Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/hocthemtoan
ÔN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN PHẦN THỨ NHẤT Rút gọn biểu thức I-CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ A xxác định A ≥ -Điều kiện phân thức xác định mẫu khác - Khử mẫu biểu thức lấy trục thức mẫu - Các đẳng thức đáng nhớ II-MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI TOÁN VỀ BIỂU THỨC 1) Tìm ĐKXĐ ý : Trong ≥ 2)Rút gọn biểu thức ,Mẫu ≠ , biểu thức chia ≠ -Đối với biểu thức thức thường tìm cách đưa thừa số ngồi dấu Cụ thể : + Số phân tích thành tích số phương +Phần biến phân tích thành tích luỹ thừa với số mũ chẵn -Nếu biểu thức chứa phép cộng trừ thức ta tìm cách biến đổi đồng dạng - Nếu biểu thức tổng , hiệu phân thức mà mẫu chứa ta nên trục thức mẫu trước,có thể quy đồng mẫu -Nếu biểu thức chứa phân thức chưa rút gọn ta nên rút gọn phân thức trước -Nếu biểu thức có mẫu đối ta nên đổi dấu trước -Ngoài cần thực thứ tự phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu “-“ , cách viết Chú ý : Một số toán : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến… quy Rút gọn biểu thức 3) Tính giá trị biểu thức -Cần rút gọn biểu thức trước.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nên thay giá trị biến vào rút gọn tiếp -Nếu giá trị biến phức tạp nghĩ đến việc rút gọn trước thay vào tính 4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn điều kiện -Cần rút gọn biểu thức trước -Sau tìm giá trị biến phải đối chiếu với ĐKXĐ III-CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: BÀI TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN ĐƠN GIẢN 2) 3) 4) 5) 6) 1492 − 762 457 − 3842 1) +1 + 3+ 7) + 4+ 33 48 − 75 − +5 11 9a − 16a + 49a − − + 80 Víi a ≥ a a b + ab + b b a + 48 − 75 − 243 8) 3+ 2 − 6− 9) + + + − + 10) 8+ 2 2+3 2 − + 3− 2 1− 11) − 11 − + 11 D¹ng : Bài tập rút gọn biểu thức hữu tỉ 2x 2x x − 3x A = D = + + − −3 x − 3x x − 4x + x − 2x + 6x x − x 4x 3x + 3x − 2 B = E = + − − − 2 x+2 x−2 4−x x − 2x + x − x + 2x + 1 + x − 2x x(1 − x) 10 15 C = − − K = − − 2 3−x 3+ x 9−x x + x − (x + 1) x + DẠNG 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Cho biểu thức x+2 x A = : + + x x −1 x + x +1 1− x ÷ ÷ x −1 b Chứng minh c Tính giá trị A Bài2 x = - 28 Cho biểu thức n +3 n − n − ( với n ; n ≥ ≠ 4) − + 4−n n −2 n +2 P = A = x + x +1 a Tìm điều kiện xác định d Tìm max A a Rút gọn P b Tính giá trị P với n = = ( a − b ) + ab − a b − b a a+ b ab a Rút gọn biểu thức M Bài3 Cho biểu thức M b Tìm a , b để M Bài 4: = ( a , b > 0) 2006 x x +1 2−x − x: − + Cho biểu thức : M = x 1− x x − x x −1 a) Rút gọn M b) Tính giá trị M x = + c) Tìm x cho M =1/2 x −4 x +2 − − Bài 5: Cho biểu thức : P = x −2 x 2− x : x x x −2 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 3+ 2x + 1 x−2 + : 1 − Bài Cho biểu thức : B = x x −1 − x x + x + 1 a) Rút gọn B b) Tìm x để : 2.B < c) Với giá trị x B x = 4/5 x+2 x −7 x −1 : + − Bài 7: Cho biểu thức : M = x−9 3− x x +3 x −1 a) Rút gọn M b) Tìm số nguyên x để M số nguyên c) Tìm x cho : M > x+2 x −2 x −1 Bài 8: Cho biểu thức : A = : x x +1 − x − x +1 + x + 1 a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x = - c) Tìm giá trị nhỏ A x +1 Bài 9: Cho biểu thức : P = x −1 − x −1 x : x + − 1− x + x −1 x +1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 7−4 c) Tìm x cho P = 1/2 2x +1 x 1+ x x − Bài 10: Cho biểu thức : A = ÷ x − ÷ x −1 x + x +1 ÷ 1+ x ÷ a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x = 2− x Bài 11: Cho biểu thức : A = x x − x + x −1 − x : 1 + x + 1 x −1 a) Rút gọn A b) Tìm x để A < 2x − x − : 2 − Bài 12: Cho biểu thức : B = x +1 x + x x + x + x + 1 a) Rút gọn B b) Tính giá trị B x = + c) Tìm x nguyên để B nguyên x +2 Bài 13: Cho biểu thức : A = x +3 − x+ x −6 + 2− x a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x = 2+ c) Tìm x nguyên để A nguyên x −9 Bài 14: Cho biểu thức : M = x−5 x +6 − x +3 x −2 − x + 1 3− x a) Rút gọn M b) Tìm x để M < c) Tìm số tự nhiên x để M nguyên x+ x −4 x −1 Bài 15: Cho biểu thức : A = x − x − + − x : 1 − x −3 x −2 a) Rút gọn A b) Tìm x để A > 2+ x 4x 2− x x−3 x − − Bài 16: Cho biểu thức : P = 2− x x−4 2+ x : 2x − x a) Rút gọn P b) Tìm số nguyên x để P chia hết cho x x −1 x + x + 1 : + − Bài 17: Cho biểu thức : M = x −1 1− x x x+ x a) Rút gọn M b) Tìm số tự nhiên x để M số nguyên c) Tìm x thoả mãn M < 2x + x x +5 : − Bài 18: Cho biểu thức : P = x −1 + 1− x x −1 x + x + 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 3− c) Tìm x nguyên để P số tự nhiên d) Tìm x để P < -1 x 3 x −2 x +3 x Bài 19: Cho biểu thức : B = x + − 2− x + x −4 : x −2 + x − x a) Rút gọn B b) Tính giá trị B x = - c) Tìm x cho B.( x – ) = x x +1 + Bài 20: Cho biểu thức : M = xy + x +1 − 1 : − xy + xy − xy + x + 1 xy − xy + x a) Rút gọn M b) Tính giá trị M x = - y = x +3 y − Bài 21: Cho biểu thức : B = xy + x − y − −1 1+ xy + x + y + − xy a) Rút gọn B b) Cho B= y + 10 y − 10 ( y ≠ 10) Chứng minh : x = y 10 x+2 x +3 x−5 x +6 − 2− x + x + 2 :2 − x −3 Bài 22 : Cho biểu thức : P = x x + 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để ≤− P Bài 23 : Cho biểu thức : P = x2 − x x + x +1 − 2x + x x + 2( x − 1) x −1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P x c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị số nguyên P x −1 Bài 24: Cho biểu thức : P = x +1 − x + x − x − x a) Rút gọn P b) Tìm x để P x >2 x −4 2+ x − Bài 25: Cho biểu thức : P = x − + x − x : x x − 2 x a) Rút gọn P b)*Tìm m để có x thoả mãn : P = mx x − 2mx + 1 x2 −1 + − − x2 1+ x 1− x Bài26: Cho biểu thức A = Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Rút gọn biểu thức A Giải phương trình theo x A = - PHẦN THỨHAI A>KIẾNTHỨC CẦN NHỚ - Hàm số bậc : y = ax + b đồng biến a > Khi Đths tạo với rrục hồnh ox góc nhọn Nghịch biến ngược lại a = a ' -ĐK hai đường thẳng song song : b ≠ b ' -ĐK hai đường thẳng cắt : a ≠ a’ -ĐK hai đường thẳng vng góc tích a.a’ = -1 ≠ 0) qua gốc toạ độ -Đths y=ax+b (a ≠ 0,b ≠ 0)không qua gốc toạ độ.Nó tạo với ox,oy tam -Đt hs y=ax( a giác B> BÀI TẬP Bài : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10 a) Với giá trị m y hàm số bậc b) Với giá trị m hàm số đồng biến c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3) d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ e) Tìm m để đồ thị qua điểm 10 trục hồnh f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 g) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn Bài : Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để: a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5 c) Đường thẳng d tạo với Ox góc nhọn d) Đường thẳng d tạo với Ox góc tù e) Đường thẳng d cắt Ox điểm có hồnh độ f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – điểm có hồnh độ g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 điểm có tung độ y = h) Đường thẳng d qua giao điểm hai đường thảng 2x -3y=-8 y= -x+1 Bài : Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5 a) Vẽ đồ thị với m=6 b) Chứng minh họ đ ường thẳng qua điểm cố định m thay đổi c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác vng cân d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 45 o e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 135 o f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 30 o , 60 o g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x-4 điểm 0y h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x-3 điểm 0x Bài4 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dương năm 2000,2001) Cho hàm số y = (m -2)x + m + a)Tìm điều kiện m để hàm số ln ln nghịch biến b)Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hoành điểm có hồnh độ c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 y = (m - 2)x + m + đồng quy d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hoành tam giác có diện tích Bài (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dương năm 2004 ) Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*) 1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm a)A(-1 ; 3) b) B( ; -5 ) ; 2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số Bài :Cho (d ) ; y=4mx- ( m+5) ; (d ) c) C(2 ; -1) y = 3x – góc phần tư thứ IV y=( 3m +1).x + m -4 a) Tìm m để đồ thị (d )đi qua M(2;3) b) Cmkhi m thay đổi (d )ln qua điểm A cố định, (d ) qua B cố định c) Tính khoảng cách AB d)Tìm m để d song song với d e)Tìm m để d cắt d Tìm giao điểm m=2 Bài Cho hàm số y =f(x) =3x – a)Tìm toạ độ giao điểm đths với hai trục toạ độ b) Tính f(2) ; f(-1/2); f( − 24 ) c) Các điểm sau có thuộc đths khơng? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10) d)Tìm m để đths qua điểm E(m;m -4) e)Tìm x để hàm số nhận giá trị : ; -3 g)Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ h)Tìm điểm thuộc đths có hồnh độ k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ -4 l) Tìm điểm thuộc đths có hoành độ tung độ PHẦN THỨ BA A>KIẾNTHỨC CẦN NHỚ 1)Các phương pháp giải HPT a) Phương pháp : Thường dùng giải HPT có phương trình ẩn , có hệ số ẩn hệ chứa tham số b) Phương pháp cộng : Phải biến đổi tương đương HPT dạng sau xét hệ số ẩn phương trình :- Nếu đối cộng Nếu trừ Nếu khác nhân Nếu kết phức tạp “đi vịng” c) Phương pháp đặt ẩn phụ : Dùng để “đưa ” HPT phức tạp HPT bậc hai ẩn 2)Một số dạng tốn quy giải HPT: - Viết phương trình đường thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất) - Ba điểm thẳng hàng - Giao điểm hai đường thẳng(Toạ độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm HPT) - Ba đường thẳng đồng quy - Xác định hệ số đa thức , phương trình… 3)Giải phương trình bậc ẩn B> CÁC DẠNG BÀI TẬP I-Dạng 1: Giải HPT không chứa tham số ( Chủ yếu dùng phương pháp cộng đặt ẩn phụ ) Bài tập nhiều SGK,SBT tự II-Dạng : Hệ phương trình chứa tham số 10 3.Hệ thức lượng tam giác vuông ( định lý Pi- ta – go) tỉ số lượng giác góc nhọn X-KHI GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH ( Thư ờng cho dư ới ng “ K hi ểm chuyển động t hì ểm ? di chuyển t rên đư ờng ng mi nh ểm ? di chuyển đư ờng tròn cung tròn hay đư ờng t hẳng cố đị nh” ) cần xét xem điểm có tính chất sau: Nhìn đoạn thẳng cố định góc vng đường trịn đường kính Cách điểm cố định khoảng khơng đổi đường trịn tâm Nhìn đoạn thẳng cố định góc khơng đổi cung chứa góc Cách đường thẳng cố định khoảng không đổi đường thẳng song song ( vng góc) Cách điểm cố định đường trung trực đoạn thẳng Cách cạnh góc cố định tia phận giác cuả góc Chú ý : Quỹ tích ( cịn gọi tập hợp) phải gắn với yếu tố cố định XI-KHI GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,NHỎ NHẤT hình học cần ghi nhớ: 1.Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn cạnh góc vng 2.Trong hình thang vng cạnh xiên lớn cạnh vng C.MỘT SỐ DẠNG HÌNH CƠ BẢN I,Từ điểm nằm nghoài (O) kẻ tiếp tuyến , cát tuyến II,Đa giác nội tiếp đường tròn (Đường tròn ngoại tiếp) III, Hai đường tròn cắt IV,Hai đường tròn tiếp xúc V, Nửa đường tròn VI,Đường tròn nội tiếp Đa giác VII,Khơng có đường trịn BÀI TẬP DẠNG : Từ điểm ngồi đường trịn kẻ tiếp tt, cát tuyến đến đường tròn Bài : Từ điểm M nằm (O) kẻ hai cát tuyến MAB,MCD a) Chứng minh MA.MB = MC.MD b) AD cắt BC N Chứng minh NA.ND = NB.NC c) Kẻ tiếp tuyến MP Chứng minh MP = MA.MB = MC.MD Bài ( Đề năm 02-03) Cho đường tròn tâm O M điểm ngồi đường trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (Q, P hai tiếp điểm) cát tuyến cắt đường tròn A B 31 a Gọi I trung điểm AB Chứng minh điểm P, Q, O, I nằm đường tròn b PQ cắt AB E Chứng minh MP = ME MI c Qua A kẻ đường thẳng song song với MP cắt PQ, PB H,K.Chứng minh Tứ giác AHIQ nội tiếp KB = HI Bài ( Đề năm 06-07)Cho điểm A bên ngồi đường trịn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC (M ≠ B, M ≠ C ) Gọi D, E, F tương ứng hình chiếu vng góc M đường thẳng AB, AC, BC; H giao điểm MB DF; K giao điểm MC EF Chứng minh : a) MECF ,MHFK tứ giác nội tiếp b) MF = MD.ME b) MF vng góc với HK c) DF tiếp tuyến đường trịn đường kính MC Bài 4: Cho tam giác ABC cân A Đường tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh AB,AC B,C.Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt (O) D AD cắt (O) E Chứng minh: a) AE.AD = OA – OD b)CE cắt AB G Chứng minh : GA = GE.GC c) Chứng minh : GA= GB Bài : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB cát tuyến MCD Tia phân giác góc CAD cắt CD I Chứng minh a) MI = MA b) BI tia phân giác góc CBD Bài : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ cát tuyến MCD Tiếp tuyến với (O) C,D cắt A.Gọi H hình chiếu A OM Chứng minh: a) điểm C,D,O,A,H thuộc đường tròn b) MH.MO = MC.MD c) Kẻ tiếp tuyến MB Chứng minh MH.MO = MB Từ H cố định 32 d)* A,H,B thẳng hàng e)*AH cắt (O) E Cm ME tiếp tuyến (O) Bài : cho (O) đường thẳng d cắt (O) Tại A,B M thuộc đường thẳng d nằm (O) Kẻ tiếp tuyến MC,MD Chứng minh: a)Đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD qua điểm cố định b)Xác định vị trí M để tam giác MCD vng Bài : Cho đường trịn (O) có bán kính R điểm S ngồi đường trịn (O) Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) hai điểm M, N với M nằm hai điểm S N (đường thẳng a không qua tâm O) a) Chứng minh SO vng góc với AB b) Gọi H giao điểm SO AB, gọi I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt điểm E Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp c) Chứng minh OI.OE = R d) Cho biết SO = 2R MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R DANG2 : Đa giác nội tiếp đường tròn Bài 9: (đề 06-07) Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD Bài 10: Cho tam giác PQR nội tiếp đường tròn tâm O, đ ường phân giác góc P cắt cạnh QR D đ ường tròn ngoại tiếp I a)Chứng minh OI vng góc với cạnh QR b)Chứng minh đẳng thức QI = PI.DI c)Gọi H hình chiếu vng góc P 33 cạnh QR Cm Q P H = R P O ˆ ˆ d)Chứng minh góc H P O = |Q - R| ˆ Bài11: Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đư ờng trịn tâm O, kẻ đường kính AD a) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật b) Gọi M N thứ tự hình chiếu vng góc B, C AD; AH đ ường cao tam giác (H cạnh BC) Chứng minh HM vng góc với cạnh AC c) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHN d) Gọi bán kính đ ường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC r R Chứng minh : r + R ≥ AB.AC Bài 12: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đường cao AH Kẻ đường kính AD Chứng minh: a) AB.AC = AH.AD b) Diện tích tam giác ABC = ( AB.AC.BC):(4.OA) Bài 13 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O) Tia phân giác góc B , C cắt E cắt (O) F,D Chứng minh: a) AD // BF b) Tứ giác ADEF hình thoi c) Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB G Chứng minh tứ giác BEGD nội tiếp DF cắt AC H Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF Bài 14 : Cho ∆ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Từ B, C kẻ tiếp tuyến với đường tròn, chúng cắt D Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đường tròn E, F cắt AC I a) Chứng minh góc DOC góc BAC b) Chứng minh bốn điểm O, I, D, C nằm đường tròn c) Chứng minh IE=IF d) Chứng minh ID phân giác góc BIC e) Cho B,C cố định , A chuyển động cung BC lớn I di chuyển đường ? Bài15 :Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn(O) D,E điểm cung AB, AC DE cắt AB AC H,K 34 a) Chứng minh rằng: tam giácAHK cân b) BE cắt CD I, Chứng minh AI vng góc với DE c) Chứng minh rằng:CEKI nội tiếp d) Chứng minh IK//AB e) tam giác ABC có thêm điều kiện ? AI//EC Bài 16 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn P điểm cung AB( phần không chứa C,D) Hai PC, PD cắt dây AB E F Các dây AD, PC kéo dài cắt I Các dây BC,PD kéo dài cắt K Chứng minhrằng: a) Góc CID góc CKD b) Tứ giác CDEF nội tiếp c) PC.PE = PD.F d) IKCD nội tiếp e) IK//AB f) PA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD Bài 17 : Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến C với đường tròn cắt AB,AD kéo dài E F a) Chứng minh AB.AE=AD.AF hai phương pháp b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AM vng góc với BD c) Tiếp tuyến B D với đường tròn (O) cắt EF I, J Chứng minh I J trung điểm CE CF d) Tính diện tích phần hình tròn giới hạn dây AD cung nhỏ AD, biết AB=6 AD=6 Bài 18 :Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD(AC cắt BO) Kéo dài AB DC cắt E;CB DA cắt F a) Chứng minh DB vng góc với EF( gọi chân đường vng góc G) b) Chứng minh BCGF , ABGF nội tiếp c) Chứng minh:BA.BE=BC.BF=BD.BG d) Chứng minh B tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACG e) Cho góc ABC 135 , tính độ dài AC theo BD Bài 19 :Cho tam giácABC cân A( góc A r) Gọi BC tiếp tuyến chung (B ẻ (O) ; Cẻ (O’) M trung điểm OO’, H hình chiếu M BC a) Tính góc OHO’ b) Chứng minh OH tia phân giác góc AOB c) Chứng minh AH tiếp tuyến chung hai đ ờng tròn (O) (O’) d) Cho R = cm ; r = cm Tính độ dài BC ; AM Bài 26 : Cho hai đường tròn (O ),(O ) tiếp xúc A Một đường thẳng (d) tiếp xúc với (O ),(O ) B, C a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tia tiếp tuyến chung hai đường tròn c) Chứng minh góc O MO 90 d) Các tia BA, CA cắt (O ),(O ) giao điểm thứ hai D, E Chứng minh diện tích tam giácADE diện tích tam giác ABC Dạng : Nửa đường tròn Bài 27: Cho M thuộc nửa đường trịn tâm O đường kính AB Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By Tiếp tuyến M cắt Ax , By C ,D Các đường thẳng AD, BC cắt N Chứng minh : a) CD - AC = BD c) MN // AC b) Tam giác CDO vuông d) CD.MN = CM.DB e) Xác định vị trí M để Diện tích đường trịn đường kính CD nhỏ g) MN cắt AB H Chứng minh : MN = NH Bài 28 : Cho C thuộc nửa đường trịn đường kính AB I điểm cung AC AI cắt BC M Chứng minh : a) MI.MA = MC.MB b) tam giác ABM cân c) AC cắt BI H ,MH cắt AB N Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác NIC d) Gọi K điểm đối xứng với H qua I Chứng minh KA tiếp tuyến đường trịn đường kính AB Bài 29 :Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Lấy điểm D tuỳ ý nửa đ ờng tròn (D ≠ A D ≠ B) Dựng hình bình hành ABCD Từ D kẻ DM vng góc với đ ờng thẳng AC M từ B kẻ BN vng góc với đ ờng thẳng AC N a Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm đ ờng tròn b Chứng minhAD ND = BN DC c Tìm vị trí D nửa đ ờng tròn cho BN AC lớn 37 Bài 30 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C trung điểm đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D 1) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D nằm đường tròn 2) Chứng minh ΔMNK cân 3) Tính diện tích ΔABD K trung điểm đoạn thẳng CI 4) Chứng minh : Khi K di động đoạn thẳng CI tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm đường thẳng cố định Bài 31 : Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R điểm M nằm nửa đường tròn (M khác A B) Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt đường trung trực đoạn AB I.Dường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d C D (D nằm góc BOM) a) Chứng minh tia OC,OD tia phân giác góc ACM BOM b) Chứng minh CA DB vng góc với AB c) Chứng minh AC.BD=R d) Tìm vị trí M nửa đường tròn (O) để tổng AC+BD đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị theo R Các khác Bài 32 : Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm M di động đ ờng tròn Gọi N điểm đối xứng với A qua M, P giao điểm thứ hai đ ờng thẳng BN với đ ờng tròn (O); Q.R giao điểm đờng thẳng BM lần l ợt với AP tiếp tuyến A đ ờng tròn (O) a) Chứng minh điểm N luôn nằm đ ờng tròn cố định tiếp xúc với đ ờng tròn (O) Xác định tâm BK đường trịn b) Chứng minh RN tiếp tuyến đ ờng trịn (B;AB) c) Tứ giác ARNQ hình ? Tại ? Bài 33 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Dây CD khơng qua O vng góc với AB H Dây CA cắt đờng tròn đờng kính AH E đ ờng trịn đờng kính BH cắt dây CB F Chứng minh : a) CEHF hình chữ nhật b) EF tiếp tuyến chung đ ờng trịn đờng kính AH đ ờng kính BH c) 1 = + 2 EF CA CB 38 Bài 34 Cho tam giác vuông ABC ( C = 90 ), O trung điểm AB D điểm cạnh ˆ AB ( D không trùng với A, O, B ) Gọi I J thứ tự tâm đường ngoại tiếp tam giác ACD BCD Chứng minh OI song song với BC Chứng minh điểm I, J, O, D nằm đường tròn Chứng minh CD phân giác góc ACB OI = OJ Bài 35 : Cho tam giác vuông MNP ( M = 90 ), Đờng cao MH (H cạnh NP) Đ ờng trịn đˆ ờng kính MH cắt cạnh MN A cắt cạnh MP B 1) Chứng minh AB đ ờng kính đờng trịn đờng kính MH 2) Chứng minh tứ giác NABP tứ giác nội tiếp 3) Từ M kẻ đờng thẳng vng góc với AB cắt cạnh NP I Chứng minh IN = IP Bài36: Cho tam giác vuông ABC (AC > AB, A = 90 ) Gọi I tâm đ ờng tròn nội tiếp tam ˆ giác ABC, tiếp điểm đ ờng tròn nội tiếp với cạnh AB , BC , CA lần l ợt M , N , P Chứng minh tứ giác AMIP hình vng Đờng thẳng AI cắt PN D Chứng minh điểm M, B, N, D, I nằm đ ờng tròn 3* Đờng thẳng BI CI kéo dài cắt AC , AB lần l ợt E F Chứng minh BE CF = BI CI Bài 37 :Cho đờng tròn tâm(O) AB dây cố định đ ờng trịn khơng qua tâm M điểm dây cung lớn AB cho tam giác MAB tam giác nhọn Gọi D C thứ tự điểm cung nhỏ MA, MB, đ ờng thẳng AC cắt đ ờng thẳng BD I, đ ờng thẳng CD cắt cạnh MA MB thứ tự P, Q Chứng minh tam giác ADI tam giác cân Chứng minh tứ giác ADPI tứ giác nội tiếp Chứng minh PI = MQ Đờng thẳng MI cắt đ ờng tròn N Khi M chuyển động cung lớn AB trung điểm MN chuyển động đ ờng Bài 38 Cho điểm A, B , C thẳng hàng ( theo thứ tự ấy) Gọi (O) đ ờng tròn qua B C Từ A vẽ tiếp tuyến AE AF với đ ờng tròn (O) ( E F tiếp điểm ) Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F b) Đờng thẳng FI cắt đ ờng tròn (O) G Chứng minh EG // AB c) Nối EF cắt AC K, Chứng minh AK AI = AB AC Bài39: Cho đờng trịn(O;R) dây AC cố định khơng qua tâm B điểm đờng trịn (O;R) ( B khơng trùng với A C).Kẻ đư ờng kính BB , Gọi H trực tâm của tam giác ABC 1) Chứng minh AH//BC 39 2) Chứng minh HBđi qua trung điểm AC 3) Khi điểm B chạy đ ờng tròn (0; R) (B không trùng vớiA C) Chứng minh điểm H nằm đ ờng tròn cố định Bài 40 : Cho đường tròn tâm O, bán kính OA=R Vẽ dây BC vng góc với OA trung điểm H OA a) Tứ giác ABOC hình ? b) Gọi K điểm đối xứng với O qua A Chứng minh rằng:KBOC tứ giác nội tiếp KB,KC tiếp tuyến (O) c) Tam giác KBC tam giác gì? d) Trực tâm tam giác ABC điểm hình vẽ ? e) Tính độ dài BC f) Tính diện tích phần trung hình trịn(O;R) hình trịn ngoại tiếp tứ giác KBOC Bài 41 : Cho (O;R) dây ABAB.Từ C kẻ hai tiếp tuyến với (o)tại P,K Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh Tứ giác CPOK nội tiếp b) Chứng minh rằng: C,P, I, O, K nằm đường tròn c) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy CP =CB.CA d) gọi H trực tâm tam giác CPK.Tính PH theo R e) Giả sử PA//CK Chứng minh tia đối tia BK phân giác góc CBP Bài 42 : Cho đường trịn (O;R) đường kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP>R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn M a) Chứng minh APMO nội tiếp b) Chứng minh BM//OP c) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành d) Chứng minh PNMO hình thang cân e) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I, PN OM kéo dài cắt J Chứng minhI, J, K thẳng hàng Bài 43 : Cho đoạn AB M nằm A.B Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vng AMCD, MBEF AF cắt BC N 40 a)Chứng minh rằng:AF vng góc với BC,suy N nằm hai đường tròn ngoại tiếp AMCD, MBEF b) Chứng minh: D, N,E thẳng hàng MN vng góc với DE c)Cho AB cố định M di động Chứng minh:MN qua điểm cố định, Bài 44 :Cho đường trịn (O) đường kính AB=2R điểm M di động nửa đường tròn Người ta vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với nửa đường trịn (O) M tiếp xúc với đường kính AB N Đường cắt MA, MB điểm thứ hai C, D a) Chứng minh CD//AB b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đường thẳng MN ln qua điểm K cố định c) Chứng minh:tích KM.KN khơng đổi d) Gọi giao điểm tia CN,DN với KB,KA C , ,D , Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC , D , đạt giá trị nhỏ Bài 45 :Cho tam giác ABC vng A Đường cao AH Đường trịn đường kính AH cắt cạnh AB,AC, E,F a) Chứng minhtứ giác AEHF hình chữ nhật b) Chứng minhAE.AB=AF.AC c) Chứng minh BEFC nội tiếp d) Đường thẳng qua Avng góc với EF cắt BC I, Chứng minh I trung điểm đoạn BC e) Chứng minh diện tích ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF tam giác ABC vng cân Bài 46 :Cho đường trịn tâm (O;R), hai đường kính AB,CD vng góc với Trong đoạn AB lấy điểm M( khác O) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đường tròn điểm P Chứng minh rằng: a) tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO hình bình hành c) Tứ giác OMNP nội tiếp d) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M e) Khi M di động đoạn AB P chạy đoạn thẳng cố định 41 Bài 47 : Cho ba điểm A, B, C đường thẳng theo thứ tự đường thẳng d vng góc với AC A Vè đường trịn đường kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đường thẳng d D; Tia AM cắt đường tròn điểm thứ hai N; tia DB cắt đường tròn điểm thứ hai P a) Chứng minh ABMD nội tiếp b) Chứng minh tích CM.CD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND hình ?tại ? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAC chạy đường tròn cố định M di động Bài 48 : Cho tam giác vng cân ABC (góc C=90),E điểm tuỳ ý cạnh BC Qua B kẻ tia vương góc với tia AE H cắt tia AC K Chứng minh rằng: a) Tứ giác BHCA nội tiếp b) KC KA=KH.KB c) Độ lớn góc CHK khơng phụ thuộc vào vị trí điểm E d) Khi E di chuyển cạnh BC BE.BC+ AE AH không đổi Bài 49 : cho đường tròn tâm O dây AB Gọi M điểm cảu cung nhỏ AB C điểm nằm đoạn AB Tia MC cắt đường tròn điểm thư hai D Chứng minh : a) MA = MC.MD b) MB.BD = BC.MD c) Đường tròn ngoại tiếp ∆BCD tiếp xúc với MB B d) Tổng bán kính hai đường trịn ngoại tiếp ∆BCD ∆ACD không đổi C di động đoạn AB Bài 50 : Cho ∆ABC có góc A > 90 o Đường trịn (O), đường kính AB cắt đường trịn (O / ) đường kính AC giao điểm thứ hai H Một đường thẳng (d) quay quanh A cắt Đường tròn (O), đường tròn (O / ) M, N cho A nằm M N a) Chứng minh H thuộc cạnh BC tứ giác BCNM hình thang vng b) Chứng minh tỷ số HM không đổi HN c) Gọi I trung điểm MN, K trung điểm BC Chứng minh bốn điểm A, H, K, I thuộc đường tròn I di chuyển cung trịn cố định d) Xác định vị trí đường thẳng (d) để diện tích ∆HMN lớn 42 Bài 51 :Cho đoạn thẳng AB điểm P nằm A B.Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax, By vng góc với AB hai tia dó lấy hai điểm C D cho : AC.BD=AP.PB (1) a) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD b) Chứng minh góc CPD 90 Từ suy ta cách dựng hai điểm C;D thoả mãn (1) c) Gọi M hình chiếu P CD, chứng minh góc AMB 90 d) Gọi AM cắt CP I, BM cắt PD K Chứng minh IK // AB e) Chứng minh điểm M chạy nửa đường tròn cố định C;D di động Ax, By thoả mãn (1) Bài 52 : Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E.Các đường thẳngCD, AE cắt đường tròn điểm thứ hai F, G Chứng minh: a) tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c) Chứng minh AD.AB = AG.AE d) AC//FG e) Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy Bài53 Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM AM = AE.AC c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài 54 : Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E nửa đường trịn đường kính CH cắt AC F Chứng minh : a) Tứ giác AEHF hình chữ nhật b) EF tiếp tuyến chung hai đường tròn đường kính BH CH c) Tứ giác BCFE nội tiếp 43 Bài 55 Cho đường trịn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M ; MD cắt AB K ; MB cắt AC H a) Chứng minh BMD = BAC, từ => tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh : HK // CD c) Chứng minh : OK.OS = R Bài 56 : Cho đường trịn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm ngồi đường trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đường tròn b) Chứng minh KN.KC = KH.KO c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ Bài :a Cho x, y > Chứng minh : 1 + ≥ x y x+ y b Cho a,b >0 thoả mãn a+ b =1 Tìm giá trị nhỏ : A= 1 + ab a +b Bài : Chứng minh bất đẳng thức: a) ( a + c) + ( b + d ) b) c.( a − c ) + c( b − c ) ≤ ab c) ab + cd ≤ ≤ a2 + b2 + c2 + d ( a + d ).( b + c ) với a≥ c ≥ 0, b ≥ c với a, b, c, d > 2 Bài : Chứng minh : x + y ≥ x + y ≥ xy 44 Bài : Tìm giá trị nhỏ của: A = x + 16 x +3 với x >0 Bài : a) Chứng minh bất đẳng thức : ax + by ≤ a + b x + y b) Tìm giá trị lớn : A = x − + − x c) Giải phơng trình : x − + − x = x − x + 11 d ✰ ) Giải phơng trình: x − + y − + z − = 2( xy + z − 1) Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a xy + yz + zx Ê x + y +z 2 b x2 + y2 + z2 x+ y+z ≤ 3 Cho x + y + z = a Tìm giá trị nhỏ D = x + y +z b Tìm giá trị lớn T = xy + yz + zx Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= x –4x + B = 3x –6x -1 C = x +3x + D =3 x –2x + Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x –4xy + 5y + 10x –22y + 30 B = x + 26y – 10xy + 14x – 76y + 100 C = 5x – 12xy + 9y – 4x +4 D = x + y – xy –x –y +1 Bài : Tìm giá trị lớn biểu thức : A= - 4x –4x + B=5 - 8x- x C= + 6y – 5y – 12xy – 9x D = 15 – 10x – 10x + 24xy – 16y 45 ... gọn biểu thức I-CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ A xxác định A ≥ -Điều kiện phân thức xác định mẫu khác - Khử mẫu biểu thức lấy trục thức mẫu - Các đẳng thức đáng nhớ II-MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI TOÁN VỀ... số toán : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến… quy Rút gọn biểu thức 3) Tính giá trị biểu thức -Cần rút gọn biểu thức trước.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt... tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm Bước1 : Tìm ĐK có nghiệm Tính tổng tích nghiệm theo Viét Bước : Biến đổi tương đương hệ thức dạng tồn Tổng ,Tích nghiệm Nếu khơng giải hệ ( Hệ thức có bậc