Đề thi thử Đại học lần V năm 2013 môn Toán – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội25153

ｂ thi th ｖｔｅSｔ S i h c l n V n m 2013 – Tr ng THPT chuyên HSP Hà N i Câu (2 m) Cho hàm s y = x3 + 3x + 1 Kh o sát s bi n thiên v đ th (C) c a hàm s ng th ng ∆ qua m A (−1, 3) v i h s góc k Tìm giá tr c a k đ ∆ c t (C) t i m phân bi t A, D, E G i d1, d2, l n l t ti p n c a (C) t i D E Ch ng minh r ng kho ng cách t A đ n d1 d2 b ng sin 3x Câu2 (1 m) Gi i ph ng trình  cot x cos 3x  2cos x Câu (1 m) Gi i h ph  x  xy   ng trình   y  3xy   Câu (1 m) Tính tích phân I =   Câu (1 m) cos x  cos x dx cos5 x = 20o ; = 60o BCD tam giác T di n ABCD có AB = AC = AD = a, vng t i D Tính th tích kh i t di n ABCD kho ng cách gi a hai đ ng th ng AD, BC Câu (1 m) Các s th c d ng x, y thay đ i th a mãn x + 2y = Ch ng minh r ng: 25   x y  48xy Câu (1 m) Trong m t ph ng Oxy, cho hình vng ABCD v i đ nh A(0; 0) M(10; 5) trung m c a c nh BC Hãy vi t ph ng trình d ng t ng quát c nh c a hình vng ABCD Câu (1 m) Trong không gian Oxyz, cho m A (1; 1; 2), m t ph ng (P): x + y + z – = đ ng x 5 y  z  th ng ∆: Tìm t a đ m M thu c m t ph ng (P) cho đ ng th ng   1 ∆ kho ng cách t M đ n ∆ b ng 33 22 Câu (1 m) Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i hai u ki n sau: z   z   26 2 S 3  z   i  l n nh t    Page ThuVienDeThi.com ｂ thi th ｖｔｅSｔ S i h c l n V n m 2013 – Tr ng THPT chuyên HSP Hà N i Câu (2 m) (1 m): H c sinh t gi i (1 m) ng th ng  : y = k(x + 1) + c t (C) t i m phân bi t  pt sau có nghi m phân bi t x3 + 3x2 + = k(x + 1) +  (x  1)(x  2x  k  2)  pt có nghi m phân bi t pt x2 + 2x – k – = (*) có nghi m  '   k   k (0,5 kđi 2m)    phân bi t khác –1 1 k k0     k            G i D (xD ; yD), E (xE ; yE) xD, xE nghi m c a (*) Theo h th c Viet ta có xD + xE = –2 H s góc c a ti p n t i D E k1 = y’(xD) = x2 2D  6x D , k  y' ' (x E )  3x2 E2  6x E ' Do xD,DxE 2là nghi Em c a E(*) nênE x 2D x6x D =3(k + 2) = x 2E + 6xE D Suy cácyti(xp )tuy3x n t i 6x D Ec a (C) có h s góc  M t khácxD + xE = –2 = 2x A m A, D, E th ng hàng nên A trung m c a DE 6x , k Suy d (A; d1) = d (A; d2) (đpcm) Câu (1 m) cos 3x 2cos cosxx 00 i u ki n: sinx  0, cos3x (0,5 m) 4 3sin x  4sin x sin x   cot x cot  x Pt  3 cos x cos x 4cos x  cos x  sin x sin x 3(1  cot x)    cot x 4cot x  cot x(1  cot x) (0,5 m) 3cot x   cot x   cot x  cot x   3cot x  cot x cot x   cot x   x   k, k  Z Ki m tra u ki n ta th y th a mãn  V y nghi m c a ph ng trình x =  k, k  Z (0,5 m) Câu (1 m) T pt x3 + xy – = suy x  y   x3 , thay vào pt th hai ta đ x   x3     3(2  x )    x  Page ThuVienDeThi.com c t t = x3  , ph ng trình tr thành t3 – 3t2 + 3t – =  (t  1)3   t   T ta có : x   y  1 (1,0 m) 1 Câu (1 m)  Ta có I = 324 4 3 4 0 0   3 cos x  cos x tan x 4 dx 1.dx    0 cos4 x cos2 x 0 cos4 x dx cos x cos x 1 dx  (1  tan x)dx  dt  dx cos x 1 t2  V i x = 02 t = ; x = t =  (1  tan x)  (1  t ) Ta có (0,5 m) cos x cos x cos x 11 1 53 11113 3 48 3 Suy I = (1 t ) t dt t dt t dt t  t        0 0 0 11 55 11 tan x dx 48 1.dx V yI= (0,5 m) 55 dx cos Câux5 (1 đicos m) D x Trong ABC cân t i A k AH  BC cos x cos x  ABH vuông t i H có AB = a cos x  J E H  B a C BAH  600  AH  F  I  t t = tanx  dt  a  HB= HC= HD = (vì ∆ BCD vng)  2 Ta có HA + HD = a 3a   a  AD2 4  AH  HD AH  (BCD) ABD cân A M có BAD  600 nên ABD đ u  BD  a DC = BC2  BD2  a 1 a 2.a a V y VABCD  AH.SBCD  (đvt) (0,5 m)  2 12 Ta s t o m t ph ng ch a AD song song v i BC Qua A k đ ng th ng d song song v i BC Trong mp (BCD) k DE  BC , mp (ABC) qua E k đ ng th ng song song v i AH c t d t i M Khi BC // (ADM) BC  (DEM) Trong ∆DEM k EF  DM đ dài EF b ng kho ng cách hai đ ng th ng AD BC Do AH  (BCD) nên (BCD)  (ABC)  DE  (ABC)  DE  ME Trong DEM vuông t i E có EF đ ng cao, ta có 1   (*) 2 EF ED EM Page ThuVienDeThi.com Ta có EM = AH = Do t (*) a DB.DC a , SBCD  BC.DE = DB.DC  DE   BC 3 11 a 22     EF  EF 2a a 2a 11 V y kho ng cách gi a hai đ ng th ng AD BC b ng a 22 11 (0,5 m) Câu (1 m) T gi thi t x, y > x + 2y =  x   2y < y < B t đ ng th c tr thành : 2 25   (1 2y) 2y)  2y y  48y (1  (2  3y) 1  48y (1  2y)   25y(1  2y)  (2  3y)(1  48y  96y3 )  25y(1  2y)  336y3  288y 288y4  00   28y  146y2  336y  144y4 168y3  73y 73y2 14y 14y 11 00  (12y2  7y  1)2  (đpcm) (1,0 m) Câu (1 m) G i đ dài c nh hình vng 2a, AM2 = AB2 + BM2 = 5a2, D mà AM2 = 125  a  MB2  G i H(x; y), MA MH   5MH  MA A MH MA h ng MA 5(x 10)  10 x    H:  5(y  5)  5 y  K BH  AM  MH  i m B giao c a đ (0,5 m) C H M B ng th ng qua H vng góc v i AM đ ng trịn đ ng kính AM Ta có AM(10;5) Ph ng trình đ ng th ng BH: 2x + y – 20 = Ph ng trình đ ng trịn đ 125 ng kính AM: (x  5)  (y  )  G i B (t; 20 – 2t)  (t  5)2  (  t  10 35 125  2t)   t  16t  60    t6 V i t = 10 Ta có B (10; 0)  C (10; 10) Khi ph ng trình c nh c a hình vng ABCD là: AB: y = 0, BC: x = 10, CD: y = 10 AD: x = Page ThuVienDeThi.com V i t = Ta có B(6; 8)  C(14; 2) Khi ph ng trình c nh c a hình vng ABCD là: AB: 4x – 3y = 0, BC: 2x + 4y – 50 = 0, CD: 4x – 3y – 50 = 0, AD: 3x + 4y = (0,5 m) Câu (1 m) ∆ ng th ng AM thu c m t ph ng (Q) vng góc v i  Ph ng trình (Q): x + y – z = Giao m c a (Q) v i  m H ( 2; 1;1 ) Giao n d c a (F) (Q) có vect ch ph ng duud ph A H d M Q 1 1 1 1 , , ng v i vect  n p , n Q       2; 2;0   1 1 1  Ch n u d  (1;  1;0) (0,5 m)  xt  ng trình c a d :  y   t  M(t;1  t;1)  z 1  i m N (0 ; ; 1)  d , suy ph Ta có d(M,  ) = MH =  (2  t)2  (2  t)  18  t  ho c t  1 1; 2;1) V y có hai m th a mãn toán : M1 (5;  4) M2 (1;2;1) (0,5 m) Câu (1 m) Gi s z = x + yi; x, y  R Ta có z   z   26  (x  2)  y2  (x  2)  y  26 2  x  y2  Suy t p h p m bi u di n s ph c z th a mãn u ki n đ ng tròn (S) tâm g c t a đ O, bán kính R = 3   2  2  i    x  Ta có z      y         (0,5 m) 2 3  3  3  Vì  ;      nên m K   thu c đ 2 2       G i m M (x ; y) m thu c (S), 2  3  2  2 z   i    x      y    MK 2 2       Page ThuVienDeThi.com ng tròn (S) 3  Suy z    i  l n nh t  MK l n nh t  MK đ 2   ng kính c a (S)  3 2 ;  M    2   V yz=  3  i 2 (0,5 m) Page ThuVienDeThi.com ... a hình vng ABCD là: AB: 4x – 3y = 0, BC: 2x + 4y – 50 = 0, CD: 4x – 3y – 50 = 0, AD: 3x + 4y = (0,5 m) Câu (1 m) ∆ ng th ng AM thu c m t ph ng (Q) vng góc v i  Ph ng trình (Q): x + y – z = Giao...ｂ thi th ｖｔｅSｔ S i h c l n V n m 2013 – Tr ng THPT chuyên HSP Hà N i Câu (2 m) (1 m): H c sinh t gi i (1 m) ng th ng  : y = k(x... BD  a DC = BC2  BD2  a 1 a 2.a a V y VABCD  AH.SBCD  (đvt) (0,5 m)  2 12 Ta s t o m t ph ng ch a AD song song v i BC Qua A k đ ng th ng d song song v i BC Trong mp (BCD) k DE  BC , mp