Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi23087

Tập toán đường tròn đề thi Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x  y  2x  8y   Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Hướng dẫn: Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0 A 3   m m   - IH khoảng cách từ I đến d' : IH  K 5 x+2y-5=0  AB  - Xét tam giác vuông IHB : IH  IB     25   16   m  1  C  m  19  d ' : x  y  19  B(2;-1) H  16  m   20   25  m  21  d ' : x  y  21  3x-4y+27=0 2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x  y  x  y   đường thẳng d : x  y   Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ đến Hướng dẫn: - M thuộc d suy M(t;-1-t) Nếu tiếp tuyến vng góc với MAIB hình vng ( A,B tiếp điểm ) Do AB=MI= IA =R =  - Ta có : MI  2  t   2  t  - Do : A  2t   I(2;1)     t    M  2;  M 2t   12  t    t   M 2;    x+y+1=0 * Chú ý : Ta cách khác - Gọi d' đường thẳng qua M có hệ số góc k suy d' có phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) 2k  kt  t  - Nếu d' tiếp tuyến (C) kẻ từ M d(I;d')=R   1 k B  2  t k  t    1  k  t  4t  k  t  2  t k  t  4t    t  4t    - Từ giả thiết ta có điều kiện :   '  4  t  t   4t t   4t    t  4t   1  t  4t  t     k1  k2   2 -   '  t 19  t   t      k1 ; k2  M 2 k k  1  t  Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: x  y  x   Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường trịn (C’), bán kính R’ = tiếp xúc với (C) A Hướng dẫn: - (C) có I( 2 3;0 ), R= Gọi J tâm đường trịn cần tìm : Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: Tập toán đường tròn đề thi J(a;b)  C ' : x  a    y  b   2 y -Do (C) (') tiếp xúc với khoảng cách IJ =R+R'  a    b 2 A(0;2)     a  3a  b  28 2 - Vì A(0;2) tiếp điểm : 0  a   2  b   2   x I(-2 ;0)   a   b  36 2  a  3a  b  24 - Do ta có hệ :   2 a  4b  b  a  2  b 2  - Giải hệ tìm : b=3 a=   C ' : x     y  3 2 4 * Chú ý : Ta có cách giải khác - Gọi H hình chiếu vng góc J Ox suy OH a JH b IA IO OA - Xét tam giác đồng dạng : IOA IHJ suy :      IJ IH HJ a2 b - Từ tỷ số ta tìm : b=3 a= Bài Trongmặtphẳngtoạđộ Oxy chođườngtròn (C) : x2 + y2 + 4x – 6y + = vàđiểm M( 1; 8).Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d qua M saocho d cắt (C) tạihaiđiểm A,B phânbiệtmàdiệntích tam giác ABI đạtgiátrịlớnnhất Hướng dẫn: Bài Với I làtâmcủađườngtròn (C).Cho A(1 ; 4) vàhaiđườngthẳng b : x + y – = ; c : x + y – = Tìmđiểm B trênb ,điểm C c saocho tam giác ABC vuôngcântại A Hướng dẫn: Bài Hướng dẫn: * Dễ dàng xác định đỉnh C đối xứng với A qua tâm I(1,-2) => C(0;2) * Do diện tích ABC suy 104 d(B;AC)= B giao điểm đường thẳng song song với AC cách AC khoảng ; với đường tròn (C) Kết ta có điểm B có tọa độ (0.00, 0.00);;(2.00, –4.00) A(2;0) O E I I C(0;-4) H Bài Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: Tập toán đường tròn đề thi 10 Hướng dẫn: * Đường trịn (C) có tâm H(1;-2); bán kính R=5 tiếp xúc với đường thẳng (d) A'(4;2) * Tam giác ABC có trực tâm H, hai đỉnh B C thuộc (d) A' chân đường cao thuộc BC A thuộc (C) nên AA' đường kính A(-2;-5) * trung 20 điểm F 15AB thuộc (C) nên 25 10 HF//= A'B =>A'B=10 Từ ta tìm tọa độ B= (12;-4) * Do C thuộc (d) nên tọa độ C thỏa mãn C A' E hệ thức:CA' =tA'B CH AB =0 => C(0;5) Tọa độ đỉnh tam giác : 10 H B F A A=(-2;-5);B= (12;-4);C=(0;5) 10 12 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x  y – x – y   0, (C ') : x  y  x –  qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Hướng dẫn: * Cách   x   at - Gọi d đường thẳng qua M có véc tơ phương u  a; b   d :   y  bt - Đường tròn C1  : I1 1;1, R1  C2  : I 2;0 , R2  , suy : C1 : x  1   y  1 2  1, C2  : x    y  t   M  2ab 2b  - Nếu d cắt C1  A :  a  b t  2bt    A   ;  2 2  t  2b  a b a b   a b t   M  6a 6ab  2 - Nếu d cắt C2  B :  a  b t  6at     B 1  ; a  t   a  b2   a b a b  2 - Theo giả thiết : MA=2MB  MA  MB * 2 2 2  6a 2  6ab 2   2ab   2b       - Ta có :  2      a b   a b   a  b   a  b   b  6a  d : x  y   4b 36a    b  36a   2 a b a b b  a  d : x  y   * Cách - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k=  ( Học sinh tự làm ) Bài Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trịn có phương trình C1  : x  y  y   C2 : x  y  x  y  16  Lập phương trình tiếp tuyến chung C1  C2  Hướng dẫn: : - Ta có : C1 : x   y     I1 0; , R1  3, - Nhận xét : I1 I    C2 : x  3   y   13     C1  không cắt C2  Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com   I 3; 4 , R2  Page: Tập toán đường tròn ñeà thi - Gọi d : ax+by+c =0 ( a  b  ) tiếp tuyến chung , : d I1 , d   R1 , d I , d   R2  2b  c  1  2b  c 3a  4b  c 3a  4b  c  2b  c  a  b2     2b  c  3a  4b  c   a  b2 a  b2 3a  4b  c  2b  c  3a  4b  c     a  b2   a  2b  Mặt khác từ (1) : 2b  c   a  b  3a  2b  2c  - Trường hợp : a=2b thay vào (1) :  2b  5c b  2b  c   4b2  b2  41b2  4bc  c  0. 'b  4c  41c  45c   23 c b   - Do ta có hai đường thẳng cần tìm :     2  x  2  y    2  x   y       2  x  2  y    2  x   y   d :     d1 : - Trường hợp : c  2b  3a , thay vào (1) : 2b  2b  3a a b 2   2b  a  a  b a  b0c b  0, a  2c  2 2  2b  a   a  b  3b  4ab     b  4a , a  6c a a b  c   - Vậy có đường thẳng : d3 : x   , d : x  y   Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Hướng dẫn: - Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15 (C') có J(1;2) R'=5 Gọi d tiếp tuyến chung có phương trình : ax+by+c=0 ( a  b  ) 5a  12b  c a  2b  c - Khi ta có : h I , d    15 1, h J , d    2  a  b2 a  b2 5a  12b  c  3a  6b  3c - Từ (1) (2) suy : 5a  12b  c  a  2b  c   5a  12b  c  3a  6b  3c  a  9b  c  Thay vào (1) : a  2b  c  a  b ta có hai trường hợp :  2a  b  c  - Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) : 2a  7b   25 a  b  21a  28ab  24b  Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: Tập toán đường tròn đề thi   14  10  14  10 175  10  d :  0 a   x  y  21 21 21    Suy :   a  14  10  d :  14  10  x  y  175  10     21 21 21    - Trường hợp : c  2a  b  1 : 7b  2a   100 a  b  96a  28ab  51b  Vô nghiệm ( Phù hợp : IJ  16  196  212  R  R '   15  20  400 Hai đường tròn cắt ) Bài 11 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + = điểm M (2;4) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn điểm A B, cho M trung điểm AB 2 Hướng dẫn: - Đường tròn (C) : x  1   y  3   I 1;3, R  2, PM /(C )     2   M nằm hình trịn (C)   x   at - Gọi d đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ phương u  a; b   d :   y   bt - Nếu d cắt (C) A,B : at  1  bt  1   a  b t  a  b t   1 ( có nghiệm t ) 2 Vì điều kiện :  '  a  b   a  b  3a  2ab  3b  * - Gọi A 2  at1 ;  bt1 , B 2  at2 ;  bt2   M trung điểm AB ta có hệ : 4  a t1  t2   a t1  t2      t1  t2  Thay vào (1) áp dụng vi ét ta : 8  b t1  t2   b t1  t2   a  b  x2 y4  t1  t2     a  b   a  b  d :   d : x y6  1 a b Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng  cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 2 Hướng dẫn: - (C) : x  1   y  m   25  I (1; m), R  m  y   x  - Nếu d : mx +4y=0 cắt (C) điểm A,B  2  m  16  x    m  x  m  24  1  16    m   m   - Điều kiện :  '  m  25   m  R Khi gọi A  x1 ;  x1  , B  x2 ;  x2      m2 m  16 m  25 x x x x      1 16 m  16 m  4m 5m  - Khoảng cách từ I đến d = m  16 m  16 5m 1 m  25 m  25  5m  12 - Từ giả thiết : S  AB.d  2 m  16 m  16 m  16  AB  x2  x1   Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: Tập toán đường tròn đề thi m  25   25m m  25  m  16  m  16 - Ta có phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp Bài 13 Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + = Hướng dẫn: Gọi M trung điểm AB suy M(3;3 ) d' đường trung trực AB d' có phương trình : 1.(x-3)2(y-3)=0 , hay : x-2y+3=0 - Tâm I (C) nằm đường thẳng d' I(2t-3;t) (*) 2t  3  t  5t 10 - Nếu (C) tiếp xúc với d h I , d   R    t  R (1) 10 10  5m - Mặt khác : R=IA= 5  2t   5  t  (2) - Thay (2) vào (1) : 5  2t   5  t   2 2 10 t  5t  30t  50  10t 2 t   34  t  12t     Thay giá trị t vào (*) (1) ta tìm tọa độ tâm I bán kính R t   34  (C) * Chú ý : Ta sử dụng phương trình (C) : x  y  2ax  2by  c  ( có ẩn a,b,c) - Cho qua A,B ta tạo phương trình Cịn phương trình thứ sử dụng điều kiện tiếp xúc (C) d : khoảng cách từ tâm tới d bán kính R Bài 14 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường trịn (C') tâm M(5, 1) biết (C') A (C) điểm A, B cho AB  Hướng dẫn: - Đường tròn (C) : H 2 x  1   y     I 1; 2  , R  I M - Gọi H giao AB với (IM) Do đường trịn (C') tâm M có bán kính R' = MA Nếu AB=  IA  R , tam giác B 3  ( đường cao 2 tam giác ) Mặt khác : IM=5 suy HM=   2 AB 49 - Trong tam giác vng HAM ta có MA2  IH     13  R '2 4 2 - Vậy (C') : x     y  1  13 IAB tam giác , IH= Bi 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 + (y+2)2 = đường thẳng d: x + y + m = Tìm m để đường thẳng d có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vu«ng x+y+m=0 Hướng dẫn: - (C) có I(1;-2) bán kính R=3 Nếu tam giác ABC B vng góc A ( có nghĩa từ A kẻ tiếp tuyến tới (C) tiếp tuyến vng góc với ) A ABIC hình vng Theo tính chất hình vng ta có I(1;-2) IA= IB (1) Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com C Page: Tập toán đường tròn đề thi - Nếu A nằm d A( t;-m-t ) suy : IA  t  1  t   m  2 Thay vào (1) : t  1  t   m    2t  m  1t  m  4m  13  (2) Để d có  2 điểm A (2) có nghiệm t , từ ta có điều kiện :    m  10m  25    m     m  5 Khi (2) có nghiệm kép : m  5    3  A 3;8  2 Bài 16 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2), trục Oy 4 x  y  12   A 3;0  Ox Hướng dẫn: - Gọi A giao d1 , d  A :  4 x  y  12  - Vì (BC) thuộc Oy gọi B giao d1 với Oy : cho x=0 suy y=-4 , B(0;-4) C giao t1  t2  t0  d với Oy : C(0;4 ) Chứng tỏ B,C đối xứng qua Ox , mặt khác A nằm Ox tam giác ABC tam giác cân đỉnh A Do tâm I đường trịn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy I(a;0) IA AC IA  IO  OA - Theo tính chất phân giác :       IO AO IO IO 4OA 4.3 4  IO    Có nghĩa I( ;0 ) 9 1 15  AB  BC  CA  5    18  r  - Tính r cách : S  BC.OA  5.3   r r 2 2 15 2 Bài 17 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn : C1  : x  y  13 C2  : x    y  25 cắt A(2;3).Viết phương trình đường thẳng qua A cắt C1 , C2  theo hai dây cung có độ dài Hướng dẫn: - Từ giả thiết : C1  : I  0;0 , R  13 C2 ; J 6;0 , R '    x   at - Gọi đường thẳng d qua A(2;3) có véc tơ phương u  a; b   d :   y   bt  x   at 2a  3b  - d cắt C1  A, B :   y   bt  a  b t  2a  3b t    t   a  b2  x  y  13   b 2b  3a  a 3a  2b   ;  B  Tương tự d cắt C2  A,C tọa độ A,C nghiệm hệ : 2 a  b2   a b  x   at  4a  3b   10a  6ab  2b 3a  8ab  3b  C ;   y   bt t     2 2 a b a b a  b2      2 x    y  25 - Nếu dây cung A trung điểm A,C Từ ta có phương trình : Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: Tập toán đường tròn đề thi  x  a  ; d :   2b  3ab  10a  6ab  2b   6a  9ab    y  3t  2 2   3 a b a b    a  b  u   b; b  // u '  3;  2    x   3t Suy :  d :  Vậy có đường thẳng : d: x-2=0 d': 2x-3y+5=0  y   2t Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(-1;0) đường tròn ( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = Viết phương trình đường thẳng qua điểm E cắt ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn 2 Hướng dẫn: - C  : x     y    36  I 4; , R  2 - Nhận xét : P/(M,C)=1+8-16=-7 0) Tìm giao điểm E, F (D) với (E) giao điểm P, Q (D’) với (E) Tính diện tích tứ giác EPFQ theo a, b b Chứng minh MPFQ ngoại tiếp đường trịn cố định ? Viết phương trình đường trịn cố định c Cho điểm M(1 ; 1) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (E) hai điểm A, B cho M trung điểm đoạn thẳng AB Hướng dẫn: a Hai đường thẳng (D) (D') vng góc   by 2  y  36 4 x  y  36   a  - (D) giao với (E) E,F có tọa độ nghiệm hệ :   ax-by=0  x  by  a Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: 11 Tập toán đường tròn đề thi     6b 6a 6b 6a  E ; ; , F   2 2 2 2 9a  4b   9a  4b 9a  4b   9a  4b   by 2   y  36 4 x  y  36   a  - Tương tự (D') cắt (E) P,Q với tọa độ nghiệm:   ax+by=0   x   by  a     6b 6a 6a 6b  P ; ; ,Q   2 2 2 2 9a  4b   9a  4b 9a  4b   9a  4b - Tính diện tích tam giác EPFQ ; Bài 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số  : (x – 1)cos + (y – 1)sin – = a Tìm tập hợp cácđiểm mặt phẳng không thuộc đường thẳng họ b Chứng minh đường thẳng họ tiếp xúc với đường tròn cố định Hướng dẫn: b Gọi I x0 ; y0  điểm cố định Khoảng cách từ I đến d có giá trị : x0  1cos + y0 -1sin   1  x0    x0  1    I 1;1 sin   cos   y0    y0  - Với kết chứng tỏ d tiếp xúc với đường trịn (C) có tâm I bán kính ( Không phụ 2 thuộc vào  (C): x  1   y  1   2  Bài 29 Cho hai điểm A(1;1), B(4;-3) đường thẳng d : x-2y-1=0 a Tìm tọa độ điểm C d cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB=6( ĐHKB-04) b Tìm tọa độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ?( ĐHKA-2004) Hướng dẫn:   x 1 y 1 a/ (AB) qua A(1;1) có u  AB  3; 4    AB  :   4x  3y   4 2t  1  3t   11t   30 - C thuộc : x-2y-1=0 suy C(2t+1;t ) :  t   C1 7;3   27  43 27  t  C2   ;    11  11 11  b/ - Đường thẳng qua O vng góc với AB có phương trình : 3x-4y=0 - Đường thẳng qua B vng góc với OA có phương trình : (x-4)+(y+3)=0 - Đường thẳng qua A vng góc với OB có phương trình : 4(x-1)-3(y-1)=0 hay : 4x-3y-1=0 - Vậy tọa độ trực tâm H nghiệm :  3 x  1  x   3 x  y  x     4 3  x  y 1    y   x  H ;  7 7  4 x  y   y  4 x  y     - Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác (C): x  y  2ax  2by  c  - (C) qua O(0;0) suy c=0 (1) - (C) qua A(1;1) suy : 2-2a-2b=0 , hay : a+b=1 (2) - (C) qua B(4;-3) suy : 25-8a+6b=0 , hay : 8a-6b=25 (3) Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: 12 Tập toán đường tròn ñeà thi 31 17   b   14 b   14 a  b  b   a    - Từ (2) (3) ta có hệ :  8a  6b  25 8a  6(1  a )  25 a  31 a  31   14 14 31 17 - Vậy (C) : x  y  x  y  Bài 30 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;-1) đường tròn C1  : x  y  (1) Hãy viết phương trình đường trịn C2  : có bán kính cắt đường trịn C1  theo dây cung qua M có độ dài nhỏ Hướng dẫn: Gọi C2  : có tâm I'(a;b) suy : C2 : x  a    y  b  2  16  x  y  2ax  2by  a  b  16  1 Lấy (1) -(2) ta : 2ax  2by  a  b   ( đường thẳng trục đẳng phương ) Dây cung hai đường tròn nằm đường thẳng 2 Ví dây cung qua M(2;-1) lên ta có : 4a  2b  a  b    a    b  1  12 Bài 31 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng  : x  y   ,  ' :3 x  y  10  điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng  , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng  ’ Hướng dẫn: Tâm I đường tròn thuộc  nên I(-3t – 8; t) 3(3t  8)  4t  10  (3t   2)  (t  1) Theo yc k/c từ I đến  ’ k/c IA nên ta có 2 4 Giải tiếp t = -3 Khi I(1; -3), R = pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 Bài 32 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn : (C ) : x  y – x – y   0, (C ') : x  y  x –  qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường trịn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Hướng dẫn: + Gọi tâm bán kính (C), (C’) I(1; 1) , I’(-2; 0) R  1, R '  , đường thẳng (d) qua M có phương trình a ( x  1)  b( y  0)   ax  by  a  0, (a  b  0)(*) + Gọi H, H’ trung điểm AM, BM Khi ta có: MA  MB  IA2  IH  I ' A2  I ' H '2   d ( I ;d )   4[9  d ( I ';d )  ] , 2 IA  IH 9a b2 36a  b   35   35  a  36b a  b2 a  b2 a  b2  a  6 Dễ thấy b  nên chọn b     a6 Kiểm tra điều kiện IA  IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả m ãn Bài 33 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng  cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 Hướng dẫn: Đường trịn (C) có tâm I(1; m), bán kính R =  d ( I ';d )   d ( I ;d )   35  2 Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: 13 Tập toán đường tròn đề thi Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB | m  4m | | 5m | IH = d ( I ,  )   m  16 m  16 I (5m ) 20  m  16 m  16 Diện tích tam giác IAB SIAB  12  2S IAH  12 AH  IA2  IH  25  A  H B  m  3  d ( I ,  ) AH  12  25 | m | 3( m  16)   16 m    Bài 34 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường trịn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB  Hướng dẫn: Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2) R  Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB  IM trung điểm H đoạn AB Ta có AH  BH  AB  Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I 2 Gọi A'B' vị trí thứ AB, Gọi H' trung điểm A'B'  3 2 Ta có: IH '  IH  IA  AH      , MI  5  1  1      Vậy có đường trịn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 Bài 35 Trong (Oxy) cho đường tròn (C): x  y  P  : y  x Tìm (P) điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C) tiếp tuyến tạo với góc 600 Hướng dẫn: Gọi M x0 ; y0  P   y02  x0 d đường thẳng tiếp tuyến (P) M d có phương 2 x  x0   x  y0 y  x0  Để d tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) điều kiện cần đủ : Bài 36 Trong (Oxy) cho đ thẳng d: 3x-y+5=0 đường tròn (C): x  y  x  y   Tìm điểm M thuộc (C) điểm N thuộc d cho MN có độ dài nhỏ ? 2 Hướng dẫn: (C) : x  1   y  3   I 1;3, R  trình : y0 y  - Gọi d' //d d': 3x-y+m=0 d' tiếp xúc với (C) M ( M điểm cách d nhỏ ) , :  m   10  d ' : x  y   10  3   m h I ; d '   R    m   10   10  m   10  d ' : x  y   10  Giả sử N' thuộc d ta ln có : M N '  M N Dấu d' N' trùng với N Vậy ta cần lập đường thẳng  M1 I(-1;3) vng góc với d suy đường thẳng  x  1  3t Khi  cắt d' điểm : : I(-1;3) y  3t 1  3t   3  t    10   t  d' 10 M2 N' Và 1  3t   3  t    10   t   10 N d:3x-y+5=0 Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: 14 xảy qua Tập toán đường tròn đề thi     Do ta tìm điểm M : M   1;3  ;3   , M  1   Tương tự  cắt d 10  10 10   10  N có tọa độ nghiệm :  x  1  3t   29   t   N   ;  Ta chọn M cách tính M N , M N , sau so sánh : Nếu y  3t 10  10 10  3 x  y    M N  M N M M Còn M N  M N M M 2 1 7 Bài 37 Trong (Oxy) cho C  : x  1   y  3  điểm M  ;  Tìm (C) điểm N cho MN 5 5 có độ dài lớn ?  x  1  sin t Hướng dẫn: (C) viết dạng tham số :   N  C   N 1  sin t ;3  cost   y   cost 2 12 16     Khi : MN     sin t      cost   sin t  cos 2t  sin t  cost+4 5     2 12 16 16  12   12   16    sin t  cost+5    sin t  cost  * Vì :       , 5 20  20   20   20  12 16  cos   ;sin  =  (*) trở thành :  4sin t       20 20  Dấu đẳng thức xảy : sin t      t     k 2 3   Do : sin t  sin      cos =  x  1  sin t  1    5 2  4 19    19  Tương tự : cost=cos      sin    y   cost=3+   N   ;  5 2   5    Bài 38 Trong (Oxy) cho hai điểm A 3; , B 3; 2  a/ Chứng tỏ tam giác OAB tam giác b/ Chứng minh tập hợp điểm M cho : MO  MA2  MB  32 đường tròn (C) c/ Chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB 2   2 Hướng dẫn: a/ Ta có : OA   4, OB  4, AB  Chứng tỏ OAB tam giác b/ Gọi M(x;y) đẳng thức giả thiết cho tương đương với biểu thức : Ta có : MO  x  y , MA2  x  y  x  y  16, MB  x  y  x  y  16  MO  MA2  MB  32  x  y  x  32  32  x  y  x0  4 3 4  3   x  ;0  , R    y    Chứng tỏ đường trịn (C) có tâm I        c/ Thay tọa độ O,A,B vào (1) ta thấy thỏa mãn , chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Bài 39 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x  y  , đường thẳng (d ) : x  y  m  Tìm m để (C ) cắt (d ) A B cho diện tích tam giác ABO lớn Hướng dẫn: *(C) có tâm O(0;0) , bán kính R=1 *(d) cắt (C) hai điểm phân biệt  d (O ;d )  Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: 15 Tập toán đường tròn đề thi 1 *Ta có SOA B  OA OB sin A OB  sin A OB  Từ diện tích tam giác AOB lớn 2  m  1 A OB  900  d (I ;d )  Bài 40 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: x  y  x   Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường trịn (C’), bán kính R’ = tiếp xúc với (C) A  x  3t Hướng dẫn: A(0;2), I(-2 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ Pt đường thẳng IA :  , I '  IA => I’(  y  2t    2 3t ; 2t  ), AI  I ' A  t   I '( 3;3) (C’): x    y  3  2 Bài 41 Cho đường tròn (C): x + y2 – 2x – 6y + = điểm M (2;4) a) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường trịn điểm A B, cho M trung điểm AB b) Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn, biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -1 Hướng dẫn: a (C) : I(1; 3), R= 2, A, B  (C ) , M trung điểm AB => IM  AB  Đường thẳng d cần  tìm đg thẳng AB; d qua M có vectơ pháp tuyến IM => d: x + y - =0 b Đg thẳng tiếp tuyến có dạng : y = - x + m  x + y – m =0 (d’)d’ tiếp xúc với (C)  d ( I ; d ')  R    m   2  x  y  (4  2)  Pt tiếp tuyến :    m   2  x  y  (4  2)  Bài 42 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng  cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 Hướng dẫn: Đường trịn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB | m  4m | | 5m | I IH = d ( I ,  )   m  16 m  16 (5m ) 20  AH  IA  IH  25  m  16 m  16 Diện tích tam giác IAB SIAB  12  2S IAH  12 2  A H B  m  3  d ( I ,  ) AH  12  25 | m | 3( m  16)   16 m    Bài 43 Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + = Hướng dẫn: Gọi I a; b là tâm đường trịn ta có hệ 2  a 2  5  b 2  4  a 2  1  b 2 (1)  IA  IB    3a  b   2 IA d I   ;    2  a   5  b   2  10  1  a  2b  vào (2) ta có b *) với  12b  20   b   b  10 b   a  1; R  10  C : x  1   y    10 2 *)với b  10  a  17; R  250  C : x  17 2   y  10 2  250 Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: 16 Tập toán đường tròn đề thi Bài 44 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường trịn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB  Hướng dẫn: Phương trình đường trịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2) R  Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB  IM trung điểm H đoạn AB AB Ta có AH  BH  Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I Gọi A'B' vị trí thứ AB ;  2  3 Gọi H' trung điểm A'B' ; Ta có: IH '  IH  IA  AH        13 2 Ta có: MI  5  1  1    MH  MI  HI    ; MH '  MI  H ' I    2 2 49 52 Ta có: R12  MA  AH  MH     13 4 169 172 R 22  MA'2  A' H'2  MH'2     43 4 Vậy có đường trịn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 Bài 45 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 + (y+2)2 = ®­êng th¼ng d: x + y + m = Tìm m để đường thẳng d có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông Hng dn: Từ phương trình tắc đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn AB AC => tứ giác ABIC hình vuông cạnh b»ng  IA  m 1 m  5    m 1    m  Bài 46 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2), trục Oy Hướng dẫn: Gọi A giao điểm d1 d2 ta có A(3 ;0) ;Gọi B giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) Gọi C giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) ; Gọi BI đường phân giác góc B với I thuộc OA ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3 Bài 47 Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) đường thẳng (d): x - y - = Lập phương trình đường trịn qua điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng (d) Hướng dẫn: Giả sử phương trình cần tìm (x-a)2 + (x-b)2 = R2 Vì đường trịn qua A, B tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình (1  a )  b  R a    2 (1  a )  (2  y )  R  b  Vậy đường tròn cần tìm là: x2 + (y - 1)2 = (a  b  1)  R R2    2 Bài 48 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: 17 Tập toán đường tròn đề thi Hướng dẫn: Đường trịn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , Đường trịn (C2) có tâm I2(1 ; 2) bán kính R1 = Nếu đường thẳng Ax + By + C = (A2 + B2  0) tiếp tuyến chung (C1) (C2) khoảng cách từ I1 I2 đến đường thẳng R1 R2 , tức :  5A  12B  C  15 1  A  B2  Từ (1) (2) ta suy : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C |   A  2B  C     A  B2  Hay 5A – 12B + C =  3(A + 2B + C) TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C)  C = A – 9B thay vào (2) : 14  10 |2A – 7B | = A  B2  21A  28AB  24B2   A  B 21 Nếu ta chọn B= 21 A = - 14 10 , C = 203  10 Vậy có hai tiếp tuyến :(- 14 10 )x + 21y 203  10 = 4A  3B TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C)  C  , thay vào (2) ta : 96A2 + 28AB + 51B2 = Phương trình vơ nghiệm ( xong đề 420) Bài 49 Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x  y    : x  y   Lập phương 10 , có tâm thuộc d tiếp xúc với  Hướng dẫn: Tâm đường trịn thuộc d nên có dạng I (2a  3; a ) Đường tròn tiếp xúc với  nên trình đường trịn có bán kính d ( I , )  R  a2 10  10  a  6; a  2 Với a  ta có I (9;6) suy phương trình đường trịn: ( x  9)  ( y  6)  với a  2 ta có I (7;2) ,suy phương trình đường tròn: ( x  7)  ( y  2)  8 ( x  7)  ( y  2)  5 Bài 50 Trong hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d : x  y   đường tròn C : ( x  1)  ( y  1)  10 Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d góc 450 Vậy có hai đường tròn thoả mãn là: ( x  9)  ( y  6)  Hướng dẫn: Đường tròn có tâm I (1;1) bán kính R  10 Gọi n(a, b) vectơ pháp tuyến tiếp tuyến (a  b  0) , đường thẳng tạo với đường thẳng d góc 450 nên 2a  b a2  b2  a  3b  b  3a Với a  3b , phương trình tiếp tuyến có dạng x  y  c  0() 4c c   10   d ( I ; )  R  10 c  14 Với b  3a , phương trình tiếp tuyến có dạng x  y  c  0() 2c c  8  10   10 c  12 Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm là: x  y   0; x  y  14  ; x  y   0; x  y  12  d ( I ; )  R  Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: 18 Tập toán đường tròn đề thi Bài 51 Trong mp với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 2y + = đường thẳng(d): 3x + y – = Lập phương trình tiếp tuyến với đường trịn(C),biết tếp tuyến không qua gốc toạ độ O hợp với đường thẳng (d) góc 450 ìï d(I , d) = ïï Hướng dẫn: C) có tâm I(3;1), R = ; Tiếp tuyến (): ax + by + c = ïí ïï cos(d,D ) = ïïỵ ==> 1: 2x – y – 10 = 0; 2: x + 2y – 10 = Bài 52 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 2y + = Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;2) cắt (C) theo dây cung có độ dài l = Hướng dẫn: d1: 2x + y – = 0; d2: x – 2y + = Bài 53 Trong maët phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, xét tam giác ABC vuông A, phương trình đường thẳng BC laø 3x - y - = , đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Hướng dẫn: I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ==> yI = ± 1 BI: y = tan300(x – 1) ==> y = ==> x1 = ± x3 TH1: Nếu A O khác phía B Þ x1 = + ==> A( + ;0) æ7 + + ÷ ÷ ; ==> G1 ỗỗ ữ ữ ỗố 3 ứ TH2:Neỏu A O phía B  x1 = - ==> A( - - æ- - - - ữ ữ ; ==> G2 ỗỗ ữ ữ çè 3 ø Bài 54 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6) , phương trình đường thẳng chứa đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh C x  y  13  x  13 y  29  Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: 19 Tập toán đường tròn đề thi - Gọi đường cao trung tuyến kẻ từ C CH CM Khi CH có phương trình x  y  13  , CM có phương trình x 13 y 29  2 x  y  13  - Tõ hÖ   C (7;  1) 6 x  13 y  29  C(-7; -1) AB  CH  n AB  u CH  (1, 2) A(4; 6)  x  y  16  - Tõ hÖ   M (6; 5) ;  B(8; 4) 6 x  13 y 29 Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x y  mx  ny  p  V× A, B, C thuộc đường tròn nên 52 4m 6n  p  m  4   80  8m  4n  p   n  50  m  n  p   p  72   M(6; 5) H B(8; 4) Suy pt đường tròn: x  y  x  y  72  hay ( x  2)  ( y  3)  85 Bài 55 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường trịn ( C ) có phương trình x  y  x  y   đường thẳng (  ) có phương trình : x  y   Chứng minh (  ) cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B Tìm toạ độ điểm M đường trịn ( C ) cho diện tích tam giác ABM lớn Hướng dẫn: Đường trịn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 13 Khoảng cách từ I đến đường thẳng (  ) d ( I , )  < R ; Vậy đường thẳng (  ) cắt (C) hai điểm A, 13 B phân biệt Gọi M điểm nằm (C), ta có S ABM  AB.d ( M , ) Trong AB khơng đổi nên S ABM lớn d ( M , ) lớn Gọi d đường thẳng qua tâm I vng góc với (  ).PT đường thẳng d 3x + 2y - = Gọi P, Q giao điểm đường thẳng d vời đường tròn (C) Toạ độ P, Q nghiệm hệ phương trình: x  y  2x  y    x  1, y  1 22   P(1; -1); Q(-3; 5) ; Ta có d ( P , )  ; d (Q , )   13 13  x  3, y  3 x  y   Ta thấy d ( M , ) lớn M trùng với Q Vậy tọa độ điểm M (-3; 5) Bài 56 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ): x  y  x  y   Viết phương trình đường trịn ( C ') tâm M (5, 1) biết ( C ') cắt ( C ) hai điểm A , B cho AB  Hướng dẫn: Phương trình đường trịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2), bk R  Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB  IM trung điểm H đoạn AB AB Ta có AH  BH   2 Gọi Trường hợp 1: Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I Gọi A'B' vị trí thứ AB  3 Gọi H' trung điểm A'B' ; Ta có: IH '  IH  IA  AH        Sưu tầm biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ ThuVienDeThi.com Page: 20 ... ThuVienDeThi.com Page: 18 Tập toán đường tròn đề thi Bài 51 Trong mp với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 2y + = đường thẳng(d): 3x + y – = Lập phương trình tiếp tuyến với đường trịn(C),biết... 16 Tập toán đường tròn đề thi Bài 44 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường trịn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB  Hướng dẫn: Phương trình đường. .. Hai đường tròn cắt ) Bài 11 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + = điểm M (2;4) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn điểm A B, cho M trung điểm AB 2 Hướng dẫn: - Đường tròn