Lượng giác Một số Chuyên đề và ứng dụng23172

L NG GIÁC M T S CHUYểN T P : BI N IL VÀ NG D NG NG GIÁC VÀ H TH C L NG VÕ ANH KHOA ậ HOÀNG BÁ MINH ThuVienDeThi.com VÕ ANH KHOA ậ HOÀNG BÁ MINH L NG GIÁC M T S CHUYểN T P : BI N IL VÀ NG D NG NG GIÁC VÀ H TH C L TP H CHÍ MINH, THÁNG ậ 2011 ThuVienDeThi.com NG L I NịI U Cu n sách “L NG GIÁC ậ M T S CHUYểN VÀ NG D NG” nƠy đ c biên so n v i m c đích cung c p, b sung ki n th c cho h c sinh THPT m t s b n đ c quan tơm đ n m ng ki n th c trình h c t p làm vi c cu n sách này, vi c đ a nh ng khái ni m d ng t p c b n, chúng tơi s thêm vƠo l ch s ng d ng c a môn h c đ b n hi u rõ h n “Nó xu t phát t đơu vƠ t i l i ph i h c nó?” ch ng chính, chúng tơi chia lƠm ph n : Ph n I : Nêu lý thuy t ví d minh h a sau đó, giúp b n đ c hi u bi t cách trình bày ng th i đ a d ng toán c b n, th ng g p trình làm l p c a h c sinh THPT ph n này, s trình bày m t s bƠi đ b n đ c có th n m v ng h n, tránh sai sót Ph n II : Trong q trình tham kh o t ng h p tài li u, s đ a vào ph n d ng tốn khó nh m giúp cho h c sinh b i d ng, rèn luy n k n ng gi i L NG GIÁC thành th o h n g p ph i nh ng d ng tốn Ph n III : Chúng tơi s đ a l i gi i g i ý cho m t s bƠi, qua b n đ c ki m tra l i đáp s , l i gi i ho c c ng có th tham kh o thêm Trong trình biên so n, m c dù đư c g ng b ng vi c tham kh o m t l ng r t l n tài li u có s n ti p thu có ch n l c ý ki n t b n đ ng nghi p đ d n hoàn thi n cu n sách nƠy, nh ng khó tránh kh i nh ng thi u sót b i t m hi u bi t kinh nghi m h n ch , r t mong nh n đ c ý ki n đóng góp quỦ báu c a b n đ c g n xa Chi ti t liên h t i : anhkhoavo1210@gmail.com minh.9a1.dt@gmail.com CÁC TÁC GI VÕ ANH KHOA ậ HOÀNG BÁ MINH ThuVienDeThi.com L IC M N Trong q trình biên so n, chúng tơi xin cám n đ n nh ng b n đư cung c p tài li u tham kh o vui lòng nh n ki m tra l i t ng ph n c a b n th o ho c b n đánh máy, t o u ki n hoàn thành cu n sách : - Tô Nguy n Nh t Minh ( H Qu c T Tp.HCM) Ngô Minh Nh t ( H Kinh T Tp.HCM) Mai Ng c Th ng ( H Kinh T Tp.HCM) Tr n Lam Ng c (THPT Chuyên Tr n i Ngh a Tp.HCM) Nguy n Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê H ng Phong Tp.HCM) Nguy n Hoài Anh (THPT Chuyên Phan B i Châu Tp.Vinh) Phan c Minh ( H Khoa H c T Nhiên Hà N i) m t s thành viên di n đƠn MathScope ThuVienDeThi.com M CL C T P : BI N IL CH NG : S CH NG : CÁC BI N 2.1 L NG GIÁC NG TH C L NG GIÁC LUY N 15 LUY N 33 CH NG MINH L NG TH C L NG GIÁC KHÁC CHO TR BÀI T P T 2.4 IL NG TÍNH GIÁ TR C A BI U TH C 21 BÀI T P T 2.3 C V KHÁI NI M VÀ L CH S CH NG MINH M T BÀI T P T 2.2 NG GIÁC VÀ H TH C L NG GIÁC SUY T NG TH C C 36 LUY N 45 CH NG MINH BI U TH C L NG GIÁC KHÔNG PH THU C VÀO BI N S 46 BÀI T P T CH 3.1 NG : H TH C L CH NG MINH BÀI T P T 3.2 LUY N 51 NG TRONG TAM GIÁC 52 NG TH C L NG GIÁC TRONG TAM GIÁC 55 LUY N 77 CH NG MINH B T NG TH C L NG GIÁC TRONG TAM GIÁC 81 BÀI T P T 3.3 LUY N 133 NH N D NG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GĨC TRONG TAM GIÁC 143 BÀI T P T LUY N 191 ThuVienDeThi.com C THÊM : TÓM L C TI U S CÓ NH H NG CÁC NHÀ KHOA H C NL NG GIÁC 199 TÀI LI U THAM KH O 205 ThuVienDeThi.com Ch ng : S l c v khái ni m l ch s CH S L NG C V KHÁI NI M VÀ L CH S I KHÁI NI M Trong toán h c nói chung vƠ l ng giác h c nói riêng, hƠm l ng giác hàm toán h c c a góc, đ c dùng nghiên c u tam giác hi n t ng có tính ch t tu n hoƠn Các hƠm l ng giác c a m t góc th ng đ c đ nh ngh a b i t l chi u dài hai c nh c a tam giác vuông ch a góc đó, ho c t l chi u dài gi a đo n th ng n i m đ c bi t vòng tròn đ n v Sơu xa h n, khía c nh hi n đ i h n, đ nh ngh a hƠm l ng giác chu i vô h n ho c nghi m c a ph ng trình vi phơn, u cho phép hƠm l ng giác có th có đ i s m t s th c hay m t s ph c b t k ( D ng đ th hàm sin ) II L CH S Nh ng nghiên c u m t cách h th ng vi c l p b ng tính hƠm l ng giác đ c cho th c hi n đ u tiên b i Hipparchus(1) (180-125 TCN), ng i đư l p b ng tính đ dài cung trịn chi u dài c a dơy cung t ng ng Sau đó, Ptomely(2) ti p t c phát tri n cơng trình, tìm cơng th c c ng tr cho , Ptomely c ng đư suy di n đ c công th c h b c, cho phép ơng l p b ng tính v i b t k đ xác c n thi t Tuy nhiên, nh ng b ng tính đ u đư b th t truy n Các phát tri n ti p theo di n n , công trình c a Surya Siddhanta(3) (th k 4-5) đ nh ngh a hƠm sin theo n a góc n a dơy cung n th k 10, ng i R p đư dùng c hƠm l ng giác c b n v i đ xác đ n ch s th p phân Các cơng trình đ u tiên v hƠm l ng giác c b n đ u đ c phát tri n nh m ph c v cơng trình thiên v n h c, c th lƠ dùng đ tính tốn đ ng h m t tr i ThuVienDeThi.com Ch ng : S l c v khái ni m l ch s NgƠy nay, chúng đ c dùng đ đo kho ng cách t i g n, gi a m c gi i h n hay h th ng hoa tiêu v tinh R ng h n n a, chúng đ c áp d ng vào nhi u l nh v c khác : quang h c, phân tích th tr ng tƠi chính, n t h c, lý thuy t xác su t, th ng kê, sinh h c, d c khoa, hóa h c, lý thuy t s , đ a ch n h c, khí t ng h c, h i d ng h cầ Ta l y ví d t m t tốn sau trích t Lucia C Hamson, Daylight, Twilight, Darkness and Time : Vi c mơ hình hóa v s gi chi u sáng c a m t tr i hàm th i gian n m t i nhi u v đ khác Cho bi t Philadelphia n m v đ B c, tìm hàm bi u th s gi chi u sáng c a m t tr i t i Philadelphia Chú ý r ng m i đ ng cong t ng t v i m t hàm s sin mà b di chuy n kéo c ng T i đ cao c a Philadelphia, th i gian chi u sáng kéo dài 14,8 gi vào ngày 21 tháng 9,2 gi vào ngày 21 tháng 12, v y nên biên đ c a đ ng cong (h s kéo c ng theo chi u d c) : H s mà c n đ kéo c ng đ th hình sin theo chi u ngang n u đo th i gian ngày? B i có 365 ngƠy/ n m, chu k c a mơ hình nên 365 Nh ng mƠ giai đo n c a , nên h s kéo c ng theo chi u ngang : ThuVienDeThi.com Ch ng : S l c v khái ni m l ch s Chúng ta c ng đ ý r ng đ ng cong b t đ u m t chu trình c a vào ngày 21 tháng 3, ngày th 80 c a n m nên ph i ph i d ch chuy n đ ng cong v bên ph i 80 đ n v Ngoài ra, ph i đ a lên 12 đ n v Do mơ hình hóa s gi chi u sáng c a c a m t tr i n m Philadelphia vào ngày th c a n m b ng hàm s : ThuVienDeThi.com Ch ng : Các bi n đ i l ng giác CH NG CÁC BI N IL NG GIÁC I B NG GIÁ TR L NG GIÁC C A CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN BI T Ta g i cung có liên quan đ c bi t v i cung cung : iv i : - Bù v i : - Hi u - H n v i : v i : cos sin tan cot Ngoài ra, có m t s hƠm l II CƠNG TH C L CÔNG TH C C ng giác khác : NG GIÁC B N ThuVienDeThi.com C Ch ng : Các bi n đ i l ng giác T hình v th c ti n trên, ta rút đ CÔNG TH C C NG a CÔNG TH C NHÂN CÔNG TH C NHÂN b CƠNG TH C NHÂN c m t s cơng th c c b n v hƠm l ng giác : Công th c t ng quát đ i v i hàm tan : ThuVienDeThi.com Ch ng : Các bi n đ i l ng giác c CÔNG TH C TÍNH THEO d CƠNG TH C H B C a CƠNG TH C BI N TÍCH THÀNH T NG b T NG THÀNH TÍCH I ThuVienDeThi.com Ch ng : Các bi n đ i l c ng giác CƠNG TH C B SUNG Trong III - - CÁC LO I TOÁN VÀ PH NG PHÁP GI I CH NG MINH M T NG TH C L NG GIÁC Ta th ng s d ng ph ng pháp : bi n đ i v ph c t p ho c nhi u s h ng thành v đ n gi n; bi n đ i t ng đ ng; xu t phát t đ ng th c nƠo đó, bi n đ i v đ ng th c c n ch ng minh Trong bi n đ i ta s d ng cơng th c thích h p h ng đ n k t qu ph i đ t đ c L u Ủ m t s công th c ph i ch ng minh tr c s d ng Bài 1: Ch ng minh đ ng th c sau : a b Gi i: a Ta có : b Ta có : ThuVienDeThi.com Ch ng : Các bi n đ i l ng giác Bài 2: Ch ng minh đ ng th c sau : Gi i: a Ta có : b Ta có u c n ch ng minh t ng đ ng v i i u hi n nhiên nên ta có u ph i ch ng minh c Ta có : d Ta có : ThuVienDeThi.com Ch ng : Các bi n đ i l ng giác Bài 3: Ch ng minh : a b Suy giá tr : Gi i: a Ta có : V y ta có u ph i ch ng minh b Ta có : Nên V y Bài 4: Ch ng minh Áp d ng tính t ng sau : ThuVienDeThi.com Ch ng : Các bi n đ i l ng giác Gi i: Ta có : Suy Vì Nên Bài 5: Cho v i Ch ng minh Gi i: Ta có : 10 ThuVienDeThi.com Ch ng : Các bi n đ i l ng giác Nên Khi - thì V y ta có u ph i ch ng minh Bài 6: Ch ng minh ( H Ơ N ng 1998) Gi i: t Ta có : Do Bài 7: Ch ng minh 11 ThuVienDeThi.com Ch ng : Các bi n đ i l ng giác Gi i: Ta có u c n ch ng minh t ng đ ng v i i u hi n nhiên nên ta có u ph i ch ng minh Bài 8: Ch ng minh Gi i: Ta có : Do đó, ta có u ph i ch ng minh Bài 9: Ch ng minh Gi i: Ta có : 12 ThuVienDeThi.com Ch ng : Các bi n đ i l ng giác Do đó, ta có u ph i ch ng minh Bài 10: Ch ng minh ( HSP H i Phòng 2001) Gi i: t Ta có : Áp d ng cơng th c trên, ta đ Nhân l i, ta đ c: c: V y 13 ThuVienDeThi.com Ch ng : Các bi n đ i l ng giác Bài 11: Ch ng minh r ng Gi i:  Ta có : S d ng công th c nƠy, ta đ c: ……………………………………… C ng l i, ta có đ c u ph i ch ng minh  Ta s d ng công th c Ta có : V y ta có u ph i ch ng minh  Ta s d ng cơng th c Ta có : V y ta có u ph i ch ng minh 14 ThuVienDeThi.com ... TAM GIÁC 52 NG TH C L NG GIÁC TRONG TAM GIÁC 55 LUY N 77 CH NG MINH B T NG TH C L NG GIÁC TRONG TAM GIÁC 81 BÀI T P T 3.3 LUY N 133 NH N D NG TAM GIÁC VÀ... 2.3 C V KHÁI NI M VÀ L CH S CH NG MINH M T BÀI T P T 2.2 NG GIÁC VÀ H TH C L NG GIÁC SUY T NG TH C C 36 LUY N 45 CH NG MINH BI U TH C L NG GIÁC KHÔNG PH THU C VÀO BI N S ... HOÀNG BÁ MINH L NG GIÁC M T S CHUYểN T P : BI N IL VÀ NG D NG NG GIÁC VÀ H TH C L TP H CHÍ MINH, THÁNG ậ 2011 ThuVienDeThi.com NG L I NịI U Cu n sách “L NG GIÁC ậ M T S CHUYểN VÀ NG D NG” nƠy đ