2y = Ch ng minh r ng: 25 x y 48xy Câu (1 m) Trong m t ph ng Oxy, cho hình vng ABCD v i đ nh A(0; 0) M(10; 5) trung m c a c nh BC Hãy vi t ph ng trình d ng t ng quát c nh c a hình vng ABCD Câu (1 m) Trong không gian Oxyz, cho m A (1; 1; 2), m t ph ng (P): x + y + z – = đ ng x 5 y z th ng ∆: Tìm t a đ m M thu c m t ph ng (P) cho đ ng th ng 1 ∆ kho ng cách t M đ n ∆ b ng 33 22 Câu (1 m) Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i hai u ki n sau: z z 26 2 S 3 z i l n nh t Page ThuVienDeThi.com ｂ thi th ｖｔｅSｔ S i h c l n V n m 2013 – Tr ng THPT chuyên HSP Hà N i Câu (2 m) (1 m): H c sinh t gi i (1 m) ng th ng : y = k(x + 1) + c t (C) t i m phân bi t pt sau có nghi m phân bi t x3 + 3x2 + = k(x + 1) + (x 1)(x 2x k 2) pt có nghi m phân bi t pt x2 + 2x – k – = (*) có nghi m ' k k (0,5 kđi 2m) phân bi t khác –1 1 k k0 k G i D (xD ; yD), E (xE ; yE) xD, xE nghi m c a (*) Theo h th c Viet ta có xD + xE = –2 H s góc c a ti p n t i D E k1 = y’(xD) = x2 2D 6x D , k y' ' (x E ) 3x2 E2 6x E ' Do xD,DxE 2là nghi Em c a E(*) nênE x 2D x6x D =3(k + 2) = x 2E + 6xE D Suy cácyti(xp )tuy3x n t i 6x D Ec a (C) có h s góc M t khácxD + xE = –2 = 2x A m A, D, E th ng hàng nên A trung m c a DE 6x , k Suy d (A; d1) = d (A; d2) (đpcm) Câu (1 m) cos 3x 2cos cosxx 00 i u ki n: sinx 0, cos3x (0,5 m) 4 3sin x 4sin x sin x cot x cot x Pt 3 cos x cos x 4cos x cos x sin x sin x 3(1 cot x) cot x 4cot x cot x(1 cot x) (0,5 m) 3cot x cot x cot x cot x 3cot x cot x cot x cot x x k, k Z Ki m tra u ki n ta th y th a mãn V y nghi m c a ph ng trình x = k, k Z (0,5 m) Câu (1 m) T pt x3 + xy – = suy x y x3 , thay vào pt th hai ta đ x x3 3(2 x ) x Page ThuVienDeThi.com c t t = x3 , ph ng trình tr thành t3 – 3t2 + 3t – = (t 1)3 t T ta có : x y 1 (1,0 m) 1 Câu (1 m) Ta có I = 324 4 3 4 0 0 3 cos x cos x tan x 4 dx 1.dx 0 cos4 x cos2 x 0 cos4 x dx cos x cos x 1 dx (1 tan x)dx dt dx cos x 1 t2 V i x = 02 t = ; x = t = (1 tan x) (1 t ) Ta có (0,5 m) cos x cos x cos x 11 1 53 11113 3 48 3 Suy I = (1 t ) t dt t dt t dt t t 0 0 0 11 55 11 tan x dx 48 1.dx V yI= (0,5 m) 55 dx cos Câux5 (1 đicos m) D x Trong ABC cân t i A k AH BC cos x cos x ABH vuông t i H có AB = a cos x J E H B a C BAH 600 AH F I t t = tanx dt a HB= HC= HD = (vì ∆ BCD vng) 2 Ta có HA + HD = a 3a a AD2 4 AH HD AH (BCD) ABD cân A M có BAD 600 nên ABD đ u BD a DC = BC2 BD2 a 1 a 2.a a V y VABCD AH.SBCD (đvt) (0,5 m) 2 12 Ta s t o m t ph ng ch a AD song song v i BC Qua A k đ ng th ng d song song v i BC Trong mp (BCD) k DE BC , mp (ABC) qua E k đ ng th ng song song v i AH c t d t i M Khi BC // (ADM) BC (DEM) Trong ∆DEM k EF DM đ dài EF b ng kho ng cách hai đ ng th ng AD BC Do AH (BCD) nên (BCD) (ABC) DE (ABC) DE ME Trong DEM vuông t i E có EF đ ng cao, ta có 1 (*) 2 EF ED EM Page ThuVienDeThi.com Ta có EM = AH = Do t (*) a DB.DC a , SBCD BC.DE = DB.DC DE BC 3 11 a 22 EF EF 2a a 2a 11 V y kho ng cách gi a hai đ ng th ng AD BC b ng a 22 11 (0,5 m) Câu (1 m) T gi thi t x, y > x + 2y = x 2y < y < B t đ ng th c tr thành : 2 25 (1 2y) 2y) 2y y 48y (1 (2 3y) 1 48y (1 2y) 25y(1 2y) (2 3y)(1 48y 96y3 ) 25y(1 2y) 336y3 288y 288y4 00 28y 146y2 336y 144y4 168y3 73y 73y2 14y 14y 11 00 (12y2 7y 1)2 (đpcm) (1,0 m) Câu (1 m) G i đ dài c nh hình vng 2a, AM2 = AB2 + BM2 = 5a2, D mà AM2 = 125 a MB2 G i H(x; y), MA MH 5MH MA A MH MA h ng MA 5(x 10) 10 x H: 5(y 5) 5 y K BH AM MH i m B giao c a đ (0,5 m) C H M B ng th ng qua H vng góc v i AM đ ng trịn đ ng kính AM Ta có AM(10;5) Ph ng trình đ ng th ng BH: 2x + y – 20 = Ph ng trình đ ng trịn đ 125 ng kính AM: (x 5) (y ) G i B (t; 20 – 2t) (t 5)2 ( t 10 35 125 2t) t 16t 60 t6 V i t = 10 Ta có B (10; 0) C (10; 10) Khi ph ng trình c nh c a hình vng ABCD là: AB: y = 0, BC: x = 10, CD: y = 10 AD: x = Page ThuVienDeThi.com V i t = Ta có B(6; 8) C(14; 2) Khi ph ng trình c nh c a hình vng ABCD là: AB: 4x – 3y = 0, BC: 2x + 4y – 50 = 0, CD: 4x – 3y – 50 = 0, AD: 3x + 4y = (0,5 m) Câu (1 m) ∆ ng th ng AM thu c m t ph ng (Q) vng góc v i Ph ng trình (Q): x + y – z = Giao m c a (Q) v i m H ( 2; 1;1 ) Giao n d c a (F) (Q) có vect ch ph ng duud ph A H d M Q 1 1 1 1 , , ng v i vect n p , n Q 2; 2;0 1 1 1 Ch n u d (1; 1;0) (0,5 m) xt ng trình c a d : y t M(t;1 t;1) z 1 i m N (0 ; ; 1) d , suy ph Ta có d(M, ) = MH = (2 t)2 (2 t) 18 t ho c t 1 1; 2;1) V y có hai m th a mãn toán : M1 (5; 4) M2 (1;2;1) (0,5 m) Câu (1 m) Gi s z = x + yi; x, y R Ta có z z 26 (x 2) y2 (x 2) y 26 2 x y2 Suy t p h p m bi u di n s ph c z th a mãn u ki n đ ng tròn (S) tâm g c t a đ O, bán kính R = 3 2 2 i x Ta có z y (0,5 m) 2 3 3 3 Vì ; nên m K thu c đ 2 2 G i m M (x ; y) m thu c (S), 2 3 2 2 z i x y MK 2 2 Page ThuVienDeThi.com ng tròn (S) 3 Suy z i l n nh t MK l n nh t MK đ 2 ng kính c a (S) 3 2 ; M 2 V yz= 3 i 2 (0,5 m) Page ThuVienDeThi.com ... a hình vng ABCD là: AB: 4x – 3y = 0, BC: 2x + 4y – 50 = 0, CD: 4x – 3y – 50 = 0, AD: 3x + 4y = (0,5 m) Câu (1 m) ∆ ng th ng AM thu c m t ph ng (Q) vng góc v i Ph ng trình (Q): x + y – z = Giao...ｂ thi th ｖｔｅSｔ S i h c l n V n m 2013 – Tr ng THPT chuyên HSP Hà N i Câu (2 m) (1 m): H c sinh t gi i (1 m) ng th ng : y = k(x... BD a DC = BC2 BD2 a 1 a 2.a a V y VABCD AH.SBCD (đvt) (0,5 m) 2 12 Ta s t o m t ph ng ch a AD song song v i BC Qua A k đ ng th ng d song song v i BC Trong mp (BCD) k DE BC , mp