Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp thành phố Toán Đề dự bị Năm học 20162017 Sở GD ĐT Hải Phòng22802

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ DỰ BỊ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN:TỐN – BẢNG KHƠNG CHUN (gồm 07 trang ) Bài Ngày thi: 12/10/2016 Đáp án a (1,0 điểm)Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị  C  đường thẳng d có phương trình y  mx  m  Tìm m để d cắt  C  điểm Điểm phân biệt M (1;3), N , P cho tiếp tuyến  C  N , P vng góc với Xét phương trình hồnh độ giao điểm : x  (m  3) x  m    ( x  1)( x  x  m  2)  * 0,25  x  1   g ( x)  x  x  m   (d) cắt (C) điểm phân biệt  phương trình g ( x)  có nghiệm  m   phân biệt x  1   m  0,25 Gọi xN , xP nghiệm phân biệt phương trình (*) Ta có x p  xN  1, xP xN  m  Bài1 (2,0 điểm) Hệ số góc tiếp tuyến (C)tại N k1  3x N  0,25 Hệ số góc tiếp tuyến (C)tại P k2  3x P  Tiếp tuyến (C) N,P vng góc với  3  2 m   k1.k2  1  9m  18m      3  2 m   0,25 So sánh với điều kiện suy m  3  2 b) (1,0 điểm)Cho hàm số y  2x  có đồ thị  C  đường thẳng x2 d : y  2 x  m Chứng minh d cắt  C  hai điểm A, B phân biệt với số thực m Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến  C  A B Tìm m để P   k1  Trang 1/7 ThuVienDeThi.com 2016   k2  2016 đạt giá trị nhỏ Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C) d:  x  2 2x   2 x  m   x2 2 x  (6  m) x   2m  0(*) 0,25 Xét phương trình (*), ta có:   0, m  R x = -2 không nghiệm (*) nên d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B với m 0,25 Hệ số góc tiếp tuyến A, B k1  1 , x1 , x2 nghiệm phương trình , k2  ( x1  2) ( x2  2) (*), ta thấy k1 k  x1  22 x2  22  x1 x2  x1  x2  42 4 0,25 (k1>0, k2>0) Có P =  k1  2016   k2  k1  k  2016   k1k2  2016  22017 , dó P  22017 đạt 1   ( x1  2)  ( x  2) 2 ( x1  2) ( x  2) 0,25 Do x1 , x2 phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 -  x1 + x2 = -  m = - Vậy m = - giá trị cần tìm a) ( 1,0 điểm) Tìm nghiệm x   0;   phương trình tan x  tan x  Đk: x    k ; x  Đưa pt dạng  k sin x(3  4s in x) ( sin x  2) cos x  0,25 sin x  cos x cos x  sin x  sin x  cos x      xk sin x  (tm)    sin x  cos 2x  2  x     k    2 5 x   0;   suy ra: x  ; x  ;x  3 0,25 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình Bài  x  x  y   x  y  y  y 1 (2,0 điểm) ,  x, y  ¡   2  x y  x  x  y   xy  x    y  Điều kiện  x  y  Trang 2/7 ThuVienDeThi.com 0,25 x  không nghiệm hệ y  Nhận xét  Khi 1  x  xy  y  x  y  2y   x  xy  xy  y  x  y  y   x x  2y  y  x  2y  x y 0 x  y  2y     x  y x  2y       x y y   x y 0,25 Thay y = x vào PT (2) ta được: x  x  14 x   x  x        x  1   x  1  x  x   3 x  x  Xét f  t   t  3t 0,25 f '  t   3t   0t nên f  t  hàm đồng biến R    f  x  1  f x  x   x   x  x   x  Vậy hệ có nghiệm  x; y   1;1 0,25 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng · B , cạnh BC  3a, góc BCA  300 Tính thể tích khối tứ diện ABCC ' khoảng cách hai đường thẳng AA ' B ' C ' theo a Biết A ' cách ba đỉnh A, B, C góc hai mặt phẳng ( ABB ' A ') ( ABC ) 600 Gọi M,H trung điểm cạnh AB,AC Do A’ cách ba đỉnh tam giác vuông ABC suy  AH  ( ABC ) ; MH đường trung bình tam giác ABC  MH / / BC mà AB  BC  MH  AB  AB  ( A ' HM ) Suy góc · A ' MH góc  ABC   AA ' B ' B  , theo Bài (2,0 điểm)  · A ' MH  600 Xét tam giác ABC vng B có AB  BC.tan 300  2a ; · Xét tam giác A ' MH vng H, có A ' H  MH tan HMA '  3a 1 VABC A ' B 'C '  A ' H S ABC  A ' H AB.BC  3a .2a 3.2a  3a 2 VABCC '  VABC A ' B 'C '  3a 3 Trang 3/7 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có AA '/ /( BB ' C ' C )  d ( AA ', B ' C ')  d ( A, ( BB ' C ))  3VB ' ABC S BB 'C 0,25 Tính A' C' B' 0,25 A H C M AC  4a; BB '  AA '  a 13; B ' C  a 13 B Áp dụng công thức Hê – rông cho tam giác BB’C ta S BB 'C  a 30 VB ' ABC  A ' H S ABC  3a 3  d ( AA ', B ' C ')  0,25 3a3 3a 10  a 30 0,25 Đề thi THPT Quốc gia mơn tốn có 50 câu trắc nghiệm, câu có bốn phương án trả lời, có phương án đúng, trả lời câu 0,2 điểm Một thí sinh làm xong 40 câu, 32 câu Ở 10 câu lại chọn ngẫu nhiên bốn phương án Tính xác suất để thí sinh đạt điểm trở lên Thí sinh làm 32 câu 40 câu 6,4 điểm Để thí sinh đạt điểm trở nên phải chọn câu trở lên 10 câu cịn lại Nghĩa thí sinh chọn câu câu câu sai 10 câu lại Bài (1,0 điểm) Mỗi câu có phương án có 410 cách chọn Mỗi câu có phương án sai nên có cách chọn sai cho câu Chọn sai câu 10 câu cịn lại có 30.C010 cách Chọn sai câu 10 câu cịn lại có 31.C110 cách Chọn sai câu 10 câu lại có 32.C210 cách Do số cách chọn đáp án để cho thí sinh đạt điểm trở lên 30.C010+31.C110+32.C210=436 cách Vậy xác suất để thí sinh đạt điểm trở lên P= 0,25 0,25 0,25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A , D  11  ;  tâm  3 trung điểm AB D có tung độ dương.Điểm I   13  đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , điểm E  ;  trọng tâm tam Bài  3 (1,0 điểm) giác ACD Điểm M  3; 1 nằm đường thẳng CD , điểm N   3;0  nằm đường thẳng AD Tìm toạ độ đỉnh A, B, C Gọi G trọng tâm tam giác ABC, F trung điểm AD Trang 4/7 ThuVienDeThi.com 0,25 A CG CE     EG // AD CD CF F Do I tâm đường tròn ngoại tiếp tam D giác ABC, D trung điểm AB I  ID  AB hay ID  EG (*) G Gọi K trung điểm của AC  DK // BC  ABC cân A  IG  BC hay IG  DK (**) B H Từ (*) (**)  I trực tâm  DEG  IE  CD uur   Đường thẳng CD qua M  3; 1 nhận IE  ;0  vtpt 3  0,25 E K C  Phương trình đường thẳng CD: x – =  D(3; d) (d > 0) d=3 Do ID  ND  ID.ND   d - d - =    d=  uur uuur 0,25 Do d >  D(3; 3) Đường thẳng AB qua D, N có phương trình: x – 2y + = Đường thẳng AH qua I vng góc với DE có phương trình: x –y– = A= AB  AH  A(7; 5) D trung điểm AB  B(-1; 1) Đường thẳng BC qua B vuông góc với AH có phương trình: x+ y = C= CD  BC  C(3; -3) KL : A(7; 5); B(-1; 1); C(3; -3) 0,25 0,25 a1  a  * Cho dãy số  an  xác định  2an  2an  , n  ¥ an 1  3a  4a  n n  Chứng minh a  dãy số  an  có giới hạn, tìm giới hạn Nếu a1  a  Ta chứng minh: an  2, n  ¥ * Hiển nhiên a1  Bài (1,0 điểm) 2.23  2.22  2 Giả sử ak   ak 1  3.22  4.2  Vậy lim an  lim  Nếu a1  a  Ta chứng minh an  n  ¥ * Ta có a1  Giả sử ak  Ta chứng minh ak 1  2ak  ak   2ak  2ak   2  ( ak  ) 3ak  4ak  3ak  4ak  ak 1   Ta chứng minh (an) dãy giảm: Trang 5/7 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 an  2an  an    an  1  an   Xét an 1  an    0, n  ¥ * 2 3an  4an  3an  4an  0,25 (an) giảm bị chặn  (an) có giới hạn L 2a  2an  2 L3  L2  lim an 1  lim n  L 3an  4an  3L2  L  0,25  L   an   L   Vậy lim an  Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z Tìm giá trị nhỏ y z   biểu thức P  x  y y  z 8z y z Ta có: P    x  y y  z 8z x2  x2 xz  z  y/x z/ y    xz  z  y / x  z / y     x / z  x / z 1 abc  y z x  Đặt a  , b  , c   0  a, b  x y z c   a b c2   Khi ta có: P  1 a 1 b c 1  0,25  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a b   1 a 1 b ab ab ab ab  1  a 1  b  1  a   b   a  b  ab 2 2 ab c c c  16 Bài Do đó, P      c 1 c 1 c 1  ab c  (1,0 điểm)        0.25  Dấu “=” xảy a  b Xét hàm số f (c)  c  16  Ta có: f '(c)  3c  4c c  16 16 c   c 1  c 1 =  1;    c  3c c  2c  c  16 c   c 1  1;   f '(c)   c  Bảng biến thiên: c f’(c) f(c) 0,25 - + + Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (c)  f (4)  1;  Dấu “=” xảy c  Trang 6/7 ThuVienDeThi.com (2) Suy P  Từ (1), (2) điều kiện abc  , suy dấu “=” xảy a  b  , c  hay x  y  z 0,25 Vậy giá trị nhỏ P x  y  z Chú ý: Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà đủ điểm phần đáp án quy định Hết Trang 7/7 ThuVienDeThi.com ... nhiên bốn phương án Tính xác suất để thí sinh đạt điểm trở lên Thí sinh làm 32 câu 40 câu 6,4 điểm Để thí sinh đạt điểm trở nên phải chọn câu trở lên 10 câu lại Nghĩa thí sinh chọn câu câu câu... a 30 0,25 Đề thi THPT Quốc gia mơn tốn có 50 câu trắc nghiệm, câu có bốn phương án trả lời, có phương án đúng, trả lời câu 0,2 điểm Một thí sinh làm xong 40 câu, 32 câu Ở 10 câu lại chọn ngẫu... câu có phương án có 410 cách chọn Mỗi câu có phương án sai nên có cách chọn sai cho câu Chọn sai câu 10 câu cịn lại có 30.C010 cách Chọn sai câu 10 câu cịn lại có 31.C110 cách Chọn sai câu 10